2019-2020学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、若复数 z 满足|zz0|+|z3i|4，且复数 z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数 z0的 模的取值范围是 11 （3 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜率为的直线 交抛物线于点 M （M 在第一象限） ， MNl， 垂足为 N， 直线 NF 交 y 轴于点 D， 若， 则抛物线的方程是 12 （3 分）已知点 P（0，2） ，椭圆+1 上两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）满足 （R） ，则|2x1+3y112|+|2x2+3y212|的最大值为 二二.选择题选择题 第 2 页（共 17 页） 13 （3 分）双曲线的两条渐近线的夹角的大小为（

2、） A B C D 14 （3 分）在复数范围内，下列命题中为假命题的是（ ） A复数 zR 的充要条件是 B若|z|z，则 zR C若，则 z1 或 zi D对任意 zC 都成立 15 （3 分） 已知集合， Bz|z|1， zC，若 AB，则 a、b 之间的关系是（ ） Aa2+b21 Ba2+b21 Ca+b1 Da+b1 16 （3 分） 已知 F 为抛物线 y24x 的焦点， A、 B、 C 为抛物线上三点， 当时， ABC 有（ ） A2 个 B4 个 C有限个，但多于 4 个 D无限多个 三三.解答题解答题 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+2kx3k0（kR）的虚根为 x

3、1、x2 （1）求 k 的取值范围，并解该方程； （2）若，求 k 的值 18学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图：航天器运行（按顺 时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后 返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分， 降落点为 D （8， 0） 观测点 A（4，0） 、B（6，0）同时跟踪航天器 （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为多少时， 应向航天器发出变轨指令？ 第 3 页（共 17 页） 19设 z 是虚数，是实数，且1w2 （1）求|

4、z|的值及 Rez 的取值范围； （2）若为纯虚数，求 z 20已知椭圆（ab0）长轴长是短轴长的 2 倍，在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过椭圆的左焦点的直线 l 与椭圆 C 相交所得弦长为 2，求直线 l 的斜率； （3）过点 P（1，0）的任意直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，设点 A、B 到直线 l0：xx0 （x02）的距离分别为 dA、dB，若，求 x0的值 21已知动圆 P 过点 F2（2，0） ，并且与圆相外切，设动圆的圆心 P 的轨迹为 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过动点 P 作直线与曲线 3x2y20 交于 A、B 两点，当 P 为 AB 的

5、中点时，求|OA| |OB|的值； （3）过点 F2的直线 l1与曲线 C 交于 E、F 两点，设直线，点 D（1，0） ，直 线 ED 交 l 于点 M，求证：直线 FM 经过定点，并求出该定点的坐标 第 4 页（共 17 页） 2019-2020 学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）一个方向向量为的直线的倾斜角的大小是 【分析】由题意利用直线的倾斜角的定义，直线的方向向量，求得结论 【解答】解：设一个方向向量为的直线的倾斜角的大小为 ，则 tan 再根据 0，） ， 故答案

6、为： 【点评】本题主要考查直线的倾斜角的定义，直线的方向向量，属于基础题 2 （3 分）抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 2 【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的 距离求得焦点到准线的距离 【解答】解：根据题意可知焦点 F（1，0） ，准线方程 x1， 焦点到准线的距离是 1+12 故答案为 2 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线标准方程的理解和运 用属基础题 3 （3 分）已知复数 z1+i，则 i 【分析】利用复数的运算性质、共轭复数的定义即可得出 【解答】解：复数 z1+i，则i 故答案为：i 【点评】本题考查了复数的运

7、算性质、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 4 （3 分）已知复数（a+3i） （1+2i）是纯虚数，则实数 a 的值为 6 【分析】利用复数的运算性质、纯虚数的定义即可得出 第 5 页（共 17 页） 【解答】解：复数（a+3i） （1+2i）a6+（3+2a）i 是纯虚数， 则 a60，3+2a0，解得 a6 故答案为：6 【点评】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 5 （3 分）若 1+2i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 的一个根，则 b 2 【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可 【解答】解

8、：1+2i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 的一个根， 可知 12i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 的一个根， 所以 1+2i+12ib，所以 b2 故答案为：2 【点评】本题考查复数方程的解法，实系数方程虚根成对定理的应用，是基本知识的考 查，基础题 6 （3 分）曲线（ 为参数，0，2） ）的焦距等于 【分析】将曲线的参数方程转化为普通方程，然后求出曲线的焦距 【解答】解：由（ 为参数，0，2） ） ， 得曲线的普通方程为， 焦距 故答案为： 【点评】本题考查了参数方程化普通方程和求椭圆的焦距，属基础题 7 （3 分）直线 y2x+3 被圆 x2+y26x8y0

9、所截得的弦长等于 4 【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即 可 【解答】解：圆 x2+y26x8y0 的圆心坐标（3，4） ，半径为 5， 圆心到直线的距离为：， 因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理， 第 6 页（共 17 页） 所以直线 y2x+3 被圆 x2+y26x8y0 所截得的弦长为：24 故答案为：4 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力 8 （3 分）如图所示，在ABC 中，A90，以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C， 若该椭圆的焦距为 4，则其短轴的长为 【分析】椭圆的焦距为 4，椭圆的 c 可得，AC

10、4，BC5 依据椭圆定义求得 a，然后求 解椭圆的短轴长即可 【解答】解：椭圆的焦距为 4，A90，则 AC3，BC5 则 c2，a4，b2 所以椭圆的短轴长为 4 故答案为：4 【点评】本题重点考查椭圆的简单性质的应用，解题的关键是求出椭圆的长轴长与焦距 长 9 （3 分）已知双曲线 x21 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点， 则最小值为 2 【分析】根据题意，设 P（x，y） （x1） ，根据双曲线的方程，易得 A1、F2的坐标，将 其代入中，可得关于 x、y 的关系式，结合双曲线的方程，可得4x2 x545，由 x 的范围，可得答案 【解答】解：根据题意，设 P（

11、x，y） （x1） ， 易得 A1（1，0） ，F2（2，0） ， （1x，y） （2x，y）x2x2+y2， 第 7 页（共 17 页） 又 x21，故 y23（x21） ， 于是4x2x545， 当 x1 时，取到最小值2； 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线方程的应用，涉及最值问题；解题的思路是先设出变量，表示 出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不 等式的性质或函数的最值进行计算 10 （3 分）若复数 z 满足|zz0|+|z3i|4，且复数 z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数 z0的 模的取值范围是 0，7） 【分析】利用椭圆的定义，判断 z0

12、的轨迹方程，画出图形，数形结合得答案 【解答】解：如图：满足|z3i|+|zz0|4 的复数 z 对应的点的轨迹是椭圆， 由椭圆的定义可知，z0到（0，3）的距离小于 4， 则 z0的轨迹是以（0，3）为圆心，4 为半径的圆的内部部分， |z0|的取值范围是0，7） 故答案为：0，7） 【点评】本题考查了轨迹方程，考查了复数模的求法，体现了数形结合的解题思想方法， 是中档题 11 （3 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜率为的直线 交抛物线于点 M （M 在第一象限） ， MNl， 垂足为 N， 直线 NF 交 y 轴于点 D， 若， 则抛物线的方程是

13、【分析】先联立直线与抛物线方程，解出点 M 的坐标，从而可得到点 N 的坐标，再由 N， D，F 三点共线，可得到点 D 的坐标，进而可求出抛物线的方程 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：联立，可得 由题可知，xMp（即上述方程中较大的根） M（，p） ，则有 N（，p） ， lNF：y（x） ，从而可求出点 D 的坐标为（0，） ， 又，则有，可得 p y22x 故答案为：y22x 【点评】本题主要考查了解方程组求出点 M 的坐标，再一环扣一环，分别求出点 N，点 D 的坐标，进而求出抛物线的方程 12 （3 分）已知点 P（0，2） ，椭圆+1 上两点 A（x1，y1） ，B（x2，

14、y2）满足 （R） ，则|2x1+3y112|+|2x2+3y212|的最大值为 24 【分析】如图所示，满足（R） ，可得：32，1直线 l 的方程为： 2x+3y120 点 A， P， B 到直线 l 的距离分别为： d1， d0 ，d2|2x1+3y112|+|2x2+3y212|（d1+d2） 1 时， d1+d22d032时，可得（d1+d2）24进而得出结论 【解答】解：如图所示， 满足（R） ，可得：32，1 直线 l 的方程为：2x+3y120 点 A，P，B 到直线 l 的距离分别为：d1，d0， d2 |2x1+3y112|+|2x2+3y212|（d1+d2） 第 9 页

15、（共 17 页） 1 时，d1+d22d0，可得（d1+d2）12 32时，d1+d2+可得（d1+d2）24 32，1可得：d1+d212，24 则|2x1+3y112|+|2x2+3y212|的最大值为 24 故答案为：24 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、分类讨论方法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二二.选择题选择题 13 （3 分）双曲线的两条渐近线的夹角的大小为（ ） A B C D 【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，求出一条渐近线与 x 轴的夹角，则答案可求 【解答】解：由双曲线，得 a，b2 双曲线的渐近线方程为 y， 则一条渐近线与 x

16、 轴的夹角为 arctan， 则两条渐近线的夹角的大小为 2arctan2 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题 14 （3 分）在复数范围内，下列命题中为假命题的是（ ） A复数 zR 的充要条件是 B若|z|z，则 zR 第 10 页（共 17 页） C若，则 z1 或 zi D对任意 zC 都成立 【分析】根据复数与共轭复数的概念可判断 AD 选项；根据复数的模可判断 B 选项；根 据复数的运算法则可判断 C 选项 【解答】解：设复数 za+bi，a、bR， 对于 A，若 zR，则 b0，显然成立，是充分条件；若，则 a+bia bi，所以 b0，zR，是必要条件，

17、即 A 正确； 对于 B，zabi，若|z|z，则，所以 ，所以 b0，a0，因此 zaR，即 B 正确； 对于 C，若，则 a+bi，化简得（a2b2）+2abi1，所以 a2 b21 且 2ab0，则 z1，即 C 错误； 对于 D，|z|2a2+b2，所以，即 D 正确 故选：C 【点评】本题考查了复数、共轭复数及复数的运算，属于基础题 15 （3 分） 已知集合， Bz|z|1， zC，若 AB，则 a、b 之间的关系是（ ） Aa2+b21 Ba2+b21 Ca+b1 Da+b1 【分析】先设出复数 z，利用复数相等的定义得到集合 A 看成复平面上直线上的点，集合 B 可看成复平面上

18、圆的点集，若 AB即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定 义建立不等关系即可 【解答】解：设 zx+yi，则（a+bi） （xyi）+（abi） （x+yi）+20 化简整理得，ax+by+10 即，集合 A 可看成复平面上直线上的点， 集合 B 可看成复平面上圆的点集，若 AB即直线与圆没有交点， d，即 a2+b21 故选：B 【点评】本题属于以复数为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型 第 11 页（共 17 页） 16 （3 分） 已知 F 为抛物线 y24x 的焦点， A、 B、 C 为抛物线上三点， 当时， ABC 有（ ） A2 个 B4 个 C有限个，但多于 4

19、个 D无限多个 【分析】判断点 F 是ABC 重心，进而可求 x1+x2+x3的值，即可判断 【解答】解：抛物线焦点坐标 F（1，0） ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ， 点 F 是ABC 重心， x1+x2+x33，y1+y2+y30， ABC 有无限多个， 故选：D 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质解本题的关键是判断出 F 点为三角形的重 心 三三.解答题解答题 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+2kx3k0（kR）的虚根为 x1、x2 （1）求 k 的取值范围，并解该方程； （2）若，求 k 的值 【分析】 （1）利用韦达定理，列出不等式求解

20、即可 （2）通过方程的根，结合已知条件利用（1）求解即可 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x2+2kx3k0（kR）的虚根为 x1、x2 可得4k2+12k0， 解得：3k0， 由求根公式可得； （2），； 可得 32+， ，解得 第 12 页（共 17 页） 【点评】本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，复数模的求法，考查计算能力，是 基础题 18学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图：航天器运行（按顺 时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后 返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分， 降落点为 D （8， 0） 观

21、测点 A（4，0） 、B（6，0）同时跟踪航天器 （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为多少时， 应向航天器发出变轨指令？ 【分析】 （1）由题意变轨之后轨迹为开口向下的抛物线，所以利用待定系数法可以先设 出方程，再利用条件建立未知数的方程进而求解； （2）由题意及图形可知变轨点 C 实质为两圆锥曲线的交点，故联立两方程即可求解 【解答】解： （1）设曲线方程为， 由题意可知， 曲线方程为 （2）设变轨点为 C（x，y） ，根据题意可知 得 4y27y360，y4 或（不合题意，舍去） y4 第 13 页（

22、共 17 页） 得 x6 或 x6（不合题意，舍去） C 点的坐标为（6，4） ， 答：当观测点 A、B 测得 AC、BC 距离分别为时，应向航天器发出变轨指令 【点评】 （1）此问重点考查了抛物线的定义及其标准方程，还考查了求解方程当知道方 程的类别利用待定系数法求解方程的思想； （2）此问重点考查了两方程的交点求解的方法应该把两个方程进行联立求解的方法 19设 z 是虚数，是实数，且1w2 （1）求|z|的值及 Rez 的取值范围； （2）若为纯虚数，求 z 【分析】设 za+bi，结合 是实数求出 a，b 的取值范围，结合复数的有关概念求解即 可 【解答】解： （1）设 za+bi，a，

23、bR 且 b0， 则 z+a+bi+（a+）+（b）i， z+是实数，b0，得 10，即 a2+b21，即|z|1， 则 z+2a（1，2） ， a（，1） ； （2）为纯虚数； a2b2+a0 且 2ab+b0 ； a2+b21， 联立解得 a（1 舍） ，b； 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结 合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键运算量较大，综合性较强 20已知椭圆（ab0）长轴长是短轴长的 2 倍，在椭圆 C 第 14 页（共 17 页） 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过椭圆的左焦点的直线 l 与椭圆 C 相交所得弦长为 2，求直

24、线 l 的斜率； （3）过点 P（1，0）的任意直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，设点 A、B 到直线 l0：xx0 （x02）的距离分别为 dA、dB，若，求 x0的值 【分析】 （1）根据题意，求出 a，b 代入即可； （2）根据题意，左焦点 F（，设直线 l 为 yk（x+） ，联立解方程组，由 |EF|2 求出 k； （3）当直线 l 与 x 轴重合时，x04，当直线 l 不与 x 轴重合时，设 l：xmy+1，联立解 方程组，由，求出 x04 成立 【解答】解： （1）由题意，2a4b，即 a2b， 由在椭圆 C 上， 联立解得 a2，b1， 故椭圆的方程为； （2）根据题意，左焦

25、点 F（， 设直线 l 为 yk（x+） ，由 消去 y，得（1+4k2）x2+8， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则， 所以|EF|， 得； （3）当直线 l 与 x 轴重合时，设 A（2，0） ，B（2，0） ， 第 15 页（共 17 页） 所以，得 x04， 同理 A（2，0） ，B（2，0） ，x04， 当直线 l 不与 x 轴重合时，设 l：xmy+1， ，消去 x 整理可得（m2+4）y2+2my30， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 y1+y2， 由，得， 整理得+14， 综上，当时，x04 【点评】考查椭圆的性质和方程，考查直线和椭圆的位置关

26、系，同时考查了圆锥曲线的 定值问题，考查逻辑思维能力和运算能力，中档题 21已知动圆 P 过点 F2（2，0） ，并且与圆相外切，设动圆的圆心 P 的轨迹为 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过动点 P 作直线与曲线 3x2y20 交于 A、B 两点，当 P 为 AB 的中点时，求|OA| |OB|的值； （3）过点 F2的直线 l1与曲线 C 交于 E、F 两点，设直线，点 D（1，0） ，直 线 ED 交 l 于点 M，求证：直线 FM 经过定点，并求出该定点的坐标 【分析】（1） 两圆外切转化为， 动点 P 和圆心距离|PF1|r， 和圆上点|PF2|r+2， 即有|PF2| |PF

27、1|2+rr2|F1F2|，满足双曲线定义，即可得曲线 C 方程为双曲线右支； （2）设 P 点坐标，代入双曲线方程，化简曲线 3x2y20，设出 A，B 两点坐标，根据 中点坐标公式得到 m，n 等式，化简即可得值； 第 16 页（共 17 页） （3）分两种情况讨论，当 k 不存在时，分别求出各点坐标，从而得到 FM 方程；当 k 存 在时， 联立方程， 利用韦达定理得到关系式， 证明关系式 kFNkNM， 可得直线过定点 （1， 0） 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，动圆的半径为 r， 圆的圆心 F2（2，0） ，半径为 2， 由题意可得|PF1|r，|PF2|r+2，即有|PF

28、2|PF1|2+rr2|F1F2|， 可得 P 的轨迹为以 F1，F2为焦点的双曲线的右支，可得 a1，c2，b， 即曲线 C 的方程为（x1） ； （2）证明：设 P（x0，y0） ，即有 x021， 曲线 3x2y20 即为 yx 和 yx， 设 A（m，m） ，B（n，n） ， 由 P 为 AB 的中点，可得 m+n2x0，mn2y0， 解得 mx0+y0，nx0y0， 则|OA|OB|2|m|2|n|4|mn|4|（x0+y0） （x0y0）| 4|x02y02|4 为定值 |OA|OB|4； （3）当斜率不存在时，l1：x2 可知 A（2，3） ，B（2，3） ， D（1，0） ，所

29、以直线 AD：， M（） ，所以直线 FM： 即 y3（x1） 所以直线恒过（1，0） ； 当斜率存在时，l1：yk（x2） ， 联立双曲线方程，消去 y，可得 （3k2）x2+4k2x4k330， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 第 17 页（共 17 页） 根据韦达定理可得 ， 则直线 AD 的方程为， 当 x时， y， M （） 设点 N（1，0） ，若 FM 过定点 N，则两直线斜率相等 即 kFNkMN， ， ， 所以 FM 恒过定点 N（1，0） ， 综上所述，直线 FM 恒过定点（1，0） 【点评】本题考查双曲线的基本性质，注意取值范围的讨论直线与双曲线的位置关系， 韦达定理的运算，体现了方程运算的数学思想，属于压轴题