2019-2020学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、设 ab，则一定成立的是（ ） Aa2b2 B C Da+b2b 2 （5 分）若数列an满足 an+1ann，a12，则 a4（ ） A6 B7 C8 D9 3 （5 分）若 a0，b0，且 a+b1，则 ab 的最大值为（ ） A B C D 4 （5 分）若数列an满足 an，则an的前 n 项和为（ ） A B C D 5 （5 分）设 x，a，b 是任意实数，则“xa2+b2”是“x2ab”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）已知地球运行的轨道是焦距为 2c，离心率为 e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个 焦点上，则地

2、球到太阳的最小距离为（ ） Acec B2ce2c Cc D2c 7 （5 分）若椭圆+1（ab0）的右焦点 F（c，0）关于直线 yx 的对称点在 此椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 8 （5 分）若 a，b 是函数 f（x）x2+mx+n（m0，n0）的两个不同的零点，且 a，b， 1 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 m+n（ ） A B1 C D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 30 分分 9 （5 分）不等式 x21 的解集为 10 （5 分）命题“aR，a20”的否定是 第 2 页（共 14 页） 1

3、1 （5 分）椭圆 x2+4y216 上点的纵坐标的取值范围是 12 （5 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2+tn，且 a31，则 t 13 （5 分）若不等式 x2+1mx 对 x（0，+）恒成立，则实数 m 的取值范围是 14 （5 分）定义“等积数列” ：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的乘积都等 于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积， 已知数列an是 a12，公积为6 的等积数列，则 a3 ；数列an的前 n 项和 Sn 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出

4、文字说明、证明过程或演算步骤 15 （13 分）已知 ab0，求证： 已知 x1，当 x 取什么值时，x+的值最小？最小值是多少？ 16 （13 分）设an是等差数列，a18，且 a2+8，a3+6，a4+4 成等比数列 （）求an的通项公式： （）求an的前 n 项和 Sn的最小值； （）若bn是等差数列，bn与an的公差不相等，且 b5a5，问：an和bn中除第 5 项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可） 17 （13 分）已知函数 f（x）x2+（2a）x2a，aR （）当 a0 时，求 f（x）0 的解集； （）求使 f（x）0 的 x 的取值范围； （）写出“函数

5、f（x）在 x（1，2）上的图象在 x 轴上方”的一个充分条件 （直接写 出结论即可） 18 （13 分）已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1（1，0） ，F2（1，0） ，且椭圆 C 经过点（1， ） （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）当 m 取何值时，直线 yx+m 与椭圆 C：有两个公共点；只有一个公共点；没有公 共点？ 19 （14 分）设an是等比数列，a11，a3a2 （1）求an的通项公式： （2）求 a2+a4+a6+a2n2+a2n； 第 3 页（共 14 页） （3）在 an和 an+1之间插入 n 个数，其中 n1，2，3，使这 n+2 个数成等差数列记 插入的 n

6、个数的和为 Sn，求 Sn的最大值 20 （14 分）已知椭圆 C：+1（ab0）经过点 A（0，1） ，离心率为，过原 点 O 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 P，Q （）求椭圆 C 的长半轴长； （）求|PQ|的最大值； （）若直线 AP，AQ 分别与 x 轴交于点 E，F，求证：AEO 的面积与AFO 的面积 的乘积为定值 第 4 页（共 14 页） 2019-2020 学年北京市大兴区高二（上）期中数学试学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出

7、的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的要求的 1 （5 分）设 ab，则一定成立的是（ ） Aa2b2 B C Da+b2b 【分析】通过取特殊值，即可判断出 ABC 的正误，利用基本不等式的性质即可判断出 D 的正误 【解答】解：ab A取 a1，b2，可知：a2b2，因此不正确 B取 a1，b2，可知：，不存在，因此不正确 C取 a1，b2，可知：，因此不正确 Da+b2b，正确 故选：D 【点评】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法法，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 2 （5 分）若数列an满足 an+1ann，a12，则 a4（ ） A6 B

8、7 C8 D9 【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可 【解答】解：数列an满足 an+1ann，a12， 所以 a23， a33+25， a45+38， 故选：C 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基本知识的考查 3 （5 分）若 a0，b0，且 a+b1，则 ab 的最大值为（ ） A B C D 第 5 页（共 14 页） 【分析】利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：a0，b0，且 a+b1， ab（）2， 当且仅当 ab时取等号 所以 ab 的最大值是 故选：B 【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键 4 （5 分）若数列an满足 an，则an的前

9、 n 项和为（ ） A B C D 【分析】求得 an，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和 【解答】解：an， 则an的前 n 项和为 1+1 故选：C 【点评】本题考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题 5 （5 分）设 x，a，b 是任意实数，则“xa2+b2”是“x2ab”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解：设 x，a，b 是任意实数， 由重要不等式可得 a2+b22ab 恒成立，当且仅当 ab 时取等号， 则“xa2+b2”能推出“x2ab” ； “x2a

10、b”不能推出“xa2+b2” 则“xa2+b2”是“x2ab”的充分不必要条件； 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键 6 （5 分）已知地球运行的轨道是焦距为 2c，离心率为 e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个 第 6 页（共 14 页） 焦点上，则地球到太阳的最小距离为（ ） Acec B2ce2c Cc D2c 【分析】根据地球到太阳的最大距离是 a+c，最小距离是 ac，即可求得结论 【解答】解：地球运行的轨道是焦距为 2c，离心率为 e 的椭圆， 椭圆的长半轴长为， 则地球到太阳的最小距离为：（2c） 故选：C 【点评

11、】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于中档题 7 （5 分）若椭圆+1（ab0）的右焦点 F（c，0）关于直线 yx 的对称点在 此椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出 Q 到两焦点的距离，再利用椭圆的性质 可求出 b 与 c 之间的关系，然后求解离心率即可 【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为 F1（c，0） ， 如图连接 Q1F，QF， 设 QF 与直线 yx 交于点 M，由题意知 M 为线段 QF 的中点， F1QOM，又OMFQ， F1QQF，|F1Q|2|OM|， 在 RtMOF 中，tan

12、MOF，|OF|c， 可得|OM|，|MF|， 故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|， 由椭圆定义得|QF|+|QF1|+2a，得 bc， ac， 故 e 故选：D 第 7 页（共 14 页） 【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力，是中档题 8 （5 分）若 a，b 是函数 f（x）x2+mx+n（m0，n0）的两个不同的零点，且 a，b， 1 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 m+n（ ） A B1 C D 【分析】根据 a，b 是函数 f（x）的两个不同的零点，和方程根与系数的关系，利用判别 式0，等差与等比数列的定义，求出

13、a，b，进而得到 m，n 的值，即可得出 m+n 的 值 【解答】解：a，b 是函数 f（x）x2+mx+n（m0，n0）的两个不同的零点， a+bm，abn，且m24n0； 不妨设 ab0， 由于 a，b，1 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 1，b，a 或 a，b，1 成等差数列，a，1，b 或 b，1，a 成等比数列， a12b，ab（1）2， 解得 a2，b（a1 舍去） ， m，n1， 满足0， 则 m+n 故选：A 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系 数的关系，也考查了推理能力与计算能力，是综合性题目 二、填空题共

14、二、填空题共 6 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 30 分分 9 （5 分）不等式 x21 的解集为 x|1x1 【分析】由不等式 x21，通过因式分解可得（x+1） （x1）0，即可求得解集 【解答】解：由不等式 x21，化为（x+1） （x1）0，解得1x1 第 8 页（共 14 页） 不等式 x21 的解集为x|1x1 故答案为：x|1x1 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题 10 （5 分）命题“aR，a20”的否定是 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得：命题“aR，a20”的否定是： 故答案为： 【点评

15、】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题的否定是特称命 题，特称命题的否定是全称命题 11 （5 分）椭圆 x2+4y216 上点的纵坐标的取值范围是 2，2 【分析】化简方程为椭圆的标准方程，然后写出结果即可 【解答】解：椭圆 x2+4y216 的标准方程为：， 可得 y2，2 故答案为：2，2 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 12 （5 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2+tn，且 a31，则 t 4 【分析】根据题意，分析可得 a3S3S2（9+3t）（4+2t）5+t1，计算可得 t 的 值，即可得答案 【解答】解：根据题意，数列a

16、n的前 n 项和 Snn2+tn， 则 a3S3S2（9+3t）（4+2t）5+t1， 解可得：t4； 故答案为：4 【点评】本题考查数列的前 n 项公式和与通项的公式关系，属于基础题 13 （5 分）若不等式 x2+1mx 对 x（0，+）恒成立，则实数 m 的取值范围是 （， 2） 【分析】由题意，对 x（0，+）恒成立，由双勾函数的性质即可得解 第 9 页（共 14 页） 【解答】解：不等式 x2+1mx 对 x（0，+）恒成立， 对 x（0，+）恒成立， 设，由双勾函数的性质可知，f（x）minf（1）2， m2 故答案为： （，2） 【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查双勾函数的

17、性质，考查转化思想及函数思 想，属于基础题 14 （5 分）定义“等积数列” ：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的乘积都等 于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积， 已知数列an是 a12，公积为6 的等积数列，则 a3 2 ；数列an的前 n 项和 Sn 【分析】由等积数列的定义，可得 a12，a23，a32，a43，即为周期为 2 的数列，即可得到数列前 n 项和以及第三项 【解答】解：数列an是等积数列且 a12，公积为6， 可得 a23，a32，a43， 则前 n 项和 Sn2+（3）+2+（3）+ n2k，有 k 个 2，k 个3，S

18、n2k3kk； n2k+1，有（k+1）个 2，k 个3，Sn2（k+1）3kk+2 Sn 故答案为：2， 【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和，注意运用周期性，考查运算 能力，属于基础题 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （13 分）已知 ab0，求证： 第 10 页（共 14 页） 已知 x1，当 x 取什么值时，x+的值最小？最小值是多少？ 【分析】作差法证明即可； 利用基本不等式判断即可 【解答】解：证明：ab0， 故； 当 x1 时，x+10，yx+x+1+1，

19、当且仅当 x+13，即 x2 时，取等号， 故当 x2 时，x+值最小，最小为 5 【点评】考查了作差法和基本不等式法的应用，基础题 16 （13 分）设an是等差数列，a18，且 a2+8，a3+6，a4+4 成等比数列 （）求an的通项公式： （）求an的前 n 项和 Sn的最小值； （）若bn是等差数列，bn与an的公差不相等，且 b5a5，问：an和bn中除第 5 项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可） 【分析】 （）an是公差设为 d 的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通 项公式，解方程可得公差 d，进而得到所求通项公式； （）运用等差数列的求和公式和二

20、次函数的最值求法，注意结合数列的定义域，可得 所求最小值； （）运用等差数列的通项公式，以及方程思想，即可判断 【解答】解： （）an是公差设为 d 的等差数列，a18，且 a2+8，a3+6，a4+4 成等 比数列， 可得（a3+6）2（a2+8） （a4+4） ， 即有（8+2d+6）2（8+d+8） （8+3d+4） ，解得 d2， 则 an8+2（n1）2n10； （）an的前 n 项和 Snn（8+2n10）n（n9）（n）2， 由于 n 为自然数，可得 n4 或 5 时，Sn取得最小值20； （）不再存在序号相同且数值相等的项 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质

21、，考查方程思想和运算能 第 11 页（共 14 页） 力，以及推理能力，属于基础题 17 （13 分）已知函数 f（x）x2+（2a）x2a，aR （）当 a0 时，求 f（x）0 的解集； （）求使 f（x）0 的 x 的取值范围； （）写出“函数 f（x）在 x（1，2）上的图象在 x 轴上方”的一个充分条件 （直接写 出结论即可） 【分析】 （）当 a0 时，f（x）x2+2x，所以不等式 f（x）0，即为 x2+2x0，结合 二次函数图象即可得出不等式的解集 （）分三种情况当 a2 时，当 a2 时，当 a2 时来解不等式 （）只要所举的条件能推出“函数 f（x）在 x（1，2）上的图

22、象在 x 轴上方” ，即可 【解答】解： （）当 a0 时，f（x）x2+2x， 所以不等式 f（x）0，即为 x2+2x0， 所以不等式的解集为x|2x0， f（x）0 的 x 的取值范围2x0 （）不等式 f（x）0，即为 x2+（2a）x2a0 （x+2） （xa）0， 当 a2 时，不等式的解集为x|x2，xR， 当 a2 时，不等式的解集为x|x2 或 xa， 当 a2 时，不等式的解集为x|x2，xa， （）当 a2 时，函数 f（x）在 x（1，2）上的图象在 x 轴上方 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，属于中档题 18 （13 分）已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1（1

23、，0） ，F2（1，0） ，且椭圆 C 经过点（1， ） （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）当 m 取何值时，直线 yx+m 与椭圆 C：有两个公共点；只有一个公共点；没有公 共点？ 【分析】 （1）设出椭圆 C 的标准方程，利用交点坐标和椭圆 C 经过点（1，） ，列出方 程组，即可解出 a，b 的值，从而得出椭圆 C 的标准方程； （2）联立椭圆方程与直线 yx+m，利用的值即可求出直线 yx+m 与椭圆 C：有两个 第 12 页（共 14 页） 公共点、只有一个公共点、没有公共点时 m 的值 【解答】解： （1）设椭圆 C 的标准方程为+1， （ab0） ， 由题意可得：，解得， 椭

24、圆 C 的标准方程为：1； （2）联立，消去 y 得：7x2+8mx+4m2120， 则64m247（4m212）33648m2， 当0，即时，方程有两个不同的实数根，直线 yx+m 与椭圆 C 有两个公共点， 当0，即 m时，方程有两个相等的实数根，直线 yx+m 与椭圆 C 只有 一个公共点， 当0，即 m或 m时，方程无实数根，直线 yx+m 与椭圆 C 没有公 共点 【点评】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，是中档题 19 （14 分）设an是等比数列，a11，a3a2 （1）求an的通项公式： （2）求 a2+a4+a6+a2n2+a2n； （3）在 an和 an+1之间插入 n

25、个数，其中 n1，2，3，使这 n+2 个数成等差数列记 插入的 n 个数的和为 Sn，求 Sn的最大值 【分析】 （1）设an是公比为 q 的等比数列，由等比数列的通项公式可得公比，进而得 到所求通项公式； （2）由等比数列的求和公式，计算可得所求和； （3）求得 an+an+1（）n 1+（ ）n （）n 1，运用等差数列的求和公式，结合 数列的单调性，可得所求和的最大值 第 13 页（共 14 页） 【解答】解： （1）设an是公比为 q 的等比数列，a11，a3a2， 可得 q， 则 an（）n 1； （2）a2+a4+a6+a2n2+a2n+（）2n 3+（ ）2n 1 （1（）n）

26、 ； （3）an（）n 1， an+an+1（）n 1+（ ）n （）n 1， 依题意得 Snn （）n 1， Sn+1Sn（n+1） （）nn （）n 1 （3n） （）n 1， S1S2，S2S3，S3S4S5 Sn的最大值为 S3S44 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列的前 n 项和的最大值的求法， 是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差数列的性质的合理运用 20 （14 分）已知椭圆 C：+1（ab0）经过点 A（0，1） ，离心率为，过原 点 O 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 P，Q （）求椭圆 C 的长半轴长； （）求|PQ|的最大值； （）若

27、直线 AP，AQ 分别与 x 轴交于点 E，F，求证：AEO 的面积与AFO 的面积 的乘积为定值 【分析】 （）由离心率及过的点 A 和 a2b2+c2，可得 a，b 的值，即是椭圆方程求出； （）由题意得过原点的直线与椭圆交点弦中长轴最大，即可得出最大值； （）由题意设直线 PQ，代入椭圆得参数的关系，得 P，Q 的坐标关于原点对称，可求 出直线 AP，AQ 与 x 轴的交点坐标，得两个三角形的面积用坐标表示，进而得出面积之 第 14 页（共 14 页） 积为定值 【解答】解： （）由题意：b1，e，1，a23b23，所以椭圆 的长半轴； （）由（）得椭圆 C 的方程：+y21，过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同 的交点 P，Q 则知，|PQ|为长轴时最大即为|PQ|2a2； （）显然直线 l 的斜率存在，设 ykx，P（m，km）则 Q（m，km）代入椭圆中得： +（km） 21，m231（km）2，所以直线 AP：y x+1，令 y0，x 所以 E（，0） ，同理求出 F（，0） ， 所以 SAEOSAFO|OA|2|OE|OF|1 |为定值； 所以：AEO 的面积与AFO 的面积的乘积为定值 【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中档题