2018-2019学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、如果椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍，则此椭圆的 标准方程为 8 （3 分）若方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，则实数 m 的取值范围是 9 （3 分）若椭圆的左焦点在抛物线 y22px（p0）的准线上，则 p 的值为 10 （3 分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 11 （3 分）已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|2，则|BF| 12 （3 分）已知平面上有两定点 A、B，该平面上一动点 P 与两定点 A、B 的连线的斜率乘 积等于常数 m（mR） ，则动点 P 的轨迹可能是下面哪种曲线：直线；圆；抛物 线；双曲线；椭圆 （

2、将所有可能的情况用序号都写出来） 二二.选择题选择题 13 （3 分）直线 3x+2y+m0 与直线 2x+3y10 的位置关系是（ ） 第 2 页（共 16 页） A相交 B平行 C重合 D由 m 决定 14 （3 分）经过点 P（4，2）的抛物线的标准方程是（ ） Ay2x 或 x2y By2x 或 x28y Cx2y 或 y28x Dy2x 或 x28y 15 （3 分）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数 a 为（ ） A1 B1 C1 D不确定 16 （3 分）已知点 M（1，0） ，N（1，0） ，若直线上存在点 P，使得|PM|+|PN|4，则称 该直线为“A 型直线” ，给出下列

3、直线：yx+3；x2；y2；y2x+1，其 中为“A 类直线”的是（ ） A B C D 三三.解答题解答题 17求曲线 x2+y21 与直线 yx+1 的交点坐标 18已知双曲线的一个焦点为（5，0） ，其渐近线方程为，求此双曲线的标准方程 19已知抛物线 y24x 与椭圆有公共焦点 F1，椭圆的另一个焦点为 F2，P 是这 两曲线的一个交点，求PF1F2的面积 20求过定点 P（0，1）且与抛物线 y22x 只有一个公共点的直线方程 21已知曲线 M 上的动点 P（x，y）到定点 F（1，0）距离是它到定直线 l：x4 距离的一 半 （1）求曲线 M 的方程； （2）设过点 F（1，0）且

4、倾斜角为的直线与曲线 M 相交与 A、B 两点，在定直线 l 上是否存在点 C，使得 ACBC，若存在，求出点 C 的坐标，若不存在，请说明理由 一一.选作题，选择题选作题，选择题 22 （3 分）以下四个命题： 满足的复数只有1，i； 若 a、b 是两个相等的实数，则（ab） （a+b）i 是纯虚数； ； 复数 zR 的充要条件是； 第 3 页（共 16 页） 其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 23 （3 分）已知 a、b、c 是直线， 是平面，给出下列命题： 若 ab，bc 则 ac； 若 ab，bc 则 ac； 若 a，b，则 ab； 若 a 与 b 异面，且

5、a 则 b 与 相交； 其中真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二二.解答题解答题 24已知关于 x 的方程 x2+4x+m0（mR）的两个根为 、，且|2，求 m 的值 25如图，PA平面 ABCD，ABCD 为正方形，且 PAAD2，E、F 分别是线段 PA、CD 的中点 （1）求 EF 与平面 ABCD 所成的角； （2）求异面直线 EF 与 BD 所成的角 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）已知 O（0，0）

6、、A（1，1） ，则直线 OA 的倾斜角为 【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，再写出它的倾斜角 【解答】解：点 O（0，0） 、A（1，1） ， 则直线 OA 的斜率为 k， 所以直线 OA 的倾斜角为 故答案为： 【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的计算问题，是基础题 2 （3 分）经过点 P（1，0） ，且与 y 轴平行的直线方程为 x1 【分析】与 y 轴平行的直线方程斜率不存在，直线方程为 xx0 【解答】解：过点 P（1，0） ，且与 y 轴平行的直线方程为 x1 故答案为：x1 【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题 3 （3 分）抛物线 y24x 的准线方程为

7、x1 【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可 【解答】解：y24x 的准线方程为：x1 故答案为：x1 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题 4 （3 分）圆心为 C（1，1） ，半径为 1 的圆的方程是 （x1）2+（y1）21 【分析】利用圆的标准方程，求解即可 【解答】解：圆心为 C（1，1） ，半径为 1 的圆的方程是： （x1）2+（y1）21 故答案为： （x1）2+（y1）21 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是基本知识的考查 5 （3 分）两直线 l1：xy0，l2：x+y10 的夹角为 第 5 页（共 16 页） 【分析】设 l1的斜率为 k1，l2

8、的斜率为 k2，则 k11，k21，所以 k1k2 1，所以夹角为 【解答】解：依题意，设 l1的斜率为 k1，l2的斜率为 k2， 则 k11，k21， 所以 k1k21， 所以直线 l1：xy0，l2：x+y10 的夹角为 故填： 【点评】本题考查了直线与直线的位置关系、直线斜率的求法属于基础题 6 （3 分）直线 x+y10 被圆 x2+y21 所截得的弦长等于 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 x+y10 的距离 d，即可求出弦长 【解答】解：圆 x2+y21 的圆心 O（0，0） ，半径等于 1，圆心到直线 x+y10 的距离 d， 故直线

9、 x+y10 被圆 x2+y21 所截得的弦长为 2 故答案为： 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用， 正确运用圆的性质是关键，是基础题 7 （3 分）如果椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍，则此椭圆的 标准方程为 【分析】 由椭圆的焦点坐标分析可得该椭圆的焦点在 x 轴上， 且 c， 分析有 ab， 解可得 a2、b2的值，将其代入椭圆的标准方程即可得答案 【解答】解：根据题意，椭圆的一个焦点坐标为，c，则其焦点在 x 轴上， 又由长轴长是短轴长的倍，即 2a（2b） ，即 ab， 则有 a2b22b2c22， 解可得 a23，b21， 第 6

10、 页（共 16 页） 则椭圆的标准方程为：； 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的标准方程，解题时注意椭圆标准方程的形式 8 （3 分）若方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，则实数 m 的取值范围是 （1， +） 【分析】由题意得出两分母的符号，从而得出 m 的范围 【解答】解：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线， ，解得 m1 故答案为： （1，+） 【点评】本题考查了双曲线的解得性质以及双曲线方程的应用，属于基础题 9 （3 分）若椭圆的左焦点在抛物线 y22px（p0）的准线上，则 p 的值为 6 【分析】求出椭圆的左焦点的坐标，结合抛物线的准线方程，列出方程，然后求解 p 即 可 【解答】解

11、：椭圆的左焦点（3，0） ， 椭圆的左焦点在抛物线 y22px（p0）的准线上， 可得3，解得 p6 故答案为：6 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 10 （3 分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 【分析】确定双曲线的焦点、顶点坐标，可得椭圆的顶点、焦点坐标，由此可求椭圆的 第 7 页（共 16 页） 方程 【解答】解：C：的焦点为（3，0） ，顶点为（2，0） 椭圆的顶点为（3，0） ，焦点为（2，0） b2a2c25 椭圆的方程为 故答案为： 【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双 曲线的几何性质

12、是关键 11 （3 分）已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|2，则|BF| 2 【分析】抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的已知|AF|2，则到准 线的距离也为 2，根据图形 AFKA1是正方形 则易得 ABx 轴，即可得答案 【解答】解：由抛物线的定义抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的 已知|AF|2，则到准线的距离也为 2根据图形 AFKA1，是正方形 可知|AF|AA1|KF|2ABx 轴故|AF|BF|2 故填|BF|2 【点评】 活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法 到焦点的距离， 叫焦半径 到 焦点的距离常

13、转化到准线的距离求解 12 （3 分）已知平面上有两定点 A、B，该平面上一动点 P 与两定点 A、B 的连线的斜率乘 积等于常数 m（mR） ，则动点 P 的轨迹可能是下面哪种曲线：直线；圆；抛物 第 8 页（共 16 页） 线；双曲线；椭圆 （将所有可能的情况用序号都写出来） 【分析】设|AB|2a（a0） ，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 得垂直平分线为 y 轴建立平 面直角坐标系，则 A（a，0） ，B（a，0） ，设 P 的坐标为（x，y） （xa） ，由题意， ，即 y2mx2ma2然后对 m 分类分析得答案 【解答】解：设|AB|2a（a0） ，以 AB 所在直线为 x

14、轴，以 AB 得垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系， 则 A（a，0） ，B（a，0） ，设 P 的坐标为（x，y） （xa） ， 则 kPA， 由题意，即 y2mx2ma2 当 m0 时，方程化为 y0，表示直线； 当 m1 时，方程化为 x2+y2a2，表示圆； 当 m0 时，方程化为，表示双曲线； 当 m0 且 m1 时，方程化为，表示椭圆 动点 P 的轨迹可能是： ：直线；圆；双曲线；椭圆 故答案为： 【点评】本题考查圆锥曲线的轨迹问题，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题 二二.选择题选择题 13 （3 分）直线 3x+2y+m0 与直线 2x+3y10 的位置关系是（ ） A

15、相交 B平行 C重合 D由 m 决定 【分析】根据直线的斜率的关系即可求出 【解答】解：直线 3x+2y+m0 与直线 2x+3y10 斜率分别为和，既不相等， 且乘积也不为1， 故直线 3x+2y+m0 与直线 2x+3y10 的位置关系是相交， 故选：A 【点评】本题考查了直线与直线的位置关系，属于基础题 14 （3 分）经过点 P（4，2）的抛物线的标准方程是（ ） 第 9 页（共 16 页） Ay2x 或 x2y By2x 或 x28y Cx2y 或 y28x Dy2x 或 x28y 【分析】由于点 P（4，2）在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上故 可设抛物线的标准方程为

16、 y22px，或 x22my，把 点 P（4，2）代入方程可得 p 值，即得抛物线方程 【解答】解：由于点 P（4，2）在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向 上故可设抛物线的标准方程为 y22px，或 x22my，把 点 P（4，2）代入方程可得 p，或 m4， 故抛物线的标准方程 y2x 或 x28y， 故选：D 【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，设抛物线的标准方程为 y2 2px，或 x22my，是解题的关键 15 （3 分）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数 a 为（ ） A1 B1 C1 D不确定 【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦

17、距，根据双曲线的标 准方程，求得 m，答案可得 【解答】解：椭圆 得 c1， 焦点坐标为（，0） （，0） ， 双曲线：有 则半焦距 c2 则实数 m1 故选：C 【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程在 第 10 页（共 16 页） 求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意 16 （3 分）已知点 M（1，0） ，N（1，0） ，若直线上存在点 P，使得|PM|+|PN|4，则称 该直线为“A 型直线” ，给出下列直线：yx+3；x2；y2；y2x+1，其 中为“A 类直线”的是（ ） A B C D 【分析】由题意可知，点 P 的轨迹是以 M，N 为

18、焦点的椭圆，其方程是1，把 直线方程分别代入椭圆方程看是否有解即可判断出结论 【解答】解：由题意可知，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的椭圆，其方程是1， 把 yx+3 代入椭圆方程并整理得，7x2+24x+240，0，yx+3 不是“A 型直 线” 把 x2 代入椭圆方程，成立，x2 是“A 型直线” 把 y2 代入椭圆方程，不成立，y2 不是“A 型直线” 把 y2x+1 代入椭圆方程并整理得，19x248x+240，（48）241924 0，y2x+3 是“A 型直线” 故选：B 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题

19、三三.解答题解答题 17求曲线 x2+y21 与直线 yx+1 的交点坐标 【分析】根据题意，联立曲线与直线的方程，变形可得 x2+x0，解可得 x 的值，代入曲 线方程可得 y 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，由，得 x2+（x+1）21， 整理得：x2+x0， 解得；x1 或 x0， 所以，由 yx+1 得，y0 或 y1； 即曲线 x2+y21 与直线 yx+1 的交点坐标为（1，0）或（0，1） 【点评】本题考查曲线与方程的关系，直接联立曲线与直线的方程即可，属于基础题 第 11 页（共 16 页） 18已知双曲线的一个焦点为（5，0） ，其渐近线方程为，求此双曲线的标准方程

20、【分析】设出双曲线方程，利用渐近线方程，推出 a，b 的方程，然后利用离心率，转化 求解 a，b 即可得到双曲线方程 【解答】解：由已知可设双曲线的标准方程为，则其渐近线方程为， 由已知渐近线方程为，所以，（4 分） 又因为双曲线的一个焦点为（5，0） ，所以，a2+b252（6 分） 由（10 分） 故所求双曲线的标准方程为 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的标准方程的求法，考查计算能力 19已知抛物线 y24x 与椭圆有公共焦点 F1，椭圆的另一个焦点为 F2，P 是这 两曲线的一个交点，求PF1F2的面积 【分析】求出抛物线的焦点坐标，与椭圆的焦点坐标相同，求解 k，然后联

21、立方程组，求 出交点坐标，转化求解三角形的面积 【解答】解：因为抛物线 y24x 的焦点坐标为（1，0） ，所以 9k1，解得，k8 （3 分） 所以，椭圆方程为（4 分） 由，得 2x2+9x180，解得，或 x6（舍去） 所以，即点（8 分） 又因为|F1F2|2，所以，（10 分） 【点评】本题考查椭圆的简单性质，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算 能力 第 12 页（共 16 页） 20求过定点 P（0，1）且与抛物线 y22x 只有一个公共点的直线方程 【分析】设直线 l 的斜率等于 k，则当 k0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，所以此 时直线与抛物线只有有关公共点再

22、讨论直线与抛物线相切的情况，注意要分斜率存在 于斜率不存在两种情况讨论 【解答】解：设直线 l 的斜率等于 k，则当 k0 时，直线 l 的方程为 y1，满足直线 与抛物线 y22x 仅有一个公共点， 当 k0 时，直线 l 是抛物线的切线，设直线 l 的方程为 ykx+1， 代入抛物线的方程可得： k2x2+（2k2）x+10，根据判别式等于 0，求得 k，故切线方程为 yx+1 当斜率不存在时，直线方程为 x0，经过检验可得此时直线也与抛物线 y22x 相切 故所求的直线方程为：y1，或 x0，或 x2y+20 【点评】本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思

23、路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想解题中容易漏掉斜率不存在 的讨论 21已知曲线 M 上的动点 P（x，y）到定点 F（1，0）距离是它到定直线 l：x4 距离的一 半 （1）求曲线 M 的方程； （2）设过点 F（1，0）且倾斜角为的直线与曲线 M 相交与 A、B 两点，在定直线 l 上是否存在点 C，使得 ACBC，若存在，求出点 C 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意列关于 x，y 的关系式，整理即可得到曲线 M 的方程； （2）直线 AB 的方程为，与椭圆方程联立，求得 A，B 坐标，假设在定直 线 l 上存在点 C（4，t） ，使得 ACBC，则得到

24、关于 t 的一元二次方程，由 方程无实数解，可得在定直线 l 上不存在点 C，使得 ACBC 【解答】解： （1）由题意可得， 化简得，曲线 M 的方程为； （2）直线 AB 的方程为，设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 第 13 页（共 16 页） 由，得 5x28x0，解得，x10， 分别代入，得， 即点， 假设在定直线 l 上存在点 C（4，t） ，使得 ACBC，则 ， ， 整理得 ， 上述方程无实数解，即在定直线 l 上不存在点 C，使得 ACBC 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题 一一.选作题，选择题选作题，选择题 22

25、 （3 分）以下四个命题： 满足的复数只有1，i； 若 a、b 是两个相等的实数，则（ab） （a+b）i 是纯虚数； ； 复数 zR 的充要条件是； 其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】对于z21，可判断错误；对于找出反例 ab0 不满足题意，判定错误； 若 zi，则其不正确；对于z ，则其虚部为 0，故正确故可得答案 【解答】解：对于有：z21，zi，z21，不满足，可判断错误； （ab）+（a+b）i2ai，ab0 时， （ab）+（a+b）i 是纯虚数，错误； 若 zi，则其不正确； 对于z ，则其虚部为 0，故正确； 第 14 页（共 16 页） 故答

26、案为 故选：B 【点评】本题考查复数的基本概念、充要条件、命题的真假判断与应用，是基础题 23 （3 分）已知 a、b、c 是直线， 是平面，给出下列命题： 若 ab，bc 则 ac； 若 ab，bc 则 ac； 若 a，b，则 ab； 若 a 与 b 异面，且 a 则 b 与 相交； 其中真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用正方体的棱的位置关系即可得出； 若 ab，bc，利用“等角定理”可得 ac； 若 a，b，利用线面平行的性质可得：a 与平面 内的直线可以平行或为异面直 线； 由 a 与 b 异面，且 a，则 b 与 相交，平行或 b，即可判断出 【解答】解：利用正

27、方体的棱的位置关系可得：a 与 c 可以平行、相交或为异面直线， 故不正确； 若 ab，bc，利用“等角定理”可得 ac，故正确； 若 a，b，则 a 与平面 内的直线可以平行或为异面直线，不正确； a 与 b 异面，且 a，则 b 与 相交，平行或 b，故不正确 综上可知：只有正确 故选：A 【点评】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键 二二.解答题解答题 24已知关于 x 的方程 x2+4x+m0（mR）的两个根为 、，且|2，求 m 的值 【分析】根据复数根虚根必共轭的性质设 a+bi，abi，根据条件求出 a，b 即可 得到结论 【解答】解：方程 x2+4x+m0（kR）

28、有两个虚根 和 ， 可设 a+bi，abi（a，bR） +2a4，得 a2， 第 15 页（共 16 页） a2+b2m， |2， |2bi|2， 联立解得：b1， 则 ma2+b24+15 【点评】本题主要考查复数根的计算，利用待定系数法结合根与系数之间的关系是解决 本题的关键 25如图，PA平面 ABCD，ABCD 为正方形，且 PAAD2，E、F 分别是线段 PA、CD 的中点 （1）求 EF 与平面 ABCD 所成的角； （2）求异面直线 EF 与 BD 所成的角 【分析】 （1）在 RtEFA 中计算EFA； （2）取 BC 中点 G，则EFG 为异面直线 EF 与 BD 所成的角，在EFG 中利用余弦定 理求出EFG 的大小 【解答】解： （1）连结 FA，PA平面 ABCD， EFA 为 EF 与平面 ABCD 所成的角， 在 RtADF 中， ， 所以EFA，即 EF 与平面 ABCD 所成的角为 （2）取 BC 的中点 G，连结 FG，EG，则 BDFG， EFG（或其补角）就是异面直线 EF 与 BD 所成的角， EF，同理可得 EG，又 FGBD， 所以在EFG 中，cosEFG， 第 16 页（共 16 页） 故异面直线 EF 与 BD 所成角为 zrccos 【点评】本题考查了直线与直线，直线与平面所成角的计算，属于中档题