2018-2019学年北京市101中学高二(下)期中数学试卷(含详细解答)
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1、复数 z(i 为虚数单位)的共轭复数是 11 (5 分)曲线 yln(x+2)3x 在点(1,3)处的切线方程为 12 (5 分)若复数(a+i) (3+4i)的对应点在复平面的一、三象限角平分线上,则实数 a 13 (5 分)已知圆 C 的参数方程为( 为参数) ,则圆 C 的面积为 ; 圆心 C 到直线 l:3x4y0 的距离为 14 (5 分)若函数 f(x)2x3ax2+ex+1(aR)是实数集上的单调函数,则函数 f(x) 在区间1,1上的最大值与最小值的和的最小值为 三、解答题共三、解答题共 4 小题,共小题,共 50 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、
2、演算步骤或证明过程 15 (12 分)设函数 f(x)+6lnx (1)求曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 yf(x)的单调区间与极值 16 (12 分)已知函数 f(x)axexx22x (1)当 al 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 x(2,0)时,f(x)l 恒成立,求 a 的取值范围 17 (14 分)已知函数 f(x)x3x ()判断的单调性; ()求函数 yf(x)的零点的个数; ()令 g(x)+lnx,若函数 yg(x)在(0,)内有极值,求实数 a 的取值范围 18 (12 分)已知常数 a0,函数 f(x)ln(1+ax) (1)讨
3、论 f(x)在区间(0,+)上的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,且 f(x1)+f(x2)0,求 a 的取值范围 第 3 页(共 13 页) 2018-2019 学年北京市学年北京市 101 中学高二(下)期中数学试卷中学高二(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项要求的一项 1 (5 分)若 z3+4i,则|z|( ) A B5 C7 D25 【分析】利用复数的模长公式直接求解即可
4、 【解答】解: 故选:B 【点评】本题考查复数的模,属于基础题 2 (5 分)下列四个函数:yx3;yx2+1;y|x|;y2x其中在 x0 处取得 极值的是( ) A B C D 【分析】根据函数极值点的定义、取得极值的判断方法即可判断出结论 【解答】解:yx3;y2x在 R 上都单调递增,因此无极值 yx2+1;y2x0,解得 x0,x0 时,y0;x0 时,y0可得函数 y x2+1 在 x0 处取得极小值因此正确 同理可得:y|x|在 x0 处取得极小值 (虽然导数不存在,有点超出高中课本范围) , 因此正确 故选:B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法,考查
5、了推理能力 与计算能力,属于基础题 3 (5 分)在极坐标系中,直线 sincos1 被曲线 截得的线段长为( ) A B C D2 【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用点到直 线的距离公式的应用求出结果 【解答】解:直线 sincos1 转换为直角坐标方程为:xy+10 曲线 转换为直角坐标方程为 x2+y22, 第 4 页(共 13 页) 所以圆心(0,0)到直线 xy+10 的距离 d, 所以 l2 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到 直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属
6、于基础题 型 4 (5 分)f(x)x(2018+lnx) ,若 f(x0)2019,则 x0等于( ) Ae2 B1 Cln2 De 【分析】可求出导函数 f(x)lnx+2019,从而根据 f(x0)2019 即可得出 x0的值 【解答】解:f(x)x(2018+lnx) , 则 f(x)2019+lnx, f(x0)2019+lnx02019, x01, 故选:B 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式,积的导数的计算公式,已知函数求值的 方法,考查了计算能力,属于基础题 5 (5 分)已知函数 yf(x)的导函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的极大值点共有 ( ) A1 个
7、B2 个 C3 个 D4 个 【分析】f(x)取得极大值,则满足:f(x)0,在 x 的左边 f(x)0,在 x 的右 边 f(x)0由图即可得出 【解答】解:f(x)取得极大值,则满足:f(x)0,在 x 的左边 f(x)0,在 x 的右边 f(x)0 由图可得:f(x)的极大值点共有 2 个:为2,2 故选:B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、数形结合方法,考查了推理能力 第 5 页(共 13 页) 与计算能力,属于基础题 6 (5 分)已知曲线 f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率为 1,则实数 a 的值为 ( ) A B1 C D2 【分析】求出函数的导数 f(x
8、) ,利用 f(1)1,解 a 即可 【解答】解:f(x), f(x), x1 处切线斜率为 1,即 f(1)1, 1,解得 a1 故选:B 【点评】本题主要考查导数的几何意义,以及导数的基本运算,考查学生的运算能力, 比较基础 7 (5 分)已知函数,若,bf() ,cf(5) ,则( ) Acba Bcab Cbca Dacb 【分析】求出函数 f(x)的导数,判断函数的单调性,从而比较函数值的大小即可 【解答】解:f(x)的定义域是(0,+) , f(x)10, 故 f(x)在(0,+)递减, 而 5, f(5)f()f() , 即 cba, 故选:A 【点评】本题考查了函数的单调性问题
9、,考查导数的应用,是一道基础题 8 (5 分) 已知实数 a, b 满足 a23lnab0, cR, 则 (ac) 2+ (b+c)2 的最小值为 ( ) A1 B C2 D 第 6 页(共 13 页) 【分析】构造函数,yf(x)x23lnx, (x0) ,yx,则(ac)2+(b+c)2表示 曲线 yf(x)上的点到直线 yx 的距离的平方,求导,求出与 yx 平行的切线方 程,进而求出切点的坐标,求出两条平行线的距离,进而求出(ac)2+(b+c)2的最 小值 【解答】解:分别设 yf(x)x23lnx, (x0) ,yx,则(ac)2+(b+c)2表 示曲线 yf(x)上的点到直线 y
10、x 的距离的平方, 因为 f(x)x23lnx,所以 f(x)2x, 所以 2x1,x0,解得:x1,所以切点为 P(1,1) , 所以 P 到直线 y+x0 距离为:d, 所以(ac)2+(b+c)2的最小值为 2, 故选:C 【点评】本题考查导数的几何意义和平行线间的距离公式,关键是构造函数和直线,属 于中难题 二、填空题共二、填空题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分 9 (5 分)函数 f(x)x22lnx 的单调减区间是 (0,1) 【分析】依题意,可求得 f(x),由 f(x)0 即可求得函数 f(x) x22lnx 的单调减区间 【解答】解:f(x)x2
11、2lnx(x0) , f(x)2x, 令 f(x)0 由图得:0x1 函数 f(x)x22lnx 的单调减区间是(0,1) 故答案为(0,1) 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查解不等式的能力,属于中档题 10 (5 分)复数 z(i 为虚数单位)的共轭复数是 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 第 7 页(共 13 页) 【解答】解:z, 故答案为: 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 11 (5 分)曲线 yln(x+2)3x 在点(1,3)处的切线方程为 2x+y10 【分析】求出函数的导数,由导数的几何意义可得切线的斜率,由点
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