2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)11月月考数学试卷(含详细解答)
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1、如图同心圆中,大、小圆的半径分别为 2 和 1,点 P 在大圆上,PA 与小圆相切于 点 A,Q 为小圆上的点,则的取值范围是 9 (3 分)已知平面上三个不同的单位向量 , , 满足 ,若 为平面内的 任意单位向量,则|+|2|+3|的最大值为 10 (3 分)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题 第 2 页(共 22 页) 中正确的是 (写出所有正确命题的编号) 存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果 k 与 b 都是无理数,则直线 ykx+b 不经过任何整点 直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 直线 y
2、kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 二二.选择题选择题 11 (3 分)已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,O 为ABC 内一点,若分 别 满足下列四个条件: a+b+c tanA+tanB+tanC sin2A+sin2B+sin2C + 则点 O 分别为ABC 的( ) A外心、内心、垂心、重心 B内心、外心、垂心、重心 C垂心、内心、重心、外心 D内心、垂心、外心、重心 12 (3 分)如图,在同一平面内,点 P 位于两平行直线 l1、l2同侧,且 P 到 l1,l2的距离分 别为 1,3,点 M,N 分别在
3、 l1,l2上,|+|8,则的最大值为( ) A15 B12 C10 D9 13 (3 分)如图所示,BAC,圆 M 与 AB,AC 分别相切于点 D,E,AD1,点 P 是圆 M 及其内部任意一点,且(x,yR) ,则 x+y 的取值范围是( ) 第 3 页(共 22 页) A B C D 14 (3 分)已知点 M(a,b)与点 N(0,1)在直线 3x4y+50 的两侧,给出以下结 论: 3a4b+50; 当 a0 时,a+b 有最小值,无最大值; a2+b21; 当 a0 且 a1 时,的取值范围是(,)(,+) 正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 15 (3 分)在边长为 1
4、 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分 别为、;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为、 、若 m、M 分别为(+) (+)的最小值、最大值,其中i, j,k1,2,3,4,5,r,s,t1,2,3,4,5,则 m、M 满足( ) Am0,M0 Bm0,M0 Cm0,M0 Dm0,M0 三三.解答题解答题 16已知直线 l: (2a+b)x+(a+b)y+ab0 及点 P(3,4) (1)证明直线 l 过某定点,并求该定点的坐标 (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时,求直线 l 的方程 17如图所示,PAQ 是某海湾旅游区的一角,其中PAQ120,为了
5、营造更加优美的 旅游环境,旅游区管委员会决定在直线海岸 AP 和 AQ 上分别修建观光长廊 AB 和 AC, 其中 AB 是宽长廊,造价是 800 元/米;AC 是窄长廊,造价是 400 元/米;两段长廊的总 造价为 120 万元,同时在线段 BC 上靠近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台,并建水 上直线通道 AD(平台大小忽略不计) ,水上通道的造价是 1000 元/米 第 4 页(共 22 页) (1)若规划在三角形 ABC 区域内开发水上游乐项目,要求ABC 的面积最大,那么 AB 和 AC 的长度分别为多少米? (2)在(1)的条件下,建直线通道 AD 还需要多少钱? 18定义“
6、矩阵”的一种运算,该运算的意义为点(x,y)在矩阵的 变换下成点设矩阵 A (1)已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为,试求点 P 的坐标; (2)是否存在这样的直线:它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上?若 存在,试求出所有这样的直线;若不存在,则说明理由 19小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学,在学习向量三点共线定理时,我们知道当 P、A、B 三点共线,O 为直线外一点,且时,x+y1(如图 1)第二天, 小郭提出了如下三个问题,请同学帮助小郭解答 (1)当 x+y1 或 x+y1 时,O、P 两点的位置与 AB 所在直线之间存在什么关系?写出 你的结
7、论,并说明理由 (2)如图 2,射线 OMAB,点 P 在由射线 OM、线段 OA 及 BA 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动,且,求实数 x 的取值范围,并求当时,实数 y 的 取值范围 (3)过 O 作 AB 的平行线,延长 AO、BO,将平面分成如图 3 所示的六个区域,且 ,请分别写出点 P 在每个区域内运动(不含边界)时,实数 x,y 应满足 的条件 (不必证明) 第 5 页(共 22 页) 第 6 页(共 22 页) 2019-2020 学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)11 月月 月考数学试卷月考数学试卷 参考答案与试题解析
8、参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 (3 分)直线 l:5x12y+50 的单位方向向量为 (,) , (,) 【分析】取直线 l:5x12y+50 的方向向量为(12,5) ,即可求出直线的单位方向向 量 【解答】解:取直线 l:5x12y+50 的方向向量为(12,5) , 则该直线的单位方向向量为(,) , (,) , 故答案为: (,) , (,) 【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题 2 (3 分) 已知, 且 与 的夹角为锐角, 则实数 k 的取值范围是 ( ,2)(2,) 【分析】根据两向量的夹角为锐角知 0 且 、 不共线,
9、由此求出 k 的取值范围 【解答】解:,且 与 的夹角为锐角, 12k0,解得 k, 又 、 不共线,k2, 实数 k 的取值范围是(,2)(2,) 故答案为: (,2)(2,) 【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的应用问题,是基础题 3 (3 分)若直线 l 过点,且与直线的夹角为,则直线 l 的方程是 x2,或 x+y10 第 7 页(共 22 页) 【分析】先求出直线 m 的倾斜角,再根据直线 l 和直线 m 夹角为,可得直线 l 的倾斜 角,进而得到直线 l 的斜率,从而求得直线 l 的方程 【解答】解:直线 l 过点,且与直线的夹角为, 且直线 m 的斜率为,即直线 m 的倾斜角
10、为, 设直直线 l 的倾斜角为 ,则 +,或 +(), 故直线 m 的斜率不存在,或直线 m 的斜率为 tantan, 故直线 l 的方程为 x2, 或 y(x+2) , 即直线 l 的方程为 x2, 或 x+y 10, 故答案为:x2,或 x+y10 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率,用点斜式求直线的方程,属于基础题 4 (3 分)若直线 l:ykx与直线 2x+3y60 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜 角的取值范围是 【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组,求出方程组的解集即可得到交点的 坐标,根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于 0,联立得到关于 k 的不等式组,求出
11、不 等式组的解集即可得到 k 的范围,然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率 k,根据正切 函数图象得到倾斜角的范围 【解答】解:联立两直线方程得:, 将代入得:x,把代入,求得 y, 所以两直线的交点坐标为( ,) , 因为两直线的交点在第一象限,所以得到 ,且, 解得:k, 设直线 l 的倾斜角为 ,则 tan,所以 ( ,) 故答案为: 【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标,掌握象限点坐标的特点, 第 8 页(共 22 页) 掌握直线倾斜角与直线斜率的关系,是一道综合题 5 (3 分)已知直线 l:xy10,l1:2xy20若直线 l2与 l1关于 l 对称,则 l2的 方
12、程为 x2y10 【分析】先解方程组得 l 与 l1的交点(1,0)也在 l2上,然后在 l1上去一点(2,2) ,则 该点关于 l 的对称点(3,1)也在 l2上,用两点式即可求得 l2的方程 【解答】解:联立解得,所以三条直线的交点为(1,0) 在 l1上取点(2,2) ,依题意该点关于 l 的对称点(3,1)在 l2上 由两点式得 l2的方程为,化简得 x2y10 故答案为:x2y10 【点评】本题考查了直线与直线关于直线对称,属中档题 6 (3 分)函数的最小值为 【分析】利用函数的表达式,转化为 x 轴上的点与(1,3) , (0,1)距离和的最小值 【解答】解:函数+, 就是 x
13、轴上的点与(1,3)以及(0,1)距离之和的最小值, 可得最小值为: 故答案为: 【点评】本题考查函数的最值的求法,转化思想的应用 7 (3 分)在ABC 中,D、E 分别是 AB,AC 的中点,M 是直线 DE 上的动点,若ABC 的面积为 1,则+ 2 的最小值为 【分析】由三角形的面积公式,SABC2SMBC,则 SMBC,根据三角形的面积公式 及向量的数量积,利用余弦定理,即可求得则+ 2,利用导数求得函数的单调性, 即可求得则+ 2 的最小值; 第 9 页(共 22 页) 方法二:利用辅助角公式及正弦函数的性质,即可求得+ 2 的最小值 【解答】解:D、E 是 AB、AC 的中点,
14、A 到 BC 的距离点 A 到 BC 的距离的一半, SABC2SMBC,而ABC 的面积 1,则MBC 的面积 SMBC, SMBC丨 MB 丨丨 MC 丨 sinBMC, 丨 MB 丨丨 MC 丨 丨 MB 丨丨 MC 丨 cosBMC 由余弦定理,丨 BC 丨 2丨 BM 丨2+丨 CM 丨22 丨 BM 丨丨 CM 丨 cosBMC, 显然,BM、CM 都是正数, 丨 BM 丨 2+丨 CM 丨22 丨 BM 丨丨 CM 丨, 丨BC丨 2丨BM丨2+丨CM丨22丨 BM 丨丨CM丨 cosBMC2 2 + 2 +22, 方法一:令 y,则 y,令 y0,则 cosBMC, 此时函数在
15、(0,)上单调减,在(,1)上单调增, cosBMC时,取得最小值为, + 2 的最小值是, 方法二:令 y,则 ysinBMC+cosBMC2,则sin(BMC+) 2,tan, 则 sin(BMC+)1,解得:y, + 2 的最小值是, 故答案为: 第 10 页(共 22 页) 【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式,余弦定理,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题 8 (3 分)如图同心圆中,大、小圆的半径分别为 2 和 1,点 P 在大圆上,PA 与小圆相切于 点 A,Q 为小圆上的点,则的取值范围是 3,3+ 【分析】建立适当的平面直角坐标系,设 Q(cos,sin
16、) ,A(0,1) ,取 P(, 1) , 利用平面向量的坐标表示求数量积,根据三角函数的有界性求出它的取值范围 【解答】解:建立平面直角坐标系,如图所示, 设 Q(cos,sin) ,A(0,1) , 则 P(,1) ,不妨取 P(,1) , 则(,0) ,(cos+,sin+1) , (cos+)cos+3; 又 cos1,1, 3cos+33+, 即的取值范围是3,3+ 故答案为:3,3+ 第 11 页(共 22 页) 【点评】本题考查了平面向量的数量积以及数形结合的数学思想,是基础题 9 (3 分)已知平面上三个不同的单位向量 , , 满足 ,若 为平面内的 任意单位向量,则|+|2|
17、+3|的最大值为 【 分 析 】 柯 西 不 等 式 可 得 :( |+|2|+3| ) 2 ( 12+22+32) (|2+|2+3|2) 14( (|2+|2+|2) ,再根据向量的数量积公式计算即可 【解答】解:由柯西不等式可得: ( |+|2|+3|) 2 (12+22+32) (|2+|2+|2) 14( (|2+|2+|2) , 由于 , 与 , 与 的夹角为, 下面求|2+|2+|2, 由于|2|2, 不妨将 换成 ,设 与 夹角为 , 则|2+|2+|2cos2()+cos2()+cos2()+ +cos()+cos(22)+cos(2) +cos(2)+cos2+cos(2)
18、 +(cos2+sin2+cos2cos2sin2) 第 12 页(共 22 页) , (|+|2|+3|)21421 |+|2|+3|的最大值为 故答案为: 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查学生正确理解问题的能力,是难题 10 (3 分)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题 中正确的是 (写出所有正确命题的编号) 存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果 k 与 b 都是无理数,则直线 ykx+b 不经过任何整点 直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 直线 ykx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是
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