2018-2019学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、过点（2，3）且与原点距离为 2 的直线方程是 7 （3 分）已知 p：曲线 C 上的点的坐标都是方程 F（x，y）0 的解，q：曲线 C 是方程 F （x，y）0 的曲线，则 p 成立是 q 成立的 条件 8 （3 分）已知 P 是椭圆1（ab0）上的一点，F1，F2为焦点，若 0，tanPF1F2，则椭圆的焦距与长轴的比值为 9 （3 分）直线 ykx2 与双曲线 x2y21 有且仅有一个公共点，则 k 10 （3 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的取值范围是 11 （3 分）已知曲线的参数方程为（t 为参数） ，则以下曲线的说法中： 关于原点对称；在直线 y1 下方；关于

2、y 轴对称；是封闭图形，正确的 有 12 （3 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a，b0）的左、右焦点，过 F2的 直线 l 与双曲线的右支分别交于 A，B 两点，AF1F2的内切圆半径为 r1，BF1F2的内 切圆半径为 r2，若 r12r2，则直线 l 的斜率为 二、选择题二、选择题 13 （3 分）与圆 x2+（y+5）23 相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是（ ） A2 B4 第 2 页（共 20 页） C6 D以上说法都不对 14 （3 分）直线 l1：2x3y+10 与直线 l2：x3 的夹角为（ ） Aarccos Barccos Carcsin D以上说法都不对

3、15 （3 分）下列说法正确的是（ ） A平面中两个定点 A，B，k 为非零常数，若|PA|PB|k，则动点 P 的轨迹是双曲线 B 定圆 C 上有一定点 A 和一动点 B （不与 A 重合） ， O 为坐标原点， 若 （+） ， 则动点 P 的轨迹是椭圆 C斜率为定值的动直线与抛物线 y22px（p0）相交于 A，B 两点，O 为坐标原点， （+） ，则动点 P 的轨迹是直线 D以上说法都不对 16 （3 分）点 A 为椭圆 C：+1（ab0）的右顶点，P 为椭圆 C 上一点（不与 A 重合） ，若0（O 是坐标原点） ，则（c 为半焦距）的取值范围是（ （ ） A （） B （） C （）

4、 D以上说法都不对 三、解答题三、解答题 17已知两点 A（1，2） ，B（5，1） （1）求直线 AB 的方程； （2）若 A，B 的到直线 l 的距离都是 2，求直线 l 的方程 18双曲线 M：1 过点 P（4，） ，且它的渐近线方程是 x2y0 （1）求双曲线 M 的方程； （2）设椭圆 N 的中心在原点，它的短轴是双曲线 M 的实轴，且椭圆 N 中斜率为3 的 弦的中点轨迹恰好是 M 的一条渐近线截在椭圆 N 内的部分，试求椭圆 N 的方程 第 3 页（共 20 页） 19已知椭圆的两个焦点为 F1（1，0） ，F2（1，0） ，且椭圆过点（1，） （1）求椭圆的方程 （2）已知斜率

5、为 k（k0）的直线 l1过 F2，与椭圆分别交于 P，Q；直线 l2过 F2，与直 线 l1垂直，与椭圆分别交于 M，N，求四边形 PMQN 面积的函数解析式 f（k） 20设直线 l：xky+b 与抛物线 y24x 相交于不同的两点 A，B，M 为线段 AB 中点， （1）若 M（3，2） ，且 b1，求线段 AB 的长； （2）若直线 l 与圆 C： （x5）2+y216 相切于点 M，求直线 l 的方程； （3）若直线 l 与圆 C： （x5）2+y2r2（0r5）相切于点 M，写出符合条件的直线 l 的条数 （直接写出结论即可） 21在平面直坐标系 xOy 中有曲线：x2+y21（y

6、0） （1）如图 1，点 B 为曲线上的动点，点 A（2，0） ，求线段 AB 的中点的轨迹方程； （2）如图 2，点 B 为曲线上的动点，点 A（2，0） ，将OAB 绕点 A 顺时针旋转 90 得到DAC，求线段 OC 长度的最大值 （3）如图 3，点 C 为曲线上的动点，点 A（1，0） ，B（1，0） ，延长 AC 到 P，使 CPCB，求动点 P 的轨迹长度 第 4 页（共 20 页） 2018-2019 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）抛物线 y4

7、x2的准线方程为 【分析】 先把抛物线方程整理成标准方程， 进而求得 p， 再根据抛物线性质得出准线方程 【解答】解：整理抛物线方程得 x2y，p 抛物线方程开口向上， 准线方程是 y 故答案为： 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质属基础题 2 （3 分）直线的倾斜角范围是 0，） 【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可 【解答】解：直线的倾斜角的范围是0，） ， 故答案为：0，） 【点评】本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握 3 （3 分）直线 l1：2xy10，ax+y+20，若 1112，则 a 【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解 【解答】解：直线 l1：2x

8、y10，ax+y+20，1112， 2a10， 解得 a 故答案为： 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 4 （3 分）直线 xy+50 被圆 x2+y22x4y40 所截得的弦长等于 2 【分析】先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长 的一半，即可求得弦长 第 5 页（共 20 页） 【解答】解：x2+y22x4y40 可变为（x1）2+（y2）29，故圆心坐标为（1， 2） ，半径为 3 圆心到直线 xy+50 的距离是2 故弦长的一半是1 所以弦长为 2 故答案为：2 【点评】本题考查直线与圆相交的

9、性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径， 弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距 离 5 （3 分）P 是双曲线1 上的一点，F1，F2为焦点，若|PF1|7，则|PF2| 13 【分析】由双曲线的标准方程分析可得 a、c 的值，结合双曲线的定义可得|PF1|PF2| 2a6，计算可得|PF2|分析可得答案 【解答】解：双曲线1， 其中 a3，b4，c5 又由 P 是双曲线上一点，则有|PF1|PF2|2a6， 又由|PF1|7，则|PF2|1ca2（舍去）或 13， 故答案为：13 【点评】本题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出 a 的

10、值，属于基础题 6 （3 分）过点（2，3）且与原点距离为 2 的直线方程是 5x12y+260 或 x2 【分析】分直线的斜率存在与不存在讨论，利用点到直线的距离公式即可得出 【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线 x2 时满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y3k（x2） ，化为 kxy+32k0， ，解得 k 直线的方程为：0，化为 5x12y+260 综上可得：直线的方程为：5x12y+260；x2 故答案为：5x12y+260 或 x2 第 6 页（共 20 页） 【点评】本题考查了点到直线的距离公式、点斜式、分类讨论方法，考查了计算能力， 属于基础题 7 （3 分）已知

11、 p：曲线 C 上的点的坐标都是方程 F（x，y）0 的解，q：曲线 C 是方程 F （x，y）0 的曲线，则 p 成立是 q 成立的 必要不充分 条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：若曲线 C 是方程 F（x，y）0 的曲线， 则曲线 C 上的点的坐标都是方程 F（x，y）0 的解，即充分性成立， 若曲线 C 上的点的坐标都是方程 F（x，y）0 的解， 则曲线不一定是方程的曲线，即充分性不成立， 比如：曲线 yx（x0）上的点的坐标都满足方程 xy0， 而方程 xy0 对应的曲线为直线 yx， 则 p 成立是 q 成立的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分

12、条件 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合曲线方程和方程曲线的关系是 解决本题的关键 8 （3 分）已知 P 是椭圆1（ab0）上的一点，F1，F2为焦点，若 0，tanPF1F2，则椭圆的焦距与长轴的比值为 【分析】可得，由勾股定理可得，即可 【解答】解：设 PF12m，0，tanPF1F2，则 PF2m 2m+m2a，可得， ， 则椭圆的焦距与长轴的比值为 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆的性质，转化思想，属于基础题 第 7 页（共 20 页） 9 （3 分）直线 ykx2 与双曲线 x2y21 有且仅有一个公共点，则 k 1 或 【分析】联立直线与双曲线方程，化为（1k2

13、）x2+4kx50分类讨论：当 1k20 时，可得 k1，此时直线 l 与等轴双曲线的渐近线，满足题意；当 1k20 时，由直 线与双曲线有且只有一个公共点，可得0，解出即可 【解答】解：联立，化为（1k2）x2+4kx50 当 1k20 时，可得 k1，此时直线 l 的方程为 yx+1， 分别与等轴双曲线的渐近线 yx 平行， 此时直线 l 与双曲线有且只有一个交点，满足题意； 当 1k20 时，由直线与双曲线有且只有一个公共点， 可得16k2+20（1k2）0， 解得 k此时满足条件 综上可得：k1， 故答案为：1， 【点评】本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与的关系、

14、分 类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题 10 （3 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的取值范围是 4，+） 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可 【解答】解：x，y 满足约束条件， 表示的可行域如图： 目标函数 zx+2y 经过 C 点时，函数取得最小值， 由解得 C（2，1） ， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是4，+） 故答案为：4，+） 第 8 页（共 20 页） 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关 键 11 （3 分）已知曲线的参数方程为（t 为参数） ，则以下曲线的说法中： 关于原点对称

15、；在直线 y1 下方；关于 y 轴对称；是封闭图形，正确的有 【分析】由曲线的参数方程推导出 y，且 0y1，由此能求出结果 【解答】解：曲线的参数方程为（t 为参数） ， y，且 0y1， 在中，曲线不能关于原点对称，故错误； 在中，曲线在直线 y1 下方，故正确； 在中，曲线关于 y 轴对称，故正确； 在中，曲线不是封闭图形，故错误 故答案为： 【点评】本题考查命题真假的判断，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 12 （3 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a，b0）的左、右焦点，过 F2的 第 9 页（共 20 页） 直线 l 与双曲线的右支

16、分别交于 A，B 两点，AF1F2的内切圆半径为 r1，BF1F2的内 切圆半径为 r2，若 r12r2，则直线 l 的斜率为 2 【分析】充分利用平面几何图形的性质解题因从同一点出发的切线长相等，得|AM| |AN|，|F1M|F1E|，|F2N|F2E|，再结合双曲线的定义得|F1E|F2E|2a，从而即可求 得AF1F2的内心的横坐标 a，即有 CDx 轴，在CEF2，DEF2中，运用解直角三角 形知识，运用正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率 【解答】解：记AF1F2的内切圆圆心为 C， 边 AF1、AF2、F1F2上的切点分别为 M、N、E， 易见 C、E 横坐标相等，

17、则|AM|AN|， |F1M|F1E|， |F2N|F2E|， 由|AF1|AF2|2a， 即|AM|+|MF1|（|AN|+|NF2|）2a， 得|MF1|NF2|2a， 即|F1E|F2E|2a，记 C 的横坐标为 x0，则 E（x0，0） ， 于是 x0+c（cx0）2a，得 x0a， 同样内心 D 的横坐标也为 a，则有 CDx 轴， 设直线的倾斜角为 ，则OF2D，CF2O90， 在CEF2中，tanCF2Otan（90）， 在DEF2中，tanDF2Otan， 由 r12r2，可得 2tantan（90）cot， 解得 tan， 则直线的斜率为 tan2， 由对称性可得直线 l 的

18、斜率为2 故答案为：2 第 10 页（共 20 页） 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函 数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）与圆 x2+（y+5）23 相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是（ ） A2 B4 C6 D以上说法都不对 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分 2 种情况讨论，直线过原点，设直线 的方程为 ykx，直线不过原点，设其方程为 x+ya，由直线与圆的位置关系分析 直线的条数，综合 2 种情况即可得答案 【解答】解：根据题意，圆 x2+（y+5）23 的圆心为（0，5） ，半径

19、 r， 分 2 种情况讨论， ，直线过原点，设直线的方程为 ykx，即 kxy0， 则有，解可得 k， 此时直线的方程为：yx， ，直线不过原点，由于直线横截距与纵截距相等，设其方程为 x+ya，即 x+ya0， 则有，解可得 a5， 此时直线的方程为 x+y+50， 故一共有 4 条符合条件的直线； 第 11 页（共 20 页） 故选：B 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线在坐标轴上的截距，注意直线过原点 的情况，属于基础题， 14 （3 分）直线 l1：2x3y+10 与直线 l2：x3 的夹角为（ ） Aarccos Barccos Carcsin D以上说法都不对 【分析】先

20、求出两条直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角 【解答】解：直线 l1：2x3y+10 的斜率为，倾斜角为 arctan，直线 l2：x3 的斜 率不存在，倾斜角为 90， 故直线 l1： 2x3y+10 与直线 l2： x3 的夹角为 90arctanarccotarccos， 故选：B 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，属于基础题 15 （3 分）下列说法正确的是（ ） A平面中两个定点 A，B，k 为非零常数，若|PA|PB|k，则动点 P 的轨迹是双曲线 B 定圆 C 上有一定点 A 和一动点 B （不与 A 重合） ， O 为坐标原点， 若 （+） ， 则动点

21、P 的轨迹是椭圆 C斜率为定值的动直线与抛物线 y22px（p0）相交于 A，B 两点，O 为坐标原点， （+） ，则动点 P 的轨迹是直线 D以上说法都不对 【分析】由双曲线的定义可判断 A；由 P 为 AB 的中点，CPAB，可得 P 的轨迹为圆， 可判断 B； 由抛物线的方程，可设 A（，y1） ，B（，y2） ，运用直线的斜率公式和中点坐标 公式，即可判断 C，进而判断 D 【解答】解：设 A，B 是两个定点，k 为非零常数，若|PA|PB|k|AB|，可得 P 的轨 迹为双曲线； 第 12 页（共 20 页） 若|PA|PB|k|AB|，即为射线；若|PA|PB|k|AB|，则轨迹不

22、存在，故 A 错误； 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点若（+） ， 则 P 为 AB 的中点，CPAB，则动点 P 的轨迹为以 AC 为直径的圆，故 B 错误； 斜率为定值 t 的动直线与抛物线 y22px（p0）相交于 A，B 两点， 设 A（，y1） ，B（，y2） ，（+） ，可得 P 为 AB 的中点， t，即有 yP，则动点 P 的轨迹是直线，故 C 正确 故选：C 【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和方程、性质，考查中点坐标公式和直线的斜率 公式，以及运算能力和推理能力，属于中档题 16 （3 分）点 A 为椭圆 C：+1（ab0）的右顶点，P 为椭圆 C

23、 上一点（不与 A 重合） ，若0（O 是坐标原点） ，则（c 为半焦距）的取值范围是（ （ ） A （） B （） C （） D以上说法都不对 【分析】设 P（x，y） ，由0，可得c2x2a3x+a2b20， xa，x，0a即可求解 【解答】解：设 P（x，y） ，0（O 是坐标原点） ， c2x2a3x+a2b20， （c2xab2） （xa）0 xa，x， 第 13 页（共 20 页） 0a b2c2 ， 则的取值范围是（，1） 故选：B 【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推 理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题

24、 三、解答题三、解答题 17已知两点 A（1，2） ，B（5，1） （1）求直线 AB 的方程； （2）若 A，B 的到直线 l 的距离都是 2，求直线 l 的方程 【分析】 （1）利用两点式方程能求出直线 AB 的方程 （2）由两点 A（1，2） ，B（5，1） A，B 的到直线 l 的距离都是 2，当直线 l 的斜率不 存在时，直线 l 的方程为 x3；当直线 l 的斜率 k 存在时，设直线 l 为 kxy+b0，由 A， B 的到直线 l 的距离都是 2，能求出直线 l 的方程 【解答】解： （1）两点 A（1，2） ，B（5，1） 直线 AB 的方程为：， 整理，得 3x+4y110

25、（2）两点 A（1，2） ，B（5，1） A，B 的到直线 l 的距离都是 2， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x3，成立； 当直线 l 的斜率 k 存在时，设直线 l 为 ykx+b，即 kxy+b0， A，B 的到直线 l 的距离都是 2， ，解得 k，b或 k，b，或 k，b， 直线 l 的方程为 yx+或 y或 y， 整理，得：3x+4y10，或 3x+4y210，或 7x24y90 第 14 页（共 20 页） 综上，直线 l 的方程为 3x+4y10，或 3x+4y210，或 7x24y90，或 x3 【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的两点式方程、点到直线

26、的距离公式等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题 18双曲线 M：1 过点 P（4，） ，且它的渐近线方程是 x2y0 （1）求双曲线 M 的方程； （2）设椭圆 N 的中心在原点，它的短轴是双曲线 M 的实轴，且椭圆 N 中斜率为3 的 弦的中点轨迹恰好是 M 的一条渐近线截在椭圆 N 内的部分，试求椭圆 N 的方程 【分析】 （1）根据双曲线的简单性质即可求出， （2）设椭圆 N 中斜率为3 的弦所在直线方程为 y3x+m，两端点分别为 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ，AB 的中点为 P（x0，y0） ，根据韦达定理求出点 P 的坐标，再将点 P 的坐标 代入双曲线 M 渐近线

27、 x2y0 上，即可求出 a215，问题得以解决 【解答】解： （1）双曲线 M：1 过点 P（4，） ，且它的渐近线方程是 x 2y0， 1， 解得 a210，b2， 双曲线 M 的方程为1， （2）椭圆 N 的中心在原点，它的短轴是双曲线 M 的实轴，则设椭圆的方程为：+ 1， b210， 设椭圆 N 中斜率为3 的弦所在直线方程为 y3x+m， 两端点分别为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的中点为 P（x0，y0） ， 联立方程组，消 y 可得（90+a2）x260mx+10m210a20， x1+x2， 第 15 页（共 20 页） 则 x0， y03x0+m， P（，

28、） ， 点 P 在双曲线 M 渐近线 x2y0 上， 2， 解得 a215， 椭圆 N 的方程为+1 【点评】本题考查了双曲线和椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查了运算求 解能力和转化与化归能力，属于中档题 19已知椭圆的两个焦点为 F1（1，0） ，F2（1，0） ，且椭圆过点（1，） （1）求椭圆的方程 （2）已知斜率为 k（k0）的直线 l1过 F2，与椭圆分别交于 P，Q；直线 l2过 F2，与直 线 l1垂直，与椭圆分别交于 M，N，求四边形 PMQN 面积的函数解析式 f（k） 【分析】 （1）设椭圆的方程为+1，ab0，由题意可得，解得 即可， （2）设直线 l1的方程为

29、 yk（x1） ，则直线 l2的方程为 y（x1） ，设 P（x1， y1） ，Q（x2，y2） ，根据弦长公式，分别求出|PQ|，|MN|，即可表示四边形的面积 【解答】解： （1）设椭圆的方程为+1，ab0 由题意可得，解得 a22，b21 第 16 页（共 20 页） （2）设直线 l1的方程为 yk（x1） ，则直线 l2的方程为 y（x1） 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立方程，化简得（2k2+1）x24k2x+2k220 则 x1+x2，x1x2， |PQ|x1x2| 2， 同理，得|MN|2， S四边形PMNQ|PQ|MN|， f（k），k0 【点评】本题考查直

30、线和椭圆的位置关系，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题， 注意椭圆弦长公式的合理运用 20设直线 l：xky+b 与抛物线 y24x 相交于不同的两点 A，B，M 为线段 AB 中点， （1）若 M（3，2） ，且 b1，求线段 AB 的长； （2）若直线 l 与圆 C： （x5）2+y216 相切于点 M，求直线 l 的方程； （3）若直线 l 与圆 C： （x5）2+y2r2（0r5）相切于点 M，写出符合条件的直线 l 的条数 （直接写出结论即可） 【分析】 （1）将直线 l 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出线段 AB 的中点的 纵坐标，从而求出 k 的值，再利用弦长公式结

31、合韦达定理可求出线段 AB 的长度； （2）对 k 是否为零进行分类讨论 当 k0 时，得出点 A、B 关于 x 轴对称，得知，点 M 为圆与 x 轴的交点，求出 b 的值， 可得出直线 l 的方程； 当 k0 时，将直线 l 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点 M 的坐标，然后 第 17 页（共 20 页） 利用 CMAB， 转化为这两条直线的斜率之积为1 以及点 M 在圆上， 求出 k 和 b 的值， 但同时还需满足0结合这两种情况求出直线 l 的方程 （3）结合图形充分利用对称性可写出相应的结论 【解答】解： （1）当 b1 时，直线 l 的方程为 xky+1，设点 A（x1，

32、y1） 、B（x2，y2） ， 将直线 l 的方程与抛物线的方程联立得，消去 x 得 y24ky40， 由韦达定理可得 y1+y24k，y1y24， 由于点 M（3，2）是线段 AB 的中点，则，则 k1，所以，y1+y24， 由 弦 长 公 式 可 得 ； （2）设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 将直线 l 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得 y24ky4b0， 由韦达定理可得 y1+y24k，y1y24b， 设点 M 的坐标为（x0，y0） ，则， 所以，点 M 的坐标为（2k2+b，2k） ， 若 k0，则直线 l 的方程为 xb，则点 A、B 关于 x 轴对称，而圆（

33、x5）2+y216 与 x 轴的交点为（1，0）和（9，0） ， 点 M 的坐标为（b，0） ，则 b1 或 b9，此时，直线 l 的方程为 x1 或 x9，符合题 意！ 若 k0，由 CMAB 可知，kCMkAB1，即，则有 2k2+b5 1，所以，2k2+b40 另一方面，点 M 在圆上，则有（2k2+b5）2+k216，所以，1+k216，则 k215，b 26， 此时，16k2+16b16（k2+b）1760，不合乎题意！ 综上所述，直线 l 的方程为 x1 和 x9； （3）当 r5 时，1 条； 第 18 页（共 20 页） 当 0r2 或 4r5 时，2 条； 当 2r4 时，4

34、 条 【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在抛物线综合问题中的应用， 同时也考查了对称性思想的应用，属于难题 21在平面直坐标系 xOy 中有曲线：x2+y21（y0） （1）如图 1，点 B 为曲线上的动点，点 A（2，0） ，求线段 AB 的中点的轨迹方程； （2）如图 2，点 B 为曲线上的动点，点 A（2，0） ，将OAB 绕点 A 顺时针旋转 90 得到DAC，求线段 OC 长度的最大值 （3）如图 3，点 C 为曲线上的动点，点 A（1，0） ，B（1，0） ，延长 AC 到 P，使 CPCB，求动点 P 的轨迹长度 【分析】 （1）设点 B 的坐标为（x0，y0）

35、 ，设线段 AB 的中点为点 M（x，y） ，先将点 M 的 坐标代入曲线的方程， 得出一个等式， 由中点坐标公式得， 解得， 代入等式可得出点 M 的轨迹方程，化简，同时标出相应变量的取值范围； （2） 作出曲线绕点 A 顺时针旋转 90后得到的右半圆 D， 然后线段 OC 长度的最大值 就转化为点 O 到右半圆 D 上一点距离的最大值，利用圆的性质可得出答案； （3）先求出，由正弦定理知，动点 P 的轨迹在圆 D 上，求出弦 AB 所对的圆 心角，可求出动点 P 轨迹在圆 D 中所对的圆心角，即可算出相应扇形的弧长 【解答】解： （1）设点 B 的坐标为（x0，y0） ，则 y00，设线段

36、 AB 的中点为点 M（x，y） ， 由于点 B 在曲线上，则， 因为点 M 为线段 AB 的中点，则，得， 第 19 页（共 20 页） 代入式得（2x2）2+y21，化简得，其中 y0； （2）如下图所示，易知点 D（2，2） ， 结合图形可知，点 C 在右半圆 D： （x2）2+y21 上运动， 问题转化为，原点 O 到右半圆 D 上一点 C 的距离的最大值， 连接 OD 并延长交右半圆 D 于点 C，当点 C 与点 C重合时，|OC|取最大值， 且； （3）如下图所示， 由于点 C 是曲线上一点，则ACB90，则BCP90，由于 CPCB，所以， APB45， 由于 AB2， 由正弦定理可知， ABP 的外接圆的直径为， ， 设曲线与 y 轴交于点 D（0，1） ，则， 则ABP 的外接圆即为圆 D：x2+（y1）22，弦 AB 在圆 D 中所对的圆心角为ADB 90， 所以点 P 的轨迹是以为半径且圆心角为的扇形， 所以，点 P 的轨迹的长度为 【点评】本题考查曲线方程的求法，考查数形结合思想在解题中的应用，属于中等题