安徽省皖南八校2020届高三第三次联考数学试题（理科）含答案解析

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1、“皖南八校”“皖南八校”20202020 届高三第三次联考数学届高三第三次联考数学（理科理科） 考生注意： 1本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 2考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域 书写的答案无效 ， 在试题卷、草稿纸上作答无效 3做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 4本卷命题范围：高考范围 、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，

2、只有一项是符合题目 要求的 1已知集合14Axx， *2 23BxN xx，则AB （ ） A13xx B03xx C1,2,3 D0,1,2,3 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足122i zi，则z z（ ） A4 B2 C4 D2 3已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若 88 8Sa，则公差 d 等于（ ） A 1 4 B 1 2 C1 D2 4新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考） 其中“选 择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序， 评定为 A，B，C，D，E 五个等级某试点

3、高中 2019 年参加“选择考”总人数是 2017 年参加“选择考”总 人数的 2 倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校 2017 年和 2019 年“选择考” 成绩等级结果，得到如下图表： 针对该校“选择考”情况，2019 年与 2017 年比较，下列说法正确的是（ ） A获得 A 等级的人数不变 B获得 B 等级的人数增加了 1 倍 C获得 C 等级的人数减少了 D获得 E 等级的人数不变 5函数 cos xx yeex 的部分图象大致是（ ） A B C D 6已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近线与圆 2 2 21xy相切，则双曲线

4、C 的离心 率为（ ） A 2 3 3 B3 C2 2 D2 7 在ABC中，5ACAD， E 是直线 BD 上一点， 且2BEBD， 若AEmABnAC则mn（ ） A 2 5 B 2 5 C 3 5 D 3 5 8若函数 sin3cosxxf x 在区间, a b上是增函数，且 2f a ， 2f b ，则函数 cos3sinxxg x 在区间, a b上（ ） A是增函数 B是减函数 C可以取得最大值 2 D可以取得最小值2 9若曲线lnyxa的一条切线为yexb（e 为自然对数的底数） ，其中 a，b 为正实数，则 11 eab 的取值范围是（ ） A2,e B,4e C2, D, e

5、 10在三棱锥PABC中，已知 4 APC ， 3 BPC ，PAAC，PBBC，且平面PAC 平 面PBC， 三棱锥PABC的体积为 3 6 ， 若点 P， A， B， C 都在球 O 的球面上， 则球 O 的表面积为 （ ） A4 B8 C12 D16 11已知函数 2 2 3f xx x ， g xf xb，若函数 yf g x有 6 个零点，则实数 b 的取值 范围为（ ） A2, B1, C1,2 D2,1 12已知抛物线 2 :20C ypx p，其焦点为 F，准线为 l，过焦点 F 的直线交抛物线 C 于点 A、B（其 中 A 在 x 轴上方） ， A， B 两点在抛物线的准线上

6、的投影分别为 M， N， 若2 3MF ，2NF ， 则 AF BF （ ） A3 B2 C3 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13二项式 6 2 x x 展开式中的常数项为_ 14 在平面直角坐标系中， 若角的始边是 x 轴非负半轴， 终边经过点 22 sin,cos 33 P ， 则cos _ 15已知函数 f x是定义域为 R 的偶函数，xR ，都有2fxfx，当01x时， 2 1 3log,0 2 1 1,1 2 x xx f x x ，则 9 11 4 ff _ 16已知各项均为正数的数列 n a的前 n 项和为 n S，满足 33332 123 2

7、 nnn aaaaSS，设 2 n n n a b 数 列 n b的前 n 项和为 n T，则使得 n Tm成立的最小的 m 的值为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足2 coscoscosaAbCcB （1）求 A； （2）若ABC的面积为6 3，2 7a ，求ABC的周长 18 （12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为长方形，PA 底面 A

8、BCD，4PAAB，3BC ，E 为 PB 的中点，F 为线段 BC 上靠近 B 点的三等分点 （1）求证：AE 平面 PBC； （2）求平面 AEF 与平面 PCD 所成二面角的正弦值 19 （12 分） 2019 新型冠状病毒（2019nCoV）于 2020 年 1 月 12 日被世界卫生组织命名冠状病毒是一个大型病毒家 族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病某医院对 病患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表： 戴口罩 未戴口罩 总计 未感染 30 10 40 感染 4 6 10 总计 34 16 50 （1）根据上表，判断是

9、否有 95%的把握认为未感染与戴口罩有关； （2）从上述感染者中随机抽取 3 人，记未戴口罩的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分） 已知点 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左，右焦点，椭圆上一点 P 满足 1 PFx轴， 21 5PFPF， 12 2 2FF （1

10、）求椭圆 C 的标准方程； （2）过 2 F的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，当 1 ABF的内切圆面积最大时，求直线 l 的方程 21 （12 分） 已知函数 2 ln2f xxaxaR （1）当1,1x 时，求函数 f x的最大值； （2）若函数 f x存在两个极值点 1 x， 2 x，求证： 12 2f xf x （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 4 1 5 3 1 5 xt yt （t 为参数） ，以直角坐标系的原点为极点，

11、以 x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos 4 （1）求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试求 A，B 两点间的距离 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知0a，0b，1ab （1）求11ab 的最大值； （2）若不等式 11 1xmx ab 对任意xR及条件中的任意 a，b 恒成立，求实数 m 的取值范围 1C *2* 23131,2,3BxN xxxNx ，1,2,3AB 2A 122i zi， 2 1122 2 111 iii zi iii ，2zi ，4z z 3D 88 8S

12、a， 1288 aaaa， 7 0S， 74 7Sa， 4 0a 4D 5B 易判断函数 cos xx yx ee为奇函数，由此排除 A，C，又1x 时，cos0 xx yx ee， 排除 D，故选 B 6 A 由题知圆心2,0到渐近线 b yx a 的距离为1， 即 22 2 1 b ab ， 又 222 abc， 解得 2 3 3 c e a 7D 2 22 5 AEABBEABBDABADABABAC ， 3 5 mn 8C 3 s i nc o s2 s i n6fxxxx ， 3cossin2cos2sin 662 g xxxxx ， g x的图象由 f x得图象向左平移 2 个 单

13、位长度所得 f x在区间, a b上是增函数， 且 2f a ， 2f b ， 令 6 xt 可取, 2 2 t ， 向左平移 2 个单位长度，即 1 4 个周期，可得, 2 2 t 时 g x可取得最大值为 2 9C lnyxa， 1 y xa ，设切点为 00 ,x y，则 00 0 ln 1 xaex e xa b ，2eab， 111111 2 22 bea eab eabeabeab 111 222 2 bea abeab 10A 取 PC 中点 O，连接 AO，BO，设球半径为 R，因为 3 BPC ，PAAC，PBBC， 所以AOBOR，2PCR，PBR，3BCR， 由平面PAC

14、 平面 PBC， 4 APC 得，AO 平面 PBC，因为三棱锥PABC的体积为 3 6 ，所以 3 33 66 R ，1R，球的表面积为4 11A 2 2 3fxx x ， 3 22 2 1 2 2 x fxx xx ，故当1x时， 0fx ， f x单调 递增当10x 或0x时， 0fx， f x单调递减，又 120ff，函数有两个零点 分别为1，2 函数 f g x有 6 个零点， 1g x与 2g x 的根共有 6 个， 1f xb 和 2f xb都 分别有 3 个实数根，则10b 且20b ，即2b 12 C 由抛物线的定义得：AFAM，BFBN， 易证 2 MFN ， 222 16

15、MNNFMF， 4MN， 11 2 3 22 MNF p MNNFSMF，3p 3 MFO ，AFAM， AMF为等边三角形直线 AB 的倾斜角 3 1 cos p AF ， 1 cos p BF 3 AF BF 13240 3 6 6 2 166 2 2 r r rrr r TCxCx x ，令 3 60 2 r，得4r ，常数项为 44 6 2240C 14 3 2 31 , 22 P ， 3 cos 2 ， 3 cos 2 155 由题知，函数 f x为偶函数且周期为 2， 91 111505 44 ffff 16 3 由 33332 123 2 nnn aaaaSS， 得 33332

16、123111 2 nnn aaaaSS ， 两 式 相 减 得 322 111 2222 nnnnnnnnn aSSSSaSSan ， 2 1 22 nnn aSSn ， 2 112 23 nnn aSSn ， 两式相减得 22 11 3 nnnn aaaan 数 列 n a的各项均为正数 1 13 nn aan ， 而 21 321aa ，数列 n a是公差为 1 的等差数列， 2111 n ann ， 1 2 n n n b ， 123 2341 2222 n n n T ， 2341 11111 22222 n n n T ， 相减得 123411 11 1 111111111122 1

17、 2222222222 1 2 n n nnn nn T ， 3 33 2 n n n T ，满足不等式的 m 的最小正整数为 3 17解： （1）由2 coscoscosaAbCcB及正弦定理得，2sincossincossincosAABCCB，2 分 2sincossinAAA 4 分 0A， 1 cos 2 A， 3 A 6 分 （2） 1 6 3 2 sin ABC bcSA，24bc 8 分 由余弦定理 222 2cos28abcbcA，可得 22 52bc， 10 分 2 252bcbc，10bc ， ABC的周长为102 7 12 分 18 （1）证明：PAAB，E 为线段 P

18、B 中点，AEPB 1 分 PA 平面 ABCD，BC 平面 ABCD，BCPA 3 分 又底面 ABCD 是长方形，BCAB又PAABA， BC平面 PABAE 平面 PAB，AEBC 5 分 又PBBCB，AE平面 PBC 6 分 （2）由题意，以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则0,0,0A，2,0,2E，4,1,0F， 0,0,4P，4,3,0C，0,3,0D 7 分 设平面 AEF 的法向量, ,mx y z，则 0 0 m AE m AF ， 220 40 xz xy ，令1x ，则4y ，1z ， 1, 4, 1m， 9 分 同理可求得平面 PCD 的法

19、向量0,4,3n ， 10 分 19 2 cos, 30 , m n m n m n ， 11 分 178 sin 30 ,m n，即平面 AEF 与平面 PCD 所成角的正弦值为 178 30 12 分 19解： （1） 2 2 5030 64 10 45043841 34 16 40 . 10 .K 4 分 所以有 95%的把握认为未感染与戴口罩有关 （2）由题知，感染者中有 4 人戴口罩，6 人未戴口罩，则 X 的取值可能为 0，1，2，3 3 4 3 10 1 0 30 C P X C ； 21 46 3 10 3 1 10 C C P X C ； 12 46 2 10 1 2 2 C

20、 C P X C ； 3 6 3 10 1 3 6 C P X C ， X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 （每个 P 值错 1 个扣 1 分) 10 分 13119 0123 3010265 E X 12 分 20解： （1）由题知 21 5PFPF， 12 2 2FF ， 222 1122 PFFFPF， 解得 2 5 3 3 PF ， 1 3 3 PF ，由椭圆的定义知 5 33 22 3 33 a ， 2 分 3a ，2c ，1b， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y 4 分 （2）要使 1 AFB的内切圆的面积最大，需且仅需其 1 AF

21、B的内切圆的半径 r 最大 因为 1 2,0F ， 2 2,0F，设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 易知，直线 l 的斜率不为 0，设直线:2l xty，联立 2 2 2 1 3 xty x y ， 故 22 32 210tyty ，故 12 2 2 2 3 t yy t ， 12 2 1 3 y y t ； 6 分 故 11 21 2 2 12121212 1 24 2 AF BF F AF F B SSSFFyyyyy y 2 2 222 2 242 61 2 333 t ttt ， 8 分 又 1 11 11 4 32 3 22 AF B SAFFBABrrr ， 9 分

22、故 2 2 2 61 2 3 3 t t ，即， 2 2 2 2 2121 2 32 1 21 t r t t ； 当且仅当 2 2 2 1 1 t t ，即1t 时等号成立， 11 分 直线 l 的方程为2yx或2yx 12 分 21解： （1） f x定义域为2,， 2 24 2 xxa fx x ， 1 分 由16 80a得2a，此时 0fx对1,1x 成立， f x在1,1上是增函数，最大值为 11ln3fa ， 2 分 当2a时，由 2 240xxa得 42 1 2 a x ， 取 0 42 1 2 a x ，则 0 1,xx 时， 0fx； 0, xx时， 0fx，所以 f x在

23、0 1,x 上是减函数，在 0, x 上是增函数， 3 分 又11f ，由 11ff得0a，所以02a时， f x在1,1上的最大值为1ln3a，当 0a时， f x在1,1上的最大值为 1， 4 分 综上， 当0a时， 函数 f x在1,1x 的最大值为1ln3a， 当0a时， 函数 f x在1,1x 的 最大值为 1 5 分 （2）要使 f x存在两个极值点，则 0fx，即 2 240xxa在2,上存在两不等的实根6 分 令 2 24p xxxa， p x的图象的对称轴为1x， 16 80a且20p ，02a ， 由 上 知 12 12 2 2 xx a xx 8分 22 121122 l

24、n2ln2f xf xxaxxax 2 121 21 212 2ln24xxx xax xxx 2 22ln224 22 aa a ln4 2 a aa 10 分 令 ln4 2 x q xxx，0,2x， ln0 2 x qx， q x在0,2上单调递减， 02x 时， 22q xq， 12 2f xf x 12 分 22解： （1）直线:3410lxy ，即3 cos4 sin10 ； 曲线:2cos 4 C ，即 2 cossin，曲线 C 的普通方程为 22 0xyxy5 分 （2）将直线 l 的参数方程代入 22 0xyxy得 2 7 0 5 tt，即 7 5 t 或0t ， A，B 两点间的距离 12 7 5 ABtt 10 分 23解： （1） 2 1111 21111116ababababab ， 当且仅当 1 2 ab时取等号，11ab 的最大值为6 5 分 （2） 1111 24 ba ab ababab ，且仅当ab时取等号， 11 ab 的最小值为 4 又11xmxm ，不等式 11 1xmx ab 对任意xR恒成立，只需14m 即可，解 得35m ，即 m 的取值范围为3,5 10 分