北京市怀柔区2020年高考一模数学试卷（含答案）

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1、1 2019-2020 学年怀柔区第二学期适应性练习学年怀柔区第二学期适应性练习 数数 学学 本试卷分第卷和第卷两部分 第卷 1 至 2 页、 第卷 3 至 4 页， 共 150 分 考试时长 120 分钟 考 生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分第一部分(选择题 共 40 分) 一、 选择题一、 选择题 （共共 10 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分 在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项分 在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项 ） 1已知集合1,2A， 02Bxx，则AB A1 B1

2、,2 C0,1,2 D 02xx 2若复数z满足i1 iz ，则z A1 i B1 i C1 i D1 i 3函数 2 2cos1yx的最小正周期为 A 2 B C2 D4 4函数 2 logyx的图象是 A B C D 5在等差数列 n a中，若 456 15aaa ，则 28 aa A6 B10 C7 D5 6已知圆 C 与圆(x1)2y21 关于原点对称，则圆 C 的方程为 Ax2y21 Bx2(y1)21 Cx2(y1)21 D(x1)2y21 7已知1a ，则“()aab r rr ”是“ 1a b ”的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 2 8如图

3、，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A 2 3 B 4 3 C3 D 3 2 9已知0ab，则下列不等式成立的是 A1 b a B 22 ab C 11 ab D 2 aab 10 “割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法 在公元263年左右， 由魏晋时期的数学家刘徽发明 其 原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求当时刘微就是利用这种方法，把 的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据这种方法 的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的为此，刘微把 它概

4、括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这种方法极 其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分根据“割圆术”，若用正 二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（精确到0.01） （参考数据sin150.2588 o ） A3.05 B3.10 C3.11 D3.14 第二部分第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题二、填空题（共共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 ） 11已知抛物线 2 2ypx的焦点与双曲线 2 2 1 4 x y的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为 ； 准线方程为 12 7 (1)

5、x的展开式中 3 x的系数是 13在ABC中，60ABC，22BCAB，E为AC的中点，则AB BE 3 14某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过 600 元，则不享受任何折扣 优惠；如果顾客选购商品的总金额超过 600 元，则超过 600 元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下 表累计计算 如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为 30 元，则他实际所付金额为 元 15若函数( )(cos) x f xexa在区间(,) 2 2 上单调递减，则实数a的取值范围是 三、解答题三、解答题（共共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分

6、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） 16 （本题满分 14 分） 已知在ABC中，2a，2 b ，同时还可能满足以下某些条件： 4 A ；B A；sinsinBA；4c （）直接写出所有可能满足的条件序号； （）在（）的条件下，求B及c的值 17 （本题满分 14 分） 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PA 底面ABCD，,E F分别是,BC PC的中 点，2ABAP （）求证：BD 平面PAC； （）求二面角EAFC的大小 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元的部分 10% 4 18 （本题满分 14 分） 某校高一、高二年

7、级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在 85,100之间为“体质优秀”，在75,85)之间为“体质良好”，在60,75)之间为“体质合格”，在0,60)之间 为“体质不合格”现从这两个年级中各随机抽取7名学生，测试成绩如下： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 高一年级 60 85 80 65 90 91 75 高二年级 79 85 91 75 60 m n 其中,m n是正整数 （）若该校高一年级有280学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数； （）若从高一年级抽取的7名学生中随机抽取2人，记X为抽取的2人中为“体质良好”的学生人数，求 X的分布列及数

8、学期望； （） 设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等， 当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时， 写出,m n的值（只需写出结论） 19 （本小题 15 分） 已知函数( )ln , ( ) x f xx g xe （）求( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （）当0x时，证明：( )( )f xxg x； （）判断曲线( )f x与( )g x是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由 5 20 （本小题满分 14 分） 已知椭圆:C 22 22 1(0) xy ab ab 的短半轴长为2，离心率为 2 2 （）求椭圆C的方程； （）设,A B是椭圆上关于坐标

9、原点对称的两点，且点A在第一象限，AEx轴，垂足为E，连接BE 并延长交椭圆于点D，证明：ABD为直角三角形 21 （本小题满分 14 分） 已知数列 , nnn abc，且 11 ,() nnnnnn baa cbb nN 若 n b是一个非零常数列，则 称 n a是一阶等差数列，若 n c是一个非零常数列，则称 n a是二阶等差数列 （）已知 11 1,1,1 n abc，试写出二阶等差数列 n a的前五项； （）在（）的条件下，证明： 2 2 2 n nn a ； （）若 n a的首项2 1 a，且满足)(23 1 1 Nnabc n nnn ，判断 n a是否为二阶等差数列 6 参考答

10、案 参考答案及评分标准及评分标准 一、选择题一、选择题(共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分) 二、填空题二、填空题(共共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分) 11. (2,0);2x ； 12. 35； 13. 1； 14. 1120； 15. 2,) 三、解答题三、解答题(共共 6 小题，共小题，共 85 分分) 16 （本题满分 14 分） 解： （），-4 分 （）由 sinsin ab AB 得 22 sin sin 4 B -6 分 2 2sin2 1 42 sin 222 B -8 分 22 6 abABB -9 分 解法一

11、： 762 sinsin()sin 124 CAB 由 62 2 sin 4 31 sinsinsin2 2 acaC c ACA -14 分 解法二： 222222 2 2cos2( 2)22 2 abcbcAcc 由 解得 31c 或31c （舍） -14 分 17 （本题满分 14 分） （）证明：连接BD-1 分 四边形ABCD为正方形 BDAC ，-2 分 PA又底面,ABCD BDABCD平面 ， BDPA，-4 分 PAACC而 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B D C D A C 7 PACBD平面 -5 分 （）解：ABCDPA平面，A

12、DAB -6 分 以A为原点、AB为x轴、AD为y轴、AP为z轴，建立空间直角坐标系-7 分 则)0 , 0 , 0(A,)0 , 0 , 2(B,)0 , 1 , 2(E,(0,2,0)D,) 1 , 1 , 1 (F,-9 分 设AEF平面的一个法向量为),(zyxn 0 0 n AE n AF ,即 0 02 zyx yx -10 分 令1x，则1, 2zy) 1 , 2, 1 ( n-11 分 由（）知)0 , 2 , 2(BD为ACF平面的法向量-12 分 3 c o s, 2| | | n B D nB D n B D -13 分 所以，二面角的大小为-14 分 18 （本题满分

13、14 分） 解：（）高一年级随机抽取的 7 名学生中，“体质优秀”的有 3 人，优秀率为 3 7 ，将此频率视为概率，估 计高一年级“体质优秀”的学生人数为 3 280120 7 人-3 分 （）高一年级抽取的 7 名学生中“体质良好”的有 2 人，非“体质良好”的有 5 人。所以X的可能取值 为0,1,2-5 分 所以 021120 252525 222 777 10101 (0), (1), (2) 212121 C CC CC C P XP XP X CCC -8 分 所以随机变量X的分布列为： 10101124 ()012 212121217 E X -11 分 （）78mn-14 分

14、 19 （本小题 15 分） 解： （）( )lnf xx的定义域(0,)-1 分 (2,1,0)AE (1,1,1)AF EAFC 6 X 0 1 2 P 10 21 10 21 1 21 8 1 ( )(1)1fxkf x 由-2 分 又(1) 0f -3 分 所以 yf x在点(1,(1)f处的切线方程为: 1yx-4 分 （）设( )( )ln(0)h xf xxxx x， 11 ( )101 x h xx xx 由， ( ), ( )h x h xx随 变化如下: x (0,1) 1 (1,) ( )h x 0 ( )h x 极大值 max ( )(1)ln1 110h xh ( )

15、f xx-7 分 设( )( )( )10(0,), xx s xs xxg xxxee 在则上恒成立， (0,( )xs x在上单调递减 ( )(0)10( )s xsxg x -9 分 综上 f xxg x-10 分 （）曲线( )f x与( )g x存在公切线，且有 2条，理由如下：-11 分 由（）知曲线( )f x与( )g x无公共点，设 12 , l l分别切曲线( )f x与( )g x于 2 112 ( ,ln),(,) x xxx e， 则 22 1122 1 1 :ln1;:(1) xx lyxxlyexex x ，若 12 ll，即曲线( )f x与( )g x有公切线

16、，则 2 2 2 1 22 12 1 (1)10 ln1(1) x x x e x exx xex 令( )(1)1 x h xexx ，则曲线 ( )f x与( )g x 有公切线，当且仅当( )h x有零点， ( )1 x h xxe ， 0( )0,( )(, 0)xhxh x当时,在单调递增， 0( )(1)0,( )( 0,) x xhxxehx 当时,在单调递减， ( 0)10,(1)10hhe又， 9 0 000 (0,1)()10 x xh xx e 存在使得， 0 (0,)( )0, ( )xxh xh x且时,单调递增， 0 (,)( )0, ( )xxh xh x时,单调

17、递减， 0 max00000 0 1 ( )()(1)1(1)10 x h xh xexxxx x ， 22 ( 2)310, (2)30hehe 又， 00 ( )( 2,),(,2)h xxx在内各存在有一个零点， 故曲线( )f x与( )g x存在 2 条公切线。-15 分 另解：曲线( )f x与( )g x存在公切线，且有 2条，理由如下： 设l是曲线( )f x与( )g x的公切线，切点分别为 2 11212 ( ,ln),(,)() x xxx exx，则 2 12 1 1 (),() x xx x fge 2 2 1 111 1 121 1 (1)ln1( ) ln1 x

18、x e x xxx xe xxx 当 1 1 ,( )x 时不成立 ， 1 111 111 122 1,( )ln1ln1 111 x xxx xxx 时 分别做出 2 ln1, 1 yxy x 的图象，如图，图象有二个交点， 1 1 2 ln1 1 x x 有二个根， 故曲线( )f x与( )g x存在 2 条公切线。 （酌情给分） 20 （本题满分 14 分） 解： （）依题意可得 2 2, 2 c b a -2 分 2222 222 21 2 caba aaa ，得2a-4 分 所以椭圆的方程是 22 1 42 xy -5 分 （）解法一： 设 11 ,B x y， 22 ,D xy，

19、则 11 ,Axy， 1,0 Ex-6 分 10 设 1 1 = 2 BDBE y kkk x ，则 1 1 =2 AB y kk x -8 分 22 212121 22 212121 ADBD yyyyyy kk xxxxxx -9 分 11 ,B x y， 22 ,D xy在椭圆上 2222 2121 22 22 21 21 1 = 24242 ADBD yyyy kk xxyy -11 分 1 = 2 AD k k ， -12 分 = 1 ABAD kk -13 分 ABAD，即ABD是直角三角形.- -14 分 解法二： 设 11 ,B x y， 22 ,D xy，则 11 ,Axy，

20、 1,0 Ex-6 分 设直线BD的方程为ykxm-7 分 与 22 1 42 xy 联立得 222 124240kxkmxm-9 分 12 2 4 12 km xx k -10 分 21 21 212112 21 2 AD kxmkxmyym kk xxxxxxk -11 分 1 1 2 BE y kk x ， 1 1 =2 AB y kk x -12 分 = 1 ABAD kk-13 分 ABAD，即ABD是直角三角形. -14 分 21 （本小题满分 14 分） 解： （） 1 1 a，2 2 a，4 3 a，7 4 a，11 5 a -3 分 （） 1 1,1,2,3, nnn bbc

21、n 1 1 1 1 1 n ni i bcbnn -5 分 又 1 ,1,2,3, nnn aabn n 2 1 1 1 (1)2 1 22 n ni i n nnn aba -9 分 （） n a不是二阶等差数列理由如下： 11 数列 n a满足)(23 1 1 Nnabc n nnn 又 nnn aab 1 ， nnn bbc 1 （ Nn） 由 111 111 324224(2 ) nnnn nnnnnnn cbaaaaa 数列 n n a2是首项为42 1 a，公比为 4 的等比数列 1 24 4442 nnnnn nn aa -12 分 9 42 nn n c，显然 n c非常数列 n a不是二阶等差数列-14 分