2018-2019学年上海市黄埔区黄浦区高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、执行如图的程序框图，如果输入 i6，则输出的 S 值为 7 （3 分）若直线xy10 与 xay0 的夹角是，则实数 a 的值为 8 （3 分）直线 l 经过点 P（2，1） ，且点 A（1，2）到 l 的距离为 1，则直线 l 的方 程为 9 （3 分）已知向量 、 满足| | |1 且 与 夹角为 120，则当|的值取到最小 时，实数 t 的值为 10 （3 分）已如等差数列an的前 n 项和 Sn，且，则当 Sn达 到最大值时 n 的值为 11 （3 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，向量（n，） ，（m，） ， 第 2 页（共 17 页） （k，）（n， m， kN*） ，

2、且+， 则用 n， m， k 表示 12 （3 分）已知等差数列an中公差 d0，a11，若 a1，a2，a5成等比数列，且 a1，a2， ，成等比数列，若对任意 nN*，恒有 （mN*） ，则 m 二二.选择题选择题 13 （3 分）下列命题为真命题的是（ ） A经过定点 P0（x0，y0）的直线都可以用方程 yy0k（xx0）表示 B不经过原点的直线都可以用方程表示 C经过任意两个不同的点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x1x2） （y y2）（y1y2） （xx2）表示 D经过定点 A（0，b）的直线都可以用方程 ykx+b 表示 14 （3 分）对于任意实

3、数 m，直线 mxy+13m0 必经过的定点坐标是（ ） A （3，1） B （1，3） C D无法确定 15 （3 分）已知无穷数列an是公比为 q 的等比数列，Sn为其前 n 项和，则“0|q|1” 是“存在 M0，使得|Sn|M 对一切 nN*恒成立”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 16 （3 分）在直角坐标系 xOy 中，点 P（xP，yP）和点 Q（xQ，yQ）满足， 按此规则由点 P 得到点 Q，称为直角坐标平面的一个“点变换” 若m 及POQ ，其中 O 为坐标原点，则 m 与 的值（ ） A，m 不确定 B 不确定，m Cm， D以上答案都

4、不对 三三.解答题解答题 17已知向量（2，3） ，（5，4） ，（1，3+2） （1）若ABC 为直角三角形，且B 为直角，求实数 的值 第 3 页（共 17 页） （2）若点 A，B，C 能构成三角形，求实数 应满足的条件 18平面直角坐标系 xOy 中，已知 A1（x1，y1） ，A2（x2，y2） ，An（xn，yn）是直线 l：y kx+b 上的 n 个点（nN*，k、b 均为非零常数） （1）若数列xn成等差数列，求证：数列yn也成等差数列； （2）若点 P 是直线 l 上的一点，且a1+a2，求 a1+a2的值； （3） 若点 P 满足a1+a2+an， 我们称是向量， ， 的线

5、性组合，an是该线性组合的系数数列证明：是向量，的 线性组合，则系数数列的和 a1+a2+an1 是点 P 在直线 l 上的充要条件 19已知直线 l1：y2x，l2：y2x，过点 M（2，0）的直线 l 分别与直线 l1，l2交于 A， B，其中点 A 在第三象限，点 B 在第二象限，点 N（1，0） ； （1）若NAB 的面积为 16，求直线 l 的方程； （2）直线 AN 交 l2于点 P，直线 BN 交 l1于点 Q，若直线 l、PQ 的斜率均存在，分别设 为 k1，k2，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由 20已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 2a5

6、a313，S416 （1）求数列an的前 n 项和 Sn； （2）设 Tn（1）iai，若对一切正整数 n，不等式 Tnan+1+（1）n+1an2n 1 恒成立，求实数 的取值范围； （3）是否存在正整数 m，n（nm2） ，使得 S2，SmS2，SnSm成等比数列？若存在， 求出所有的 m，n；若不存在，说明理由 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年上海市黄埔区格致中学高二（上）期中数学试卷学年上海市黄埔区格致中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）已知向量，若，则实数 k 【分析】根据向量平行的充要条件可得关于

7、k 的方程，解出即可 【解答】解：由，得 1（k6）9k0，解得 k， 故答案为： 【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则 x1y2x2y10 2 （3 分）系数矩阵为，且解为的一个线性方程组是 【分析】先根据系数矩阵，写出线性方程组，再利用方程组的解求出待定系数，从而可 得所求的线性方程组 【解答】解：可设线性方程组为， 由于方程组的解是， ， 所求的方程组为 故答案为： 【点评】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式，以及待定系数法求线性方程组问题， 是基础题 3 （3 分）等比数列an的各项均为正数，且 a4a69，则 log3a3+log3a7 2 【分析】由等比数列的性质和对数的运算

8、性质，化简可得 【解答】解：由题意可得 log3a3+log3a7 log3a3a7log3a4a6 log392 第 5 页（共 17 页） 故答案为：2 【点评】本题考查等比数列的性质和对数的运算，属基础题 4 （3 分）若向量 ， 满足10，且| |5，则 在 的方向上的投影为 2 【分析】由向量投影的定义可知， 在 的方向上的投影为，代入可求 【解答】解：10，且| |5， 由向量投影的定义可知， 在 的方向上的投影为2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了平面向量投影的定义的简单应用，属于基础试题 5 （3 分）用行列式解线性方程组，则 Dy的值为 9 【分析】根据行列式解二元一次

9、方程组的方法可得 Dy，即可求出答案 【解答】解：行列式解线性方程组，则 Dy2（1）719， 故答案为：9 【点评】本题考查用行列式解二元一次方程组，考查系数行列式等基础知识，考查运算 求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 6 （3 分）执行如图的程序框图，如果输入 i6，则输出的 S 值为 21 【分析】根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件 n6，计算此时的 S 值 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行 S0+11，n1+12； 第二次运行 S1+23，n2+13； 第三次运行 S1+2+36，n3+14； 直到 n7 时，不满足条件 n6，

10、程序运行终止，输出 S1+2+3+621 故答案为：21 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键 7 （3 分）若直线xy10 与 xay0 的夹角是，则实数 a 的值为 或 0 【分析】当直线 xay0 的斜率不存在时，a0，倾斜角为 90，而直线xy1 0 的倾斜角为 60，满足条件当直线 xay0 的斜率是时，由两条直线的夹角公式 求出 a 的值 【解答】解：直线xy10 的斜率为，直线 xay0 的斜率不存在或是 当直线 xay0 的斜率不存在时，a0，倾斜角为 90，而直线xy10 的倾斜 角为 60，满足条件 当直线 xay0 的斜率是时，由两条直

11、线的夹角公式可得 tan， 解得 a 故答案为：或 0 【点评】本题主要考查两直线的夹角公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中 档题 8 （3 分）直线 l 经过点 P（2，1） ，且点 A（1，2）到 l 的距离为 1，则直线 l 的方 程为 x2 或 4x+3y+50 【分析】当直线 l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出 l 的方程为 4x+3y+50；当直线与 x 轴垂直时，l 方程为 x2 也符合题意由此即可得到此直线 l 的方程 【解答】解：设直线 l 的方程为 y1k（x+2） ，即 kxy+2k+10 点 A（1，2）到 l 的距离为 1， 第 7 页（共

12、 17 页） 1，解之得 k， 得 l 的方程为 4x+3y+50 当直线与 x 轴垂直时，方程为 x2，点 A（1，2）到 l 的距离为 1， 直线 l 的方程的方程为 x2 或 4x+3y+50 故答案为：x2 或 4x+3y+50 【点评】本题求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线 l 方程，着重考查了直线的 方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题 9 （3 分）已知向量 、 满足| | |1 且 与 夹角为 120，则当|的值取到最小 时，实数 t 的值为 【分析】由已知可求，而|2t2+t+1，结合二次函数的 性质可求 【解答】解：| | |1 且 与 夹角为 120， ， 当

13、|2t2+t+1， 结合二次函数的性质可知，当 t时，|有最小值 故答案为： 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义及二次函数的性质的简单应用，属于基 础试题 10 （3 分）已如等差数列an的前 n 项和 Sn，且，则当 Sn达 到最大值时 n 的值为 4 或 5 【分析】 利用等差数列的求和公式和极限的定义可得 a14d， 即可得到 Sn （n） 2 d，问题得以解决 【解答】解：Snna1+n（n1）d， 第 8 页（共 17 页） ， ， a14d， Sndn2dn（n）2d， 故 n4 或 5 时，Sn达到最大值， 故答案为：4 或 5 【点评】本题考查了等差数列的求和公式和极限

14、的定义，属于中档题 11 （3 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，向量（n，） ，（m，） ， （k，） （n，m，kN*） ，且+，则用 n，m，k 表示 【分析】可设数列an的首项为 a1，公差为 d，从而可以得出，从而得 出为等差数列，从而便有三点 P，P1，P2共线，从而有，可以用 表示出向量，进而可得到 k，可求出向量的坐标，带入 便可求出 【解答】解：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则： ； 数列为等差数列； P，P1，P2都在直线 y上； 即 P，P1，P2三点共线； 存在实数 k，使； ； k； 又，； nm（km） ； 第 9 页（共 17 页） 故答案为

15、： 【点评】考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式，对于等差数列 ana1+（n1）d， 知道点（n，an）在直线 ya1+（x1）d 上，共线向量基本定理和平面向量基本定理， 以及向量坐标的减法运算和数乘运算 12 （3 分）已知等差数列an中公差 d0，a11，若 a1，a2，a5成等比数列，且 a1，a2， ，成等比数列，若对任意 nN*，恒有 （mN*） ，则 m 1 或 2 【分析】 由已知求出等差数列的公差， 得到等差数列的通项公式， 再由 a1， a2， ak1， ak2， ， akn， 成等比数列， 得3n+1 由 an2n1， 得， 可得 2kn13n+1 即 kn （3n

16、+1+1） ，由对任意 nN*，恒有（mN*） ，可得 恒成立，然后结合数列的函数特性求得 m 值 【解答】解：根据题意，等差数列an中 a11，a1，a2，a5成等比数列， （1+d）21（1+4d） ，d0，解得 d2 an1+2（n1）2n1 a1，a2，ak1，ak2，akn，成等比数列， 首项为 1，公比为 3 3n+1 由 an2n1，得， 2kn13n+1 kn（3n+1+1） 对任意 nN*，恒有（mN*） ， 即恒成立， 第 10 页（共 17 页） 令 f（n）0，则1 当 n1 或 n2 时，f（n）最大，当 n2 时，f（n）为减函数， 则要使对任意 nN*，恒有（mN

17、*） ，则 m1 或 2 故答案为：1 或 2 【点评】本题考查数列递推式，考查了等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档 题 二二.选择题选择题 13 （3 分）下列命题为真命题的是（ ） A经过定点 P0（x0，y0）的直线都可以用方程 yy0k（xx0）表示 B不经过原点的直线都可以用方程表示 C经过任意两个不同的点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x1x2） （y y2）（y1y2） （xx2）表示 D经过定点 A（0，b）的直线都可以用方程 ykx+b 表示 【分析】考虑直线的斜率不存在，可判断 A，D；由直线与与 x，y 轴平行或重合，可判 断 B；由

18、两点式方程可判断 C 【解答】解：带有斜率的直线方程，可能斜率不存在，剔除 A，D； 与 x，y 轴平行或重合的直线不能运用截距式方程表示，剔除 B； 故 C 正确 故选：C 【点评】本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，考查判断能力，属 于基础题 14 （3 分）对于任意实数 m，直线 mxy+13m0 必经过的定点坐标是（ ） A （3，1） B （1，3） C D无法确定 【分析】直线 mxy+13m0 化为：m（x3）+（1y）0，令，解出即可 得出定点坐标 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：直线 mxy+13m0 化为：m（x3）+（1y）0， 令，解得 x3，

19、y1 直线恒过定点（3，1） 故选：A 【点评】本题考查了直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15 （3 分）已知无穷数列an是公比为 q 的等比数列，Sn为其前 n 项和，则“0|q|1” 是“存在 M0，使得|Sn|M 对一切 nN*恒成立”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 【分析】因为an是公比为 q 的等比数列，当 0|q|1 时，Sn，|Sn| |，即“存在 M|，使得|Sn|M 对一切 nN*恒成立” ， 即“0|q|1”是“存在 M0，使得|Sn|M 对一切 nN*恒成立”的充分条件， 当 q1 时，|Sn|即取 M2|a1|可

20、得“存在 M0，使得|Sn|M 对 一切 nN*恒成立” ， 即“0|q|1”是“存在 M0，使得|Sn|M 对一切 nN*恒成立”的不必要条件， 【解答】 解： an是公比为 q 的等比数列， 当 0|q|1 时， Sn，|Sn| |， 即“存在 M|，使得|Sn|M 对一切 nN*恒成立” ， 即“0|q|1”是“存在 M0，使得|Sn|M 对一切 nN*恒成立”的充分条件， 当 q1 时，|Sn|即取 M2|a1|即可， 即“0|q|1”是“存在 M0，使得|Sn|M 对一切 nN*恒成立”的不必要条件， 综上可知：即“0|q|1”是“存在 M0，使得|Sn|M 对一切 nN*恒成立”的

21、充分不 第 12 页（共 17 页） 必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及等比数列求和，属中档题 16 （3 分）在直角坐标系 xOy 中，点 P（xP，yP）和点 Q（xQ，yQ）满足， 按此规则由点 P 得到点 Q，称为直角坐标平面的一个“点变换” 若m 及POQ ，其中 O 为坐标原点，则 m 与 的值（ ） A，m 不确定 B 不确定，m Cm， D以上答案都不对 【分析】可以根据条件求出，从而求出 m 的值，并可 求出， 从而可根据求出 cos， 进而得出 【解答】解： ，； ，； 又 0； 故选：C 【点评】考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐

22、标求向量的长度，以及数量积 的坐标运算，向量夹角的余弦公式 三三.解答题解答题 17已知向量（2，3） ，（5，4） ，（1，3+2） （1）若ABC 为直角三角形，且B 为直角，求实数 的值 （2）若点 A，B，C 能构成三角形，求实数 应满足的条件 【分析】 （1）先求得，根据ABC 为直角三角形， 第 13 页（共 17 页） 且B 为直角即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出 的值； （2）根据点 A，B，C 可构成三角形，即可得出 A，B，C 三点不共线，即得到不 共线，从而得出7（32）7（6）0，这样即可求出实数 满足的条件 【解答】解： （1）ABC 为直角三角形，B90； ；

23、 ，； 即7（6）+7（32）0； 2； （2）点 A，B，C 能能构成三角形， 则 A，B，C 不共线，即与不共线； 7（32）7（6）0； 实数 应满足的条件是 2 【点评】考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，以及共线向量的坐 标关系 18平面直角坐标系 xOy 中，已知 A1（x1，y1） ，A2（x2，y2） ，An（xn，yn）是直线 l：y kx+b 上的 n 个点（nN*，k、b 均为非零常数） （1）若数列xn成等差数列，求证：数列yn也成等差数列； （2）若点 P 是直线 l 上的一点，且a1+a2，求 a1+a2的值； （3） 若点 P 满足a1+a2+an

24、， 我们称是向量， ， 的线性组合，an是该线性组合的系数数列证明：是向量，的 线性组合，则系数数列的和 a1+a2+an1 是点 P 在直线 l 上的充要条件 【分析】 （1）将 yn+1和 yn分别代入 ykx+b，令两者相减得定值，便可证明数列yn为 等差数列； （2）由题中条件可知 P，A1，A2共线，令，即可证明 a1+a21； （3）先写出满足条件的 x 的函数，再根据 a1+a2+an1 和 aiaj及数列xn为等差数 列等条件逐步化简，便可求出满足条件的 P 店坐标 【解答】解： （1）证：设等差数列xn的公差为 d， 第 14 页（共 17 页） yn+1yn（kxn+1+b

25、）（kxn+b）k（xn+1xn）kd， yn+1yn为定值，即数列yn是等差数列； （2）证：因为 P、A1和 A2都是直线 l 上一点，故有 ， （1） ， 于是，+（） ， （1+）+， +， 令 a1，a2，则有 a1+a21； （3）假设存在点 P（x，y） ，满足a1+a2+an， 则有 xa1x1+a2x2+a3x3+anxn， 又当 i+jn+1 时，恒有 aiaj， 则又有 xanx1+an1x2+a2xn1+a1xn， 2xa1（x1+xn）+a2（x2+xn1）+a3（x3+xn2）+an（xn+x1） ， 又数列xn为等差数列； 于是 x1+xnx2+xn1x3+xn2

26、xn+x1 2x（a1+a2+a3+an） （x1+xn）x1+xn 故 x，同理 y， 且点 P（ ，）在直线上（是 A1、An的中点） ， 即存在点 P（ ，）满足要求， 故是向量，的线性组合， 则系数数列的和 a1+a2+an1 是点 P 在直线 l 上的充要条件 【点评】本题主要考查了等差数列与向量的综合运用，是各地高考的热点，综合性较强， 考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练 19已知直线 l1：y2x，l2：y2x，过点 M（2，0）的直线 l 分别与直线 l1，l2交于 A， B，其中点 A 在第三象限，点 B 在第二象限，点 N（1，0） ； 第 15 页（共

27、17 页） （1）若NAB 的面积为 16，求直线 l 的方程； （2）直线 AN 交 l2于点 P，直线 BN 交 l1于点 Q，若直线 l、PQ 的斜率均存在，分别设 为 k1，k2，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由 【分析】 （1）设直线方程为 yk（x+2） ，与直线 l1：y2x，l2：y2x，分别联立，可 得 A，B 的纵坐标，再由NAB 的面积为|MN| （yByA）16，解方程可得 k，进而得 到所求直线方程； （2）求得 A，B 的坐标，设 P（a，2a） ，Q（b，2b） ，运用三点共线的条件：斜率相 等，求得 a，b，再由两点的斜率公式，化简整理

28、，计算即可得到所求定值 【解答】解： （1）设直线方程为 yk（x+2） ， 与直线 l1：y2x，l2：y2x，分别联立， 可得 A，B 的纵坐标分别为， NAB 的面积为 16， |MN| （yByA）16， 即（）16， 解得 k4， 直线 l 的方程为 4xy+80； （2）由（1）可得 A（，） ，B（，） ， 又 N（1，0） ，设 P（a，2a） ，Q（b，2b） ， 由 A，N，P 共线，可得 ，解得 a， 即有 P（，） ， 由 B，N，Q 共线，可得 ，解得 b， 第 16 页（共 17 页） 即有 Q（，） ， 则 k25k1， 即有为定值 【点评】本题考查直线方程的求法

29、，注意运用待定系数法，考查直线交点问题注意联立 方程，考查三点共线的条件：斜率相等，以及斜率公式的运用，属于中档题 20已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 2a5a313，S416 （1）求数列an的前 n 项和 Sn； （2）设 Tn（1）iai，若对一切正整数 n，不等式 Tnan+1+（1）n+1an2n 1 恒成立，求实数 的取值范围； （3）是否存在正整数 m，n（nm2） ，使得 S2，SmS2，SnSm成等比数列？若存在， 求出所有的 m，n；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首 项和公差，由此能求出数列

30、an的前 n 项和 （2）当 n 为偶数时，设 n2k，kN*，求出 T2k2k，进而求出 2；当 n 为奇数时， 设 n2k1，kN*，求出 T2k112k，进而求出 4由此能求出 的取值范围 （3）假设存在正整数 m，n（nm2） ，使得 S2，SmS2，SnSm成等比数列，由此利 用已知条件推导出等式（2nm2+2） （2n+m22）12 不成立，从而得到不存在正整数 m，n（nm2） ，使得 S2，SmS2，SnSm成等比数列 【解答】解： （1）设数列an的公差为 d 2a5a313，S416， ，解得 a11，d2，（2 分） an2n1，Snn2（4 分） （2）当 n 为偶数时

31、，设 n2k，kN*， 则 T2k（a2a1）+（a4a3）+（a2ka2k1）2k （5 分） 第 17 页（共 17 页） 代入不等式 Tnan+1+（1）n+1an2n 1，得 2k4k，从而 设 f（k），则 f（k+1）f（k） kN*，f（k+1）f（k）0，f（k）是递增的，f（k）min2， 2（7 分） 当 n 为奇数时，设 n2k1，kN*， 则 T2k1T2k（1）2ka2k2k（4k1）12k（8 分） 代入不等式 Tnan+1+（1）n+1an2n 1，得 （12k）（2k1）4k， 从而 4k kN*，4k的最大值为4，所以 4 综上， 的取值范围为42（10 分）

32、 （3）假设存在正整数 m，n（nm2） ，使得 S2，SmS2，SnSm成等比数列， 则（SmS2）2S2 （SnSm） ，即（m24）24（n2m2） ， 4n2（m22）2+12，即 4n2（m22）212，（12 分） 即（2nm2+2） （2n+m22）12（14 分） nm2，n4，m3，2n+m2215 2nm2+2 是整数，等式（2nm2+2） （2n+m22）12 不成立， 故不存在正整数 m，n（nm2） ，使得 S2，SmS2，SnSm成等比数列 （16 分） 【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查满足条件 的正整数是否存在的判断，综合性强，难度大，解题时要注意不等式、函数单调性、反 证法的合理运用