2018-2019学年上海中学高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、直线 ykx+2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同两个点，则实数 k 的取值范围 是 8 （3 分）设直线 l1：，l2：，点 A 和点 B 分别在直线 l1和 l2上运动，且 其中 O 为原点，则 AB 的中点 M 的轨迹方程为 9 （3 分）已知椭圆 mx2+y21（0m1）上存在不同的两点 A，B 关于直线 l：yx+1 对 称，则 m 的取值范围是 10 （3 分）双曲线 C：x2y22 的右焦点为 F，P 为其左支上任意一点，点 A 的坐标为（ 1，1） ，则APF 周长的最小值为 11 （3 分）椭圆 C1：，抛物线 C2：y24x，过抛物线 C2上一点 P（异于原点 O） 作

2、不平行于 x 的直线 l， 使得直线 l 与抛物线只有一个交点， 且于椭圆 C1交于 A， B 两点， 则直线 l 在 x 轴上的截距的取值范围是 12 （3 分）已知点 An，Bn在双曲线 xy1 上，且点 An的横坐标为，点 Bn的横坐标为 记 M 点的坐标为（1，1） ，Pn（xn，yn）是AnBnM 的外心，则 第 2 页（共 18 页） 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知复数 z 在复平面上对应的点为 Z（2，1） ，则（ ） Az1+2i B|z|5 C 2i Dz2 是纯虚数 14 （3 分）下列以 t 为参数的方程所表示的曲线中，与曲线 xy1 完全一致的是（ ） A

3、B C D 15 （3 分）设双曲线，右焦点 F（c，0） ，方程 ax2 bxc0 的两个实数根分别为 x1，x2，则点 P（x1，x2）与 x2+y24 的位置关系是（ ） A点 P 在圆外 B点 P 在圆上 C点 P 在圆内 D不确定 16 （3 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，对称轴与准线的交点为 T，P 为抛物线 C 上 任意一点，当取最小值时，PTF（ ） A B C D 三、解答题三、解答题 17若，试求 z 18已知曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上的点按坐标变换得到曲线 C （1）求曲线 C的普通方程； （2）若点 A 在

4、曲线 C上，点 D（1，3） 当点 A 在曲线 C上运动时，若，求 P 的轨迹方程 19我边防局接到情报，在两个海标 A，B 所在直线的一侧 M 处有走私团伙在进行交易活 动，边防局迅速排出快艇前去搜捕，如图，已知快艇出发位置码头 P 处，线段 AB 布满 暗礁，已知 PA8 公里，PB10 公里，APB60，且 AMBM请建立适当的直角 坐标系，求使快艇沿航线 PAM 或 PBM 的路程相等的点 M 的轨迹方程，且画出 第 3 页（共 18 页） 轨迹的大致图形 20已知关于 x 的二次方程 a（1+i）x2+（1+a2i）x+a2+i0 有实根，求实数 a 的值及相应 的实根 21已知椭圆

5、经过点，动点 M 在直线 x2 上，O 为坐标原点 （1）求椭圆的标准方程； （2）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径圆交于点 N，证明线段 ON 的长为定值，并求出这个值 22 如图， 点H （3， 0） ， 动点P在y轴上， 动点Q在x轴的非负半轴上， 动点M满足， ，设动点 M 的轨迹为曲线 C，过定点 D（m，0） （m0）的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 （1）求曲线 C 的方程； （2）若点 E 的坐标为（m，0） ，求证：AEDBED； （3）是否存在实数 a，使得以 AD 为直径的圆截直线 l：xa 所得弦长为定值？若存在， 求出实数

6、 a 的值；若不存在，说明理由 第 4 页（共 18 页） 2018-2019 学年上海中学高二（上）期末数学试卷学年上海中学高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）抛物线 y2x 的准线方程为 x 【分析】抛物线 y2x 的焦点在 x 轴上，且开口向右，2p1，由此可得抛物线 y2x 的 准线方程 【解答】解：抛物线 y2x 的焦点在 x 轴上，且开口向右，2p1 抛物线 y2x 的准线方程为 x 故答案为：x 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键 2 （3 分）若复数 z 满足，其中 i 为虚数单

7、位，则 z +i 【分析】利用复数的运算性质、共轭复数的定义即可得出 【解答】解：， i z+i 故答案为： 【点评】本题考查了复数的运算性质、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3 （3 分）点 P（1，0）到曲线（其中参数 tR）上的点的最短距离为 1 【分析】设曲线（其中参数 tR）上的任意一点 Q（t2，2t） ，利用两点之间的距 离公式、二次函数的单调性即可得出 【解答】解：设曲线（其中参数 tR）上的任意一点 Q（t2，2t） ， 则|PQ|t2+10， 第 5 页（共 18 页） 当 t0 时，取等号 要求的最短距离为 1 故答案为：1 【点评】本题考查了两点

8、之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 4 （3 分）双曲线1 的两条渐近线的夹角为 60 【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后求解两条渐近线的夹角 【解答】解：双曲线1 的渐近线方程为：yx，直线的倾斜角为 30， 和 150， 所以双曲线的极限的夹角为 60 故答案为：60 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 5 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，焦点在 x 轴上的椭圆的焦距为 6，则 m 3 【分析】利用已知条件，结合椭圆的性质，列出方程求解即可 【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，焦点在 x 轴上的椭圆的焦距为

9、 6， 可得：3，2m2m0， 解得 m3 故答案为：3 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 6 （3 分）已知复数 z3sin+icos（i 是虚数单位） ，且|z|，则当 为钝角时，tan 1 【分析】直接利用复数的模，得到 的三角方程，然后求解即可 【解答】解：复数 z3sin+icos（i 是虚数单位） ，且|z|， 可得 9sin2+cos25， 第 6 页（共 18 页） 可得 sin2，当 为钝角时，sin，135， tan1 故答案为：1 【点评】本题考查复数的模以及三角函数的化简求值，考查计算能力 7 （3 分）直线 ykx+2 与双曲线 x2y2

10、6 的右支交于不同两个点，则实数 k 的取值范围 是 【分析】把直线方程与双曲线方程联立消去 y，根据 x1x20 和判别式大于 0 求得 k 的范 围 【解答】解：由直线 ykx+2 与双曲线方程联立，消去 y （1k2）x24kx100 x1x20 所以0 所以 k21，即 k1 或者 k1 又 x1+x20，所以0，可得 k0 k1 又（4k2）+40（1k2）0 解得，解得 解得 又由题意，直线与右支交于两点，由图象知 k 的取值范围是 故答案为 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题当直线与圆锥曲线相交时 涉及 交点问题时常用“韦达定理法”来解决 8 （3 分）设直线 l1：

11、，l2：，点 A 和点 B 分别在直线 l1和 l2上运动，且 其中 O 为原点，则 AB 的中点 M 的轨迹方程为 【分析】 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 设 AB 中点 M 坐标 （m， n） ， 得 x1x2+y1y2 2，x1x21，根据中点公式代入化简，求出即可 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设 AB 中点 M 坐标（m，n） ，得 x1x2+y1y22，得 x1x23x1x22，即 x1x21， 第 7 页（共 18 页） 由， 所以 m2， 故 M 的轨迹方程为， 故答案为： 【点评】考查求动点的轨迹方程，本题应用了代入消元法，

12、中档题 9 （3 分）已知椭圆 mx2+y21（0m1）上存在不同的两点 A，B 关于直线 l：yx+1 对 称，则 m 的取值范围是 （0，） 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 M（x0，y0） ，直线 AB 的方程可设 为 yx+t，联立解方程组，结合4t24（m+1） （t21）0，解得 mt2（m+1） 0，求出 m 的范围 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 M（x0，y0） 此椭圆上存在不同的两点 A、B 关于直线 yx+1 对称， 直线 AB 的方程可设为 yx+t， 联立，化为（m+1）x22tx+t

13、210， 4t24（m+1） （t21）0，解得 mt2（m+1）0， x1+x2， x0， 由，得 x0， 所以 t， 由0 得，m（）2（m+1）0， 化简得， 得1m，又 0m1， 第 8 页（共 18 页） m 的取值范围是（0，） ， 故答案为： （0，） 【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、0、 轴对称问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题 10 （3 分）双曲线 C：x2y22 的右焦点为 F，P 为其左支上任意一点，点 A 的坐标为（ 1，1） ，则APF 周长的最小值为 3+ 【分析】 设双曲线的左焦点为 F， 求出双曲线的 a， b， c

14、， 运用双曲线的定义可得|PA|+|PF| |PF|+|FA|PF|，考虑 P 在左支上运动到与 A，F共线时，取得最小值，即可得到所 求值 【解答】解：设双曲线的左焦点为 F，点 A 的坐标为（1，1） ， 由双曲线 C：x2y22 可得 a，b，c2， 即有 F（2，0） ，F（2，0） ， APF 周长为|PA|+|PF|+|AF|PA|+|PF|+， 由双曲线的定义可得|PF|PF|2a2， 当 P 在左支上运动到 A，P，F共线时， |PA|+|PF|取得最小值|AF|， 即有|PA|+|PF|PF|+|FA|PF|3， 则有APF 周长的最小值为 3+ 故答案为：3+ 【点评】本题

15、考查三角形的周长的最小值，注意运用双曲线的定义和三点共线时取得最 小值，考查运算能力，属于中档题 第 9 页（共 18 页） 11 （3 分）椭圆 C1：，抛物线 C2：y24x，过抛物线 C2上一点 P（异于原点 O） 作不平行于 x 的直线 l， 使得直线 l 与抛物线只有一个交点， 且于椭圆 C1交于 A， B 两点， 则直线 l 在 x 轴上的截距的取值范围是 （4，0） 【分析】设 P（t2，2t） （t0） ，设切线的方程为：y2tk（xt2） ，与抛物线方程联立 可得：ky24y4kt2+8t0，由0，解得 k可得切线 l 的方程为：xtyt2，令 y0，可得切线在 x 轴上的截

16、距切线方程与椭圆方程联立化为： （3t2+4）y26t3y+3t4 120，令0，解得 t 的范围即可得出 【解答】解：设 P（t2，2t） （t0） ，设切线的方程为：y2tk（xt2） ，与抛物线方程 联立可得：ky24y4kt2+8t0， 由1616k（kt2+2t）0，解得 k 切线 l 的方程为：xtyt2， 令 y0，可得切线在 x 轴上的截距为t2， 联立，化为： （3t2+4）y26t3y+3t4120， 令36t612（3t2+4） （t44）0，解得 0t24， 4t20 切线 l 在 x 轴上的截距的取值范围是（4，0） 故答案为： （4，0） 【点评】本题考查了椭圆的标

17、准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交弦长问题、一元二 次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、直线与抛物线相切的性质，考查了推 理能力与计算能力，属于难题 第 10 页（共 18 页） 12 （3 分）已知点 An，Bn在双曲线 xy1 上，且点 An的横坐标为，点 Bn的横坐标为 记 M 点的坐标为（1，1） ，Pn（xn，yn）是AnBnM 的外心，则 2 【分析】求出两条直线 AnM 的中垂线方程，判断三角形的外心的位置，然后求解外心的 横坐标，即可求解极限 【解答】解：AnBnM 的外心，就是两条直线 AnM，BnM 的中垂线的交点，外心在直线 yx 上， 由题意可得：An（，） ，

18、Bn（，） ， 直线 AnM 的中垂线方程，y（x） yx 联立消去 y，中垂线的交点的横坐标为：xn， 则（）（2+）2 故答案为：2 【点评】本题考查数列的极限的求法，直线系方程的应用，三角形外接圆圆心的横坐标 的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知复数 z 在复平面上对应的点为 Z（2，1） ，则（ ） Az1+2i B|z|5 C 2i Dz2 是纯虚数 【分析】直接由复数的基本概念得答案 【解答】解：复数 z 在复平面上对应的点为 z（2，1） ， z2i，z2i 是纯虚数 故选：D 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，

19、是基础题 14 （3 分）下列以 t 为参数的方程所表示的曲线中，与曲线 xy1 完全一致的是（ ） 第 11 页（共 18 页） A B C D 【分析】利用函数的定义域和对应法则直接求解 【解答】解：在 A 中，t0，在 xy1 时，x，y（，0）（0，+） ，故 A 错误； 在 B 中，t0，在 xy1 时，x，y（，0）（0，+） ，故 B 正确； 在 C 中，t 的终边不能在 y 轴上，在 xy1 时，x，y（，0）（0，+） ，故 C 错 误； 在 D 中，t 的终边不能在 y 轴上，x，y（，0）（0，+） ，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的定义

20、域和对应法则等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 15 （3 分）设双曲线，右焦点 F（c，0） ，方程 ax2 bxc0 的两个实数根分别为 x1，x2，则点 P（x1，x2）与 x2+y24 的位置关系是（ ） A点 P 在圆外 B点 P 在圆上 C点 P 在圆内 D不确定 【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得 ca，进而可得 ba，则有 ax2bx c0x2x0，进而由根与系数的关系分析可得 x1+x21，x1x2，则有 x12+x22（x1+x2）22x1x21+24，结合点与圆的位置关系，分析可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线，离心率，则有 e ，则 ca， 则 ba，

21、 则 ax2bxc0x2x0， 又由方程 ax2bxc0 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1+x21，x1x2， 则有 x12+x22（x1+x2）22x1x21+24， 则点 P 在圆内； 故选：C 第 12 页（共 18 页） 【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及点与圆的位置关系以及一元二次方程根与系 数的关系，属于综合题 16 （3 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，对称轴与准线的交点为 T，P 为抛物线 C 上 任意一点，当取最小值时，PTF（ ） A B C D 【分析】求 cosPTF 的最小值等价于求 tanPTF 的最大值，利用基本不等式的性质， 求得 tan

22、PKF 的最大值，即可求出答案 【解答】解：由题意可得，焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1，过点 P 作 PA 垂直于准 线，A 为垂足， 当cosAPTcosPTF， （0PTF 求 cosPTF 的最小值等价于求 tanPTF 的最大值， 则 tanPTF1，故 cosPTF， 此时PTF 故当且仅当时，即 y2 时，等号成立，即 P（1，2） ， 故选：B 【点评】本题考查抛物线的性质，考查基本不等式的应用及成立条件，考查转化思想， 属于中档题 三、解答题三、解答题 17若，试求 z 【分析】设 za+bi（a，bR） ，则，结合已知可得 3a（b+5）i63i，再由 第 13 页（

23、共 18 页） 复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求 【解答】解：设 za+bi（a，bR） ，则， 由，得 f（ ）2（abi）+a+bi5i3a（b+5）i63i， 则，即 a2，b2 z22i 【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题 18已知曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上的点按坐标变换得到曲线 C （1）求曲线 C的普通方程； （2）若点 A 在曲线 C上，点 D（1，3） 当点 A 在曲线 C上运动时，若，求 P 的轨迹方程 【分析】 （1）根据题意求出，消去参数得到结论； （2）设 P（x，y） ，A（x

24、，y） ，由， （xx，yy）2（1x，3y） ，得 x 3x2，y3y6，代入即可得出结论 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， ，得， 故曲线 C的普通方程为； （2）设 P（x，y） ，A（x，y） ， 由， （xx，yy）2（1x，3y） ， 得 x3x2，y3y6， 代入 C方程得 P 的轨迹方程是 【点评】考查参数方程化普通方程，考查求动点的轨迹方程，中档题 19我边防局接到情报，在两个海标 A，B 所在直线的一侧 M 处有走私团伙在进行交易活 第 14 页（共 18 页） 动，边防局迅速排出快艇前去搜捕，如图，已知快艇出发位置码头 P 处，线段 AB 布满

25、暗礁，已知 PA8 公里，PB10 公里，APB60，且 AMBM请建立适当的直角 坐标系，求使快艇沿航线 PAM 或 PBM 的路程相等的点 M 的轨迹方程，且画出 轨迹的大致图形 【分析】建立坐标系，利用双曲线的定义，可得结论； 【解答】解：建立如图所示的坐标系，|MA|MB|2， M 的轨迹是双曲线的右支，|AB|2， a1，c，则 b2， M 的轨迹方程是（x1，y0） ； 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查双曲线的定义与方程，属于中档题 20已知关于 x 的二次方程 a（1+i）x2+（1+a2i）x+a2+i0 有实根，求实数 a 的值及相应 的实根 【分析】化方程左边

26、为复数的代数形式，再由实部与虚部均为 0 得（a21）xa21， 然后分 a210 和 a210 两类求解 【解答】解：由 a（1+i）x2+（1+a2i）x+a2+i0， 第 15 页（共 18 页） 得 ax2+x+a2+（ax2+a2x+1）i0， ， 两式相减可得， （a21）xa21 （1）当 a210 时，x1 代入原方程可得，a2+a+10，a 没有实根； （2）当 a210 时，若 a1，则 x2+x+10，方程没有实根； 若 a1，则 x2x10，解得 x 综上可得 a1，x 【点评】本题主要考查实系数方程的根的求解，解答的关键是根据复数相等的条件求解， 是中档题 21已知椭

27、圆经过点，动点 M 在直线 x2 上，O 为坐标原点 （1）求椭圆的标准方程； （2）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径圆交于点 N，证明线段 ON 的长为定值，并求出这个值 【分析】 （1）根据题意列出方程组，即可求出 a，b，c 的值，从而求出椭圆方程； （2） ）过点 F 作 OM 的垂线，垂足设为 K，由平面几何知识知：ON2OKOM，设点 M （2，t） ，所以直线 OM 的方程为：yx，则直线 FN 的方程为：y（x1） ，联立 两条直线方程，求出点K（，） ，故 ，所以线段 ON 的长为定值 【解答】解： （1）由题意可得：，解得：， 第 16

28、页（共 18 页） 椭圆的标准方程为：； （2）过点 F 作 OM 的垂线，垂足设为 K，由平面几何知识知：ON2OKOM， 设点 M（2，t） ，所以直线 OM 的方程为：yx， 则直线 FN 的方程为：y（x1） ， 联立方程，解得：， 点 K（，） ， 故， 线段 ON 的长为定值 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题 22 如图， 点H （3， 0） ， 动点P在y轴上， 动点Q在x轴的非负半轴上， 动点M满足， ，设动点 M 的轨迹为曲线 C，过定点 D（m，0） （m0）的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 （1）求曲线 C 的方程； （2）若点

29、 E 的坐标为（m，0） ，求证：AEDBED； （3）是否存在实数 a，使得以 AD 为直径的圆截直线 l：xa 所得弦长为定值？若存在， 求出实数 a 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）设 M（x，y） ，P（0，y） ，Q（x，0） ， （x0） ，mh， 0，能求出曲线 C 的方程 第 17 页（共 18 页） （2）当直线 l 与 x 轴垂直时，根据抛物线性质得AEDBED，当直线 l 与 x 轴不垂 直时，依题意设直线 l 的方程为 yk（xm） ， （k0，m0） ，联立方程组 ，得：ky24y4km0，由此利用韦达定理、直线的斜率、抛物线 方程，结合已知条件能证明AED

30、BED （3）假设存在满足条件的实数 a，AD 的中点为 O，直线 l：xa 与 AD 为直线的圆 交相交于 F，G，FG 的中点为 I，则 OIFG，O点坐标为（，） ，由此利 用弦长公式能求出|FG|24（m1）0，从而当 m1 时，满足条件的实数 am1， 当 0m1 时，满足条件的实数 a 不存在 【解答】解： （1）解：设 M（x，y） ，P（0，y） ，Q（x，0） ， （x0） ， ，0， （x，yy），3x+yyy20， 曲线 C 的方程为 y24x， （x0） （2）证明：当直线 l 与 x 轴垂直时，根据抛物线性质得AEDBED， 当直线 l 与 x 轴不垂直时，依题意设直

31、线 l 的方程为 yk（xm） ， （k0，m0） ， A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 A，B 两点坐标满足方程组， 消去 x，整理，得：ky24y4km0， y1+y2，y1y24m， 设直线 AE，BE 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1+k2 0， tanAED+tan（BED）0， 第 18 页（共 18 页） tanAEDtanBED，0，0， AEDBED， 综上，AEDBED （3）解：假设存在满足条件的实数 a，AD 的中点为 O， 直线 l：xa 与 AD 为直线的圆交相交于 F，G，FG 的中点为 I， 则 OIFG，O点坐标为（，） ， |OF|， |OI|a|2ax1m|， |FI|2|OF|2|OI|2+4x1 （am+1）x1+a（ma） ， |FG|2（2|FI|）24（am+1）x1+a（ma）， |FG|与 x1的取值无关，am+10，解得 am1， 此时，|FG|24（m1）0， 当 m10，即 m1 时，|FG|2， （定值） ， 当 m1 时，满足条件的实数 am1， 当 0m1 时，满足条件的实数 a 不存在 【点评】本题考查曲线方程的求法，考查角相等的证明，考查满足条件的实数值的求法， 考查韦达定理、直线的斜率、抛物线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题