2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是O1： （x2）2+（y 1）22，O2： （x+3）2+（y+3）22，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原 点画一条斜率为 k 的直线 l， 沿着 l 将该纸剪成两张纸 若两张纸上阴影部分的面积相等， 则 k 的值的集合为 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 第 2 页（共 16 页） 答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分

2、 13 （5 分）已知常数 D、E、F 是实数，则“D2+E24F0”是“方程 x2+y2+Dx+Ey+F0 是圆方程”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 G（x，y）|y2x，则 G 中的点都落在曲 线（ ） A上 By2|x|上 C上 Dx2y 上 15 （5 分）已知曲线的参数方程（0） 若以下曲线中有一个是，则 曲线是（ ） A B C D 16 （5 分）已知 A、B 是双曲线的左、右顶点，动点 P 在上且 P 在第一 象限若 PA、PB 的斜率分别为 k1，k2，则以下总为定值的是（

3、 ） Ak1+k2 B|k1k2| Ck1k2 D 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 0 分）本大题共分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规应编号的规 定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤 17设常数 mR，已知两条直线 l1：mx+3y10，l2：x+（m2）y+10 （1）若 l1与 l2垂直，求 m 的值 （2）若 l1与 l2平行，求 m 的值 18在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（1，0） ，动 第 3 页（共 16 页） 点 P（x，y）满足 （1）若 P 在线段

4、AB 上，求 P 的坐标 （2）证明 P 总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程 19已知过点 P（2，0）的直线 l 与抛物线 C：y24x 交于 A、B 两点 （1）若直线 l 的倾斜角为 30，求 l 与抛物线 C 的准线的交点坐标 （2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线 l 的方程 20已知双曲线的右顶点为 A，点 B 的坐标为 （1）设双曲线的两条渐近线的夹角为 ，求 cos （2）设点 D 是双曲线上的动点，若点 N 满足、，求点 N 的轨迹方程 （3）过点 B 的动直线 l 交双曲线于 P、Q 两个不同的点，M 为线段 PQ 的中点，求直 线 AM 斜率的取值范围 21定义

5、：曲线称为椭圆的“倒椭圆” 已知椭圆， 它的“倒椭圆” （1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标 x 的取值 范围 （2）过“倒椭圆”C2上的点 P，作直线 PA 垂直于 x 轴且垂足为点 A，作直线 PB 垂直于 y 轴且垂足为点 B，求证：直线 AB 与椭圆 C1只有一个公共点 （3）是否存在直线 l 与椭圆 C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给 出满足条件的直线 l，并说明理由；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷

6、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，考生应在答题纸相应空格内填写结果，题，考生应在答题纸相应空格内填写结果， 第第 16 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 分，第分，第 712 题每个空格题每个空格填对得填对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1 （4 分）设非零向量 是直线的一个方向向量，则 可以是 （） （只 需填写一个） 【分析】直接利用直线的斜率和向量的关系的应用求出结果 【解答】解：直线的整理得：3x2y30，则 k 故非零向量 为（） ， 故答案为： （） 【点评】本题考查

7、的知识要点：直线我的方程的应用，直线的斜率和向量的关系的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 2 （4 分）直线 y2x+1 与圆 x2+y21 的位置关系是 相交 【分析】求出圆心点到直线的距离小于半径，可得直线和圆相交 【解答】解：根据圆心（0，0）到直线 y2x+1 的距离为，小于半径 1，可得 直线和圆相交， 故答案为：相交 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用，属于 基础题 3 （4 分）若直线 l 的参数方程是（tR） ，则 l 的斜率为 2 【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，据此分析可得答案 【解答】解

8、：根据题意，直线 l 的参数方程是（tR） ，其普通方程为 y+1 2（x2） ， 其斜率 k2； 故答案为：2 【点评】本题考查直线的参数方程，注意将直线的方程变形为普通方程，属于基础题 第 5 页（共 16 页） 4 （4 分）已知点 A 的坐标为（5，0） ，点 B 是圆（x1）2+（y2）21 上的动点，则线 段 AB 的长的最大值为 【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离公式求出 A 与圆心的距离，则线段 AB 的 长的最大值可求 【解答】解：如图， 圆（x1）2+（y2）21 的圆心坐标为（1，2） ，半径为 1， 则线段 AB 的长的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查直线与

9、圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题 5 （4 分）已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该 椭圆的标准方程是 【分析】先根据题意 a2b，c并且 a2b2+c2求出 a，b，c 的值，代入标准方程得 到答案 【解答】解：根据题意知 a2b，c 又a2b2+c2 a24 b21 1 故答案为：1 【点评】 本题主要考查椭圆的标准方程， 要注意双曲线与椭圆 a、 b、 c 三者关系的不同 属 基础题 6 （4 分）抛物线 y22px（p0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p 2 第 6 页（共 16 页） 【分析】利用抛物线的顶点

10、到焦点的距离最小，即可得出结论 【解答】解：因为抛物线 y22px（p0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1， 所以1， 所以 p2 故答案为：2 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础 7 （5 分）已知双曲线（常数 0）的一条渐近线为 y2x，则 4 【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知给出的 一条渐近线方程对比求出 b 的值 【解答】解：该双曲线的一条渐近线方程为：， 由题意该双曲线的一条渐近线的方程为 y2x，又 0，可以得出 4 故答案为：4 【点评】本题考查根据双曲线方程求解其渐近线方程的方法，考查学生对双曲线标准方

11、 程和渐近线方程的认识和互相转化，考查学生的比较思想，属于基本题型 8 （5 分）已知椭圆的右焦点为 F，过原点 O 作直线交椭圆于 A、B 两点，点 A 在 x 轴的上方若三角形 ABF 的面积为 2，则点 A（p，q）的纵坐标 q 【分析】求出椭圆的右焦点的坐标，利用三角形的面积，转化求解 A 的纵坐标即可 【解答】解：椭圆的右焦点为 F（3，0） ， 过原点 O 作直线交椭圆于 A、B 两点，点 A 在 x 轴的上方若三角形 ABF 的面积为 2， 设 A 的纵坐标为 q， 可得， 解得 q 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想以及计 第 7

12、 页（共 16 页） 算能力，是基础题 9 （5 分）若实数 x、y 满足，则 y2x 的取值范围为 2，2 【分析】把已知方程变形，令 ty2x，得 y2x+t，联立后求出曲线与直线相切时的 t 值，画出图形，数形结合即可求得 t 的范围 【解答】解：由，得（y0） 令 ty2x，得 y2x+t 联立，得 8x2+4tx+t240 由16t232（t24）12816t20，得 t 如图， 又当直线 ty2x 过（1，0）时 t2， y2x 的取值范围为2，2 故答案为：2，2 【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训 练了利用待定系数法求最值，是中档题 1

13、0 （5 分） 已知双曲线， F1， F2是的左右焦点， 点 P 是上的点， 若|PF1| |PF2|4，则的值为 0 【分析】求得双曲线的焦点坐标，设|PF1|m，|PF2|n，运用双曲线的定义和勾股定理 的逆定理可得 PF1PF2，再由向量垂直的条件：数量积为 0，可得所求值 【解答】解：F1（，0） ，F2（，0）是的左右焦点， 设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义可得|mn|2a2， 又 mn4，可得 m2+n212+2mn12+820， 第 8 页（共 16 页） 而|F1F2|24c220， 即有|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2， 可得 PF1PF2， 即0 故答案

14、为：0 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量数量积的定义和性质，考查运 算能力，属于基础题 11 （5 分）已知点 A 的坐标为（0，2） ，点 P 是抛物线 y4x2上的点，则使得OPA 是等 腰三角形的点 P 的个数是 6 【分析】抛物线上的点设出，由等腰三角形分 3 种情况讨论可得，由 6 个符合条件的点 【解答】解：如图所示：由题意设 P 坐标（x，4x2） ，OPA 是等腰三角形分 3 种情况： OPOA 时：x2+16x44，即：16x2+x240，x2有一个值，所以 x 有 2 个值，即有 2 个 p 点符合条件； OPAP，x2+16x4x2+（4x22）2，解得

15、：x2，同符合条件的 P 有 2 个； OAAP：4x2+（4x22）2解得：x2，也有 2 个点， 综上符合条件的 P 点共有 6 个； 故答案为：6 【点评】考查抛物线的性质，属于中档题 12 （5 分）在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是O1： （x2）2+（y 1）22，O2： （x+3）2+（y+3）22，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原 点画一条斜率为 k 的直线 l， 沿着 l 将该纸剪成两张纸 若两张纸上阴影部分的面积相等， 则 k 的值的集合为 （，2，+） 【分析】根据题意，分析直线 l 的方程以及两个圆的圆心，分析可得两圆的圆心不会同 时在直线 l

16、上，结合直线与圆的位置关系可得两圆的圆心 O1、O2在直线 l 的两侧且两圆 第 9 页（共 16 页） 圆心到直线 l 的距离相等或两圆的圆心 O1、O2在直线 l 的两侧且直线 l 与两圆都相离或 相切，据此分析可得 k 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，直线 l 为过原点且斜率为 k 的直线，则直线 l 的方程为 ykx， 即 kxy0； O1： （x2）2+（y1）22，其圆心为（2，2） ，O2： （x+3）2+（y+3）22，其圆 心为（3，3） ； 两圆的圆心不会同时在直线 l 上， 若两张纸上阴影部分的面积相等，则有 2 种情况： 、两圆的圆心 O1、O2在直线 l 的两

17、侧且两圆圆心到直线 l 的距离相等， 则有，解可得 k2； 、两圆的圆心 O1、O2在直线 l 的两侧且直线 l 与两圆都相离或相切， 则有，解可得：k或 k， 故 k 的值的集合为（，2，+） ； 故答案为： （，2，+） 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，注意分析阴影部分 的面积相等的条件，属于综合题 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律

18、得零分分，否则一律得零分 13 （5 分）已知常数 D、E、F 是实数，则“D2+E24F0”是“方程 x2+y2+Dx+Ey+F0 是圆方程”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用圆的一般方程，结合配方法求出圆的标准方程形式，求出圆的等价条件， 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：x2+y2+Dx+Ey+F0 等价为（x+）2+（y+）2，若方程表 示圆，则 D2+E24F0， 即“D2+E24F0”是“方程 x2+y2+Dx+Ey+F0 是圆方程”的充要条件， 故选：A 【点评】本题主要

19、考查充分条件和必要条件的判断，结合圆的一般方程和标准方程的关 系进行转化是解决本题的关键比较基础 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 G（x，y）|y2x，则 G 中的点都落在曲 线（ ） A上 By2|x|上 C上 Dx2y 上 【分析】利用抛物线的性质以及抛物线的图形，判断选项的正误即可 【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 G（x，y）|y2x，图形是抛物线开 口向右，顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，所以 G 中的点都落在曲线 y2|x|上 故选：B 【点评】本题考查曲线与方程的关系，是基本知识的考查，基础题 15 （5 分）已知曲线的参数方程（0） 若以

20、下曲线中有一个是，则 曲线是（ ） A B C D 【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，结合椭圆的标准方程以及参数 的取值范围分析可得答案 【解答】解：根据题意，曲线的参数方程（0） ，变形可得+y2 1， （0x2，1y1） ， 第 11 页（共 16 页） 其图形为椭圆+y21 的右半部分； 故选：B 【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意参数的取值范围，属于基础题 16 （5 分）已知 A、B 是双曲线的左、右顶点，动点 P 在上且 P 在第一 象限若 PA、PB 的斜率分别为 k1，k2，则以下总为定值的是（ ） Ak1+k2 B|k1k2| Ck1k2 D 【分析】求得双

21、曲线的顶点坐标，设 P（m，n） ，代入双曲线的方程，运用直线的斜率公 式，计算斜率乘积可得所求定值 【解答】解：A（2，0） 、B（2，0）是双曲线的左、右顶点， 设 P（m，n） ，可得1，即有， k1k2 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率公式的运用，化简运算能力， 属于基础题 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 0 分）本大题共分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤 17设常数 mR，已知两条直线 l1：mx+3y10，l2：x+（m2）y+10

22、 （1）若 l1与 l2垂直，求 m 的值 （2）若 l1与 l2平行，求 m 的值 【分析】 （1）根据题意，由直线垂直的判断方法，分析可得 m+3（m2）0，解可得 m 的值； （2）根据题意，由直线平行的性质可得 m（m2）133，解可得 m 的值，验证直 线是否重合即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，直线 l1：mx+3y10，l2：x+（m2）y+10 第 12 页（共 16 页） 若 l1与 l2垂直，必有 m+3（m2）0， 解可得 m； （2）直线 l1：mx+3y10，l2：x+（m2）y+10， 若 l1与 l2平行，必有 m（m2）133， 解可得：m1 或 3，

23、当 m1 时，直线 l1：x+3y10，l2：x3y+10，两条直线重合，不合题意； 当 m3 时，直线 l1：3x+3y10，l2：x+y+10，两条直线平行，符合题意； 故 m3 【点评】本题考查直线的一般式方程以及直线平行、垂直的判断，属于基础题 18在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（1，0） ，动 点 P（x，y）满足 （1）若 P 在线段 AB 上，求 P 的坐标 （2）证明 P 总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程 【分析】 （1）根据题意，分析可得 P 在 x 轴上，设 P 的坐标为（x，0） ，且1x1， 进而分析可得（x+1）2

24、（1x） ，解可得 x 的值，即可得答案； （2） 根据题意， 设 P 的坐标为 （x， y） ， 由分析可得 （x+1） 2+y24 （x1）2+4y2， 变形可得方程 x2+y2x+10，由圆的一般方程形式分析可得结论 【解答】解： （1）根据题意，点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（1，0） ， 若 P 在线段 AB 上，则 P 在 x 轴上，设 P 的坐标为（x，0） ，且1x1， 又由，即|PA|2|PB|， 则有（x+1）2（1x） ，解可得：x， 故 P 的坐标为（，0） ； （2）证明：根据题意，设 P 的坐标为（x，y） ； 若，即|PA|2|PB|，则有（x+1

25、）2+y24（x1）2+4y2， 变形可得：x2+y2x+10，其表示一个圆； 故点 P 总落在一个定圆上，且该圆的方程为 x2+y2x+10 第 13 页（共 16 页） 【点评】本题考查轨迹方程的计算，注意轨迹方程的求法步骤即可，属于基础题 19已知过点 P（2，0）的直线 l 与抛物线 C：y24x 交于 A、B 两点 （1）若直线 l 的倾斜角为 30，求 l 与抛物线 C 的准线的交点坐标 （2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线 l 的方程 【分析】 （1）由题意直接写出直线 l 的方程，及准线方程，联立方程组即可求出交点坐 标； （2）设直线方程，联立抛物线方程得出纵坐标的

26、和与积，利用弦长公式可得关于参数平 方的二次函数，进而解出弦长的最小值即此时的参数的值，写出直线方程即可 【解答】解： （1）由抛物线方程可得，准线方程为：x1；直线 l 的倾斜角为 30 时， 直线 l 的方程为：y（x2） ，与准线联立得：x1，y， 所以 l 与抛物线 C 的准线的交点坐标为： （1，） ； （2） ，设 A（x，y） ，B（x，y） ，显然直线 l 的斜率不为零，设直线 l 的方程为：xmy+2， 代入抛物线方程得：y24my80，y+y4m，yy8， 所以弦长|AB|yy| 4， m20，所以当 m20 时，弦长|AB|最小值为 4， 这时直线 l 的方程为：x2 【

27、点评】考查直线与抛物线相交的弦长公式，属于基础题 20已知双曲线的右顶点为 A，点 B 的坐标为 （1）设双曲线的两条渐近线的夹角为 ，求 cos （2）设点 D 是双曲线上的动点，若点 N 满足、，求点 N 的轨迹方程 （3）过点 B 的动直线 l 交双曲线于 P、Q 两个不同的点，M 为线段 PQ 的中点，求直 线 AM 斜率的取值范围 【分析】 （1）求得双曲线的渐近线方程，运用两直线的夹角公式，以及同角的基本关系 式可得所求值； （2）设 D（x0，y0） ，由题意可得 N 为 BD 的中点，由坐标转移法和中点坐标公式，可得 所求轨迹方程； 第 14 页（共 16 页） （3）设过点

28、B 的动直线 l 的方程为 yk（x1） ，联立双曲线的方程，由判别式大 于 0 和韦达定理，中点坐标公式以及直线的斜率公式，不等式的性质，即可得到所求范 围 【解答】解： （1）双曲线的渐近线方程为 yx 和 yx， 即有 tan|2，且 0， 由2，sin2+cos21，解得 cos； （2）设 D（x0，y0） ，可得 2x02y024， 点 N（x，y）满足，可得 N 为 BD 的中点， 由点 B 的坐标为，可得 2x1+x0，2y+y0， 即 x02x1，y02y， 则 2（2x1）2（2y）24，可得 N 的轨迹方程为 2（x）2（y）21； （3）设过点 B 的动直线 l 的方程

29、为 yk（x1） ， 代入双曲线方程 2x2y24，可得（2k2）x22k（k）x4（k）20，k ， 由4k2（k）2+4（2k2） （4+（k）2）0，解得3k或 k， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，可得 x1+x2， 即有 PQ 的中点 M（，） ， 可得直线 AM 的斜率为 kAM， 由3k或k，可得 kAM（43，）（， ） 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，运用判别式 大于 0，以及韦达定理，中点坐标公式，考查化简运算能力和推理能力，属于难题 第 15 页（共 16 页） 21定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆” 已知椭圆， 它的“倒椭圆”

30、（1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标 x 的取值 范围 （2）过“倒椭圆”C2上的点 P，作直线 PA 垂直于 x 轴且垂足为点 A，作直线 PB 垂直于 y 轴且垂足为点 B，求证：直线 AB 与椭圆 C1只有一个公共点 （3）是否存在直线 l 与椭圆 C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给 出满足条件的直线 l，并说明理由；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）直接由题意写出倒椭圆的对称轴和对称中心，由倒椭圆的方程得出动点的 横坐标的取值范围； （2）设 P 点坐标，由题意得 A，B 的坐标，进而写出直线 AB 的方程，联立椭圆 C1，从

31、 判别式等于零得结论； （3）分别讨论直线 l 与椭圆和倒椭圆有公共点时点的坐标的关系，进而得没有公共点时 坐标的关系，从而得出不存在这样的直线 【解答】解： （1）由题意得倒椭圆 C2的 x 轴或 y 轴，对称中心（0，0） ， 1（0，1） ， x（，2）（2，+） ； （2）设 P（x0，y0） ，代入倒椭圆中：1， 4y02+x02x02y02且 x0y00，则 A（x0，0） ，B（0，y0） ， 所以直线 AB 的方程为：， 代入椭圆 C1得： （x02+4y02）x28x0y02x+4x02（y021）0， 则64x02y0416（x02+4y02）x02（y021）16x02（

32、x02y02x024y02）0， 所以直线 AB 与椭圆 C1只有一个公共点 （3）设直线 l 上任意一点 Q（m，n） ， 第 16 页（共 16 页） 若 Q 是 l 与椭圆的 C1的公共点，则 12， |mn|1，也即 Q 不是 l 与椭圆 C1的公共点时，则必有|mn|1， 同理，若 Q 是与倒椭圆 C2的公共点时则 12|mn|4， 所以 Q 若不是直线 l 与倒椭圆的公共点时，|mn|4， 从而得 Q 不是直线 l 与 C1，C2的公共点时则必有 1|mn|4， 对于直线 l 上任意一点 Q（m，n） ，mn0 或 mnR， 不存在符合题意的直线 l 【点评】考查椭圆知识的创新，及直线与椭圆和倒椭圆的应用，属于中难题