2018-2019学年上海市交大附中高二（下）3月月考数学试卷（含详细解答）

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1、已知点 A （1， 3） ， B （4， 1） ， 则与向量方向相反的单位向量的坐标为 4 （3 分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 5 （3 分）已知两圆 x2+y210 和（x1）2+（y3）220 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是 6 （3 分）将参数方程（ 为参数）化成普通方程为 7 （3 分）已知椭圆的焦距为 2，则实数 t 8（3 分） 已知 2+ai， b+i 是实系数一元二次方程 x2+px+q0 的两根， 则 p+q 的值为 9 （3 分）下列四个命题： ； （a+b） 2a2+2ab+b2； 若|a|b|， 则 ab； 若 a2ab， 则 ab 则

2、 对于任意非零复数 a，b，上述命题仍然成立的序号是 10 （3 分）如图，S 是三角形 ABC 所在平面外的一点，SASBSC，且ASBBSC ，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点，则异面直线 SM 与 BN 所成角的大小为（用 反三角函数表示） 第 2 页（共 19 页） 11 （3 分）已知直线 m、n 及平面 ，其中 mn，那么平面 内到两条直线 m、n 距离相 等的点的集合可能是： （1）一条直线； （2）一个平面； （3）一个点； （4）空集 其中正确的是 12 （3 分）动点 P（x，y）在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点 O 沿东偏北 （0）方向行走一段时间后，再向

3、正北方向行走，但何时改变方向不定，假定 P（x，y）速度为 10 米/分钟，则当 变化时 P（x，y）行走 2 分钟内的可能落点的区域 面积是 二、选择题二、选择题 13 （3 分）在下列命题中，不是公理的是（ ） A平行于同一个平面的两个平面平行 B过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 14 （3 分）若空间三条直线 a、b、c 满足 ab，bc，则直线 a 与 c（ ） A一定平行 B一定相交 C一定是异面直线 D一定垂直 15 （3 分）

4、在四边形 ABCD 中，（1，2） ，（4，2） ，则该四边形的面积为（ ） A B C5 D10 第 3 页（共 19 页） 16 （3 分）已知动点 P 的横坐标 x、纵坐标 y 满足：xcos+ysin1（ R） ；x2+y2 4，那么当 变化时，点 P 形成的图形的面积为（ ） A B3 C4 D4 三、解答题三、解答题 17如图，ABCD 是正方形，直线 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点 （1）证明：直线 PA平面 EDB； （2）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值 18已知椭圆的焦点为 F1（t，0） ，F2（t，0） ，t0） ，P 为椭圆上一点，且

5、|F1F2|是|PF1|， |PF2|的等差中项 （1）求椭圆方程； （2）如果点 P 在第二象限且PF1F2120，求 tanF1PF2的值 19已知平面 与平面 的交线为直线 l，m 为平面 内一条直线；n 为平面 一条直线， 且直线 l，m，n 互不重合 （1）若直线 m 与直线 n 交于点 P，判断点 P 与直线 l 的位置关系并证明； （2）若 mn，判断直线 l 与直线 m 的位置关系并证明 20现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向） 在这样的城市中， 我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离 （位移） ， 而是实际路程 （如图 1） 在 直角坐标平面内

6、，我们定义 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点间的“直角距离”为：D（AB） |x1x2|+|y1y2| （1）在平面直角坐标系中如图 2，写出所有满足到原点的“直角距离”为 2 的“格点” 的坐标 （格点指横、纵坐标均为整数的点） （2）求到两定点 F1、F2的“直角距离”和为定值 2a（a0）的动点轨迹方程，并在直 角坐标系内作出该动点的轨迹 第 4 页（共 19 页） F1（1，0） ，F2（1，0） ，a2 F1（1，1） ，F2（1，1） ，a2； F1（1，1） ，F2（1，1） ，a4 （3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均 为整数的

7、点） 到 A（1，1） ，B（1，1）两点“直角距离”相等； 到C （ 2 ， 2 ）， D （ 2 ， 2 ） 两 点 “ 直 角 距 离 ” 和 最 小 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年上海市交大附中高二（下）学年上海市交大附中高二（下）3 月月考数学试卷月月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）复数 2+3i（i 是虚数单位）的模是 【分析】利用模长公式|z|，代入计算即可得出复数 2+3i（i 是虚数单位）的模 【解答】解：复数 2+3i， 2+3i 的模 故答案为： 【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基

8、础题 2 （3 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60 【分析】连接 A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得BA1D 即 为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角，连接 BD 后，解三角形 BA1D 即可得到异面直线 A1B 与 B1C 所成的角 【解答】解：连接 A1D，由正方体的几何特征可得：A1DB1C， 则BA1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角， 连接 BD，易得： BDA1DA1B 故BA1D60 故答案为：60 第 6 页（共 19 页） 【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正

9、方体的几何特征及异 面直线夹角的定义判断出BA1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角，是解答本题的关 键 3 （3 分）已知点 A（1，3） ，B（4，1） ，则与向量方向相反的单位向量的坐标为 （ ，） 【分析】利用与向量方向相反的单位向量即可得出 【解答】解：（3，4） ， 与向量方向相反的单位向量 故答案为： 【点评】本题考查了相反向量、单位向量的定义，属于基础题 4 （3 分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 【分析】确定双曲线的焦点、顶点坐标，可得椭圆的顶点、焦点坐标，由此可求椭圆的 方程 【解答】解：C：的焦点为（3，0） ，顶点为（2，0） 椭圆的顶点为（3

10、，0） ，焦点为（2，0） b2a2c25 椭圆的方程为 第 7 页（共 19 页） 故答案为： 【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双 曲线的几何性质是关键 5 （3 分）已知两圆 x2+y210 和（x1）2+（y3）220 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是 x+3y0 【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线 方程 【解答】解：因为两圆相交于 A，B 两点，则 A，B 两点的坐标坐标既满足第一个圆的方 程，又满足第二个圆的方程 将两个圆方程作差，得直线 AB 的方程是：x+3y0， 故答案为 x+3y0

11、 【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得 公共弦所在的直线方程 6 （3 分）将参数方程（ 为参数）化成普通方程为 （x1）2+y24 【分析】观察这个参数方程的特点，可将 x1+2cos 变形，再利用同角三角函数的平方 关系就可消去参数 ，即可 【解答】解：由题意得，将参数方程的两个等式两边 分别平方，再相加，即可消去含 的项，所以有 （x1）2+y24 【点评】当参数方程以角为参数且含这个角的三角函数时，一般可考虑利用三角变换消 去参数，最后同样要考虑 x 或 y 的取值范围本题消参后的方程为圆，变量的取值范围 与原参数方程一致 7 （3 分）已知椭圆

12、的焦距为 2，则实数 t 2，3，6 【分析】当 t25t0 时，a2t2，b25t，由 c2t25t；当 0t25t，a25t，b2t2， 由 c2a2b25tt2，解方程可求 【解答】解：当 t25t0 即 t5 时，a2t2，b25t 此时 c2t25t6 解可得，t6 或 t1（舍） 第 8 页（共 19 页） 当 0t25t 即 0t5 时，a25t，b2t2 此时 c2a2b25tt26 解可得，t2 或 t3 综上可得，t2 或 t3 或 t6 故答案为：2，3，6 【点评】本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，分类讨论的思想，属于基础试题，但 是要注意需要讨论 t 的范围以确定方

13、程中的 a2，b2 8 （3 分）已知 2+ai，b+i 是实系数一元二次方程 x2+px+q0 的两根，则 p+q 的值为 p+q 1 【分析】根据 2+ai，b+i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2+px+q0 的两个根， 两个根互为共轭复数得到 a1，b2，利用根与系数之间的关系求出一元二次方程的 系数，得到结果 【解答】解：因为 2+ai，b+i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2+px+q0 的两 个根， 根据两个根互为共轭复数得到 a1，b2， 实系数一元二次方程 x2+px+q0 的两个根是 2i p（2+i）+（2i）4，q（2+i） （2i）5 p+q1

14、 故答案为：p+q1 【点评】本题考查根与系数的关系，本题解题的关键是理解实系数一元二次方程的两个 根之间的共轭关系，本题是一个易错题 9 （3 分）下列四个命题： ； （a+b） 2a2+2ab+b2； 若|a|b|， 则 ab； 若 a2ab， 则 ab 则 对于任意非零复数 a，b，上述命题仍然成立的序号是 【分析】由 ai，计算可判断；由完全平方公式可判断；由 ai，b+i，可 判断；由因式分解以及复数为 0 的条件，可判断 【解答】解：不成立，比如 ai，可得 i+ii0； （a+b）2a2+2ab+b2成立，由完全平方公式可得； 第 9 页（共 19 页） 若|a|b|，则 ab

15、不成立，比如 ai，b+i，可得|a|b|； 若 a2ab，则 ab 成立，由 a2ab0，即 a（ab）0，由 a 不为 0，可得 ab 故答案为： 【点评】本题考查等式成立的范围，注意运用反例法和推理，考查运算能力，属于基础 题 10 （3 分）如图，S 是三角形 ABC 所在平面外的一点，SASBSC，且ASBBSC ，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点，则异面直线 SM 与 BN 所成角的大小为（用 反三角函数表示） arccos 【分析】以 S 为坐标原点，分别以 SC，SB，SA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系，利用空间向量求异面直线 SM 与 BN 所成角的余

16、弦值，再由反三角函数得答案 【解答】解：ASBBSC， 以 S 为坐标原点，分别以 SC，SB，SA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 SASBSC2a，则 S（0，0，0） ，B（0，2a，0） ， M（0，a，a） ，N（a，0，0） ， 则， cos 异面直线 SM 与 BN 所成角的大小为 arccos 故答案为：arccos 第 10 页（共 19 页） 【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，考查反三角函数的应用，是中档 题 11 （3 分）已知直线 m、n 及平面 ，其中 mn，那么平面 内到两条直线 m、n 距离相 等的点的集合可能是： （1）一条直线

17、； （2）一个平面； （3）一个点； （4）空集 其中正确的是 （1） （2） （4） 【分析】根据题意，全面考虑线面的位置关系的几种情况，线面距离的定义，再结合图 形判断 【解答】解： （1）正确，直线 m、n 所在平面 内，则符合题意的点为直线 m、n 的对称 轴； （2）正确，直线 m、n 到已知平面 的距离相等且两直线在平面 同侧，则平面 为符 合题意的点； （4）正确，当直线 m 或直线 n 在平面 内且 m、n 所在平面与 垂直时不可能有符合题 意的点； 故答案： （1） （2） （4） 【点评】本题考查了点线面的位置关系，借助于图形判断，易漏选项 12 （3 分）动点 P（x，y

18、）在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点 O 沿东偏北 第 11 页（共 19 页） （0）方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定 P（x，y）速度为 10 米/分钟，则当 变化时 P（x，y）行走 2 分钟内的可能落点的区域 面积是 100200m2 【分析】设改变方向的点为 M，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，根据速度和时间求出 |OM|+|PM|的长，在OPM 中然后根据三角形的两边之和大于第三边列出一个不等式， 然后在OMN 中，根据两边之和大于第三边列出另外一个不等式，然后再根据 x 大于等 于 0，y 大于等于 0，在平面直角坐标系中画出相应的平面

19、区域为一个弓形，如图所示， 利用四分之一圆的面积减去等腰直角三角形的面积即可求出弓形的面积 【解答】解：解：设改变方向的点为 M， 依题意|OM|+|MP|10220 米， OPM 中，|OM|+|MP|OP|（当 O、M、P 共线时“”成立） ， |OP|20，即 x2+y2400， 又OMN 中，|OM|ON|+|MN|（当 O、M、N 共线时“”成立） ， |OM|+|MP|ON|+|MN|+|MP|x+y， x+y20 区域 S： 为弓形， 则面积为2022020100200 故答案为：100200m2 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式、二元一次不等

20、式（组）与平面区域根据 三角形的性质，判断边与边之间的关键是解答本题的关键本题属于难题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）在下列命题中，不是公理的是（ ） A平行于同一个平面的两个平面平行 B过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【分析】根据公理的定义解答即可经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由 其他判断加以证明的命题和原理就是公理 【解答】解：B，C，D 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以 证明的命题和原理故

21、是公理； 而 A 平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理 故选：A 【点评】本题考查了公理的意义，比较简单 14 （3 分）若空间三条直线 a、b、c 满足 ab，bc，则直线 a 与 c（ ） A一定平行 B一定相交 C一定是异面直线 D一定垂直 【分析】根据空间直线平行和垂直的位置关系即可判断 a，c 的位置关系 【解答】解：根据直线平行的性质可知， 若 ab，bc，则 a 垂直 c， a 与 c 可能相交，也可能异面， D 正确 故选：D 第 13 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查空间直线位置关系的判断，利用直线平行和垂直的性质是解决本 题的关键 15 （3 分）在四边形

22、ABCD 中，（1，2） ，（4，2） ，则该四边形的面积为（ ） A B C5 D10 【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可 【解答】解：因为在四边形 ABCD 中，0， 所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，又， ， 该四边形的面积：5 故选：C 【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键， 考查分析问题解决问题的能力 16 （3 分）已知动点 P 的横坐标 x、纵坐标 y 满足：xcos+ysin1（ R） ；x2+y2 4，那么当 变化时，点 P 形成的图形的面积为（ ） A B3 C4 D4 【分析】根据动点 P（x，

23、y）的坐标 x，y 满足 xcos+ysin1（R） ，表示的区域是单 位圆的切线，即可得出结论 【解答】解：动点 P（x，y）的坐标 x，y 满足 xcos+ysin1（R） ， 表示的区域是单位圆的切线，P 的轨迹是圆环 当 变化时，点 P 的轨迹所形成的图象的面积是 43， 故选：B 【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，属于中档题 三、解答题三、解答题 17如图，ABCD 是正方形，直线 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点 （1）证明：直线 PA平面 EDB； （2）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值 第 14 页（共 19 页）

24、 【分析】 （1）连结 AC，BD，交于点 O，连结 OE，推导出 O 是 AC 中点，OEPA，由 此能证明直线 PA平面 EDB （2）由直线 PD底面 ABCD，得PBD 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角，由此能求出 直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值 【解答】证明： （1）连结 AC，BD，交于点 O，连结 OE， ABCD 是正方形，O 是 AC 中点， E 是 PC 的中点，OEPA， PA平面 BDE，OE平面 BDE， 直线 PA平面 EDB 解： （2）直线 PD底面 ABCD，ABCD 是正方形，PDDC， PBD 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角，

25、设 PDDCa，则 BD， tanPBD 直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线 第 15 页（共 19 页） 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18已知椭圆的焦点为 F1（t，0） ，F2（t，0） ，t0） ，P 为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|， |PF2|的等差中项 （1）求椭圆方程； （2）如果点 P 在第二象限且PF1F2120，求 tanF1PF2的值 【分析】 （1）根据等差中项列等式可解得； （2）在F1PF2中，两次使用余弦定理可得 【解答】解（1）依题意

26、得，解得 a2c2t，b2a2c23t2， 椭圆的方程为：+1 （2）如图：设 PF1r1，PF2r2， 在PF1F2中，由余弦定理得 cos120， 结合 r1+r22a4t，解得：r1t，r2t， cosF1PF2， sinF1PF2， tanF1PF2 【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题 19已知平面 与平面 的交线为直线 l，m 为平面 内一条直线；n 为平面 一条直线， 第 16 页（共 19 页） 且直线 l，m，n 互不重合 （1）若直线 m 与直线 n 交于点 P，判断点 P 与直线 l 的位置关系并证明； （2）若 mn，判断直线 l 与直线 m 的位置关系并证明 【分析

27、】 （1）由条件可得 p，p，又 l，故 pl； （2）先用线面平行的判定定理证明 m，然后再用线面平行的性质证明 ml 即可 【解答】解： （1）pl，证明如下： 证明：m，n，mnp，p，p， l，pl （2）ml，证明如下： 证明：mn，m，n， m，又l，m， ml 【点评】本题考查了点与直线位置关系的判断和直线与直线位置关系的判断，属基础题 20现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向） 在这样的城市中， 我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离 （位移） ， 而是实际路程 （如图 1） 在 直角坐标平面内，我们定义 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点间

28、的“直角距离”为：D（AB） |x1x2|+|y1y2| （1）在平面直角坐标系中如图 2，写出所有满足到原点的“直角距离”为 2 的“格点” 的坐标 （格点指横、纵坐标均为整数的点） （2）求到两定点 F1、F2的“直角距离”和为定值 2a（a0）的动点轨迹方程，并在直 角坐标系内作出该动点的轨迹 F1（1，0） ，F2（1，0） ，a2 F1（1，1） ，F2（1，1） ，a2； F1（1，1） ，F2（1，1） ，a4 （3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均 为整数的点） 到 A（1，1） ，B（1，1）两点“直角距离”相等； 到C （ 2 ， 2

29、 ）， D （ 2 ， 2 ） 两 点 “ 直 角 距 离 ” 和 最 第 17 页（共 19 页） 小 【分析】 （1）由已知条件结合图象能求出所有满足到原点的“直角距离”为 2 的“格点” 的坐标 （2）条件轨迹方程为|x+1|+|x1|+2|y|4，条件轨迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x1|+|y 1|4，条件：轨迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x1|+|y1|8，由此能求出结果 （3）满足条件的格点有（2，2） ， （1，2） ， （2，1） ， （1，1） ， （0，0） ， （1，1） ， （2，1） ， （1，2） ， （2，2） ，对于，满足|x+1|+|y+1|x1

30、|+|y1|，从而 p（x， y）|x+y0，1x1 或 x1，y1 或 x1，y1，对于，D（PA）+D（PB） |x+2|+|y+2|+|x2|+|y2|x+2+2x|+|y+2+2y|8，从而点 P（x，y）|2x2， 2y2由此能求出格点的坐标 【解答】解： （1）在平面直角坐标系中如图 2， 所有满足到原点的“直角距离”为 2 的“格点”的坐标有： （0，2， ） ， （1，1） ， （2，0） ， （1，1） ， （0，2） ， （1，1） ， （2，0） ， （1，1） （2）条件轨迹方程为|x+1|+|x1|+2|y|4， 当 x1，y0 时，xy+20； 当 x1，y0 时，

31、x+y+20； 当1x1，y0 时，y1； 当1x1，y0 时，y1； 当 x1，y0 时，x+y20； 当 x1，y0 时，xy20 条件轨迹方程为： |x+1|+|y+1|+|x1|+|y1|4， 当 x1，y1 时， （x，y）（1，1） ； 第 18 页（共 19 页） 当 x1，1y1 时，x1； 当1x1，y1 时，y1； 由对称性可得其他部分图形 条件：轨迹方程为： |x+1|+|y+1|+|x1|+|y1|8， 当 x1，y1 时，xy+30； 当 x1，1y1 时，x+30； 当1x1，y1 时，y3 由对称性可得其他部分图形 （3）如图，满足条件的格点有（2，2） ， （1

32、，2） ， （2，1） ， （1，1） ， （0，0） ， （1，1） ， （2，1） ， （1，2） ， （2，2） ， 对于，设 P（x，y）满足到 A（1，1） 、B（1，1）两点 “直角距离”相等， 即满足|x+1|+|y+1|x1|+|y1|， 解得 p（x，y）|x+y0，1x1 或 x1，y1 或 x1，y1，如图 对于，设 P（x，y）到 C（2，2） ，D（2，2）两点“直角距离”和最小， 即 D（PA）+D（PB）|x+2|+|y+2|+|x2|+|y2| |x+2|+|x2|+|y+2|+|y2| |x+2+2x|+|y+2+2y|8， 当且仅当2x2 且2y2 等号成立， 可得点 P（x，y）|2x2，2y2如图 故同时满足条件的格点的坐标是： 第 19 页（共 19 页） （2，2） ， （1，2） ， （2，1） ， （1，1） ， （0，0） ， （1，1） ， （2，1） ， （1，2） ， （2，2） 【点评】本题考查格点坐标的求法，考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意分 类讨论思想的合理运用