2019-2020学年上海市嘉定区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、直线 x+y+10 与直线 xy+30 的夹角大小等于 6 （4 分）在平面直角坐标系中，圆的方程为 x2+y2+2x+6y+10，该圆的周长为 7 （5 分）在平面直坐标系中，O 为原点，点 A（4，2） ，点 P 满，则点 P 的坐 标为 8 （5 分）设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 B1，若 B1F2F1F24，则该椭圆 的标准方程为 9 （5 分）若向量 和 都是单位向量，并且夹角大小为，则以 和 为邻边的平行四边 形的较长的对角线的长度为 10 （5 分）已知圆 x2+y24，过点 P（3，3）作该圆的切线，则切线的斜率为 11 （5 分）已知椭圆，椭圆上动点 P 到

2、左焦点的距离的最小值为 12 （5 分）平面直角坐标系中，过点 P（0，4）作直线，使得点 Q1（0，3） 、Q2（4，4） 、 Q3（2，2）在直线 l 两侧，且两侧的点 Qi（i1，2，3）到直线 l 的距离和相等（如果一 侧只有一点，其到直线 l 的距离就视为距离和） ，则直线 l 的法向量为（只要写出一 个） 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一题，每题都给出四个结论，其中有且只有一 个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括

3、号内，每题选对得 5 分，否则一分，否则一 律得零分律得零分 13 （5 分）已知过定点（4，5）的直线 m 的一个法向量是，则直线 m 的点方 向式方程可以为（ ） 第 2 页（共 17 页） A3（x4）2（y5） B C3（x4）2（y5）0 D 14 （5 分）列向量与平行是二元一次为方程组无解的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分且非必要条件 15 （5 分）行列式中元素 0 的代数余子式的值为 2，则实数 k 的值为（ ） A2 B1 C1 或 0 D2 或 0 16 （5 分）已知椭圆1（ab0） ，其上顶点为 B，右顶点为 A，O 为原点，点 P 在

4、椭圆上运动，若+，则下列判断错误的是（ ） A 和 不可能相等 B+ 可能为零 C 可能为正数也可能为负数 D 可能为零 三三.解答题（本大题满分解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17 （14 分）已知向量 、 的夹角为 （1）求 的值 （2）若和垂直，求实数 t 的值 18 （14 分）如图，矩形 ABCD 的两条对角线交于 M（3，0） ，AB 边所在直线的方程为 x 3y70，点 E（0，1）在 BC 边所在直线上 （1）求 AD 边所在的直线方程 （2）求点 A 的坐标以及矩形 ABCD 外

5、圆的方程 第 3 页（共 17 页） 19（14 分） 如图， 内接于圆 O1的正方形 A1B1C1D1边长为 1， 圆 O2内切于正方形 A1B1C1D1， 正方形 A2B2C2D2内接于圆 O2，正方形 AmBmmDm内接于圆 Om，圆 On+1内切于正 方形 AmBmmDm，正方形 An+1Bn+1Cn+1Dn+1内接于圆 On+1，由此无穷个步骤进行下去记 圆 On的面积记作 an，记正方形 AmBmmDm的面积记作 bn （1）求 a1、a2、b1、b2的值 （2）记an的所有项和为 S，bn的所有项和为 H，求的值 20 （16 分）平面直角坐标系中，圆 O 方程为 x2+y21，

6、点 A（2，0） ，直线 l 过点 A （1）如图 1，直线的斜率为，直线 l 交圆 O 于 B、C 不同两点，求弦 BC 的长度； （2）动点 P 在圆 O 上作圆周运动，线段 AP 的中点为点 M，求点 M 的轨迹方程； （3）在（1）中，如图 2，过点 A 作直线 m，交圆 O 于 D、E 不同两点，证明：|AB|AC| |AD|AE| 第 4 页（共 17 页） 21 （18 分）如图，已知椭圆 C：x2+1（b0） ，直线 l：ykx+m（km0） ，直线 l 与 椭圆 C 交于不同的两点 P、Q，点 R 和点 P 关于 y 轴对称，直线 RQ 与 y 轴交于点 N（0， n） （1

7、）若点是椭圆 C 的一个焦点，求该椭圆的长轴的长度； （2）若 b2，P（1，0） ，且，求 k 的值； （3）若 m1，求证：n 为定值 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年上海市嘉定区高二（上）期末数学试卷学年上海市嘉定区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果：考生应在答题纸的相应位置直接填写结果： 1 （4 分）已知直线 yx+1，则其倾斜角为 45

8、【分析】根据题意，设直线的倾斜角为 ，由直线的方程可得直线的斜率，进而可得 tan 1，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，直线 yx+1，设其倾斜角为 ， 其斜率 k1，则有 tan1， 则 45； 故答案为：45 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率，涉及直线的斜截式方程，属于基础题 2 （4 分）方程组的增广矩阵为 【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由原二元线性方程组写出增广矩阵即可 【解答】解：根据方程组可得到其增广矩阵为： 故答案为： 【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩 阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型 3 （4 分）若向量和平行，

9、则实数 t 的值为 4 【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得 1t224，变形可得 t 的值， 即可得答案 【解答】解：根据题意，若向量和平行， 则有 1t224，变形可得 t4； 故答案为：4 【点评】本题考查向量平行的坐标表示，关键是掌握向量平行的坐标表示公式，属于基 础题 第 6 页（共 17 页） 4 （4 分） 2 【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可 【解答】解：2 故答案为：2 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查，基础题 5 （4 分）直线 x+y+10 与直线 xy+30 的夹角大小等于 90 【分析】直线 x+y+10 的斜率为

10、 k11，直线 xy+30 的斜率为 k21，由 k1k2 1，能求出直线 x+y+10 与直线 xy+30 的夹角 【解答】解：直线 x+y+10 的斜率为 k11， 直线 xy+30 的斜率为 k21， k1k21， 直线 x+y+10 与直线 xy+30 的夹角为 90 故答案为：90 【点评】本题考查两直线的夹角的求法，考查直线的斜率、两直线夹角公式等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 6 （4 分）在平面直角坐标系中，圆的方程为 x2+y2+2x+6y+10，该圆的周长为 6 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出半径，可得该圆的周长 【解答】解：平面直角坐标系中，圆的方程为

11、x2+y2+2x+6y+10，即 （x+1）2+（y+3） 29， 故该圆的半径为 3，故该圆的周长为 236， 故答案为：6 【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题 7 （5 分）在平面直坐标系中，O 为原点，点 A（4，2） ，点 P 满，则点 P 的坐 标为 （6，3） 【分析】 设 P（x，y） ，因为，所以 （x， y） 3 （4x，2y） ， 解得下 x，y，即可得出答案 【解答】解：设 P（x，y） ， 第 7 页（共 17 页） 因为， 所以（x，y）3（4x，2y） （x，y）（12+3x，6+3y） ，解得， 所以 P（6，3） 故答案为： （6，

12、3） 【点评】本题考查向量的线性运算，属于基础题 8 （5 分）设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 B1，若 B1F2F1F24，则该椭圆 的标准方程为 +1 【分析】根据题意，由椭圆的几何性质可得|F1F2|2c，|OB1|b，则|B1F2|a，进而可 得 a2c4，求出 b 的值，有椭圆标准方程的形式分析可得答案 【解答】解：根据题意，如图：在椭圆中，椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 B1， 则|F1F2|2c，|OB1|b， 则|B1F2|a， 若|B1F2|F1F2|4，即 a2c4，则 a4，c2， 则 b， 则椭圆的方程为+1； 故答案为：+1 第 8 页（

13、共 17 页） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题 9 （5 分）若向量 和 都是单位向量，并且夹角大小为，则以 和 为邻边的平行四边 形的较长的对角线的长度为 【分析】根据条件进行数量积的运算即可求出，从而得出，从 而得出以 和 为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度为 【解答】 解： 据题意知， 以 和 为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度为的 值， ， 1+1+13， 故答案为： 【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算及计算公式，单位 向量的定义，考查了计算能力，属于基础题 10 （5 分）已知圆 x2+y24，过点 P（3，3）作该圆

14、的切线，则切线的斜率为 92 【分析】 根据直线和圆相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径即可得到结论 【解答】解：圆心坐标为（0，0） ，半径为 2， 点 P（3，3）在圆外， 第 9 页（共 17 页） 若直线斜率 k 不存在， 则直线方程为 x3，圆心到直线的距离为 3，不满足相切 若直线斜率存在设为 k， 则直线方程为 y3k（x3） ，即 kxy+33k0， 则圆心到直线 kxy+33k0 的距离等于半径 2， 即 d2， 解得 k9， 故答案为：92 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键 11 （5 分）已知椭圆，椭圆上动点 P 到左焦点的距

15、离的最小值为 1 【分析】直接利用椭圆的性质写出结果即可 【解答】解：椭圆， 可得 a2，c1， 椭圆上动点 P 到左焦点的距离的最小值为：ac1 故答案为：1 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 12 （5 分）平面直角坐标系中，过点 P（0，4）作直线，使得点 Q1（0，3） 、Q2（4，4） 、 Q3（2，2）在直线 l 两侧，且两侧的点 Qi（i1，2，3）到直线 l 的距离和相等（如果一 侧只有一点，其到直线 l 的距离就视为距离和） ，则直线 l 的法向量为（只要写出一个） （1，2） 【分析】不妨设 ykx+4，k0，由，求出 k，再算出法向 量 【解答】解：

16、不妨设 ykx+4，k0， 由， 即 1+|2k+2|4k|， 第 10 页（共 17 页） |2k+2|4k1， 平方得 4k2+8k+416k2+8k+1， 故 k2，所以 k， 所以直线的方程为 x+2y80， 其中一个法向量为（1，2） ， 故答案为： （1，2） 【点评】考查点到直线的距离公式，中档题 二、选择二、选择题（本大题满分题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一题，每题都给出四个结论，其中有且只有一 个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，

17、每题选对得 5 分，否则一分，否则一 律得零分律得零分 13 （5 分）已知过定点（4，5）的直线 m 的一个法向量是，则直线 m 的点方 向式方程可以为（ ） A3（x4）2（y5） B C3（x4）2（y5）0 D 【分析】先根据题意求出直线的一个方向向量，进而求出直线 l 的斜率，又知直线过点 （4，5） ，即可得到答案 【解答】解：直线 m 的一个法向量是， 直线的一个方向向量为（3，2） ， 直线的斜率为： 又直线过点 A（4，5） ， 直线的点方向式方程为： 故选：D 【点评】本题主要考查了直线的方向向量与向量之间的数量积运算，以及直线的点方向 式方程，是基础题 14 （5 分）列

18、向量与平行是二元一次为方程组无解的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 第 11 页（共 17 页） C充要条件 D非充分且非必要条件 【分析】由系数矩阵与方程解得关系即可得解 【解答】解：依题意，a1b2a2b10，即二元一次方程组的系数矩阵为 0， 故二元一次方程组可能无解，也可能无数解，故充分性不成立； 若二元一次方程组无解，则其系数矩阵为 0，即 a1b2a2b10，故必要 性成立 故选：B 【点评】本题主要考查充分、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题 15 （5 分）行列式中元素 0 的代数余子式的值为 2，则实数 k 的值为（ ） A2 B1 C1 或 0 D2 或

19、 0 【分析】利用代数余子式的定义直接求解 【解答】解：行列式中元素 0 的代数余子式的值为 2， （1）3+2（64k）2， 解得 k2 故选：A 【点评】本题考查实数值的求法，考查化数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 16 （5 分）已知椭圆1（ab0） ，其上顶点为 B，右顶点为 A，O 为原点，点 P 在椭圆上运动，若+，则下列判断错误的是（ ） A 和 不可能相等 B+ 可能为零 C 可能为正数也可能为负数 D 可能为零 第 12 页（共 17 页） 【分析】设 P（acos，bsin） ，A（a，0） ，B（0，b）由+，得 cos， sin，0，2，根据角判断

20、即可 【解答】解：设 P（acos，bsin） ，A（a，0） ，B（0，b） 由+，得 cos，sin，0，2， 当 时， 和 相等， 当 +cos+sin，当时，值为 0； cossin，所以可能为正也可能为负， 显然可能为 0， 所以错误的为 A 故选：A 【点评】向量与椭圆相结合，考查椭圆的性质和向量的运算，中档题 三三.解答题（本大题满分解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17 （14 分）已知向量 、 的夹角为 （1）求 的值 （2）若和垂直，求实数 t 的值 【分析】 （1）利用数量积公

21、式直接求解得答案； （2）依题意，展开即可求得实数 t 的值 【解答】解： （1）； （2）和垂直， ，即， 2t（2t）40， t2 【点评】本题考查平面向量的数量积及两向量垂直的关系，属于基础题 18 （14 分）如图，矩形 ABCD 的两条对角线交于 M（3，0） ，AB 边所在直线的方程为 x 3y70，点 E（0，1）在 BC 边所在直线上 （1）求 AD 边所在的直线方程 第 13 页（共 17 页） （2）求点 A 的坐标以及矩形 ABCD 外圆的方程 【分析】 （1）利用垂直关系求出斜率，写出方程； （2）联立解方程组求出 A 坐标，求出圆的半径，得到圆的方程 【解答】解： （

22、1）ABAD，kAD3， E（0，1）关于 M（3，0）的对称点为（6，1）在直线 AD 上， AD 边所在直线的方程为：y+13（x6） ，即 3x+y170 （2）联立 ，解得 A（5.8，0.4） ， r2|AM|2（5.83）2+（00.4）28， 矩形 ABCD 外接圆的方程为（x3）2+y28 【点评】本题考查了斜率计算公式、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、 点斜式、斜截式、圆的方程、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（14 分） 如图， 内接于圆 O1的正方形 A1B1C1D1边长为 1， 圆 O2内切于正方形 A1B1C1D1， 正方形 A2B2

23、C2D2内接于圆 O2，正方形 AmBmmDm内接于圆 Om，圆 On+1内切于正 方形 AmBmmDm，正方形 An+1Bn+1Cn+1Dn+1内接于圆 On+1，由此无穷个步骤进行下去记 圆 On的面积记作 an，记正方形 AmBmmDm的面积记作 bn （1）求 a1、a2、b1、b2的值 （2）记an的所有项和为 S，bn的所有项和为 H，求的值 第 14 页（共 17 页） 【分析】 （1）考虑正方形的内接圆、内切圆的半径与边长的关系，结合圆的面积公式和 正方形的面积公式可得所求； （2）由题意可得an为首项为，公比为的等比数列，bn为首项为 1，公比为的 等比数列，由无穷递缩等比数

24、列的求和公式可得所求 【解答】解： （1）设正方形的边长为 a，可得该正方形的内切圆的半径为a，该正方形 的内接圆的半径为a， 由题意可得 a1（）2，a2 （）2，b11，b2（）2； （2）由题意可得an为首项为，公比为的等比数列，bn为首项为 1，公比为的 等比数列， 可得 S，H2， 则 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题 20 （16 分）平面直角坐标系中，圆 O 方程为 x2+y21，点 A（2，0） ，直线 l 过点 A （1）如图 1，直线的斜率为，直线 l 交圆 O 于 B、C 不同两点，求弦 BC 的长度； （2）动点 P 在圆 O

25、 上作圆周运动，线段 AP 的中点为点 M，求点 M 的轨迹方程； （3）在（1）中，如图 2，过点 A 作直线 m，交圆 O 于 D、E 不同两点，证明：|AB|AC| |AD|AE| 第 15 页（共 17 页） 【分析】 （1）表示出直线 l 的方程，求出点 d 到直线的距离，则弦 BC2，代 入计算即可； （2）设出 AP 的中点坐标，利用中点坐标公式求出 P 的坐标，据 P 在圆上，将 P 坐标代 入圆方程，求出中点的轨迹方程 （3）连接 CE、BE，利用三角形相似即可证明出结论 【解答】解： （1）根据题意可知直线 l：y（x2） ，即 x+2y20， 则圆心到直线 l 的距离 d

26、， 所以弦 BC22； （2）设 AP 中点为 M（x，y） ，由中点坐标公式可知，P 点坐标为（2x2，2y） P 点在圆 x2+y21 上，（2x2）2+（2y）21 故线段 AP 中点的轨迹方程为 4（x1）2+4y21； （3）连接 CD、BE，则有CE，又因为CADBAE， 所以CADEAB， 则有，即|AB|AC|AD|AE| 【点评】本题考查点的运动轨迹，考查直线与圆形成弦的距离，涉及点到直线的距离公 式，中点公式等知识点，属于中档题 21 （18 分）如图，已知椭圆 C：x2+1（b0） ，直线 l：ykx+m（km0） ，直线 l 与 第 16 页（共 17 页） 椭圆 C

27、交于不同的两点 P、Q，点 R 和点 P 关于 y 轴对称，直线 RQ 与 y 轴交于点 N（0， n） （1）若点是椭圆 C 的一个焦点，求该椭圆的长轴的长度； （2）若 b2，P（1，0） ，且，求 k 的值； （3）若 m1，求证：n 为定值 【分析】 （1）由题意直接由题意求出长轴的长； （2）由 b2，求出椭圆的方程，由 P 的坐标得出 R 的坐标，设 Q 的坐标，由向量的关 系及点在椭圆上求出 Q 的坐标，进而求出 k 的值； （3）设 P，Q 的坐标，由题意得出 R 的坐标，写出直线 OQ 的方程及 RQ 的方程，令 x 0，求出 m，n 的值，而得 mn 为定值，m1 得出 n

28、 为定值 【解答】解： （1）由题意得，椭圆的焦点在 y 轴上，c，b21+（）24，即 b 2，故该椭圆的长轴为 4； （2）因为 b2，椭圆的方程为：1； 因为 P（1，0） ，所以 R（1，0） ， 设 Q（x，y） ，则（1，n） ，（x1，y） ， 所以解得 x，yn， 又 x21，故 x，y或 x，y， 所以 k 第 17 页（共 17 页） （3）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 R（x1，y1） ， 直线 OQ 的方程为：y（xx1）+y1， 令 x0，则 m，同理 n， 所以 mnb2， 因为 m1，故 nb2，它是一个定值 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于难题