2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、直线 x+2y+20 与直线 2xy+10 的位置关系是（ ） A平行 B垂直 C相交但不垂直 D重合 14 （3 分）已知向量，若且 与 不平行，则下列结论不正确的是（ ） A B C D 15 （3 分）如图已知 A（4，0） 、B（0，4） 、O（0，0） ，若光线 L 从点 P（2，0）射出，直 线AB反射后到直线OB上， 在经直线OB反射回原点P， 则光线L所在的直线方程为 （ ） Ayx2 By2x4 C Dy3x6 16 （3 分）若数列an满足且，则 a2018为（ ） A B C0 D1 三、解答题三、解答题 17设常数 mR，利用行列式解关于 x、y 的二元一次方程组，并对

2、其解的情况进行讨论： 18已知， 是与 方向相同的单位向量， 是与 垂直的单位向量 （1）求 ； （2）求 与的夹角大小 19已知直线 l 上两个点 A（0，3） 、C（3，0） ，其中 O 为坐标原点 （1）若，求点 D 的坐标，并确定点 D 与直线 l 的位置关系； （2）已知点 B 是直线 l 上的一点，求证：若存在实数 m、n，使向量，则 第 3 页（共 17 页） m+n1 20已知且 a12 （1）求 a2：a3； （2）求an的通项公式； （3）设an的前 n 项和为 Sn，求Sn+1Sn的前 n 项和 21如图所示，将一块直角三角形板 ABO 置于平面直角坐标系中，已知 ABB

3、O1，AB BO，点 P是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部 分锯掉，可用经过点 P 的任一直线 MN 将三角形锯成AMN，设直线 MN 的斜率为 k， 问： （1）求直线 MN 的方程； （2）若OMP 的面积为 SOMP，求 f（k）SOMP的表达式； （3）若 S 为AMN 的面积，问是否存在实数 m，使得关于 S 的不等式 S2m（12S） 有解，若存在，求 m 的取值范围；若不存在，说明理由 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题

4、解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）写出直线 2x+y+10 的一个法向量 （2，1） 【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，则答案可求 【解答】解：化直线 2x+y+10 的方程为斜截式 y2x1， 直线的斜率为2， 直线的一个方向向量为（1，2） ， 直线的一个法向量为（2，1） 故答案为： （2，1） 【点评】本题考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是 基础题 2 （3 分）二元一次方程的增广矩阵为 【分析】根据二元一次方程组求得增广矩阵即可 【解答】解：二元一次方程的增广矩阵 故答案为： 【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组

5、转化，考查转化思 想，属于基础题 3 （3 分）若，则 3 【分析】直接利用向量的数量积求解即可 【解答】解：， 则2+13 故答案为：3 【点评】本题考查向量的数量积的应用考查计算能力 第 5 页（共 17 页） 4 （3 分）行列式中，6 的代数余子式的值是 6 【分析】根据代数余子式的定义 6 的代数余子式 A23，利用行列式的展开，即 可求得答案 【解答】解：6 的代数余子式 A23（1827）6， 故答案为：6 【点评】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题 5 （3 分）若向量，且，则 x 0 或3 【分析】根据即可得出 x（x+1）+2x0，解出 x

6、即可 【解答】解：； x（x+1）+2x0； x2+3x0； x0 或3 故答案为：0 或3 【点评】考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系 6（3 分） 若直线 l 的一个方向向量， 则 l 与直线 xy+10 的夹角为 15 【分析】先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角 【解答】解：直线 l 的一个方向向量，直线 l 的斜率为，故 l 的倾斜角为 60 又直线 xy+10 的斜率为 1，故直线 xy+10 的倾斜角为 45 故 l 与直线 xy+10 的夹角为 604515， 故答案为：15 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题 7 （3 分）

7、已知数列an是以 1 首项的等比数列，其各项和 S2，则an的公比 q 【分析】由无穷等比数列an的各项和为 2，列出方程求解即可 【解答】解：由题意可得，2，|q|1 且 q0 第 6 页（共 17 页） 12（1q） ， q 故答案为： 【点评】本题主要考查了等比数列的前 n 项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|1 且 q0 时前 n 项和的极限， 解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前 n 项和的极限 存在则可得|q|1 且 q0，这也是考生常会漏掉的知识点 8 （3 分） 已知 P1 （1， 1） 、 P2 （2， 3） ， 若 P 在 P1P2的长线上， 且， 则点 P 的坐

8、标为 （） 【分析】首先利用线段的比值求出 ，进一步利用分点坐标公式求出结果 【解答】解：由于 P 在 P1P2的延长线上，且， 则：， 所以：3， 由于：P1（1，1） 、P2（2，3） ， 则：设 P（x，y） ， 则：x， y， 故：P（） 故答案为（） 【点评】本题考查的知识要点：分点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力， 属于基础题型 9 （3 分）已知向量，且，则 在投影为 【分析】由，得4，得 【解答】解：，25， 4， 第 7 页（共 17 页） ， 即 在上的投影为 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，求得4 是关键，是基础题目 10 （3 分）若直线

9、 l 经过点 M（2，1） ，且以 A（0，3） 、B（1，4）为端点的线段相 交，则直线 l 倾斜角的取值范围是 0，arctan3ractan2，） 【分析】利用斜率计算公式即可求出答案 【解答】解：kMA，kMB， 直线 l 与 A（0，3） 、B（1，4）为端点的线段相交， 直线 l 的斜率 k 满足2k3 直线 l 的倾斜角的取值范围是0，arctan3ractan2，） 故答案为：0，arctan3ractan2，） 【点评】本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 11 （3 分）如图，在OAB 中，若点 M 分所成的比为 2：1，若点 N 分 所成的比为 3

10、：1，OM 和 BN 交于点 P，则可用表示为 + 【分析】运用平面向量基本定理和三点共线的知识可解决此问题 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：根据题意得，O，P，M 三点共线， （+）（+）+ 又 B，P，N 三点共线， （）（）， +（1） 由得，1， ， + 【点评】本题考查三点共线的知识和平面向量基本定理的应用 12 （3 分）平面向量满足，则的 最小值为 【分析】分别设设 （x1，y1） ， （x2，y2） ， （1，0） ，由题意可得化为（y1y2） 23，只考虑 y1y20不妨取 y20，y10利用基数量积运算、本不等式可求答案 【解答】解：设 （x1，y1） ， （x2，

11、y2） 满足| |1，不妨取 （1，0） ， x11，x22 （1，y1） ， （2，y2） | |2， 2，化为（y1y2）23 只考虑 y1y20不妨取 y20，y10 2+y1y22（y1）y22（）2，当且仅当y1y2时取 等号 第 9 页（共 17 页） 则的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问 题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）直线 x+2y+20 与直线 2xy+10 的位置关系是（ ） A平行 B垂直 C相交但不垂直 D重合 【分析】利用两直线中 x 的系数积与 y

12、的系数积之和为 0，得到两直线垂直 【解答】解：直线 x+2y+20 与直线 2xy+10 中， 12+2（1）0， 直线 x+2y+20 与直线 2xy+10 的位置关系是垂直 故选：B 【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础 知识，是基础题 14 （3 分）已知向量，若且 与 不平行，则下列结论不正确的是（ ） A B C D 【分析】数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律 【解答】解： 1，A 正确； （ + ） + ，C 正确； （） （ ） （） ，D 正确 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算规律，是

13、基础题目 15 （3 分）如图已知 A（4，0） 、B（0，4） 、O（0，0） ，若光线 L 从点 P（2，0）射出，直 线AB反射后到直线OB上， 在经直线OB反射回原点P， 则光线L所在的直线方程为 （ ） 第 10 页（共 17 页） Ayx2 By2x4 C Dy3x6 【分析】点 P 关于 y 轴的对称点 P1（2，0） ，设点 P 关于直线 AB：x+y40 的对称 点 P2（a， b） 列方程组求出 a4， b2， 从而求出直线 MN： x3y+20， 联立， 得 M 点坐标，由此能求出光线 L 所在的直线方程 【解答】解：由题意知 yx+4 的点 A（4，0） ，点 B（0，

14、4）则点 P（2，0） ， 设光线分别射在 AB、OB 上的 M、N 处， 由于光线从点 P 经两次反射后又回到 P 点， 根据反射规律，则PMABMN；PNOBNM 作出点 P 关于 OB 的对称点 P1，作出点 P 关于 AB 的对称点 P2， 则P2MAPMABMN，P1NOPNOBNM， P1，N，M，P2共线， P2ABPAB45，P2AOA； 点 P 关于 y 轴的对称点 P1（2，0） ， 设点 P 关于直线 AB：x+y40 的对称点 P2（a，b） ， ，解得 a4，b2， 直线 MN：，即 x3y+20， 联立，得 x，y， 直线 PM：，即光线 L 所在的直线方程为 y3

15、x6 故选：D 第 11 页（共 17 页） 【点评】本题考查直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论 证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 16 （3 分）若数列an满足且，则 a2018为（ ） A B C0 D1 【分 析】 设 an tann，而，可 得 ，得到 an+12an，再由周期性求解 【解答】解：设 antann，而， ， 即， 则tannan a2018a12168+2a2 故选：A 【点评】本题考查数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，是中档 题 三、解答题三、解答题 17设常数 mR，利用行列式解关于 x

16、、y 的二元一次方程组，并对其解的情况进行讨论： 第 12 页（共 17 页） 【分析】先根据方程组中 x，y 的系数及常数项计算计算出 D，Dx，Dy，下面对 m 的值进 行分类讨论： （1）当 m2，m1 时， （2）当 m1 时， （3）当 m2 时，分别求解 方程组的解即可 【解答】解：D21m（m+1）（m+2） （1m） ， Dxm2， Dy（2+m） （2m） ， （1）当 m2，m1 时，D0，原方程组有唯一组解，即， （2）当 m1 时，D0，Dx30，原方程组无解； （3）当 m2 时，D0，Dx0，Dy0，原方程组有无穷组解 【点评】本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式

17、、线性方程组解的存在性，唯一性、 二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于中档题 18已知， 是与 方向相同的单位向量， 是与 垂直的单位向量 （1）求 ； （2）求 与的夹角大小 【分析】 （1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果 （2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果 【解答】解： （1）已知， 则：， 是与 方向相同的单位向量， 则：（） ， （2） 是与 垂直的单位向量 故：， 第 13 页（共 17 页） 所以：当时， 解得： 当时， 解得：， 故： 【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的 模的应用，

18、主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 19已知直线 l 上两个点 A（0，3） 、C（3，0） ，其中 O 为坐标原点 （1）若，求点 D 的坐标，并确定点 D 与直线 l 的位置关系； （2）已知点 B 是直线 l 上的一点，求证：若存在实数 m、n，使向量，则 m+n1 【分析】 （1）运用平面向量的坐标表示可得结果； （2）运用平面向量基本定理可得结果 【解答】解：根据题意得， （1）（0，3）+（3，0）（0，1）+（4，0）（4， 1） 点 D 的坐标为（4，1）又+1 点 D 不在直线 l 上； （2）点 B 是直线 l 上的一点（） +（1） 由m+n得 m1；n m+

19、n1+1 命题得证 【点评】本题考查平面向量基本定理和平面向量的坐标运算 第 14 页（共 17 页） 20已知且 a12 （1）求 a2：a3； （2）求an的通项公式； （3）设an的前 n 项和为 Sn，求Sn+1Sn的前 n 项和 【分析】 （1）令 n1，2，结合数列的递推式计算可得所求值； （2）讨论 n 为奇数和偶数，运用累加法和等比数列的求和公式，可得所求通项公式； （3）讨论 n 为奇数和偶数，运用分组求和，计算可得所求和 【解答】解： （1）由于， 可得， 由于， 所以当 n1 时，a1+2a21， 由于 a12， 解得， 当 n2 时，2a2+a35， 解得 a38； （

20、2）当 n 为奇数时， 当 n 为偶数时， 可得 n 为奇数时，an+1+2n+1an+212n， 即有 an+2an32n， 由 a3a132，a5a3323，anan232n 2， 累加可得 ana13（2+23+2n 2） 32n2， 即有 an2n（n 为奇数） ， 当 n 为偶数时，an（1+2n）2n2n 1， 第 15 页（共 17 页） 综上可得 an； （3）an的前 n 项和为 Sn， 当 n 为偶数时 Sn（2+23+2n 1）+ （2+23+2n 1） ， 当 n 为奇数时，SnSn1+an+2n， 当 n 为偶数时，Sn+1Snan+12n+1， Sn+1Sn的前 n

21、 项和a2+a3+an+1（2+23+2n 1）+（23+25+2n+1） 2+2n+1； 当 n 为奇数时，Sn+1Sn的前 n 项和2+2n+2n2+2n+1 综上可得，当 n 为奇数时，所求和为2+2n+1， 当 n 为偶数时，所求和为2+2n+1 【点评】本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用分类讨论思想方法，考查化简 运算能力和推理能力，属于难题 21如图所示，将一块直角三角形板 ABO 置于平面直角坐标系中，已知 ABBO1，AB BO，点 P是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部 分锯掉，可用经过点 P 的任一直线 MN 将三角形锯成AMN，设直线 MN 的

22、斜率为 k， 问： （1）求直线 MN 的方程； （2）若OMP 的面积为 SOMP，求 f（k）SOMP的表达式； （3）若 S 为AMN 的面积，问是否存在实数 m，使得关于 S 的不等式 S2m（12S） 有解，若存在，求 m 的取值范围；若不存在，说明理由 第 16 页（共 17 页） 【分析】 （1）先利用点斜式求直线方程， （2）联立直线方程求出直线交点 M 点坐标，再 用 SOPM， （3）有解问题最值法，先分离变量 m，S，再利用二次函数性质求 函数最小值 【解答】解： （1）依题意有直线 MN 的方程为：y （2）ABOB，ABOB1 直线 OA 方程为：yx 直线 AB 方程为：x1 由得 M（，） k或 k1 又由得 N（1，） 即 由弦长公式可得 OM 点 P 到直线 OM 的距离为 d （） （3）易得 SAMN 设 t4（1k）+ （） 由“对勾”函数性质可得 4 第 17 页（共 17 页） 又 S2m（12S）且 m，S m 【点评】本题考查直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题， 是一道知识交汇较好，综合性较强的题