2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、若 abc 且 a+b+c0，则下列不等式中正确的是（ ） Aabac Bacbc Ca|b|c|b| Da2b2c2 4 （3 分）设 0x1，则 a，b1+x，c中最大的一个是（ ） Aa Bb Cc D不能确定 5 （3 分）在等比数列an中，a13，前 n 项和为 Sn，若数列an+1也是等比数列，则 Sn 等于（ ） A2n B3n C2n+11 D3n1 6 （3 分）若互不相等的实数 a，b，c 成等差数列，c，a，b 成等比数列，且 a+3b+c10， 则 a（ ） A4 B2 C2 D4 7 （3 分） 设an是各项为正数的无穷数列， Ai是边长为 ai， ai+1的矩形的面

2、积 （i1， 2， ） ， 则An为等比数列的充要条件是（ ） Aan是等比数列 Ba1，a3，a2n1，或 a2，a4，a2n，是等比数列 Ca1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比数列 Da1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同 8 （3 分）设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产值 t 万元（t 为正常数） 公司决定从原有员工中分流 x（0x100）人去进行新开发的产品 B 的生 产分流后，继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 第 2 页（共 16 页） 1.2x%若要保证产品 A

3、的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ） A15 B16 C17 D18 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题：共小题：共 30 分）分） 9 （3 分）数列an中，已知 a11，a22，an+1an+an+2（nN*） ，则 a7 10 （3 分）若实数 x，y 满足 xy1，则 x2+4y2的最小值为 11 （3 分）设 a，b 是两个实数，给出下列条件： a+b1；a+b2；a+b2；a2+b22；ab1 其中能推出： “a，b 中至少有一个大于 1”的条件是 （填序号，只有一个正确选 项） 12 （3 分）已知an是等差数列，a11，公差 d0，Sn为其前 n 项和，若 a1，a2

4、，a5成等 比数列，则 S8 13 （3 分）等比数列an中，若前 n 项的和为 Sn2n1，则 a12+a22+an2 14 （3 分）珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归 碑百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地， 人文资料等，如中央四数连读为 19991220 标示澳门回归日，中央靠下有 2350 标 示澳门面积约为 23.50 平方公里百子回归碑实为一个十阶幻方，是由 1 到 100 共 100 个整数填满 100 个空格， 其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等 请 问如图 2 中对角线上数字（从左上到右

5、下）之和为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题：共小题：共 80 分）分） 15记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 S9a5 （1）若 a34，求an的通项公式； （2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围 第 3 页（共 16 页） 16已知命题： “xx|1x1，使等式 x2xm0 成立”是真命题， （1）求实数 m 的取值集合 M； （2）设不等式（xa） （x+a2）0 的解集为 N，若 xN 是 xM 的必要条件，求 a 的 取值范围 17甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1x10） ，每小时可获得 利润是元 （1）要使生产该产品 2 小

6、时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围； （2）要使生产 1200 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并 求此最大利润 18已知 p： （x+1） （2x）0，q：关于 x 的不等式 x2+2mxm+60 恒成立 （1）当 xR 时 q 成立，求实数 m 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 19 已知数列an是各项均不为0的等差数列， 公差为d， Sn为其前n项和， 且满足， nN*数列bn满足，Tn为数列bn的前 n 项和 （1）求 a1、d 和 Tn； （2）若对任意的 nN*，不等式恒成立，求实数 的取值范围

7、20已知无穷数列an（anZ）的前 n 项和为 Sn，记 S1，S2，Sn中奇数的个数为 bn （）若 ann，请写出数列bn的前 5 项； （）求证： “a1为奇数，ai（i2，3，4，）为偶数”是“数列bn是单调递增数列” 的充分不必要条件； （）若 aibi，i1，2，3，求数列an的通项公式 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题：共小题：共 40 分）分） 1 （3 分）命题 p： “x（，0） ，3x4x”的否定p 为（

8、 ） Ax（，0） ，3x4x Bx（，0） ，3x4x C D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断 【解答】解：命题是全称命题，则p：， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称 命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础 2 （3 分）在等比数列an中，a32，a58，则 a4（ ） A4 B5 C4 D5 【分析】 根据题意， 设等比数列an的公比为 q， 由等比数列的通项公式可得， 解可得 q 的值，代入通项公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 由已知得，所以 q2，都符合题意， 所以 a4a3q

9、4， 故选：C 【点评】本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用 3 （3 分）若 abc 且 a+b+c0，则下列不等式中正确的是（ ） Aabac Bacbc Ca|b|c|b| Da2b2c2 【分析】abc 且 a+b+c0，可得 a0c，bR利用不等式的基本性质即可判断出 结论 【解答】解：abc 且 a+b+c0，a0c，bR 第 5 页（共 16 页） abac，acbc，a|b|与 c|b|大小关系不确定，a2、b2、c2大小关系不确定 则上述不等式中正确的是 A 故选：A 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4 （3 分）设

10、0x1，则 a，b1+x，c中最大的一个是（ ） Aa Bb Cc D不能确定 【分析】先由基本不等式确定 a，b 的大小，再对 b，c 作差比较即可 【解答】解：0x1， 1+x2 只需比较 1+x 与的大小 1+x0， 1+x 故选：C 【点评】本题主要考查比较几个数的大小问题比较大小一般通过基本不等式、作差、 运用函数的单调性等来完成 5 （3 分）在等比数列an中，a13，前 n 项和为 Sn，若数列an+1也是等比数列，则 Sn 等于（ ） A2n B3n C2n+11 D3n1 【分析】根据数列an为等比可设出 an的通项公式，因数列an+1也是等比数列，进而 根据等比性质求得公比

11、 q，进而根据等比数列的求和公式求出 sn 【解答】解：因数列an为等比，则 an3qn 1， 因数列an+1也是等比数列， 则（an+1+1）2（an+1） （an+2+1） an+12+2an+1anan+2+an+an+2 an+an+22an+1 an（1+q22q）0 q1 即 an3， 第 6 页（共 16 页） 所以 sn3n， 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力 6 （3 分）若互不相等的实数 a，b，c 成等差数列，c，a，b 成等比数列，且 a+3b+c10， 则 a（ ） A4 B2 C2 D4 【分析】因为 a，b，c 成等差数列，

12、且其和已知，故可设这三个数为 bd，b，b+d，再 根据已知条件寻找关于 b，d 的两个方程，通过解方程组即可获解 【解答】解：由互不相等的实数 a，b，c 成等差数列，可设 abd，cb+d，由题设得， ， 解方程组得，或， d0， b2，d6， abd4， 故选：D 【点评】此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式 求解，注意三个成等差数列的数的设法：xd，x，x+d 7 （3 分） 设an是各项为正数的无穷数列， Ai是边长为 ai， ai+1的矩形的面积 （i1， 2， ） ， 则An为等比数列的充要条件是（ ） Aan是等比数列 Ba1，a3，a2n1，或

13、 a2，a4，a2n，是等比数列 Ca1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比数列 Da1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同 【分析】根据题意可表示 Ai，先看必要性，An为等比数列推断出为常数，可推断 出 a1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同；再看充分 性，要使题设成立，需要为常数，即 a1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n， 第 7 页（共 16 页） 均是等比数列，且公比相等，答案可得 【解答】解：依题意可知 Aiaiai+1， Ai+1ai+1ai+2， 若An为等比数列则q （q 为常数） ， 则 a

14、1， a3， ， a2n1， 和 a2， a4， ， a2n，均是等比数列，且公比均为 q； 反之要想An为等比数列则需为常数，即需要 a1，a3，a2n1，和 a2， a4，a2n，均是等比数列，且公比相等； 故An为等比数列的充要条件是 a1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，均是等比 数列，且公比相同 故选：D 【点评】 本题主要考查了等比数列的性质， 充分条件， 必要条件和充分必要条件的判定 考 查了学生分析问题和基本的推理能力 8 （3 分）设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产值 t 万元（t 为正常数） 公司决定从原有员工中分流 x（0x100

15、）人去进行新开发的产品 B 的生 产分流后，继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2x%若要保证产品 A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ） A15 B16 C17 D18 【分析】分流后从事产品 A 生产的人数为 100x，根据要保证分流后，该公司产品 A 的 年产值不减少，可列不等式组求解 【解答】解：由题意，公司原有 100 人每年创造的产值为 100t（万元） ， 分流后剩余（100x）人每年创造的产值为（100x） （1+1.2x%）t， 则由，解得：0x xN， x 的最大值为 16 故选：B 【点评】本题考查数学建模思想方法，关键是考查

16、学生理解题意的能力，是中档题 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题：共小题：共 30 分）分） 第 8 页（共 16 页） 9 （3 分）数列an中，已知 a11，a22，an+1an+an+2（nN*） ，则 a7 1 【分析】根据递推公式 an+1an+an+2，得 an+2an+1an， 把 a11，a22 带入可依次求出前 7 项，从而得到答案 【解答】解：由 an+1an+an+2，得 an+2an+1an， 所以 a3a2a11，a4a3a2121，a5a4a3112，a6a5a4 2（1）1，a7a6a51（2）1 故答案为：1 【点评】本题考查数列的递推公式，数列的递推公式是

17、给出数列的一种方法 10 （3 分）若实数 x，y 满足 xy1，则 x2+4y2的最小值为 4 【分析】运用不等式 a2+b22ab（当且仅当 ab 取得等号） ，计算可得所求最小值 【解答】解：若实数 x，y 满足 xy1， 则 x2+4y22x2y4xy4， 当且仅当 x2y时，上式取得最小值 4 故答案为：4 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题 11 （3 分）设 a，b 是两个实数，给出下列条件： a+b1；a+b2；a+b2；a2+b22；ab1 其中能推出： “a，b 中至少有一个大于 1”的条件是 （填序号，只有一个正确选 项） 【分析】本题可以

18、利用反证法， “假设 a，b 两数均小于或等于 1，可得结论 a+b 小于等 于 2 ” ，由些推理可得到正确结论 【解答】解：关于，a+b1，可取，不能推出： “a，b 中至少有一个大于 1” ； 关于，a+b2，可取 a1，b1，不能推出： “a，b 中至少有一个大于 1” ； 关于，a2+b22，可取 a2，b2，不能推出： “a，b 中至少有一个大于 1” ； 关于，ab1，可取 a2，b2，不能推出： “a，b 中至少有一个大于 1” 关于，若 a+b2，则 a，b 中至少有一个大于 1，可用反证法证明，它是正确的 证明如下：假设 a1 且 b1， 则 a+b2 第 9 页（共 16

19、 页） 与已知条件“a+b2”矛盾， 故假设不成立 即有 a，b 中至少有一个大于 1，故正确 故选 【点评】本题考查的是不等式的基本性质和反证法，注意在判断其它命题错误时，可以 举反例本题计算量不大，但有一定的思维量，属于中档题 12 （3 分）已知an是等差数列，a11，公差 d0，Sn为其前 n 项和，若 a1，a2，a5成等 比数列，则 S8 64 【分析】依题意，a11，a1 （a1+4d） ，可解得 d，从而利用等差数列的前 n 项和公式即可求得答案 【解答】解：an是等差数列，a1，a2，a5成等比数列， a1 （a1+4d） ，又 a11， d22d0，公差 d0， d2 其前

20、 8 项和 S88a1+d8+5664 故答案为：64 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题 13（3 分） 等比数列an中， 若前 n 项的和为 Sn2n1， 则 a12+a22+an2 【分析】由已知可得等比数列an的首项和公比，进而可得数列也是等比数列，且 首项为1，公比为 q24，代入等比数列的求和公式可得答案 【解答】解：a1S11，a2S2S1312，公比 q2 又数列也是等比数列，首项为1，公比为 q24， 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式，得出数列为等比数列是解决问题的关键， 属基础题 14 （3 分）珠海市板樟山森林

21、公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归 第 10 页（共 16 页） 碑百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地， 人文资料等，如中央四数连读为 19991220 标示澳门回归日，中央靠下有 2350 标 示澳门面积约为 23.50 平方公里百子回归碑实为一个十阶幻方，是由 1 到 100 共 100 个整数填满 100 个空格， 其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等 请 问如图 2 中对角线上数字（从左上到右下）之和为 505 【分析】将图中对角线上数字从左上到右下相加即可 【解答】解：由题意得： 82+75+53+54+19+2

22、0+98+4+31+69505， 故答案为：505 【点评】本题考查了简单的合情推理问题，考查 n 阶幻方，是一道基础题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题：共小题：共 80 分）分） 15记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 S9a5 （1）若 a34，求an的通项公式； （2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围 【分析】 （1）根据题意，等差数列an中，设其公差为 d，由 S9a5，即可得 S9 9a5a5，变形可得 a50，结合 a34，计算可得 d 的值，结合等差 数列的通项公式计算可得答案； （2）若 Snan，则 na1+da1+（n1）d，分 n1 与 n2

23、两种情况讨论，求 出 n 的取值范围，综合即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，等差数列an中，设其公差为 d， 第 11 页（共 16 页） 若 S9a5，则 S99a5a5，变形可得 a50，即 a1+4d0， 若 a34，则 d2， 则 ana3+（n3）d2n+10， （2）若 Snan，则 na1+da1+（n1）d， 当 n1 时，不等式成立， 当 n2 时，有da1，变形可得（n2）d2a1， 又由 S9a5，即 S99a5a5，则有 a50，即 a1+4d0，则有（n 2）2a1， 又由 a10，则有 n10， 则有 2n10， 综合可得：n 的取值范围是n|1n10，nN

24、 【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前 n 项和公式，涉及数列与不等式的 综合应用，属于基础题 16已知命题： “xx|1x1，使等式 x2xm0 成立”是真命题， （1）求实数 m 的取值集合 M； （2）设不等式（xa） （x+a2）0 的解集为 N，若 xN 是 xM 的必要条件，求 a 的 取值范围 【分析】 （1）利用参数分离法将 m 用 x 表示，结合二次函数的性质求出 m 的取值范围， 从而可求集合 M； （2）若 xN 是 xM 的必要条件，则 MN 分类讨论当 a2a 即 a1 时，Nx|2 axa，当 a2a 即 a1 时，Nx|ax2a，当 a2a 即 a1 时

25、， N 三种情况进行求解 【解答】解： （1）由 x2xm0 可得 mx2x 1x1 Mm| （2）若 xN 是 xM 的必要条件，则 MN 第 12 页（共 16 页） 当 a2a 即 a1 时，Nx|2axa，则即 当 a2a 即 a1 时，Nx|ax2a，则即 当 a2a 即 a1 时，N，此时不满足条件 综上可得 【点评】本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用， 体现了分类讨论思想的应用 17甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1x10） ，每小时可获得 利润是元 （1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x

26、 的取值范围； （2）要使生产 1200 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并 求此最大利润 【分析】 （1）根据题意列不等式求出 x 的范围即可； （2）设总利润为 y，得出 y 关于 x 的函数解析式，配方得出最大值即可 【解答】解： （1）由题意可得：200（5x+1）3000， 即 5x14，解得 x3，又 1x10， 3x10 （2）设生产 1200 千克产品的利润为 y， 则 y100（5x+1） 120000（+5）1200003（）2+， 当即 x6 时，y 取得最大值 610000 故甲厂以 6 千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为 610000

27、 元 【点评】本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题 18已知 p： （x+1） （2x）0，q：关于 x 的不等式 x2+2mxm+60 恒成立 （1）当 xR 时 q 成立，求实数 m 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 第 13 页（共 16 页） 【分析】 （1）由0 得含 m 的不等式，解之得 m 的取值范围； （2）把 p 是 q 的充分不必要条件转化为由 AB，进而求出实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）4m2+4m240， m2+m60，3m2， 实数 m 的取值范围为： （3，2） （2）p：1x2， 设 Ax|1x2

28、，Bx|x2+2mxm+60， p 是 q 的充分不必要条件，AB 由（1）知，3m2 时，BR，满足题意； m3 时，Bx|x26x+90x|x3，满足题意； m2 时，Bx|x2+4x+40x|x2，满足题意； m3，或 m2 时，设 f（x）x2+2mxm+6， f（x）对称轴为 xm，由 AB 得 或， 或， 或， 或 综上可知： 【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 19 已知数列an是各项均不为0的等差数列， 公差为d， Sn为其前n项和， 且满足， nN*数列bn满足，Tn为数列bn的前 n 项和 （1）求 a1、d 和 Tn；

29、 （2）若对任意的 nN*，不等式恒成立，求实数 的取值范围 【分析】 （1）利用，n 取 1 或 2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的 第 14 页（共 16 页） 通项，进而可求数列的和； （2）分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论 【解答】解： （1），a10，a11 （1 分） ，（1+d）23+3d， d1，2， 当 d1 时，a20 不满足条件，舍去 因此 d2 （4 分） an2n1，Tn （6 分） （2）当 n 为偶数时， ，当 n2 时等号成立，最小值为， 因此 （9 分） 当 n 为奇数时， 在 n1 时单调递增，n1 时的最小值为， （12 分）

30、综上， （14 分） 【点评】本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论，分离 参数，属于中档题 20已知无穷数列an（anZ）的前 n 项和为 Sn，记 S1，S2，Sn中奇数的个数为 bn （）若 ann，请写出数列bn的前 5 项； （）求证： “a1为奇数，ai（i2，3，4，）为偶数”是“数列bn是单调递增数列” 的充分不必要条件； （）若 aibi，i1，2，3，求数列an的通项公式 【分析】 （I）推导出 ann，Sn由此能写出数列bn的前 5 项 （II）先证充分性，推导出 bnn，从而数列bn是单调递增数列；再证不必要性，当数 列an中只有 a2是奇数，其

31、余项都是偶数时，S1为偶数，Si（i2，3，4）均为奇数， bnn1，数列bn是单调递增数列，由此能证明： “a1为奇数，ai（i2，3，4，） 第 15 页（共 16 页） 为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的充分不必要条件 （）当 ak为奇数时，推导出 Sk不能为偶数；当 ak为偶数，推导出 Sk不能是奇数，从 而 ak与 Sk同奇偶，由此得到 an0 【解答】解： （I）ann，Sn S11，S23，S36，S410，S515 b11，b22，b32，b42，b53 证明： （II） （充分性） a1是奇数，ai（i2，3，4）为偶数， 对于任意 iN*，Si都是奇数， bnn， 数列

32、bn是单调递增数列 （不必要性） 当数列an中只有 a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，Si（i2，3，4）均为奇 数， bnn1，数列bn是单调递增数列， “a1为奇数，ai（i2，3，4，）为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的不必要 条件 综上， ： “a1为奇数，ai（i2，3，4，）为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的充 分不必要条件 （） （1）当 ak为奇数时，若 Sk为偶数， 若 ak+1是奇数，则 Sk+1为奇数，bk+1bk+1ak+1 为偶数，与 ak+1bk+1矛盾； 若 ak+1为偶数，则 Sk+1为偶数，bk+1bkak为奇数，与 ak+1bk+1矛盾 当 ak为奇数时，Sk不能为偶数； （2）当 ak为偶数，若 Sk为奇数， 若 ak+1为奇数，则 Sk+1为偶数，bk+1bkak为偶数，与 ak+1bk+1矛盾， 若 ak+1为偶数，则 Sk+1为奇数，bk+1bk+1ak+1 为奇数，与 ak+1bk+1矛盾， 当 ak为偶数时，Sk不能是奇数 综上，ak与 Sk同奇偶， a1b1S1为偶数，且 0b11，b1a10， 第 16 页（共 16 页） a2b2b1+11，且 b20，b2a20， 以此类推，得到 an0 【点评】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查 推理能力与计算能力，属于中档题