2018-2019学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、设直线4x+3y+10和圆x2+y22x30相交于点A、 B， 则弦AB的长度是 9 （3 分）已知向量，若向量 在 方向上的投影为 6，则实数 m 为 10 （3 分）若数列an是首项为 1，公比为 a的无穷等比数列，且an各项的和为 a， 则 a 的值是 11 （3 分）设 a，bR，a2+b26，则的最大值是 12 （3 分）在ABC 中，A120，则线段 AM 长的 最小值为 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得结论，其

2、中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 13 （3 分）直线 x2y+20 关于直线 x1 对称的直线方程是（ ） Ax+2y40 B2x+y10 C2x+y30 D2x+y40 第 2 页（共 14 页） 14 （3 分）用数学归纳法证明时，在证 明 n1 等式成立时，此时等式的左边是（ ） A1 B1+a C1+a+a2+a3 D1+a+a2+a3+a4 15 （3 分）圆（x1）2+（y+）21 的切线方程中有一个是（ ） Axy0 Bx+y0 Cx0 Dy0 16 （3 分）已知ABC 中，ABAC2，点 P 是 AB 边上的动点，点 Q 是

3、 AC 边上的动点，则的最小值为（ ） A4 B2 C8 D16 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17 （8 分）已知向量，aR （1）当 a1，求向量 与 的夹角大小 （2） ，求实数 a 的值 18 （10 分）已知定点 B（4，0） ，动点 A（x，y）满足行列式，求线段 AB 的中 点 P 的轨迹方程 19 （10 分）在直角坐标平面内，、分别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量， ，对任意正整数 n， （1）若实数 a9，求； （2）设，证明点 An在直线

4、 y2x+22a 上 20 （12 分）已知点 A（n，an）在直线 yx（nN*）上，点 Mn（an，bn）在函数 ytx（t 0） ，图象上，过 Mn作 x 轴的垂线，垂足为 Nn， （1）当 t1 时，数列bn前 n 项和是 Sn，设，求； （2）当 0t1 时，设（n 2，nN*） ，求的值 第 3 页（共 14 页） 21 （12 分）一束光从从光源 C（1，2）射出，经 x 轴反射后（反射点为 M） ，射到线段 y x+b，x3，5上 N 处 （1）若 M（3，0） ，b7，求光从 C 出发，到达点 N 时所走过的路程； （2）若 b8，求反射光的斜率的取值范围； （3）若 b6，

5、求光从 C 出发，到达点 N 时所走过的最短路程 第 4 页（共 14 页） 2018-2019 学年上海市浦东新区高二（上）期末数学学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 1 （3 分） 【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，数列的极限的求法，考查计算能力 2 （

6、3 分）直线 xy10 的倾斜角大小为 【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解 【解答】解：直线 xy10 的斜率 k1， 设其倾斜角为 （0） ， 由 tan1，得 直线 xy10 的倾斜角大小为 故答案为： 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题 3 （3 分）直线 3x+4y50 与 3x+4y+100 的距离是 3 【分析】利用平行线间的距离公式直接求解 【解答】解：直线 3x+4y50 与 3x+4y+100 的距离： d3 故答案为：3 【点评】本题考查两平行间的距离的求法，考查平行线间的距离公式等基础知识，考查 运算求解能力，

7、是基础题 第 5 页（共 14 页） 4 （3 分）直线3 的一个方向向量可以是 （2，1） 【分析】平面中，直线方程 Ax+By+C0 它的一个方向向量是（B，A） ，由此利用二阶 行列式展开式能求出直线的一个方向向量 【解答】解：直线3， x2y30 直线3 的一个方向向量可以是（2，1） 故答案为： （2，1） 【点评】本题考查直线的方向向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思 维能力的培养 5 （3 分）若某线性方程组对应的增广矩阵是，且此方程组有唯一一组解，则实数 m 的取值范围是 m4 【分析】本题先找出线性方程组对应的系数行列式，然后根据此方程组有唯一一组解得 出系数行

8、列式的值不等于 0，即可得到实数 m 的取值范围 【解答】解：由题意，可知： 此线性方程组对应的系数矩阵为， 此系数矩阵对应的行列式为， 此方程组有唯一一组解， 对应的系数行列式0， 即：m40 m4 故答案为：m4 【点评】本题主要考查线性方程组对应的系数行列式，以及线性方程组有唯一解与系数 行列式不等于零的对应关系本题属基础题 6 （3 分）正方形 ABCO 中，点 O 为坐标原点，且向量，边 AB 所在直线的点 法向式方程为 5（x5）+4（y4）0 【分析】边 AB 所在直线的方向向量为： （4，5） ，可得点法向式方程 【解答】解：边 AB 所在直线的方向向量为： （4，5） 第 6

9、 页（共 14 页） 点法向式方程为 5（x5）+4（y4）0， 故答案为：5（x5）+4（y4）0 【点评】本题考查了直线的方向向量、点法向式方程，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 7 （3 分）直线 l1： （a+3）x+（1a）y10 与直线 l2： （a1）x+（2a+1）y+20 互相 垂直，则实数 a 1 或 2 【分析】由（a+3） （a1）+（1a） （2a+1）0，解得 a 即可得出 【解答】解：由（a+3） （a1）+（1a） （2a+1）0， 解得 a1 或 2 故答案为：1 或 2 【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属 于基

10、础题 8 （3 分）设直线 4x+3y+10 和圆 x2+y22x30 相交于点 A、B，则弦 AB 的长度是 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线 4x+3y+10 的距离，由直线 与圆的位置关系分析可得答案 【解答】解：根据题意，圆 x2+y22x30 即（x1）2+y24， 其圆心为（1，0） ，半径 r2， 圆心到直线 4x+3y+10 的距离 d1， 则|AB|22； 故答案为：2 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题 9 （3 分）已知向量，若向量 在 方向上的投影为 6，则实数 m 为 3 【分析】根据向量投影可得6，解得即可 【解答】解

11、：向量，若向量 在 方向上的投影为 6， 第 7 页（共 14 页） 13+m3+m，| |2， 6， 解得 m3， 故答案为：3 【点评】本题考查了向量投影的概念，属于基础题 10 （3 分）若数列an是首项为 1，公比为 a的无穷等比数列，且an各项的和为 a， 则 a 的值是 2 【分析】 由无穷等比数列an各项和为 a， 则利用等比数列前 n 项和公式列方程解之即可 【解答】解：由题意知 a11，qa，且|q|1， Sna，即 ， 解得 a2 故答案为 2 【点评】本题主要考查等比数列前 n 项和公式与极限思想属于基础题 11 （3 分）设 a，bR，a2+b26，则的最大值是 【分析

12、】根据题意，分析可得点（a，b）为圆 x2+y26 上任意一点，则为点（a，b） 与点（3，0）的连线的斜率，进而设过点（3，0）与圆相交或相切的直线为 l，其方程为 yk（x3） ，由直线与圆的位置关系可得，解可得 k 的取值范围，即可得 k 的最大值，即可得答案 【解答】解：根据题意，a，bR，a2+b26，则点（a，b）为圆 x2+y26 上任意一点， 设 P（a，b） ， 则为点（a，b）与点（3，0）的连线的斜率， 设过点（3，0）与圆相交或相切的直线为 l，l 的方程为 yk（x3） ，即 kxy3k0， 直线 l 与圆 x2+y26 相交或相切，则有， 解可得：k， 第 8 页（

13、共 14 页） 即 k 的最大值为，则的最大值是； 故答案为： 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是将最值问题转化为斜率问题 12 （3 分）在ABC 中，A120，则线段 AM 长的 最小值为 【分析】运用平面向量数量积的性质及运算可解决此问题 【解答】解：根据题意得，bccosA A120， bc1， 22+2+ c2+b22 AM 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个的四个 结论，其中有且只有一个结论是

14、正确的，每题答对得结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 13 （3 分）直线 x2y+20 关于直线 x1 对称的直线方程是（ ） Ax+2y40 B2x+y10 C2x+y30 D2x+y40 【分析】在直线 x2y+20 上任取 2 个点，求出它们关于直线 x1 对称的对称点，用 两点式可得对称直线的方程 【解答】解：直线 x2y+20 上的点（2，0）关于直线 x1 对称的点 A（4，0） ， 第 9 页（共 14 页） 直线 x2y+20 上的点（0，1）关于直线 x1 对称的点 B（2，1） ， 故直线 x2y+20 关于直线 x

15、1 对称的直线方程，即直线 AB 的方程，为， 即 x+2y40， 故选：A 【点评】本题主要考查求一条直线关于另一条直线的对称直线的方法，属于基础题 14 （3 分）用数学归纳法证明时，在证 明 n1 等式成立时，此时等式的左边是（ ） A1 B1+a C1+a+a2+a3 D1+a+a2+a3+a4 【分析】在验证 n1 时，左端计算所得的项只需把 n1 代入等式左边即可得到答案 【解答】解：用数学归纳法证明， 在验证 n1 时，把当 n1 代入，左端1+a+a2+a3+a4 故选：D 【点评】本题考查了数学归纳法中的归纳奠基步骤，本题较简单，容易解决不要把 n 1 与只取一项混同 15

16、（3 分）圆（x1）2+（y+）21 的切线方程中有一个是（ ） Axy0 Bx+y0 Cx0 Dy0 【分析】直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径采用排除法解答 【解答】解：直线 ax+by01 相切， 则1， 由排除法，排除 A、B、D 故选：C 【点评】本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切可以有两种方式转化（1）几何条 件：圆心到直线的距离等于半径（2）代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解， 从而转化成判别式等于零来解本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选 C，用图 象法解最省事是基础题 16 （3 分）已知ABC 中，ABAC2，点 P 是 AB 边上的动点，点 Q 是

17、AC 第 10 页（共 14 页） 边上的动点，则的最小值为（ ） A4 B2 C8 D16 【分析】运用向量的坐标运算可解决此问题 【解答】解：根据题意得，运用坐标法，设 A（0，0） ，（2，0） ，（0，2） ， Q（0，y） ，P（x，0） ， （2，y） （x，2）2x2y2（x+y） ， 0x2，0y2， 0x+y4， 82（x+y）0， 2（x+y）最小值为8， 故选：C 【点评】本题考查向量的数量积的性质及简单运算 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17

18、（8 分）已知向量，aR （1）当 a1，求向量 与 的夹角大小 （2） ，求实数 a 的值 【分析】（1） 由数量积表示两个向量的夹角公式求得： 因 为 0，所以，即向量 与 的夹角为， （2）由两个向量平行的坐标运算得：a（）0，即 a1， 【解答】解： （1）设向量 与 的夹角为 ， 当 a1 时，| |2，| |1， 所以， 又因为 0，所以，即向量 与 的夹角为， 第 11 页（共 14 页） 故答案为：； （2 因为 ， 所以a（）0， 即 a1， 故答案为：1 【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、两个向量平行的坐标运算，属简单题 18 （10 分）已知定点 B（4，0）

19、，动点 A（x，y）满足行列式，求线段 AB 的中 点 P 的轨迹方程 【分析】设出 P 的坐标，利用行列式的定义转化求解线段 AB 的中点 P 的轨迹方程 【解答】解：设 P（x0，y0） ， ， 为所求点 P 的轨迹方程 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力 19 （10 分）在直角坐标平面内，、分别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量， ，对任意正整数 n， （1）若实数 a9，求； （2）设，证明点 An在直线 y2x+22a 上 【分析】 （1）运用向量模长的运算可解决此问题； （2）平面向量基本定理的简单应用 【解答】解：根据题意得： （1），； （2）设，

20、则 xn+1xn1，yn+1yn2 所以 xna+（n1） 1n1+a；yn2+（n1） 22n 即 An（n1+a，2n）满足方程 y2x+22a，所以点 An在直线 y2x+22a 上 【点评】本题考查向量模长的计算和平面向量基本定理的简单应用 第 12 页（共 14 页） 20 （12 分）已知点 A（n，an）在直线 yx（nN*）上，点 Mn（an，bn）在函数 ytx（t 0） ，图象上，过 Mn作 x 轴的垂线，垂足为 Nn， （1）当 t1 时，数列bn前 n 项和是 Sn，设，求； （2）当 0t1 时，设（n 2，nN*） ，求的值 【分析】 （1）当 t1 时，求出数列b

21、n前 n 项和是 Sn，化简，然后求解数列的 几项即可 （2）推出是以为首项，t 为公比的等比数列利用无穷等比数列的 极限的运算法则求解数列的几项即可 【解答】 （本大题共（12 分） ，第 1 小题（4 分） ，第 2 小题 8 分） 解： （1）点 A（n，an）在直线 yx（nN*）上，点 Mn（an，bn）在函数 ytx（t0） 图象上， 当 t1 时，（2 分） ， （2 分） （2），（1 分） 当 n1 时，（1 分） 当 n2 时，（1 分） 当 n3 时，（2 分） 第 13 页（共 14 页） 是以为首项，t 为公比的等比数列（1 分） （2 分） 【点评】本题考查数列的极

22、限的运算法则的应用，无穷等比数列的极限的求法，数列与 函数相结合的应用，是中档题 21 （12 分）一束光从从光源 C（1，2）射出，经 x 轴反射后（反射点为 M） ，射到线段 y x+b，x3，5上 N 处 （1）若 M（3，0） ，b7，求光从 C 出发，到达点 N 时所走过的路程； （2）若 b8，求反射光的斜率的取值范围； （3）若 b6，求光从 C 出发，到达点 N 时所走过的最短路程 【分析】 （1）先求出 C 关于 x 轴的对称点 C，则光所走过的路程为 CN （2）根据 ，可得反射光斜率的取值范围 （3）当 N 的横坐标3，5，光所走过的最短路程为点 C到直线 yx+b 的距

23、离当 的横坐标5，+） ，光所走过的最短路程为点|CB| 【解答】解： （1）C（1，2）关于 x 轴的对称点 C（1，2） ， 由 ，则此时 N（5，2） ， 所以光所走过的路程即 （2）对于线段 yx+8，x3，5，令其端点 A（3，5） ，B（5，3） ， 则，所以反射光斜率的取值范围是 （3）若反射光与直线 yx+b 垂直，则由 当，即 6b7 时，光所走过的最短路程为点 C到直线 yx+b 的距离， 所以路程 S 当，即 b7 时，光所走过的最短路程为线段 CB，其中 B（5， b5） ， 所以 第 14 页（共 14 页） 综上： 【点评】本题主要考查求一点关于直线的对称点的方法，直线的斜率公式，反射定理的 应用，属于中档题