2019-2020学年北京市民大附中高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、在各项均为正数的等比数列an中，a12 且 a2，a4+2，a5成等差数列，记 Sn是 数列an的前 n 项和，则 S5（ ） A32 B62 C27 D81 8 （5 分）已知直线 l1：mxy+2m0 与直线 l2：x+my20 的交点为 Q，椭圆 1 的焦点为 F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（ ） A4，+） B4，6 C2，+） D2，6 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 9 （5 分）双曲线y21 的渐近线方程为 10 （5 分）椭圆的焦点在 x 轴上，则实数 m 的取值范围是 第 2 页（

2、共 15 页） 11 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S70，S80，则 n 时，Sn取得 最小值 12 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 B（3，2） ，则 |PB|+|PF|的最小值为 13 （5 分）若 x0，y0，且1，则 x+3y 的最小值为 14 （5 分）设双曲线1（a0，b0）的两个焦点分别是 F1、F2，以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线于 A、B、C、D 四点，若 A、B、C、D、F1、F2恰为正六边形的六 个顶点，则双曲线的离心率等于 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共

3、 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15 （13 分）已知等差数列an中，a42，a810 （）求数列an的通项公式； （）求数列an的前 n 项和公式 Sn 16 （13 分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市 民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润 y（单位：元）与营运天数 x（xN*）满 足函数关系式 y+60x800 （1）要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？ 17 （14 分）已知点 F1、F2是椭圆1

4、的焦点，P 是椭圆上一点，直线 l：yx+m （）求PF1F2的周长； （）若直线 l 与椭圆相切，求 m 的值； （）当 m1 时，直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，求弦长|AB| 18 （13 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2an1， （nN*） （）求证：数列an为等比数列； （）若数列bn满足 bn（2n+1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （14 分）已知椭圆1（ab0）过点（0，1） ，且椭圆的离心率 e （）求椭圆的标淮方程； 第 3 页（共 15 页） （）直线 l 过点 A（1，0）且与椭圆相交于 C、D 两点，椭圆的右顶点为 B，试判断 CB

5、D 是否能为直角若能为直角，求出直线 l 的方程，若不行，请说明理由 20 （13 分）已知数列an满足 an+an+1+an+2r（r0） （）若 r0，a11，a22，求 a3，a4，a2019及 Sn； （）数列an的前三项是等差数列，公差为 d，则有 a2 ，若数列bn满足 bn an，对于任意的正整数 n，均有 bnbn+1，求 d 的范围 第 4 页（共 15 页） 2019-2020 学年北京市民大附中高二（上）期中数学试卷学年北京市民大附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题每小题小题每小题 5 分，共

6、分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合分在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项）题目要求的一项） 1 （5 分）已知数列an的通项公式为 ann2+2n，则 a10（ ） A100 B110 C120 D130 【分析】在数列an的通项公式中，令 n10，可得 a10的值 【解答】解：数列an的通项公式为 ann2+2n，则 a10102+210120， 故选：C 【点评】本题主要考查数列的函数特性，求函数的值，属于基础题 2 （5 分）双曲线1 的焦点坐标为（ ） A （0）和（0，） B （，0）和（，0） C （0，）和（0，） D （，0）和（，0） 【分析】求

7、得双曲线的 a，b，c，可得双曲线的焦点坐标 【解答】解：双曲线1 的 a，b2，c， 可得双曲线的焦点为（，0） ， （，0） 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的坐标，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 3 （5 分）抛物线 y22x 的准线方程是（ ） Ay By Cx Dx 【分析】根据抛物线的方程可得 2p2，算出，结合抛物线的基本概念即可算出此 抛物线的准线方程 【解答】解：抛物线的方程为 y22x， 2p2，得， 第 5 页（共 15 页） 可得抛物线的焦点为 F（，0） ，准线方程为 x 故选：D 【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程着重

8、考查了抛物线的标准 方程与简单几何性质等知识，属于基础题 4 （5 分）已知不等式 x2+bx+c0 的解集是1，2，则 b+c 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】根据不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出 b 和 c 的值， 再计算 b+c 【解答】解：不等式 x2+bx+c0 的解集是1，2， 所以方程 x2+bx+c0 的实数根为 1 和 2， 所以，b3，c2； 所以 b+c3+21 故选：A 【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与对应方程解的问题，是基础题 5 （5 分）若 a，b 为正实数，且 a+b2，则 ab 的最大值为（ ） A B1 C2 D2

9、 【分析】由 a，b 为正实数，则 a+b2，得出结论 【解答】解：a，b 为正实数，且 a+b2，当且仅当 ab1 成立， 所以 ab1， 故选：B 【点评】考查基本不等式的应用，基础题 6 （5 分）下列结论正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 a2b2，则 ab C若 ab，c0，则 a+cb+c D若，则 ab 【分析】A当 c0 时，由 acbc，得 ab，故 A 不正确B若 a2b2，则 ab，或 ab，故 B 不正确 C若 ab，c0，则 a+cb+cD由不等式的基本性质即可判断 【解答】解：，a，bR+，即 ab 故选：D 第 6 页（共 15 页） 【点评】掌握不等

10、式的基本性质是正确判断的关键 7 （5 分）在各项均为正数的等比数列an中，a12 且 a2，a4+2，a5成等差数列，记 Sn是 数列an的前 n 项和，则 S5（ ） A32 B62 C27 D81 【分析】 利用等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比， 然后代入等比数列的前 n 项和公式得答案 【解答】解：设各项均为正数的等比数列an的公比为 q，又 a12， 则 a22q，a4+22q3+2，a52q4， a2，a4+2，a5成等差数列， 4q3+42q+2q4， 2（q3+1）q（q3+1） ， 由 q0，解得 q2， 故选：B 【点评】本题考查等比数列前 n 项和，考查了等差数

11、列性质的应用，是基础的计算题 8 （5 分）已知直线 l1：mxy+2m0 与直线 l2：x+my20 的交点为 Q，椭圆 1 的焦点为 F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（ ） A4，+） B4，6 C2，+） D2，6 【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线 l1恒过点（2，0） ，直线 l2恒过点（2， 0） ， 且直线 l1与直线 l2相互垂直， Q 为两直线的交点， 进而分析可得 Q 的轨迹， 设 Q （m， n） ，求出椭圆的焦点坐标，分析可得用 m 表示|QF1|2和|QF1|2的值，据此分析可得答案 【解答】解：由条件可知 l1恒过点 M（2，0） ，l2恒过

12、点 N（2，0） ，且 l1，l2垂直，所 以点 Q 在以 O 为圆心，MN 为直径的圆上运动， 设 Q（m，n） ，则 m2+n24， 根据椭圆方程可知焦点坐标分别为 F1（，0） ，F2（，0） ， 则当 Q 与 F1和 F2共线时，|QF1|+|QF2|最短为|F1F2|2， 又因为|QF1|2（m+）2+n29+2m，|QF2|2（m）2+n292m， 而|QF1|+|QF2|6，当仅当 m0，n2 时成立， 第 7 页（共 15 页） 故|QF1|+|QF2|的取值范围是2，6， 故选：D 【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及轨迹方程的计算，分析出点 Q 的轨迹是关键， 属于中档题

13、二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 9 （5 分）双曲线y21 的渐近线方程为 y 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定 双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线的 a2，b1，焦点在 x 轴上 而双曲线的渐近线方程为 y 双曲线的渐近线方程为 y 故答案为：y 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方 程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 10 （5 分）椭圆的焦点在 x 轴上，则实数 m 的取值范围是 （2，3） 【分析】利用椭圆的标准方程

14、，结合焦点所在的轴，列出不等式求解即可 【解答】解：椭圆的焦点在 x 轴上，m13m0， 解得：2m3， 故答案为： （2，3） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题 11 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S70，S80，则 n 4 时，Sn取得最 小值 【分析】由等差数列的性质，得 a40，a50，再得出结论 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，由 S77a40，得 a40， 第 8 页（共 15 页） ，故 a50， 所以前 4 项和最小， 故答案为：4 【点评】考查等差数列前 n 项和为 Sn及其性质，基础题 12 （5 分）已

15、知抛物线 y24x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 B（3，2） ，则 |PB|+|PF|的最小值为 4 【分析】 过B作BA准线， 交准线于点A， 则|PB|+|PF|的最小值为|AB|， 由此能求出|PB|+|PF| 的最小值 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点是 F，焦点 F（1，0） ，准线方程 x1， 如图，过 B 作 BA准线，交准线于点 A， |PB|+|PF|的最小值为|AB|， B（3，2） ， |PB|+|PF|的最小值 （|PB|+|PF|）min|AB|1+34 故答案为：4 【点评】本题考查两线段和的最小值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查

16、 推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 13 （5 分）若 x0，y0，且1，则 x+3y 的最小值为 16 【分析】利用基本不等式的性质和“乘 1 法”即可得出 第 9 页（共 15 页） 【解答】解：x，y0，且， x+3y10+10+616， 当且仅当 x+3y1， 即y 取等号 因此 x+3y 的最小值为 16 故答案为 16 【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键 14 （5 分）设双曲线1（a0，b0）的两个焦点分别是 F1、F2，以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线于 A、B、C、D 四点，若 A、B、C、D、F1、F2恰为正六边形的六

17、个顶点，则双曲线的离心率等于 +1 【分析】由题意可得正六边形的边长为 c，由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2a，即c c2a，运用双曲线的离心率公式，即可得到所求值 【解答】解：A、B、C、D、F1、F2恰为正六边形的六个顶点，|F1F2|2c， 可得正六边形的边长为 c，|BF1|c， 由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2a， 即cc2a，即有 e+1 故答案为：+1 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，圆与内接正六边形的关系，考查化简运算能力， 属于中档题 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答

18、应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 第 10 页（共 15 页） 15 （13 分）已知等差数列an中，a42，a810 （）求数列an的通项公式； （）求数列an的前 n 项和公式 Sn 【分析】 （）由等差数列通项公式列出方程组，求出 a14，d2，由此能求出数列 an的通项公式 2n6 （）由 a14，d2，能求出数列an的前 n 项和公式 【解答】解： （）等差数列an中，a42，a810 ， 解得 a14，d2， an4+（n1）22n6 数列an的通项公式为 an2n6 （）a14，d2， 数列an的前 n 项和公式： Sn4n+n25n 【点评】本题考查等差数列的通项公式、前

19、 n 项和公式的求法，考查等差数列的性质等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 16 （13 分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市 民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润 y（单位：元）与营运天数 x（xN*）满 足函数关系式 y+60x800 （1）要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？ 【分析】 （1）令 y800，解出 x 的范围； （2）利用基本不等式求出的最大值及对应的 x 的值即可得出结论 【解答】解： （1）令 yx2+60x800800， 解得 40x80

20、， 营运天数的取值范围是 40 天到 80 天之间 第 11 页（共 15 页） （2）x+602+6020 当且仅当x即 x40 时取等号 每辆单车营运 40 天时，才能使每天的平均营运利润的值最大 【点评】本题考查了函数模型的选择应用，属于中档题 17 （14 分）已知点 F1、F2是椭圆1 的焦点，P 是椭圆上一点，直线 l：yx+m （）求PF1F2的周长； （）若直线 l 与椭圆相切，求 m 的值； （）当 m1 时，直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，求弦长|AB| 【分析】 （1）根据题意可知PF1F2周长|PF1|+|PF2|+|F1F2|2a+2c； （2）利用直线与椭圆相

21、切，联立直线与椭圆方程，则0，求得 m 的值； （3）联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系，表示出|AB|即可 【解答】解： （1）由题的 a2，b，则 c因为 P 在椭圆上， 所以|PF1|+|PF2|2a4，|F1F2|2c2， 所以PF1F2周长为 4+2； （2）联立，整理得 3x2+4mx+2m240，则16m212（2m24）0， 解得 m； （3）当 m1 时，l 方程为：yx+1，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立，整理得 3x2+4x20， 则 x1+x2，x1x2， 所以|AB|x1x2| 【点评】本题考查椭圆的定义，直线与椭圆相切、相交等知识点，属于中档题

22、 18 （13 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2an1， （nN*） （）求证：数列an为等比数列； （）若数列bn满足 bn（2n+1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 第 12 页（共 15 页） 【分析】 （）an2Sn1（nN*） ，推导出 a11，anan1，由此能证明an是首项 为 1，公比为1 的等比数列 （）由，得 bn（2n+1）an（2n+1） （1）n 1，由此利用错位相减法 能求出bn的前 n 项和 【解答】证明： （）数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2Sn1（nN*） ， 当 n1 时，a12S112a11，解得 a11， 当 n2 时

23、，由 an2Sn1，得 an12Sn11， ，得：anan12an，整理，得 anan1， an是首项为 1，公比为1 的等比数列 解： （）an是首项为 1，公比为1 的等比数列， ， bn（2n+1）an（2n+1） （1）n 1， bn的前 n 项和： Tn3 （1）0+5 （1）+7 （1）2+（2n+1） （1）n 1， Tn3 （1）+5 （1）2+7 （1）3+（2n+1） （1）n， ，得：2Tn3+2（1）+（1）2+（1）3+（1）n 1（2n+1） （1） n 3+2（2n1） （1）n （2n+2） （1）n 1+2， Tn（n+1） （1）n 1+11（n+1） （1

24、）n 【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意错位相减法的合理运用 19 （14 分）已知椭圆1（ab0）过点（0，1） ，且椭圆的离心率 e （）求椭圆的标淮方程； （）直线 l 过点 A（1，0）且与椭圆相交于 C、D 两点，椭圆的右顶点为 B，试判断 CBD 是否能为直角若能为直角，求出直线 l 的方程，若不行，请说明理由 【分析】 （）可得 b1，a2b2即可得椭圆的标淮方程 第 13 页（共 15 页） （）当直线 l 垂直 x 轴时，易得 C（1，） ，D（1，） ，由0 即可判定 当直线 l 不垂直 x 轴时，可设直线 yk

25、（x1）代入椭圆方程，消去 y 可得： （1+4k2） x28k2x+4k240，设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ， 可得（x12，y1） ，（x22，y2） ，当（x12） （x22）+y1y20，k0不 符合题意，即可判定故CBD 不能为直角 【解答】解： （）椭圆1（ab0）过点（0，1） ，b1， 椭圆的离心率 e， ，a2b2 椭圆的标淮方程为：； （）当直线 l 垂直 x 轴时，易得 C（1，） ，D（1，） 椭圆的右顶点为 B（2，0） ，） ， 0，CBD 是不为直角 当直线 l 不垂直 x 轴时，可设直线 yk（x1）代入椭圆方程，消去 y 可得： （1+4k2）

26、x28k2x+4k240 设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ， 则有 x1+x2，x1x2， 又 B（2，0） （x12，y1） ，（x22，y2） ， 若CBD 是否能为直角， 则（x12） （x22）+y1y2（1+k2）x1x2（k2+2） ） （x1+x2）+k2+4 第 14 页（共 15 页） （k2+2） +k2+40， 解得（1+k2） （4k24）（k2+2） 8k2+（k2+4） （1+4k2）0， k0不符合题意 故CBD 不能为直角 【点评】本题考查了椭圆性质，考查了直线与椭圆的置关系、运算能力，属于中档题 20 （13 分）已知数列an满足 an+an+1+a

27、n+2r（r0） （）若 r0，a11，a22，求 a3，a4，a2019及 Sn； （）数列an的前三项是等差数列，公差为 d，则有 a2 ，若数列bn满足 bn an，对于任意的正整数 n，均有 bnbn+1，求 d 的范围 【分析】 （1）当 r0 时，利用 an+an+1+an+20 可以直接求出 a3，a4的值，发现数列an 是以 3 为周期的周期数列，即可求出 a2019及 Sn； （2）利用数列an的前三项是等差数列，可以得出 2a2a1+a3，再利用已知条件求出 a2 的值，依次用 a2表示出 a1与 a3代入数列bn求解即可； 【解答】解： （1）当 r0 时，an+an+1+an+20； a1+a2+a30，a2+a3+a40， a33，a41； 数列an是以 3 为周期的周期数列； a2019a33； ，kN； （2）数列an的前三项是等差数列， 2a2a1+a3； a1+a2+a3r； ，； ， 第 15 页（共 15 页） ， ； 对于任意的正整数 n，均有 bnbn+1； ，即； r0， 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题