2018-2019学年上海市嘉定区高二(下)期末数学试卷(含详细解答)
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1、棱长为的正四面体的高为 5 (4 分)展开二项式(x+)6,其常数项为 6 (4 分)从 0,1,2,3,4 中取 3 个不同的数组成一个三位数,且这个数大于 200,共有 不同的可能 7 (5 分)圆锥的母线长是,高是,则其侧面积是 8 (5 分)双曲线1 的虚轴长为 2,其渐近线夹角为 9 (5 分) 在空间直角坐标系中, 某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为 (1, 2,3)和(2,3,1) ,则该二面角的大小为 (结果用反三角函数表示) 10 (5 分)现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个,相同颜色的小球依次编号 1、2、3,从中 任取 3 个小球,颜色编号均不相同的情况有 种
2、 11 (5 分)已知点 P(s,t) ,Q(u,v) ,|s|+|t|2,u2+v21,复数 z1,z2在复平面内分别 对应点 P、Q,若 zz1+z2,则|z|的最大值是 12 (5 分)已知点 O 在二面角 AB 的棱上,点 P 在半平面 内,且POB, 若对于半平面 内异于 O 的任意一点 Q,都有POQ,则二面角 AB 大小 的取值的集合为 二、选择题(本大题满分二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一题,每题都给出四个结论,其中有且只有一 个结论是正确的,每题选对得个结论是正确的,每题选对得 5 分分 13 (5 分)
3、“夫叠棋成立积,缘幂势既同,则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原 理( ) A杨辉 B刘微 C祖暅 D李淳风 14 (5 分)已知 n,mN*,nm,下面哪一个等式是恒成立的( ) 第 2 页(共 16 页) A B C+ D+ 15 (5 分)在复数范围内,多项式 4x2+1 可以因式分解为( ) A4(x) (x+) B4(x) (x+) C (x) (x+) D (x) (x+) 16 (5 分)已知抛物线 y22px(P 是正常数)上有两点(x1,y1) ,B(x2,y2) ,焦点 F, 甲:x1x2 乙:y1y2p2 丙:p2 丁:+ 以上是“直线 AB 经过焦点 F”的充要条
4、件有几个( ) A0 B1 C2 D3 三三.解答题(本大题满分解答题(本大题满分 76 分)本大题共有分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤题,解答下列各题必须写出必要的步骤 17 (14 分)已知复数 w 满足 w(1+2i)4+3i(i 为虚数单位) ,z+|w2|,求一个以 z 为根的实系数一元二次方程 18 (14 分)在平面直角坐标系中,椭圆 C:+l(ab0,右焦点 F2为(c,0) (1)若其长半轴长为 2,焦距为 2,求其标准方程 (2)证明该椭圆上一动点 P 到点 F2的距离 d 的最大值是 a+c 19 (14 分)推广组合数公式,定义,其中 xR,mN*
5、,且规定 1 (1)求的值 (2)设 x0,当 x 为何值时,函数 f(x)取得最小值? 20 (16 分)被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出 一类 “方灯体” ,“灯者立方去其八角也” , 如图所示, 在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1 第 3 页(共 16 页) 中,点 Pi(il,2,24)为棱上的四等分点, (1)求该方灯体的体积 (2)求直线 P1P2和 P6P11的所成角 (9)求直线 P9P13和平面 P1P2P9的所成角 21 (18 分)双曲线1(a,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l 过 F2且 与双曲线交于 AB 两点
6、 (1)若 l 的倾斜角为,a,F1AB 是等腰直角三角形,求双曲线的标准方程 (2)a,bl若 l 的斜率存在,且(+) 0,求 l 的斜率 (3)证明:点 P 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知 双曲线上的必要非充分条件 第 4 页(共 16 页) 2018-2019 学年上海市嘉定区高二(下)期末数学试卷学年上海市嘉定区高二(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填填空题(本大题满分空题(本大题满分 54 分)本大题共有分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,前题,只要求直接填写结果,前 6 题每题得题每题得 4 分,后分,后 6 题每题
7、得题每题得 5 分分 1 (4 分)椭圆+y21 的焦点坐标是 (,0) 【分析】利用椭圆方程求出 a,b 得到 c,即可求出焦点坐标 【解答】解:椭圆+y21,可得 a,b1 则 c, 所以椭圆的焦点坐标(,0) 故答案为: (,0) 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考查 2 (4 分)若复数 z 满足 z(1+i)2,则 z 的实部是 1 【分析】方程两边同乘 1i,然后化简可得 z,即可得答案 【解答】解:z(1+i)2z(1+i) (1i)22i, z1i 故答案为:1 【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算,复数的基本概念,是基础题 3 (4 分)球的表面积是其大圆
8、面积的 4 倍 【分析】设球的半径为 R,分别求出球的大圆面积及表面积,则答案可求 【解答】解:设球的半径为 R,则大圆面积为 R2,表面积为 4R2, 球的表面积是其大圆面积的 4 倍 故答案为:4 【点评】本题考查球的大圆面积与表面积公式,是基础题 4 (4 分)棱长为的正四面体的高为 【分析】 正四面体 SABC 的棱长为, 取 BC 中点 D, 连结 AD, 过 S 作 SO平面 ABC, 交 AD 于 O,求出 AO,再由 SO,能求出棱长为的正四面 体的高 【解答】解:正四面体 SABC 的棱长为, 第 5 页(共 16 页) 取 BC 中点 D,连结 AD,过 S 作 SO平面
9、ABC,交 AD 于 O, 则 AD, AO, SO 棱长为的正四面体的高为 故答案为: 【点评】本题考查正四面体的高的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识,考查运算求解能力,是中档题 5 (4 分)展开二项式(x+)6,其常数项为 20 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数 项 【解答】解:二项式(x+)6,展开式的通项公式为 Tr+1x6 2r, 令 62r0,求得 r3,可得其常数项为20, 故答案为:20 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于基础题 6 (4 分)从
10、0,1,2,3,4 中取 3 个不同的数组成一个三位数,且这个数大于 200,共有 36 不同的可能 【分析】由排列组合及简单的计数问题,结合间接法即可得解 第 6 页(共 16 页) 【解答】解:由 0,1,2,3,4 中取 3 个不同的数组成一个三位数,共有48 个 三位数, 其中不大于 200 的三位数有12 个, 则从 0,1,2,3,4 中取 3 个不同的数组成一个三位数,且这个数大于 200,共有 48 1236 个, 故答案为:36 【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题,属中档题 7 (5 分)圆锥的母线长是,高是,则其侧面积是 【分析】通过题意,求出圆锥的底面半径,求出底
11、面周长,然后求出圆锥的侧面积 【解答】解:已知圆锥的母线长为,高为,则该圆锥的底面半径为:1 圆锥的底面周长为:2, 所以圆锥的侧面积为:2 故答案为: 【点评】本题考查圆锥的侧面积,考查计算能力,圆锥的高,底面半径,母线构成勾股 定理,是解决圆锥问题的常用方法,是基础题 8 (5 分)双曲线1 的虚轴长为 2,其渐近线夹角为 60 【分析】求出双曲线的渐近线方程,然后求解渐近线夹角即可 【解答】解:双曲线1 的虚轴长为 2,可得 b1, 所以:双曲线的渐近线方程为:y, 所以渐近线夹角为:60 故答案为:60 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力 9 (5 分) 在空间直角坐
12、标系中, 某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为 (1, 2,3)和(2,3,1) ,则该二面角的大小为 arccos (结果用反三角函数表示) 【分析】根据已知中两个平面法向量的夹角,代入向量夹角公式,可以求出两个向量的 夹角即可 第 7 页(共 16 页) 【解答】解:两平面的法向量分别为(1,2,3)和(2,3,1) ,则两平面所成的 二面角为 , cos 故 arccos 故两平面所成的二面角为 arccos 故答案为:arccos 【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,其中一定要注意两平面所成的二 面角的大小 10 (5 分)现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个,相同
13、颜色的小球依次编号 1、2、3,从中 任取 3 个小球,颜色编号均不相同的情况有 6 种 【分析】根据题意,分析可得取出的 3 个球中红、黄、蓝的小球各有 1 个,进而分析红、 黄、蓝的小球的取法数目,由分步计数原理计算可得答案 【解答】解:根据题意,从 9 个球中任取 3 个小球,颜色编号均不相同,则红、黄、蓝 的小球各有 1 个, 则红色球的编号可以为 1、2、3,其取法有 3 种, 同理:黄色球的取法有 2 种,蓝色球的取法有 1 种, 则有 3216 种不同的情况; 故答案为:6 【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题 11 (5 分)已知点 P(s,t)
14、 ,Q(u,v) ,|s|+|t|2,u2+v21,复数 z1,z2在复平面内分别 对应点 P、Q,若 zz1+z2,则|z|的最大值是 3 【分析】由题意画出图形,数形结合得答案 【解答】解:分别作出 P 与 Q 的轨迹如图, 第 8 页(共 16 页) P 的轨迹为正方形及其内部区域,Q 的轨迹为单位圆及其内部区域, 又 zz1+z2,则当与同向且最大时,|z|有最大值为 3 故答案为:3 【点评】本题考查复数模的求法,考查数形结合的解题思想方法,是中档题 12 (5 分)已知点 O 在二面角 AB 的棱上,点 P 在半平面 内,且POB, 若对于半平面 内异于 O 的任意一点 Q,都有P
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