2019-2020学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、若方程（k1）x2+（52k）y21 表示的曲线为双曲线，则实数 k 的取值范围 为 6（3 分） 若双曲线的渐近线方程为 y3x， 且过点 A （1，） ， 则双曲线的方程是 7 （3 分）点 P 为直线 3x+4y+40 上的动点，点 Q 为圆 C：x2+y22x4y+40 上的动点， 则|PQ|的最小值为 8 （3 分）已知 F1、F2是椭圆 C：+1（ab0）的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一 点，且，若PF1F2的面积为 4，则 b 9 （3 分）已知 a，bR+，若直线 x+2y+30 与直线（a1）x+by2 互相垂直，则 ab 的最 大值等于 10 （3 分）已知曲线：， （0

2、，）上一动点 P，曲线与直线 x1 交 于点 Q则的最大值是 11 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A（a，a） ，P 是函数 y（x0）图象上 一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 2，则满足条件的实数 a 的所有值为 12 （3 分）已知椭圆：+1 和圆 O：x2+y2r2（r0） ，设点 A 为椭圆上的任 一点，过 A 作圆 O 的两条切线，分别交椭圆于 B，C 两点，若直线 BC 与圆 O 相切， 则 r 第 2 页（共 21 页） 二、选择题二、选择题 13 （3 分）设 z 为非零复数，则“z+R“是|z|1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条

3、件 D既非充分也非必要条件 14 （3 分）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ） A B C D 15 （3 分）过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标 之和等于 2，则这样的直线（ ） A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 16 （3 分）曲线： （1）0，要使直线 ym（mR）与曲线有 四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，） B （3，3） C （3，）（，3） 第 3 页（共 21 页） D （3，）（，）（，3） 三、解答题三、解答题 17已知实系数一元二次方程 x2+ax+b0（a，b

4、R）的一根为2i（i 为虚数单位） ，另一 根为复数 z （1）求复数 z，以及实数 a，b 的值； （2）设复数 z 的一个平方根为 ，记 、2、2在复平面上对应点分别为 A、B、C， 求（+） 的值 18如图，某野生保护区监测中心设置在点 O 处，正西、正东、正北处有三个监测点 A、B、 C，且|OA|OB|OC|30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三 个监测点均收到求救信号， A 点接收到信号的时间比 B 点接收到信号的时间早秒 （注： 信号每秒传播 V0千米） （1）以 O 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系（如题） ，根据题设条件求观察 员所有可能出

5、现的位置的轨迹方程： （2）若已知 C 点与 A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测 中心 O 的距离： （3）若 C 点监测点信号失灵，现立即以监测点 C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保 证有救援希望，扫描半径 r 至少是多少公里？ 19已知椭圆：，过点 D（1，0）的直线 l：yk（x+1）与椭圆交于 M、 N 两点（M 点在 N 点的右侧） ，与 y 轴交于点 E （1）当 m1 且 k1 时，求点 M、N 的坐标； （2）当 m2 时，设，求证：+ 为定值，并求出该值； 第 4 页（共 21 页） 20设抛物线：y22px（p0） ，D（x0，y0）满足 y02

6、2px0，过点 D 作抛物线的切线， 切点分别为 A（x1，y1） ，B（x2y2） （1）求证：直线 yy1p（x+x1）与抛物线相切： （2）若点 A 坐标为（4，4） ，点 D 在抛物线的准线上，求点 B 的坐标： （3）设点 D 在直线 x+p0 上运动，直线 AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐 标：若不存在，请说明理由 21已知椭圆 ：+1双曲线的实轴顶点就是椭圆 的焦点，双曲线的焦距 等于椭圆 的长轴长 （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线 1 经过点 E（3，0）与椭圆 交于 A、B 两点，求OAB 的面积的最大值； （3）设直线 1：ykx+m（其中 k，m 为整数

7、）与椭圆 交于不同两点 A、B，与双曲线 交于不同两点 C、D，问是否存在直线 l，使得向量+ ，若存在，指出这样的 直线有多少条？若存在，请说明理由 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年上海市交大附中高二学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）复数 z 满足 iz1则 Imz 1 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 iz1，得 z， Imz1 故答案为：1 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （3 分）已

8、知抛物线 y4x2，则焦点的坐标为 （0，） 【分析】把方程化为标准方程求出 p，利用焦点坐标为（0，） ，写出焦点坐标 【解答】解：抛物线 y4x2的标准方程为 x2y，焦点在 y 轴的正半轴上，p， ， 故焦点坐标为（0，） ， 故答案为： （0，） 【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，注意先把方程化为标准方 程求出 p 3 （3 分）若 z（i 为虚数单位，a0） ，|z3|5，则 a 的值为 1 【分析】由已知求得 z，再由|z3|z|3列式求解 a 【解答】解：z2ai， 由|z3|5，得， 即 4a2+15，得 a1（a0） 故答案为：1 【点评】本题考查复数代数

9、形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 第 6 页（共 21 页） 4 （3 分）直线（参数 tR）的倾斜角为 【分析】直接把参数方程转换为直角坐标方程，进一步求出结果 【解答】解：直线（参数 tR）转换为直角坐标方程为：x2y26，即 x 2y+40， 故直线的斜率为 k， 所以直线的倾斜角为 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 5 （3 分）若方程（k1）x2+（52k）y21 表示的曲线为双曲线，则实数 k 的取值范围为 （，1）（，+） 【分析】利用已知条件，列出不等式转化求

10、解即可 【解答】解：方程（k1）x2+（52k）y21 表示的曲线为双曲线， 可得（k1） （52k）0，解得 k1 或 k 故答案为： （，1）（，+） 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 6 （3 分）若双曲线的渐近线方程为 y3x，且过点 A（1，） ，则双曲线的方程是 y2 9x21 【分析】可设双曲线的方程是 x2k，把点（1，）代入解得即可 【解答】解：由题意可知，可设双曲线的方程是 x2k，把点（1，）代入方程 解得 k， 故所求的双曲线的方程是 y29x21， 故答案为：y29x21 【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，设

11、出双曲线的方 第 7 页（共 21 页） 程是 x2k，是解题的突破口，属于中档题 7 （3 分）点 P 为直线 3x+4y+40 上的动点，点 Q 为圆 C：x2+y22x4y+40 上的动点， 则|PQ|的最小值为 2 【分析】根据直线和圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，即可得到结论 【解答】解：由圆的标准方程（x1）2+（y2）21 得圆心坐标为 C（1，2） ，半径 R 1， 圆心到直线的距离 d3， 在|PQ|的最小值为 dR2； 故答案为：2 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求出圆心到直线的距离是解决本题 的关键 8 （3 分）已知 F1、F2是椭圆 C：+1（ab

12、0）的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一 点，且，若PF1F2的面积为 4，则 b 2 【分析】 通过椭圆的定义和勾股定理、 三角形的面积公式得|PF1|+|PF2|2a， |PF1|2+|PF2|2 4c2，|PF1|PF2|9，由此能得到 b 的值 【解答】解：F1、F2是椭圆 C：+1（ab0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 PF1PF2， |PF1|+|PF2|2a， |PF1|2+|PF2|24c2，|PF1|PF2|4， （|PF1|+|PF2|）24c2+2|PF1|PF2|4a2， 164（a2c2）4b2， b2 故答案为：2 【点评】本题考查椭圆的定义和勾股定理、直

13、角三角形的面积公式，考查运算能力，属 于中档题 第 8 页（共 21 页） 9 （3 分）已知 a，bR+，若直线 x+2y+30 与直线（a1）x+by2 互相垂直，则 ab 的最 大值等于 【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得（a1）+2b0，变形可得 a+2b1， 进而结合基本不等式的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，若直线 x+2y+30 与直线（a1）x+by2 互相垂直， 则有（a1）+2b0，变形可得 a+2b1， 则 ab（a2b）（）2，当且仅当 a2b时，等号成立； 即 ab 的最大值为， 故答案为： 【点评】本题考查直线与直线垂直的判断，涉及基本不等式的性质以

14、及应用，属于基础 题 10 （3 分）已知曲线：， （0，）上一动点 P，曲线与直线 x1 交 于点 Q则的最大值是 【分析】先求出 Q 的坐标，表示出其数量积，结合三角函数的取值范围即可求解 【解答】解：曲线：， （0，）上一动点 P，曲线与直线 x1 交于点 Q 2cos1cos； sin； 即 Q（1，） ； （2cos，sin） （1，）2cos+sinsin（+） ；tan； （0，） ； +（，+） ； +时，取最大值且最大值为； 故答案为： 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力， 第 9 页（共 21 页） 属于中档题 11 （3 分）在平面

15、直角坐标系 xOy 中，设定点 A（a，a） ，P 是函数 y（x0）图象上 一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 2，则满足条件的实数 a 的所有值为 1 或 【分析】设点 P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和 二次函数的单调性即可得出 a 的值 【 解 答 】 解 ： 设 点P， 则 |PA| ， 令，x0，t2， 令 g（t）t22at+2a22（ta）2+a22， 当 a2 时，t2 时 g（t）取得最小值 g（2）24a+2a2，解得 a1； 当 a2 时，g（t）在区间2，a）上单调递减，在（a，+）单调递增，ta，g（t） 取得最小值 g（a） a22，a22

16、，解得 a 综上可知：a1 或 故答案为1 或 【点评】本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等 基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力 12 （3 分）已知椭圆：+1 和圆 O：x2+y2r2（r0） ，设点 A 为椭圆上的任 一点，过 A 作圆 O 的两条切线，分别交椭圆于 B，C 两点，若直线 BC 与圆 O 相切， 则 r 第 10 页（共 21 页） 【分析】由题意，可知 A 为椭圆左顶点，则 A（3，0） ，则 BC 方程为 xr，代入椭圆 ，求得 B 点坐标，写出 AB 方程，再由圆心到 AB 的距离等于 r 列式求解 r 值

17、 【解答】解：不妨取 A 为椭圆左顶点，则 A（3，0） ， BC 方程为 xr，代入椭圆：+1，得 y 设 B（r，） ，则 AB 的方程为：， 整理得： 由，得（5r6） （r3+12r2+45r+54）0， 则 r 故答案为： 【点评】本题考查圆与椭圆的综合，训练了特值法的应用，考查计算能力，是中档题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）设 z 为非零复数，则“z+R“是|z|1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【分析】设 zx+yi（x，yR，不同时为 0） ，可得 z+x+yi+x+y（1 ）iR，可得 y（1）0，解出即可判断出结

18、论 【解答】解：设 zx+yi（x，yR，不同时为 0） ，则 z+x+yi+x+y 第 11 页（共 21 页） （1）iR，y（1）0，y0，x0；或 x2+y21 即|z|1 “z+R“是|z|1”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了复数的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 14 （3 分）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ） A B C D 【分析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界） ，且复数对应点的纵坐标大 于或等于 【解答】解：由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界） ， 且复数对应点的纵坐标大于或

19、等于， 故有|z|1，Imz， 故选：D 【点评】本题考查复数的有关概念，复数与其对应点间的关系，体现了数形结合的数学 思想 15 （3 分）过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标 之和等于 2，则这样的直线（ ） A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 【分析】过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，先看直线 AB 第 12 页（共 21 页） 斜率不存在时，求得横坐标之和等于 2，符合题意；进而设直线 AB 为 yk（x1）与抛 物线方程联立消去 y，进而根据韦达定理表示出 A、B 两点的横坐标之和，方程无解

20、，进 而得出结论 【解答】解：过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点， 若直线 AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于 2，适合 故设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 方程为 yk（x1） 代入抛物线 y24x 得，k2x22（k2+2）x+k20 A、B 两点的横坐标之和等于 2， ， 方程无解， 这样的直线不存在 故选：A 【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学 生的计算能力，属于中档题 16 （3 分）曲线： （1）0，要使直线 ym（mR）与曲线有 四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，） B （3，

21、3） C （3，）（，3） D （3，）（，）（，3） 【分析】画出曲线表示的图形，利用数形结合转化求解即可 【解答】解：曲线： （1）0，可知 x，y3，3， 图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由，解得 y， 曲线： （1）0， 第 13 页（共 21 页） 要使直线 ym（mR）与曲线有四个不同的交点，可得 m（3，）（，3） 故选：C 【点评】本题考查曲线与方程的应用，数形结合的应用，正确判断与画出曲线方程的图 形，是解题的关键，是难题 三、解答题三、解答题 17已知实系数一元二次方程 x2+ax+b0（a，bR）的一根为2i（i 为虚数单位） ，另一 根为复数 z （1）求复数 z，

22、以及实数 a，b 的值； （2）设复数 z 的一个平方根为 ，记 、2、2在复平面上对应点分别为 A、B、C， 求（+） 的值 【分析】 （1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数得 z2i，再求 a 和 b 的值； （2）设 x+yi，x、yR，利用复数相等列方程组求出 x、y 的值， 再计算 、2和 2的值，求出 A、B、C 点的坐标，从而求得（+） 的值 【解答】解： （1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得 z2i； 利用根与系数的关系，得 a2i+2i0，b2i2i4； （2）复数 z2i，则 22i； 设 x+yi，x、yR； 所以 x2y2+2xyi2i， 即，解得 x

23、y1 或 xy1； 所以 1+i，或 1i； 第 14 页（共 21 页） 当 1+i 时，22i，21i； 所以 A（1，1） ，B（0，2） ，C（1，1） ， 所以（+） （1，3） （1，1）132； 当 1i 时，22i，213i， 所以 A（1，1） ，B（0，2） ，C（1，3） ， 所以（+） （1，1） （1，3）132； 综上知， （+） 的值为2 【点评】本题考查了复数的运算与平面向量的数量积计算问题，也考查了运算求解能力， 是中档题 18如图，某野生保护区监测中心设置在点 O 处，正西、正东、正北处有三个监测点 A、B、 C，且|OA|OB|OC|30km，一名野生动物

24、观察员在保护区遇险，发出求教信号，三 个监测点均收到求救信号， A 点接收到信号的时间比 B 点接收到信号的时间早秒 （注： 信号每秒传播 V0千米） （1）以 O 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系（如题） ，根据题设条件求观察 员所有可能出现的位置的轨迹方程： （2）若已知 C 点与 A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测 中心 O 的距离： （3）若 C 点监测点信号失灵，现立即以监测点 C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保 证有救援希望，扫描半径 r 至少是多少公里？ 【分析】 （1）利用双曲线的定义，求解轨迹方程即可 （2）联立直线与双曲线方程的方

25、程组，转化求解即可 （3）设出圆的方程，与双曲线方程联立，利用判别式，转化求解结果 第 15 页（共 21 页） 【解答】解： （1）以 O 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，A 点接收到信号的 时间比 B 点接收到信号的时间早秒， 可知野生动物观察员在保护区遇险， 发出求教信号的位置， 在以 AB 为焦点的双曲线的左 支， 所以 c30，2a40，所以 a20，则 b10， 所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：1，x0 （2）已知 C 点与 A 点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在 y x（x0）上， 所以，可得 x10，y10， 观察员遇险地点坐标

26、（10，10） ， 观察员遇险地点与监测中心 O 的距离：20 （3）由题意可得以监测点 C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得 x2+（y30）2r2， 与1，x0 联立，消去 x 可得：9y2300y+65005r20，9000036（65005r2）0，解得 r 20 为保证有救援希望，扫描半径 r 至少是 20公里 【点评】本题考查曲线方程的求法，分析问题解决问题的能力，满足条件的实数值的求 法，韦达定理、直线的斜率、双曲线的简单性质等基础知识，运算求解能力，是中档题 19已知椭圆：，过点 D（1，0）的直线 l：yk（x+1）与椭圆交于 M、 N 两点（M 点在 N 点的右侧） ，与

27、y 轴交于点 E （1）当 m1 且 k1 时，求点 M、N 的坐标； （2）当 m2 时，设，求证：+ 为定值，并求出该值； 【分析】 （1）联立椭圆与直线方程，即可求出交点 M，N 的坐标； （2）联立椭圆与直线方程，结合韦达定理，以及条件，得到 + 第 16 页（共 21 页） ，即可证出 + 为定值，该值为 3； 【解答】解： （1）当 m1 且 k1 时，椭圆方程为：，直线 l 方程为：y x+1， 联立方程，消去 y 得：3x2+4x0， 解得：x0 或， M 点在 N 点的右侧， M（0，1） ，N（，） ； （2）当 m2 时，椭圆方程为：， 联立方程，消去 y 得： （2+3

28、k2）x2+6k2x+3k260， 设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， ， E（0，k） ，D（1，0） ， ， 又， x1（x1+1） ，x2（x2+1） ， ， + 第 17 页（共 21 页） ， 故 + 为定值 3 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆位置关系，是中档题 20设抛物线：y22px（p0） ，D（x0，y0）满足 y022px0，过点 D 作抛物线的切线， 切点分别为 A（x1，y1） ，B（x2y2） （1）求证：直线 yy1p（x+x1）与抛物线相切： （2）若点 A 坐标为（4，4） ，点 D 在抛物线的准线上，求点 B 的坐标： （3）设点

29、D 在直线 x+p0 上运动，直线 AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐 标：若不存在，请说明理由 【分析】 （1）方法一：利用复合函数求导法则，求得直线 AD 的切线斜率，即可求得直 线 AD 的方程 方法二：将直线 AD 的方程代入抛物线方程，由0，即可判断直线 AD 与抛物线相切； （2）方法一：根据抛物线的极点极线的性质，求得直线 AB 恒过焦点，根据抛物线的焦 点弦的性质，即可求得 B 点坐标； 方法二：根据（1）可知，求得 D 点坐标，求得 BD 的方程，与抛物线方程联立，即可求 得 B 点坐标； （3） 方法一： 根据 （1） 可得， 求得直线 AD 和 BD 的方程， 可

30、得 y1， y2是方程 的两根，根据韦达定理及抛物线的性质，求得 AB 的方程，即可判断 AB 恒过定点， 方法二：根据抛物线的极点与极线的对称性，即可判断 AB 恒过定点， 【解答】解： （1）由方法一：抛物线：y22px（p0） ，求导，2yy2p，即， 所以在 A（x1，y1）点的切线的斜率， 所以切线方程为，由 y122px1，整理得 yy1p（x+x1） ， 所以直线 yy1p（x+x1）与抛物线相切； 方法二：由题意可知，消去 x，整理得 y22y1y+2px10， 第 18 页（共 21 页） 则， 所以直线 yy1p（x+x1）与抛物线相切； （2）方法一：由 A（4，4）在抛

31、物线上，则抛物线的方程 y24x， 由 D 在抛物线的准线上，所以直线 AB 过抛物线的焦点 F（1，0） ， 所以 x1x21，y1y21，所以 x2，y21， 所以 B（，1） ； 方法二：由 A（4，4）在抛物线上，则抛物线的方程 y24x， 由（1）可知，直线 AD 的方程 4y2（x+4） ，即 y（x+4） ，则 D（1，） ， 直线 BD 的方程 yy2p（x+x2） ，所以， 解得，所以 B（，1） ； （3）AB 恒过定点（p，0） ，理由如下： 方法一： 设 D （p， y0） ， 由 （1） 可知直线 AD 的方程为， 即 直线 BD 的方程， 将 D（p，y0）代入切线

32、方程， 所以 y1，y2是方程的两根，所以 y1+y22y0，y1y22p2 直线 AB 的斜率，直线 AB 的方程 xx1（yy1） ， 即，所以直线 AB 恒过定点（p，0） 方法二：设 D（p，y0） ， 由抛物线的极点极线的性质，可知直线 AB 的方程为 yy0p（xp） ，所以直线 AB 恒过 第 19 页（共 21 页） 定点（p，0） 【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的极点与 极线的性质，考查转化思想，计算能力，属于中档题 21已知椭圆 ：+1双曲线的实轴顶点就是椭圆 的焦点，双曲线的焦距 等于椭圆 的长轴长 （1）求双曲线的标准方程； （2）

33、设直线 1 经过点 E（3，0）与椭圆 交于 A、B 两点，求OAB 的面积的最大值； （3）设直线 1：ykx+m（其中 k，m 为整数）与椭圆 交于不同两点 A、B，与双曲线 交于不同两点 C、D，问是否存在直线 l，使得向量+ ，若存在，指出这样的 直线有多少条？若存在，请说明理由 【分析】 （1）根据椭圆及双曲线的标准方程和简单几何性质，即可求得双曲线的标准方 程； （2）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及三角形的面积公式，换元，即可 求得OAB 的面积的最大值； （3）将直线方程代入椭圆及双曲线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可求得 k 与 m 的取值，即可求得这

34、样的直线的条数 【解答】解： （1）椭圆的焦点坐标为（2，0） ，长轴长为 8，设双曲线的方程 ， 则 a2，c4，则 b212，双曲线的方程； （2）由题意可知过点 M 的直线斜率存在且不等于 0，设直线 l 方程为 xmy+3，A（x1， y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程组，消去 x，得（3m2+4）y2+18my210， y1+y2，y1y2， 所 以 SOAB |OE| |y1 y2| 3 3 第 20 页（共 21 页） 46， 令 12m2+7t7，则， 所以， 当且仅当 t9，即时，取等号， 则 SOAB664， 所以OAB 面积的最大值为 （3）存在这样的直线 ykx+

35、m，使得向量+ 成立，且这样的直线有 9 条 由，消去 y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2480， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x2，1（8km）24（3+4k2） （4m248）0， 由，消去 y，整理得（3k2）x22kmxm2120， 设 C（x3，y4） ，D（x4，y4） ， 则 x3+x4，2（2km）2+4（3k2） （m2+12）0， 因为+ ， 所以（y4y2）+（y3y1）0 由 x1+x2x3+x4得 所以 2km0 或 由上式解得 k0 或 m0当 k0 时， 由和得2m2 因为 m 是整数，所以 m 的值为3，2，1，0，1，2，3 当 m0，由和得k 第 21 页（共 21 页） 因为 k 是整数，所以 k1，0，1 于是满足条件的直线共有 9 条 【点评】本题考查椭圆及双曲线的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理， 弦长公式，利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于难题