浙江省衢州、湖州、丽水三地市高三4月教学质量检测数学试题(含答案解析)
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1、 数学试题数学试题 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1已知集合 A0,4,BxR|x|1,则(RA)B( ) A1,0) B1,0 C0,1 D (1,4 2椭圆 2 2 +y21 的离心率是( ) A1 2 B1 3 C 2 3 D 2 2 3已知某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( ) A32 3 B16 3 C4 D8 4明朝的程大位在算法统宗中(1592 年)
2、,有这么个算法歌诀:三人同行七十稀,五 树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知它的意思是说:求某个数(正整数) 的最小正整数值,可以将某数除以 3 所得的余数乘以 70,除以 5 所得的余数乘以 21,除 以 7 所得的余数乘以 15,再将所得的三个积相加,并逐次减去 105,减到差小于 105 为 止, 所得结果就是这个数的最小正整数值孙子算经 上有一道极其有名的 “物不知数” 问题: “今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何 ” 用上面的算法歌诀来算,该物品最少是几件 ( ) A21 B22 C23 D24 5函数 f(x)(ex+e x)ln|x|的图象
3、大致为( ) A B C D 6若实数 x,y 满足约束条件 2 + 3 0 2 3 0 + 0 ,则 2x+3y 的取值范围是( ) A1,15 B1,15 C1,16 D1,16 7若 a0,b0,则“ab4”是“ + 1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8已知任意 a1,2,若存在实数 b 使不等式|x2ax|b 对任意的 x0,2恒成立,则 ( ) Ab 的最小值为 4 Bb 的最小值为 6 Cb 的最小值为 8 Db 的最小值为 10 9如图,正方形 ABCD 的中心与圆 O 的圆心重合,P 是圆 O 上的动点,则下列叙述不正确
4、的是( ) A + 是定值 B + + + 是定值 C| |+| |+| |+| |是定值 D 2+ 2+ 2+ 2 是定值 10对任意 x0,不等式 2ae2xlnx+lna0 恒成立,则实数 a 的最小值为( ) A 2 B 1 2 C2 D 1 2 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分)分) 11复数 = 2 1+(i 为虚数单位) ,则| = 12 (6 分)在数列an中,Sn为它的前 n 项和,已知 a21,a36,且数列an+n是等比 数列,则 an Sn 13 (6 分)二项式
5、(1 2) 6 的展开式的各项系数之和为 ,x4的系数为 14(6 分) 已知直线 l: mxy1, 若直线 l 与直线 xmy10 平行, 则 m 的值为 , 动直线 l 被圆 x2+y22y80 截得的弦长最短为 15 (6 分)已知随机变量 X 的分布列如表: X 0 2 a P 1 2 b 1 4 其中 a0,b0且 E(X)2,则 b ,D(2x1) 16在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M 是双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)上的异于顶 点的任意一点, 过点 M 作双曲线的切线 l, 若 kOMkl= 1 3, 则双曲线离心率 e 等于 17已知函数 f(x)x2+ax
6、+a,AxR|f(x)x,BxR|ff(x)f(x),A, AB,则实数 a 的取值范围是 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 个题,共个题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c已知 tan( 4 +A)3 ()求 sin2A+cos2A 的值; ()若ABC 的面积 S1,c2,求 a 的值 19 (15 分)如图,已知四棱锥 ABCDE,正三角形 ABC 与正三角形 ABE 所在平面互相垂 直,BC平面 ADE,且 BC2,DE1 ()求证:BCDE; ()
7、若 =2 ,求 CF 与平面 ABE 所成角的正弦值 20 (15 分)已知数列an的前 n 项和 Sn= 2+2 4 ,且 an0(nN*) ()写出 a1,a2,a3的值,并求出数列an的通项公式; ()设 bn= ,Tn为数列bn的前 n 项和;求证: 2+ 2 Tn 2+2 2 21 (15 分)如图,设抛物线方程为 x22py(p0) ,M 为直线 y2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B ()求直线 AB 与 y 轴的交点坐标; ()若 E 为抛物线弧 AB 上的动点,抛物线在 E 点处的切线与三角形 MAB 的边 MA, MB 分别交于点 C,D,记 = ,
8、问 是否为定值?若是求出该定值;若不是请说 明理由 22 (15 分)已知 f(x)(x2a)e x,g(x)a(ex+1) ()当 a1 时,判断函数 f(x)的单调性; ()当 a1 时,记 f(x)的两个极值点为 x1,x2(x1x2) ,若不等式 x2f(x1)f (x2)g(x1)恒成立,求实数 的值 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1已知集合 A0,4,BxR|x|1,则(RA)B( ) A1,0) B1
9、,0 C0,1 D (1,4 先求出 A 的补集以及集合 B,进而求得结论 因为集合 A0,4, RA(,0)(4,+) ; BxR|x|11,1, 则(RA)B1,0) 故选:A 本题主要考查集合之间的基本关系,属于基础题目 2椭圆 2 2 +y21 的离心率是( ) A1 2 B1 3 C 2 3 D 2 2 由椭圆方程可得 a= 2,c= 2 1 =1,从而求椭圆的离心率即可 椭圆方程为 2 2 +y21, a= 2,c= 2 1 =1, 故椭圆 2 2 +y21 的离心率 e= 1 2 = 2 2 , 故选:D 本题考查了椭圆的定义及离心率的求法,属于基础题 3已知某空间几何体的三视图
10、如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( ) A32 3 B16 3 C4 D8 首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积 根据几何体的三视图转换为几何体为: 所以 V= 1 3 2 4 2 = 16 3 故选:B 本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 4明朝的程大位在算法统宗中(1592 年) ,有这么个算法歌诀:三人同行七十稀,五 树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知它的意思是说:求某个数(正整数) 的最小正整数值,可以将某数除以 3 所得的余数乘以 70,除
11、以 5 所得的余数乘以 21,除 以 7 所得的余数乘以 15,再将所得的三个积相加,并逐次减去 105,减到差小于 105 为 止, 所得结果就是这个数的最小正整数值孙子算经 上有一道极其有名的 “物不知数” 问题: “今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何 ” 用上面的算法歌诀来算,该物品最少是几件 ( ) A21 B22 C23 D24 根据“三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二”找到三个数:第一个数能同时被 3 和 5 整除;第二个数能同时被 3 和 7 整除;第三个数能同时被 5 和 7 整除,将这三个数 分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加即可求出
12、答案 我们首先需要先求出三个数: 第一个数能同时被 3 和 5 整除,但除以 7 余 1,即 15; 第二个数能同时被 3 和 7 整除,但除以 5 余 1,即 21; 第三个数能同时被 5 和 7 整除,但除以 3 余 1,即 70; 然后将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加,即:152+213+702233 最后,再减去 3、5、7 最小公倍数的整数倍,可得:233105223,或者 105k+23(k 为正整数) 这堆物品至少有 23, 故选:C 本题考查的是带余数的除法,简单的合情推理的应用,根据题意下求出 15、21、70 这三 个数是解答此题的关键,属于中档题 5函数
13、f(x)(ex+e x)ln|x|的图象大致为( ) A B C D 判断函数的奇偶性排除 B;由 f(1)0 排除 C;再由 x0 时 f(x),排除 A, 则答案可求 函数 f(x)的定义域为x|x0,且 f(x)(e x+ex)ln|x|f(x) ,则函数为偶函 数,排除 B; 由 f(1)0 排除 C; 当 x0 时,f(x)(ex+e x)lnx,排除 A, 故选:D 本题考查函数的图象及图象变换,考查函数奇偶性的性质,是基础题 6若实数 x,y 满足约束条件 2 + 3 0 2 3 0 + 0 ,则 2x+3y 的取值范围是( ) A1,15 B1,15 C1,16 D1,16 画
14、出满足条件的平面区域,结合图象求出目标函数的范围即可 画出实数 x,y 满足约束条件 2 + 3 0 2 3 0 + 0 的平面区域,如图示: 目标函数化为:y= 2 3x+ 3, 当目标函数过 A(3,3)时 z 取最大值 15, 当目标函数过 B(1,1)时 z 取最小值1, 则 2x+3y 的取值范围是:1,15 故选:A 本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想以及转化思想,是一道常规题 7若 a0,b0,则“ab4”是“ + 1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 先借助于基本不等式考虑“ab4”是“ + 1”的什么条件,再研究
15、“ + 1”是“ab 4”的什么条件,进而判断充要性 a0,b0,a+b2(当且仅当 ab 时取“” ) , 1 + 1 2, + 2 = 1 2 , 若 ab4, 则 + 1 2 1 2 2 =1 即 ab4 + 1 故 “ab4”是“ + 1”的充分条件; 又当 + 1 时,取 a10,b= 1 2,则 ab5,这说明 + 1ab4,故“ab4” 不是“ + 1”的必要条件 所以“ab4”是“ + 1”的充分不必要条件 故选:A 本题借助于基本不等式考查充要性,属于基础题 8已知任意 a1,2,若存在实数 b 使不等式|x2ax|b 对任意的 x0,2恒成立,则 ( ) Ab 的最小值为
16、4 Bb 的最小值为 6 Cb 的最小值为 8 Db 的最小值为 10 由题意可得原不等式等价为bx2axb, 若 x0, 此不等式显然成立; 考虑 0x2, 转化为x a x,考虑 a 的范围和 x 的范围,分离参数 b,结合二次函数的最 值求法,可得 b 的最小值 由题意可得 b0,可得|x2ax|b 等价为bx2axb, 又 x0 时,不等式显然成立,只需考虑 0x2, 可得x a x, 由任意 a1,2,即a2,1, 可得 x1 即 bx(x+1)对 0x2 恒成立, 由 yx(x+2)在(0,2递增,可得函数 y 在 x2 处取得最大值 6, 则 b6, 又 x2 即bx(x2)对
17、0x2 恒成立, 而 yx(x2)在(0,2的最小值为 x1 处取得,可得最小值为1, 可得b1,则 b1, 故由可得 b6,即 b 的最小值为 6, 故选:B 本题考查不等式恒成立问题解法,注意运用转化思想和二次函数的最值求法,考查化简 运算能力和推理能力,属于中档题 9如图,正方形 ABCD 的中心与圆 O 的圆心重合,P 是圆 O 上的动点,则下列叙述不正确 的是( ) A + 是定值 B + + + 是定值 C| |+| |+| |+| |是定值 D 2+ 2+ 2+ 2 是定值 如图:建立平面直角坐标系,并设正方形边长为 2a,圆的半径为 r,且 r2,然后设 P(rcos,rsin
18、) ,正方形的四个顶点坐标易给,则将坐标分别代入四个选项判断即可 如图:建立平面直角坐标系,并设正方形边长为 2a,圆的半径为 r,且 r2, 然后设 P(rcos,rsin) ,A(a,a) ,B(a,a) ,C(a,a) ,D(a,a) = ( , ), =(arcos,arsin) , =(arcos, arsin) , =(arcos,arsin) , = 2 2 , = 22+ 2, = 2 2 , = 2+ 2, = 22+ 2, = 2+ 2 2 = 22+ 2 2( + ), 2 = 22+ 2+ 2( ), 2 = 22+ 2+ 2( + ), 2 = 22+ 2 2( )
19、对于 A,原式4a2+2r2(定值) ,故 A 结论成立; 对于 B,原式4r2(定值) ,故结论 B 成立; 对于 D,原式8a2+4r2(定值) ,故结论 D 成立 对于 C,取 0时,原式2|PA|+2|PB|= 22+ ( )2+ 22+ ( + )2,再取 45 时 , 原 式 = | + | + 2| = 2 + + 2 + 22+ 22= 2 + 22+ 22 显然两式不相等故 C 结论不成立 故选:C 本题考查平面向量的综合应用,建系设点可以使问题便于思考,本题计算量太大,要注 意计算的准确性属于中档题 10对任意 x0,不等式 2ae2xlnx+lna0 恒成立,则实数 a
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