2018-2019学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、若向量 （2，1）是直线 l1的一个方向向量，向量 （1，3）是直线 l2的 一个法向量，则直线 l1与 l2的夹角的余弦值为 10 （4 分）已知椭圆+1 的焦点为 F1，F2，点 M 在椭圆上，且 MF1x 轴，则点 F1到直线 F2M 的距离为 11 （4 分）双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图 所示，它的下口半径为 51 米，最小半径为 24 米，半径最小的圆将通风塔分成上、下两 部分的高之比为 2：9，则此通风塔的上口半径为 米 第 2 页（共 17 页） 12 （4 分） 已知点 A （1， 1） ， B， C 为圆 O： x2+y24 上的两动点

2、， 且|+|， 若圆 O 上存在点 P 满足+m，则实数 m 的取值范围是 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 13 （4 分）已知 ， 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（ ） A B若 ，则 C 1 D 14 （4 分）若 kR，则“k2”是“方程（2+k）x2+（2k）y21 表示双曲线”的（ ） A充分而不必要条

3、件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 15 （4 分）曲线 C：f（x，y）0 关于直线 xy20 对称的曲线 C的方程为（ ） Af（y+2，x）0 Bf（x2，y）0 Cf（y+2，x2）0 Df（y2，x+2）0 16 （4 分）若 an（nN*） ，则（a1+a2+an）等于 （ ） A B C D 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 56 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤. 17 （8 分）已知双曲线1 的焦点在 x 轴上，焦

4、距为 10 （1）求 n 的值； 第 3 页（共 17 页） （2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程 18 （10 分）已经直线 l：ykx1 与两点 A（1，5） ，B（4，2） （1）若 l 与直线 AB 平行，求它们之间的距离以及 l 的倾斜角； （2）若 l 与线段 AB 无公共点，求 k 的取值范围 19 （10 分）已知 （1，2） ， （2，1） ， +（t+2） ， k +t （kR） （1）若 t1，且 ，求 k 的值； （2）若 tR，且 5，求证：k2 20 （12 分）已知椭圆 C 的中心为原点 O，长轴在 y 轴上，左顶点为 A，上、下焦点分别为 F1，F2，线段 OF

5、1，OF2的中点分别为 B1，B2，且AB1B2是斜边长为 2 的直角三角形 （1）若点 M（x，y）在椭圆 C 上，且F1MF2为锐角，求 y 的取值范围； （2）过点 B1作直线交椭圆 C 于点 PQ，且 PB2QB2，求直线 PQ 的方程 21 （16 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，以点 F 为 圆心且过点 A 的圆 M 与 x 轴正半轴交于点 B，AB 的延长线交 C 于点 D，AF 的延长线交 C 于点 E （1）若点 A 的纵坐标为 4，求圆 M 的方程； （2）若线段 AD 的中点为 G，求证：EGx 轴； （3） ADE 的面积是

6、否存在最小值？若存在， 请求出此最小值； 若不存在， 请说明理由 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内题，考生应在答题卷的相应编号的空格内 直接填写结果，每题填对得直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 1 （4 分）抛物线 y24x 的准线方程为 x1 【分析】根据抛物线的标准方程及基本概念，结合题中数据加以计算，

7、可得答案 【解答】解：抛物线的方程 y24x，2p4，得1， 因此，抛物线的焦点为 F（1，0） ，准线方程为 x1 故答案为：x1 【点评】本题给出抛物线方程，求它的准线方程着重考查了抛物线的标准方程与简单 几何性质等知识，属于基础题 2 （4 分）计算： 【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题考查数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力 3 （4 分）若线性方程组的增广矩阵为、解为，则 a+b 4 【分析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将代入线性方程组 即可得到 a、b 的值，最终可得出结果 【解答】解：由题意，可知：此增

8、广矩阵对应的线性方程组为：， 将代入上面方程组，可得： a+b4 故答案为：4 【点评】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求 第 5 页（共 17 页） 参数本题属基础题 4 （4 分）在三阶行列式中，4 的代数余子式的值为 10 【分析】4 的代数余子式的值为： （1）5，由此能求出结果 【解答】解：在三阶行列式中， 4 的代数余子式的值为： （1）5（818）10 故答案为：10 【点评】本题考查行列式的代数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 5 （4 分）平行四边形 ABCD 中，若（2，4） ，（1，3） ，则 （3，5

9、） 【分析】根据平行四边形法则和所给的向量，得到的坐标，由于，得到的 坐标，要求的向量可以看做是两个已知向量的差根据向量坐标的加法运算得到结果 【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可知， （1，3）（2，4）（1，1） （1，1）（2，4）（3，5） 故答案为： （3，5） 【点评】本题考查向量的平行四边形法则和向量的加减，是一个基础题，在解题时通过 向量的坐标表示实现向量问题代数化，这是比较好理解的一种做法 6 （4 分）经过坐标原点且和圆 x2+y22x+4y0 相切的直线的方程是 x2y0 【分析】根据题意，设圆的圆心为 C，由圆的方程分析圆心坐标，分析可得坐标原点在 圆上，求出直线

10、OC 的斜率，进而可得切线的斜率，据此计算可得答案 【解答】解：根据题意，圆 x2+y22x+4y0，即（x1）2+（y+2）25，设圆的圆心为 C，且 C（1，2） ； 坐标原点在圆上，且 KOC2； 第 6 页（共 17 页） 则切线的斜率 k，即切线的方程为 yx，变形可得 x2y0， 故答案为：x2y0 【点评】本题考查圆的切线方程，注意分析坐标原点与圆的关系 7 （4 分）k 取任意实数时，直线 2（k1）x+（k6）yk40 恒过点 P，则点 P 的坐 标为 （1，1） 【分析】将直线的方程 2（k1）x+（k6）yk40 是过某两直线交点的直线系， 故其一定通过某个定点，将其整理

11、成直线系的标准形式，求两定直线的交点，此点即为 直线恒过的定点 【解答】解：直线 2（k1）x+（k6）yk40 可化为 k（2x+y1）+（2x6y 4）0 由题意，可得 ， 直线 2（k1）x+（k6）yk40 恒过一定点（1，1） 故答案为： （1，1） 【点评】本题考点是过两条直线交点的直线系，考查由直线系方程求其过定点的问题， 属于基础题 8 （4 分）已知两定点 P1（1，0） ，P2（4，0） ，则到点 P2距离等于到点 P1的距离的 2 倍的 动点 Q 的轨迹方程为 x2+y24 【分析】设 Q（x，y） ，由两定点 P1（1，0） ，P2（4，0） ，动点 Q 到点 P2距离

12、等于到点 P1的距离的 2 倍，列方程能求出动点 Q 的轨迹方程 【解答】解：设 Q（x，y） ， 两定点 P1（1，0） ，P2（4，0） ，动点 Q 到点 P2距离等于到点 P1的距离的 2 倍， 2， 整理，得 x2+y24 动点 Q 的轨迹方程为 x2+y24 【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算 求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 9 （4 分）若向量 （2，1）是直线 l1的一个方向向量，向量 （1，3）是直线 l2的 一个法向量，则直线 l1与 l2的夹角的余弦值为 第 7 页（共 17 页） 【分析】利用向量的夹角公式，即可得出结论

13、【解答】解：向量 （2，1）是直线 l1的一个方向向量， 向量 （1，3）是直线 l2的一个法向量， l2的一个方向向量为 （3，1） ， 直线 l1与 l2的夹角的余弦值为： |cos| 故答案为： 【点评】本题考查两直线的夹角的余弦值的求法，考查向量的夹角公式等基础知识，考 查学生的计算能力，是基础题 10 （4 分）已知椭圆+1 的焦点为 F1，F2，点 M 在椭圆上，且 MF1x 轴，则点 F1到直线 F2M 的距离为 【分析】根据椭圆的方程可得双曲线的焦点坐标，根据 MF1x 轴进而可得 M 的坐标， 则 MF1可得，进而根据椭圆的定义可求得 MF2最后利用面积法求直角三角形斜边上的

14、 高 【解答】解：已知椭圆+1 的焦点为 F1、F2， 且 a4，b2，c2， 点 M 在椭圆上且 MF1x 轴，M（2，3） ， 则 MF13， MF2835， 故 F1到直线 F2M 的距离为 故答案为： 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质要理解好椭圆的定义 11 （4 分）双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图 所示，它的下口半径为 51 米，最小半径为 24 米，半径最小的圆将通风塔分成上、下两 第 8 页（共 17 页） 部分的高之比为 2：9，则此通风塔的上口半径为 26 米 【分析】先建立平面直角坐标系如图设双曲线方程，为1（a0，b0） ， 根据

15、题意求得 a，设 C（r，2t） ，B（51，9t） ， 代入双曲线方程，解方程即可得到所求半径 【解答】解：如图，建立平面直角坐标系 设双曲线方程为1（a0，b0） ， 由题意可知，a24， 设 C（r，2t） ，B（51，9t） ， 代入双曲线的方程可得 1，1， 即为1，1， 两式相除可得 81（r2242）4（512242） ， 解得 r26 故答案为：26 第 9 页（共 17 页） 【点评】本题主要考查双曲线的应用、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想、数学应用能力属于基础题 12 （4 分） 已知点 A （1， 1） ， B， C 为圆 O： x2+y24

16、 上的两动点， 且|+|， 若圆 O 上存在点 P 满足+m，则实数 m 的取值范围是 1，1 ， 【分析】由平面向量的基本定理及向量模的运算有：2，设：的夹角 为 ，则 cos，则，取线段 AB 的中点为点 D，则 2 +，且|OD|1， 由圆的定义及点与圆的位置关系可知：点 D 的轨迹为以 O 为圆心，1 为半径的圆，由点 与圆的位置关系可得：|，再运算即可 【解答】 解： 由|+|， 得： 2+22 3 2+32+6 ， 又|2， 所以2， 设：的夹角为 ，则 cos， 则， 取线段 AB 的中点为点 D，则 2+，且|OD|1， 由圆的定义可知：点 D 的轨迹为以 O 为圆心，1 为半

17、径的圆， 由点与圆的位置关系可得：|， 第 10 页（共 17 页） 又|2， 又+m，所以|+|2|m|， 所以|m|， 即实数 m 的取值范围是：1，1， 故答案为：1，1， 【点评】本题考查了平面向量的基本定理、圆的定义及点与圆的位置关系，属难度较大 的题型 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 13 （4 分）已知 ，

18、 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（ ） A B若 ，则 C 1 D 【分析】 ， 为两个单位向量，它们的模是单位长度 1，方向是任意的，根据两个单位 向量的这两条性质，可以判断四个选项的真假 【解答】解：因为两向量相等的充要条件是模相等且方向相同，所以 A 不正确； 如果 与 平行，则 或，所以 B 不正确； 由，两向量夹角不为 0 时，所以 C 不正确； ， 为两个单位向量，它们的模都是单位长度 1，所以 D 正确 故选：D 第 11 页（共 17 页） 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，解答该题的关键是单位向量的定义及两向 量相等的条件，同时考查了两向量的数量积公式 14 （

19、4 分）若 kR，则“k2”是“方程（2+k）x2+（2k）y21 表示双曲线”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】方程（2+k）x2+（2k）y21 表示双曲线，可得（2+k） （2k）0，解得 k 即可判断出结论 【解答】解：方程（2+k）x2+（2k）y21 表示双曲线，则（2+k） （2k）0，解得 k 2 或 k2 “k2”是“方程（2+k）x2+（2k）y21 表示双曲线”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了向量的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 15 （4 分）曲线 C：f（x，y）0

20、 关于直线 xy20 对称的曲线 C的方程为（ ） Af（y+2，x）0 Bf（x2，y）0 Cf（y+2，x2）0 Df（y2，x+2）0 【分析】 设所求曲线上任意一点 M （x， y） ， 由 M 关于直线 xy20 对称的点 N （ （x， y）在已知曲线上，根据 M 与 N 关于直线 xy20 对称建立可得 M 与 N 的关系， 进而用 x、y 表示 x，y，然后代入已知曲线 f（x，y）0 可得 【解答】解：设所求曲线上任意一点 M（x，y） ，则 M（x，y）关于直线 xy20 对 称的点 N（ （x，y）在已知曲线上 因为 N（x，y）在已知曲线上，即 f（x，y）0 所以有

21、f（y+2，x2）0 故选：C 【点评】本题主要考查了已知曲线关于直线 l 对称的曲线的求解，其步骤一般是：在所 求曲线上任取一点 M，求出 M 关于直线的对称点 N，则 N 在已知曲线上，从而代入已知 曲线可求所求曲线 第 12 页（共 17 页） 16 （4 分）若 an（nN*） ，则（a1+a2+an）等于 （ ） A B C D 【分析】由题意求出 an，然后利用数列的极限转化求解计算可得答案 【解答】解：an（nN*） ， 即 an a1+a2+an（2 1+23+25+）+（32+34+36+） （a1+a2+an）+， 故选：B 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审

22、题，仔细求解 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 56 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤. 17 （8 分）已知双曲线1 的焦点在 x 轴上，焦距为 10 （1）求 n 的值； （2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程 【分析】 （1）求得 b4，c5，可得 a，n 的值； （2）由双曲线1，即可得到所求顶点和渐近线方程 【解答】解： （1）双曲线1 的焦点在 x 轴上，焦距为 10， 可得 b4，2c10，即 c5， a3， 即 n9； 第 13 页（共 17

23、 页） （2）双曲线1 的顶点坐标为（3，0） ， 渐近线方程为 yx 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查顶点坐标和渐近线方程，考查运算能力， 属于基础题 18 （10 分）已经直线 l：ykx1 与两点 A（1，5） ，B（4，2） （1）若 l 与直线 AB 平行，求它们之间的距离以及 l 的倾斜角； （2）若 l 与线段 AB 无公共点，求 k 的取值范围 【分析】 （1）由两点坐标求得 AB 所在直线当斜率，得到直线 l 的斜率，再由斜率是倾斜 角的正切值求解直线 l 的倾斜角，由点到直线的距离公式求 l 与 AB 间的距离； （2）由 l 与线段 AB 无公共点，得（k15）

24、（4k12）0，求解得答案 【解答】解： （1）直线 AB 的斜率为， 由直线 l 与直线 AB 平行，可知直线 l 的斜率为，其倾斜角为 直线 l 与 AB 之间的距离为； （2）由直线 l 与 AB 无公共点，可知（k15） （4k12）0， 解得6k 则 k 的取值范围是（） 【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，训练了点到直线距离公式的应用，是基 础题 19 （10 分）已知 （1，2） ， （2，1） ， +（t+2） ， k +t （kR） （1）若 t1，且 ，求 k 的值； （2）若 tR，且 5，求证：k2 【分析】 （1）根据向量的坐标运算和向量的平行即可求出 k 的值

25、， （2） 根据向量的坐标运算和向量的垂直可得 kt22t+1， 根据二次函数的性质即可证 明 第 14 页（共 17 页） 【解答】解： （1）当 t1 时， +3 （5，5） ， k + （k2，2k+1） ， ， 5（k2）5（2k+1） ，解得 k， 证明： （2） +（t+2） （k +t ） k+t（t+2）+（kt+2k+t） 5k+5t（t+2） ， 5， 5k+5t（t+2）5， kt22t+1（t+1）2+22 【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行和垂直，以及二次函数的性质，属于 中档题 20 （12 分）已知椭圆 C 的中心为原点 O，长轴在 y 轴上，左顶点为

26、A，上、下焦点分别为 F1，F2，线段 OF1，OF2的中点分别为 B1，B2，且AB1B2是斜边长为 2 的直角三角形 （1）若点 M（x，y）在椭圆 C 上，且F1MF2为锐角，求 y 的取值范围； （2）过点 B1作直线交椭圆 C 于点 PQ，且 PB2QB2，求直线 PQ 的方程 【分析】 （1）先求出椭圆方程，再根据由F1MF2为锐角， 可得0，且与 不共线，根据向量的运算即可求出， （2）设直线 PQ 的方程为 ykx+1，代入椭圆方程中，根据韦达定理和向量的运算即可 求出 【解答】解： （1）设椭圆方程为+1， （ab0） ，由题意可得 b1，c2， 则 a2b2+c25， 故椭

27、圆的方程为+x21， 由（x，y2） ，（x，y+2） ， 由F1MF2为锐角， 0，且与不共线， 第 15 页（共 17 页） x2+y240，且 x0， +x21， y23，且y， 故 y 的取值范围为（，）（，） ； （2）设直线 PQ 的方程为 ykx+1，代入椭圆方程中， 消元可得（k2+5）x2+2kx40， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， x1+x2，x1x2 PB2QB2， x1x2+（y1+1） （y2+1）0， x1x2+（kx1+2） （kx2+1）0，即（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+40 （k2+1）+2k+40 解得 k2， 满足条件的直线有

28、两条，其方程分别为：2xy+10 和2x+y+10 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，直线方程，向 量的运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 21 （16 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，以点 F 为 圆心且过点 A 的圆 M 与 x 轴正半轴交于点 B，AB 的延长线交 C 于点 D，AF 的延长线交 C 于点 E （1）若点 A 的纵坐标为 4，求圆 M 的方程； （2）若线段 AD 的中点为 G，求证：EGx 轴； （3） ADE 的面积是否存在最小值？若存在， 请求出此最小值； 若不存在， 请说明理由 第

29、 16 页（共 17 页） 【分析】 （1）由题意求得点 A 的坐标，求出圆心 F 和半径 FA，写出圆 M 的方程； （2）设出点 A、E 的坐标，写出 AE 的方程，与抛物线方程联立，求得直线 AB 的方程， 再由直线 AB 与抛物线方程联立， 利用中点坐标求得点 G 的纵坐标， 由此判断 EGx 轴； （3）利用点 E、G 的坐标表示ADE 的面积，利用基本不等式计算它的最小值 【解答】解： （1）由题意，设点 A 的坐标为（x，4） ，由 424x，求得 x4； 又点 F 的坐标为（1，0） ，FA5，圆 M 的方程为（x1）2+y225； （2）设 A（，t） ，E（，s） ，AE

30、的方程为 xmy+1， 代入 y24x，得 y24my40， 所以 st4，即 s； 又|BF|AF|+1，故点 B 的坐标为（+2，0） ； 直线 AB 的方程为，即 tx2y+t（+2） ； 代入 y24x，可得 ty2+8y4t（+2）0； yG， 故 yGs0，所以 EGx 轴； （3）由（2）知 xE， 又 txG+t（+2） ，可得 xG+2， ADE 的面积为 SADE2SAGE |EG|yGyA| |xGxE|yGyA| （+2） |t+| 2 第 17 页（共 17 页） 2 216（当且仅当 t2 时取“” ） ， 所以ADE 的面积存在最小值，且此最小值为 16 【点评】本题考查了直线与圆以及抛物线的应用问题，也考查了三角形面积计算问题， 是难题