2018-2019学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、与椭圆有两个相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方 程是 11 （3 分）曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离已知曲线 到直线 l：yx+1 的距离等于到直线 l：yx+1 的 距离，则实数 a 12 （3 分）设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A、B 两点，与圆（x4）2+y2r2（r0）相 切于点 M， 且 M 为线段 AB 的中点， 若这样的直线 l 恰有 2 条， 则 r 的取值集合是 二、选择题二、选择题 13 （3 分）直线 l：2xy10 的倾斜角为（ ） Aarctan2 Barctan（2） Carctan2 D+arctan2 第

2、2 页（共 17 页） 14 （3 分）参数方程对应的普通方程为（ ） Ax+3y+10 Bx+3y10 Cx+3y10（2x4） Dx+3y10（1x1） 15 （3 分）已知椭圆 C：，对于任意实数 k，下列直线中被椭圆 C 截得的弦长 与直线 l：ykx+2 被椭圆 C 截得的弦长一定相等的是（ ） Akxy+10 Bkx+y10 Ckx+y20 Dkxy30 16 （3 分）已知抛物线 y28x 的焦点是 F，点 A、B、C 在抛物线上，O 为坐标原点，若点 F 为ABC 的重心， OFA、 OFB、 OFC 面积分别记为 S1、 S2、 S3， 则 的值为（ ） A16 B48 C9

3、6 D192 三、解答题三、解答题 17已知向量的夹角为，且 （1）求的值； （2）求 与的夹角 18已知直线 l：y2x+1，及两点 A（2，3） 、B（1，6） ，点 P 在直线 l 上 （1）若点 P 到 A、B 两点的距离相等，求点 P 的坐标； （2）求|PA|+|PB|的最小值 19已知圆 C： （x+2）2+y29 及点 P（0，1） ，过点 P 的直线与圆交于 A、B 两点 （1）若弦长，求直线 AB 的斜率； （2）求ABC 面积的最大值，及此时弦长|AB| 20设椭圆 C：的两个焦点是 F1（c，0）和 F2（c，0） （c0） （1）若椭圆 C 与圆 x2+y2c2有公共

4、点，求实数 a 的取值范围； （2）若椭圆 C 上的点到焦点的最短距离为，求椭圆 C 的方程； （3）对（2）中的椭图 C，直线与 C 交于不同的两点 M、N，若 线段 MN 的垂直平分线恒过点 A（0，1） ，求实数 k 的值 21已知曲线：2（a2）xby2+2b40（a，bR） 第 3 页（共 17 页） （1）若 a4，b2，求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及 x、y 的取值 范围； （2）若 a3，b2，求经过点（1，0）且与曲线只有一个公共点的直线方程； （3）若 a3，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论 b 如何变化，这两点都不在曲线上 第

5、 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年上海市浦东新区建平中学高二（上）期末数学试学年上海市浦东新区建平中学高二（上）期末数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）已知向量，且，则实数 m 1 【分析】利用向量垂直的性质直接求解 【解答】解：向量，且， 2m20， 解得实数 m1 故答案为：1 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 2 （3 分）已知直线 l 的一个方向向量为，则直线 l 的斜率为 【分析】直接根据直线的方向向量即可求出直线的斜率 【解答】解：由于直线 l 的一个方向向量

6、为 （3，4） ， 则直线的斜率为， 故答案为： 【点评】本题是一个基础题，正确理解直线的斜率与方向向量的关系是解题的关键 3 （3 分）双曲线的渐近线方程为 yx 【分析】由双曲线的标准方程的渐近线方程为 yx，求得 a，b，即可得到渐近线方 程 【解答】解：双曲线的 a3，b1， 可得渐近线方程为 yx， 第 5 页（共 17 页） 故答案为：yx 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力， 属于基础题 4 （3 分）已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的长轴长为 6 【分析】椭圆的参数方程消去参数求出椭圆的普通方程为+1，由此能求出该椭 圆的长轴长 【解答】

7、解：椭圆的参数方程为， 椭圆的普通方程为+1， 该椭圆的长轴长为：236 故答案为：6 【点评】本题考查椭圆的长轴长的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 5 （3 分） 已知ABC 中， 点 D 为线段 BC 的中点， 记， 则向量可用 表示为 + 【分析】由三角形法则：有（+） ，故得解 【解答】 解：由三角形法则：有（+） ， 又， 所以：+， 故答案为：+ 第 6 页（共 17 页） 【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属简单题 6 （3 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，该抛物线上点 P 的横坐标为 2，则|PF| 3 【分析】

8、确定抛物线 y24x 的准线方程，利用 P 到焦点 F 的距离等于 P 到准线的距离， 即可求得结论 【解答】解：抛物线 y24x 的准线方程为：x1， P 到焦点 F 的距离等于 P 到准线的距离，P 的横坐标是 2， |PF|2+13 故答案为：3 【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题 7（3分） 已知关于x、 y的线性方程组的增广矩阵为， 则该方程组的解为 【分析】本题可根据增广矩阵的定义将关于 x、y 的线性方程组还原，然后解关于 x、y 的二元一次方程组即可得到结果 【解答】解：由题意，可根据增广矩阵的定义将关于 x、y 的线性方程组还原为： ，解得：

9、 故答案为： 【点评】本题主要考查增广矩阵的定义及相对应的线性方程组的求解本题属基础题 8 （3 分）已知圆 x2+y26，点 M，则过点 M 的圆的切线方程为 x2y6 0 【分析】根据题意，分析可得点 M 在圆上，求出 OM 的斜率，即可得切线的斜率，由直 线的点斜式方程分析可得答案 【解答】解：根据题意，圆 x2+y26，点 M，有 2+46，即 M 在圆上， 则 KOM， 则切线的斜率 k， 则切线的方程为 y+2（x） ，变形可得x2y60； 故答案为：x2y60 【点评】本题考查圆的切线方程，注意分析点 M 与圆的关系，属于基础题 第 7 页（共 17 页） 9（3 分） 已知实数

10、 x、 y 满足线性约束条件， 则目标函数 z2x+y 的最大值是 9 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z2x+y 过点（5，1）时，z 最大值即可 【解答】解：先根据实数 x、y 满足线性约束条件画出可行域， 然后平移直线 02x+y， 当直线 z2x+y 过点（5，1）时，z 最大值为 9 故答案为：9 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 10 （3 分）与椭圆有两个相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方 程是 x21 【分析】利用椭圆的三个参数的关系求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线的方程，将已知 点的坐标代入双曲线方

11、程得到双曲线的三个参数的一个关系，再利用双曲线本身具有的 关系，求出 a，b，c 的值，即得到双曲线的方程 【解答】解：设双曲线的方程为1 第 8 页（共 17 页） 椭圆的焦点坐标为（2，0） 双曲线中的 c24， 双曲线过点， c2a2+b2 解得 a21，b23， 双曲线的方程为 x21 故答案为：x21 【点评】求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法，要注意圆锥曲线中的三个参数关系的 区别，双曲线中有 c2a2+b2而椭圆中有 a2c2+b2 11 （3 分）曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离已知曲线 到直线 l：yx+1 的距离等于到直线 l：yx

12、+1 的 距离，则实数 a 【分析】先根据定义求出曲线 C2：x2+（y+4）22 到直线 l：yx 的距离，然后根据曲 线 C1：yx2+a 的切线与直线 yx 平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解 之即可 【解答】解：圆的圆心为（2，0） ，半径为， 圆心到直线 yx+1 的距离为：， 曲线 C2： （x2）2+y22 的圆心到直线 l：yx+1 的距离为： 则曲线 C1：yx2+a 到直线 l：yx+1 的距离等于， 令 y2x1 解得 x，故切点为（，+a） ， 切线方程为 y（+a）x，即 xy+a0， 由题意可知 xy+a0 与直线 yx+1 的距离为：， 第 9 页（共

13、 17 页） 即解得 a或 当 a时直线 yx 与曲线 C1：yx2+a 相交，故不符合题意，舍去 故答案为： 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计 算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题 12 （3 分）设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A、B 两点，与圆（x4）2+y2r2（r0）相 切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 2 条，则 r 的取值集合是 （0， 2 【分析】先确定 M 的轨迹是直线 x2，代入抛物线方程可得 y2，求得 r2y02+4 8+412，考虑直线的斜率不存在的情况，即可得出结论 【解答】解：

14、设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0，y0） ， 可得 2x0x1+x2，2y0y1+y2， 斜率存在时，设斜率为 k， k， 则 y124x1，y224x2， 相减得（y1+y2） （y1y2）4（x1x2） ， 当 l 的斜率存在时，利用点差法可得 ky02， 因为直线与圆相切，所以，所以 x02， 即 M 的轨迹是直线 x2 将 x2 代入 y24x，得 y28， 2y02， M 在圆上， （x04）2+y02r2， r2y02+48+412， 直线 l 恰有 2 条， 若 r2 相切，直线的斜率不存在，与圆两个交点， 第 10 页（共 17 页） 若 0r2 时，直线与

15、圆没有交点 故 0r2 时，直线 l 有 2 条； 故答案为： （0，2 【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题 的能力，属于中档题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）直线 l：2xy10 的倾斜角为（ ） Aarctan2 Barctan（2） Carctan2 D+arctan2 【分析】化直线的方程为斜截式，可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得 【解答】解：直线 l：2xy+10 的方程可化为 y2x+1， 直线 l 的斜率为 2，设倾斜角为 ， tan2，倾斜角 为 arctan2， 故选：A 【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的斜

16、率和倾斜角，属基础题 14 （3 分）参数方程对应的普通方程为（ ） Ax+3y+10 Bx+3y10 Cx+3y10（2x4） Dx+3y10（1x1） 【分析】利用参数方程、普通方程的互化公式直接求解 【解答】解：参数方程， 普通方程为 x3y+1，即 x+3y10（2x4） 故选：C 【点评】本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程 等基础知识，考查运算求解能力，是普通题 15 （3 分）已知椭圆 C：，对于任意实数 k，下列直线中被椭圆 C 截得的弦长 与直线 l：ykx+2 被椭圆 C 截得的弦长一定相等的是（ ） Akxy+10 Bkx+y10 Ckx+

17、y20 Dkxy30 【分析】直线 kx+y20 的斜率为k，在 y 轴上的截距为 2，这直线与直线 l：ykx+2 关于 y 轴对称，故这两直线被椭圆 C 所截得的弦长相等 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：直线 kx+y20 的斜率为k，在 y 轴上的截距为 2， 这直线与直线 l：ykx+2 关于 y 轴对称，故这两直线被椭圆 C 所截得的弦长相等 故选：C 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，直线的对称性，属于中档题 16 （3 分）已知抛物线 y28x 的焦点是 F，点 A、B、C 在抛物线上，O 为坐标原点，若点 F 为ABC 的重心， OFA、 OFB、 OFC 面积

18、分别记为 S1、 S2、 S3， 则 的值为（ ） A16 B48 C96 D192 【分析】确定抛物线 y28x 的焦点 F 的坐标，求出 S12+S22+S32，利用点 F 是ABC 的 重心，计算求得结论 【解答】解：设 A、B、C 三点的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ， 抛物线 y28x 的焦点 F 的坐标为（2，0） ， S1|y1|2|y1|， S2|y2|2|y2|， S3|y3|2|y3|， S12+S22+S32y12+y22+y328（x1+x2+x3） ； 点 F 是ABC 的重心， （x1+x2+x3）2， （x1+x2+x3）6；

19、S12+S22+S326848 故选：B 第 12 页（共 17 页） 【点评】本题考查抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形重心的性质，是中 档题 三、解答题三、解答题 17已知向量的夹角为，且 （1）求的值； （2）求 与的夹角 【分析】 （1）由向量的数量积公式得： | | |cos1，由向量模长公 式得：|2 2+2 1+9+313； （2）由两向量的夹角公式可得：cos，又 0， 即 arccos，故得解 【解答】解： （1）由向量的夹角为，且 得： | | |cos1， 所以|2 2+2 1+9+313， 即， （2） （） 2+ ， 设 与的夹角为 第 13 页（共 17

20、页） 则 cos， 又 0， 即 arccos 【点评】本题考查了向量的数量积公式、向量模长公式、两向量的夹角公式及反三角， 属中档题 18已知直线 l：y2x+1，及两点 A（2，3） 、B（1，6） ，点 P 在直线 l 上 （1）若点 P 到 A、B 两点的距离相等，求点 P 的坐标； （2）求|PA|+|PB|的最小值 【分析】 （1）线段 AB 的中点为，kAB1可得线段 AB 的垂直平分 线方程，再与直线 l 的方程联立即可得出 （2）设点 A（2，3）关于直线 l 的对称点为 A（a，b） ，可得， 解得 a，b可得|PA|+|PB|AB| 【解答】解： （1）线段 AB 的中点

21、为，kAB1 线段 AB 的垂直平分线方程为：y（x+） ， 化为：x+y40 联立，解得 x1，y3 P（1，3） （2）设点 A（2，3）关于直线 l 的对称点为 A（a，b） ， 则，解得 a，b 则|PA|+|PB|AB| 【点评】本题考查了直线方程、对称性、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关 系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 19已知圆 C： （x+2）2+y29 及点 P（0，1） ，过点 P 的直线与圆交于 A、B 两点 第 14 页（共 17 页） （1）若弦长，求直线 AB 的斜率； （2）求ABC 面积的最大值，及此时弦长|AB| 【分析】 （1）当直线 AB

22、 垂直于 x 轴时，不合题意；当直线 AB 斜率存在时，设直线方程 为 ykx+1，即 kxy+10利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由弦长 公式求解； （2）当直线 AB 垂直于 x 轴时，直线方程为 x0，求出ABC 面积；当直线斜率存在时， 写出三角形面积，换元后了由基本不等式求最值，从而可得ABC 面积的最大值，并求 此时弦长|AB| 【解答】解： （1）当直线 AB 垂直于 x 轴时，不合题意； 当直线 AB 斜率存在时，设直线方程为 ykx+1，即 kxy+10 圆心（2，0）到直线的距离 d， 则|AB|，即 k0 或 k； （2）当直线 AB 垂直于 x 轴时，直线方

23、程为 x0， 与圆 C： （x+2）2+y29 联立，可得|AB|，； 当直线AB斜率存在时， 令t（t0） ， 则 S 当且仅当，即，即 k1 或 k7 此时弦长|AB| 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算 能力，是中档题 第 15 页（共 17 页） 20设椭圆 C：的两个焦点是 F1（c，0）和 F2（c，0） （c0） （1）若椭圆 C 与圆 x2+y2c2有公共点，求实数 a 的取值范围； （2）若椭圆 C 上的点到焦点的最短距离为，求椭圆 C 的方程； （3）对（2）中的椭图 C，直线与 C 交于不同的两点 M、N，若 线段 MN 的垂直平

24、分线恒过点 A（0，1） ，求实数 k 的值 【分析】 （1）由已知，a1，方程组有实数解，从而，由此能得到 a 的取值范围 （2）设椭圆上的点 P（x，y）到一个焦点 F2（c，0）的距离为 d，则 d2（x） 2 （axa）当 xa 时，dminac，于是 ，由此能导出所求椭圆方程 （3）由得（4k2+1）x2+x+40，根据根与系数的关系，和 中点坐标，以及直线的斜率即可求出 k 的值 【解答】解： （1）由已知，a1， 方程组有实数解，从而（1）x2c21， 故 c21，所以 a22，即 a 的取值范围是（，+） （2）设椭圆上的点 P（x，y）到一个焦点 F2（c，0）的距离为 d2

25、（xc）2+y2x22cx+c2+1x22cx+c2+1（x）2 （ax a） a 当 xa 时，dminac， （可以直接用结论） 于是，解得 a2，c 所求椭圆方程为+y21 第 16 页（共 17 页） （3）由得（4k2+1）x2+x+40， 设 M（x1，y1） 、N（x2，y2） ， x1+x2， 线段 MN 的中点为（，） ， 又线段 MN 的垂直平分线恒过点 A（0，1） ， ， 整理可得 4k2+5k+10， 解得 k1，或 k， 故实数 k 的值为1 或 【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的 灵活运用是，属于中档题 21已知曲线：2（

26、a2）xby2+2b40（a，bR） （1）若 a4，b2，求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及 x、y 的取值 范围； （2）若 a3，b2，求经过点（1，0）且与曲线只有一个公共点的直线方程； （3）若 a3，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论 b 如何变化，这两点都不在曲线上 【分析】 （1）代值可得曲线为 y22x，根据抛物线的性质即可求出； （2）设直线 yk（x+1） ，代入抛物线的方程，运用判别式为 0，解方程可得所求直线方 程； （2）讨论 b 是否为 0，可取（2，p）和（2，q） ，即可得证 【解答】解： （1）当 a4，b2，则曲线为

27、 4x2y2+440，即 y22x， 第 17 页（共 17 页） 则该曲线的对称轴方程为 y0，定点坐标为（0，0） ，焦点坐标为（，0） ，x0，+） ， yR， （2）a3，b2 时，则曲线：2x2y2+2240，即 y2x， 显然直线的斜率存在，设经过点（1，0）的直线方程为 yk（x+1） ， 联立方程组可得，消 x 可得 ky2y+k0， 当 k0 时，y0，此时满足经过点（1，0）的直线与曲线只有一个公共点， 当 k0 时，14k20，解得 k， 此时直线方程为 y（x+1） ， 故满足条件的直线方程为 y0，x2y+10，x+2y+10， （3）当 a3 时，曲线：2xby2+2b40，即为 by22x+2b4， 当 b0 时，x2， 当 b0 时，y2x+2，0， 无论 b 如何变化，曲线都不可能为 y22， 两点可以是（2，p）和（2，q） ，p2，q2 【点评】本题考查抛物线的方程和直线方程联立，运用判别式为 0，考查分类讨论思想方 法和数形结合思想，注意运用几何意义，属于综合题