2019-2020学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、双曲线1 上一点 P 到点（5，0）的距离为 15，则点 P 到点（5，0） 的距离为 9 （3 分）以下关于圆锥曲线的命题中： 双曲线1 与椭圆 x2+1 有相同的焦点； 设 A、B 是两个定点，k 为非零常数，若|k，则动点 P 的轨迹为双曲线的一 支； 设点 A、P 分别是定圆 C 上一个定点和动点，O 为坐标原点，若（+） ， 则动点 Q 的轨迹为圆； 中真命题是 （写出所有真命题的序号） 10 （3 分）已知数列an的通项公式为 an（nN*） ，前 n 项和 第 2 页（共 15 页） 为 Sn，则Sn 11 （3 分）若关于 x 的方程kx2 有解，则实数 k 的取值范围是 12

2、 （3 分）如图，已知直角MON 的斜边 MN 的长为 12，点 P 是斜边上的中线 OD 与椭圆 +1 的交点，O 为坐标原点，当MON 绕着点 O 旋转时，的取值范围 为 二、选择题二、选择题 13 （3 分）过点 M（2，a）和 N（a，4）的直线的斜率为 1，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C1 或 4 D1 或 2 14 （3 分）已知圆 C1： （x+2）2+（y2）21，圆 C2： （x2）2+（y5）216，则圆 C1 与圆 C2的位置关系是（ ） A相离 B相交 C内切 D外切 15 （3 分）若 x，y 满足线性约束条件，则 z2x+y 的最小值是（ ） A0 B1

3、C2 D1 16 （3 分）若实数 x，y 满足方程 x2+y28，则|x+y2|+|x+y+6|+|6xy|的最大值为（ ） A12 B14 C18 D24 三、解答题三、解答题 17已知直线 l1：2x+y20 和 l2：mxy+10 （1）当 l1l2时，求 m 的值； （2）当 l1与 l2的夹角为时，求 m 的值 18已知向量 3 ， 2 + ，其中 ， 是互相垂直的单位向量 （1）求向量 在向量 方向上的投影； 第 3 页（共 15 页） （2）设向量 ， + ，若 ，求实数 的值 19已知三点 M（3，1） 、N（0，2） 、T（3，5）都在圆 C 上 （1）求圆 C 的标准方程

4、； （2）若经过点 P（2，0）的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4，求直线 l 的方程 20已知双曲线 C：1（a0，b0）与双曲线1 的渐近线相同，且 经过点（2，3） （1）求双曲线 C 的方程； （2）已知直线 xy+m0（m0）与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中 点在圆 x2+y210 上，求实数 m 的值； （3）在（2）的条件下，若双曲线 C 的右顶点为 A2，求A2AB 的面积 21在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C：+1（a3） （1）过椭圆 C 的左焦点，作垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 M、N 两点，若|MN|9，求 实数 a 的值；

5、（2）已知点 T（1，0） ，a6，A、B 是椭圆 C 上的动点，0，求的取值 范围； （3）若直线 1：+1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，求证：对任意大于 3 的实数 a， 以线段 PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标 第 4 页（共 15 页） 2019-2020 学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）椭圆+1 的短轴长为 6 【分析】利用椭圆的标准方程，直接求解即可 【解答】解：椭圆+1 的短轴长 2b6 故答案为：6 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知

6、识的考查，基础题 2 （3 分）已知向量 （1，2） ， （x，4） ，若 ，则 x 2 【分析】由已知向量 （1，2） ， （x，4） ， ，根据两个向量平行的充要条 件，可以构造一个关于 x 的方程，解方程得到答案 【解答】解：向量 （1，2） ， （x，4） ， 又 ， 1（4）2x0 解得 x2 故答案为：2 【点评】本题考查的知识点是平面向量与共线向量，其中根据两个向量平行的充要条件， 构造关于 x 的方程，是解答本题的关键 3 （3 分）若直线 l 过点 A（2，3）且平行于向量 （6，5） ，则直线 l 的点方向式方程 是 【分析】利用直线 l 的点方向式方程即可得出 【解答】解

7、：由已知可得：直线 l 的点方向式方程是 故答案为： 【点评】本题考查了直线的点方向式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 第 5 页（共 15 页） 4 （3 分）已知平面向量 ， 的夹角为，| |1，| |2，则 【分析】直接代入公式求解即可 【解答】解：因为平面向量 ， 的夹角为，| |1，| |2， | | |cos12， 故答案为： 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 5 （3 分）若线性方程组的增广矩阵为，则 x+y 2 【分析】线性方程组的增广矩阵为，即方程组，即 可得出 x+y 【解答】解：线性方程组的增广矩阵为， 即方程组，两个方程

8、相加可得：3x+3y6， 则 x+y2 故答案为：2 【点评】本题考查了线性方程组的增广矩阵及其解法，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 6 （3 分）若直线 l 的倾斜角的范围为，） ，则 l 的斜率的取值范围是 1，） 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出 【解答】解：直线 l 的倾斜角 ，） ， 则 l 的斜率 tan1，） 故答案为：1，） 【点评】本题考查了直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题 7 （3 分） 参数方程（R） 所表示的曲线与 y 轴的交点坐标是 （0， 3） 【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形

9、普通方程，据此分析可得答案 第 6 页（共 15 页） 【解答】解：根据题意，曲线的参数方程，变形可得 x2+4y1， 即 yx2+3，为二次函数，与 y 轴的交点坐标为（0，3） ； 故答案为： （0，3） 【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，注意求出参数方程对应的普通方程，属 于基础题 8 （3 分）双曲线1 上一点 P 到点（5，0）的距离为 15，则点 P 到点（5，0） 的距离为 23 或 7 【分析】根据双曲线的标准方程，写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义，得 到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果 【解答】解：双曲线1， 2a8， （5，0） （5，0）是两个焦点

10、， 点 P 在双曲线上， |PF1|PF2|8， 点 P 到点（5，0）的距离为 15， 则点 P 到点（5，0）是 15+823 或 1587 故答案为 23 或 7 【点评】本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为 这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值 9 （3 分）以下关于圆锥曲线的命题中： 双曲线1 与椭圆 x2+1 有相同的焦点； 设 A、B 是两个定点，k 为非零常数，若|k，则动点 P 的轨迹为双曲线的一 支； 设点 A、P 分别是定圆 C 上一个定点和动点，O 为坐标原点，若（+） ， 则动点 Q 的轨迹为圆； 中真命题是 （写出所有真命题的序

11、号） 第 7 页（共 15 页） 【分析】根据双曲线和椭圆的几何性质即可得解；根据双曲线的定义即可得解； 根据平面向量的加法法则，可知点 Q 为弦 AP 的中点，再判定点 Q 的轨迹即可 【解答】解：在双曲线中，c2a2+b225+934，在椭圆中，c2a2b235134， 且焦点均在 y 轴上，所以正确； 由双曲线的定义知，只有当 k|AB|时，动点 P 的轨迹才为双曲线的一支，即错误； 若（+） ，则点 Q 为弦 AP 的中点，由垂径定理可知，OQAQ，所以动 点 Q 的轨迹是圆，即正确； 所以真命题为， 故答案为： 【点评】本题考查的是命题真假的判断，涵盖的知识点有圆锥曲线的定义与几何性

12、质、 平面向量运算，考查了学生综合运用知识的能力，属于基础题 10 （3 分）已知数列an的通项公式为 an（nN*） ，前 n 项和 为 Sn，则Sn 【分析】分别求得当 1n2019 时，n2020 时，前 n 项和 Sn，再由数列极限公式，可 得所求值 【解答】解：当 1n2019 时，Sn1+11+11+11； n2020 时，Sn1+（）n 20192+ ， 可得Sn2+2+， 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的求和公式，以及数列的极限的求法，考查化简运算能力， 属于基础题 11 （3 分）若关于 x 的方程kx2 有解，则实数 k 的取值范围是 ，1） （1， 【分析】由题意画

13、出图形，由于双曲线的对称性，只需求出斜率大于 0 的情况，同理可 第 8 页（共 15 页） 得斜率小于 0 的范围，求出相切时的 k 值及与渐近线平行的斜率，介于之间的即可 【解答】解：方程转化为 y0，1，整理可得：x2y21，渐近线方程为：y x，g（x）kx2，可得 g（x）恒过（0，2） ，如图所示， 方程有解即是两个函数有交点，由双曲线的对称性只需要求出 k0 的情况，同理可得 k 0 的情况 k0 时，则可得：kx2，两边平方整理可得： （k21）x24kx+50，k1， 有解， 则16k220（k21）0，k1，可得：k25， 所以可得 k，同理可得 k0，时 k，1） ， 综

14、上所述 k 的取值范围为，1）（1， 故答案为：，1）（1， 【点评】考查方程的解与函数的交点的互化，属于中档题 12 （3 分）如图，已知直角MON 的斜边 MN 的长为 12，点 P 是斜边上的中线 OD 与椭圆 +1 的交点，O 为坐标原点，当MON 绕着点 O 旋转时，的取值范围为 35，27 【分析】求得椭圆的 a，b，由题意可得|OP|的最小值为 3，最大值为 5，运用直角三角形 的斜边的中线等于斜边的一半，可得|OD|，进而得到|PD|的范围，再由向量的加减运算和 第 9 页（共 15 页） 数量积的性质，可得所求范围 【解答】解：椭圆+1 的 a5，b3， 由椭圆的性质可得 P

15、 为长轴的端点时|OP|取得最大值 5，P 为短轴的端点时|OP|取得最小 值 3， 由直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，可得|OD|MN|6， 所以|PD|OD|OP|1，3， 从而（+） （+） 2+ （+）+|2|2 35，27 故答案为：35，27 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直角三角形的性质和向量的加减和数量积的 运算，考查化简运算能力，属于中档题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）过点 M（2，a）和 N（a，4）的直线的斜率为 1，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C1 或 4 D1 或 2 【分析】利用直线的斜率公式可得，解方程求得 a 的值 【解答】解：

16、由于过点 M（2，a）和 N（a，4）的直线的斜率为 1， a1 故选：A 【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，是一道基础题 14 （3 分）已知圆 C1： （x+2）2+（y2）21，圆 C2： （x2）2+（y5）216，则圆 C1 与圆 C2的位置关系是（ ） A相离 B相交 C内切 D外切 【分析】先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆 心之间的距离 d 与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系 【解答】解：由圆 C1： （x+2）2+（y2）21 与圆 C2： （x2）2+（y5）216 得： 圆 C1：圆心坐标为（2，2） ，半径 r1；

17、圆 C2：圆心坐标为（2，5） ，半径 R4 第 10 页（共 15 页） 两个圆心之间的距离 d5，而 dR+r，所以两圆的位置关系是 外切 故选：D 【点评】考查学生会根据 d 与 R+r 及 Rr 的关系判断两个圆的位置关系，会利用两点 间的距离公式进行求值 15 （3 分）若 x，y 满足线性约束条件，则 z2x+y 的最小值是（ ） A0 B1 C2 D1 【分析】先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线 y2x，当过点（1，0）时，直 线在 y 轴上的截距最大，从而求出所求 【解答】解：x，y 满足约束条件的平面区域如下图所示： 平移直线 y2x，由图易得，当 x0，y1 时，即经

18、过 A 时， 目标函数 z2x+y 的最小值为：1 故选：B 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 16 （3 分）若实数 x，y 满足方程 x2+y28，则|x+y2|+|x+y+6|+|6xy|的最大值为（ ） A12 B14 C18 D24 【分析】令 x+yt，则2，可得4t4化简|x+y2|+|x+y+6|+|6xy|t 2|+|t+6|+|t6|t2|+t+6+6t12+|t+2|，即可得出 第 11 页（共 15 页） 【解答】解：令 x+yt，则2，4t4 |x+y2|+|x+y+6|+|6xy|t2|+|t+6|+|t6|t2|+t+6+6

19、t12+|t+2|12+4+2 18t4 时取等号 其最大值为 18 故选：C 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、绝对值不等式的解法、点到直线的距离公式， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题三、解答题 17已知直线 l1：2x+y20 和 l2：mxy+10 （1）当 l1l2时，求 m 的值； （2）当 l1与 l2的夹角为时，求 m 的值 【分析】 （1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果 （2）直接利用夹角公式的应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l1：2x+y20 和 l2：mxy+10 所以2m0，解得：m2 （2）由于 l1：2x+y20 的斜率 k12

20、，l2：mxy+10 的斜率 k2m 所以1，解得 m3 或 【点评】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18已知向量 3 ， 2 + ，其中 ， 是互相垂直的单位向量 （1）求向量 在向量 方向上的投影； （2）设向量 ， + ，若 ，求实数 的值 【分析】 （1）运用向量投影的概念可解决此问题； （2）运用向量垂直的充要条件可解决 此问题 【解答】解：根据题意得， 5， （1）向量 在 方向上的投影为； 第 12 页（共 15 页） （2） 0， 2+（1） 20， 10+5（1）50， 0 【点评】本题

21、考查平面向量数量积的性质及运算的简单应用 19已知三点 M（3，1） 、N（0，2） 、T（3，5）都在圆 C 上 （1）求圆 C 的标准方程； （2）若经过点 P（2，0）的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4，求直线 l 的方程 【分析】 （1）设出圆的一般方程，把已知点的坐标代入，求解方程组得 D，E，F 的值， 可得圆的一般方程，进一步化为标准方程； （2）当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x2，满足题意；当直线 l 的斜率存在时， 设直线方程为 yk（x2） ，即 kxy2k0，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式 求得 k，则答案可求 【解答】解： （1）设圆 C 的方程为

22、 x2+y2+Dx+Ey+F0 则，解得 D6，E4，F4 圆 C 的方程为 x2+y26x+4y+40， 化为标准方程： （x3）2+（y+2）29； （2） 当直线 l的斜率不存在时， 直线方程为 x2， 满足直线 l被圆C 所截得的弦长为 4； 当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 yk（x2） ，即 kxy2k0 由，解得 k 直线方程为 3x+4y60 若经过点 P （2， 0） 的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4， 直线 l 的方程为 x2 或 3x+4y 60 【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是 中档题 20已知双曲线 C：1（a

23、0，b0）与双曲线1 的渐近线相同，且 第 13 页（共 15 页） 经过点（2，3） （1）求双曲线 C 的方程； （2）已知直线 xy+m0（m0）与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中 点在圆 x2+y210 上，求实数 m 的值； （3）在（2）的条件下，若双曲线 C 的右顶点为 A2，求A2AB 的面积 【分析】 （1）由题意设双曲线 C：（0） ，把已知点的坐标代入求得 ， 则双曲线方程可求； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系结 合中点坐标公式求得 AB 的中点坐标，代入圆的方程即可求得 m 值； （3

24、）双曲线 C 的右顶点为 A2（1，0） ，当 m2 时，利用弦长公式求得弦长，再由点到 直线的距离公式求得 A2到 AB 的距离，代入三角形面积公式得答案 【解答】 解：（1） 由题意设双曲线 C： （0） ， 双曲线 C 过点（2，3） ， C：，即； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立，得 2x22mx（m2+3）0 x1+x2m，则 AB 的中点坐标为（） ， 代入圆 x2+y210，得，解得 m2（m0） ； （3）双曲线 C 的右顶点为 A2（1，0） ， 第 14 页（共 15 页） 当 m2 时，方程化为 2x24x70 x1+x22， A2到 AB 的距

25、离 d，|AB|， 【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与圆、直线与双曲线位置关系的应用， 考查计算能力，是中档题 21在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C：+1（a3） （1）过椭圆 C 的左焦点，作垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 M、N 两点，若|MN|9，求 实数 a 的值； （2）已知点 T（1，0） ，a6，A、B 是椭圆 C 上的动点，0，求的取值 范围； （3）若直线 1：+1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，求证：对任意大于 3 的实数 a， 以线段 PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标 【分析】 （1）由椭圆的方程可得左焦点坐标，再由 MN 的长可得纵坐标

26、，即椭圆过（3， ） ，代入椭圆的方程求出 a 的值； （2）a6 代入椭圆可得椭圆的标准形式，设 A 的坐标，中的用向量 表示，再由题意可得关于 A 的坐标的关系，由 A 的坐标的范围求出数量积的取值 范围； （3）将直线 l 与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出 PQ 的中点的坐标，及弦 长 PQ，求出以线段 PQ 为直径的圆的方程，整理出关于 a 的二次三项式恒为 0，可得 a 的所有系数都为 0，可得 x，y 的值，即圆恒过的定点坐标 【解答】解： （1）由题意可得：c2a2（a29）9，即左焦点为： （3，0） ，若|MN| 9，所以|y|，将 x3，|y|代入椭圆可得：+1，

27、又 a3 解得：a 6； （2）a6 时，椭圆的方程为：+1，设 A（x，y） ，6x6， 第 15 页（共 15 页） |2，由题意可得：|2（x1）2+y2 （x1）2+27（1）x22x+28（x4）2+24，由6x6， 所以24，49 （3）联立直线 l 与椭圆的方程可得：ay2（a29）y0，解得 y10，y2，设 P（a，0） ，Q（3，） ，所以 PQ 的中点为： （，） ， |PQ|2（a+3）2+（）2， 所以以线段 PQ 为直径的圆的方程为：（x） 2+ （y ） 2 （a+3） 2+ （ ） 2， 整理可得：x2（a3）x+（）2+y2y+（）2（）2+（） 2， 即 x2（a3）x+y2y3a0， 整理可得：（x+y+3）a2+（x2+3x+y）a+9y0， 对于任意的 a3，关于 a 的二次三项式（x+y+3）a2+（x2+3x+y）a+9y 恒为 0， 所以二次项，一次项和常数项的系数均为 0，即（x+y+3）x2+3x+y9y0， 所以 x3，y0， 即定点坐标为（3，0） 【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题