2019-2020学年上海市闵行区高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、点 A（1，5）关于直线 xy+90 的对称点坐标为 8 （3 分）已知 P 是ABC 内部一点，+ ，记PBC、PAC、PAB 的面 积分别为 S1、S2、S3，则 S1：S2：S3 9 （3 分）在ABC 中，AB5，AC7，D 是 BC 边的中点，则 10 （3 分）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点 A，B 满足|2， 则点集P|x+y，|x|+|y|1，x，yR所表示的区域的面积是 11 （3 分）在平面上，|1，+，若|，则 |的取值范围是 12 （3 分）已知集合 A（x，y）|x|+|y|a，a0，B（x，y）|xy|+1|x|+|y|若 A B 是平面上正八边形的顶点

2、所构成的集合，则 a 的值为 二二.选择题选择题 13 （3 分）关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵为（ ） A B C D 第 2 页（共 19 页） 14 （3 分）设 x、y 满足线性约束条件，则 x+2y 的取值范围是（ ） A2，6 B2，5 C3，6 D3，5 15 （3 分） 点 A （5，0） 、到直线 l 的距离都是 4， 满足此条件的直线有 （ ） A一条 B两条 C三条 D四条 16 （3 分）已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若（其中 P 是 ABC 所在平面内任意一点） ，则 O 点是ABC 的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 三三.解答题解答题 17

3、用行列式的方法解关于 x、y 的方程组，并对解的情况进行 讨论 18ABC 的顶点 A（3，1） ，AB 的中线方程为 6x+10y590，B 的平分线方程为 x 4y+100，求： （1）点 B 的坐标； （2）BC 边所在的直线方程 19已知ABC 的三边长 AB8，BC7，AC3 （1）求； （2）A 的半径为 3，设 PQ 是A 的一条直径，求的最大值和最小值 20在ABC 中，AC2，BC6，ACB60，点 O 为ABC 所在平面上一点，满足 （m，nR 且 m+n1） （1）证明：； （2）若点 O 为ABC 的重心，求 m、n 的值； 第 3 页（共 19 页） （3）若点 O

4、为ABC 的外心，求 m、n 的值 21 （1）已知直线 l 过点，它的一个方向向量为 求直线 l 的方程； 一组直线 l1，l2，ln，l2n（nN*）都与直线 l 平行，它们到直线 l 的距离依次 为 d，2d，nd，2nd（d0） ，且直线 ln恰好经过原点，试用 n 表示 d 的关系式， 并求出直线 l1（i1，2，2n）的方程（用 n、i 表示） ； （2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线 L1，L2，Ln，的直线簇，使 它同时满足以下三个条件：点（1，1）Ln；kn+1anbn，其中 kn+1是直线 Ln+1 的斜率，an和 bn分别为直线 ln在 x 轴和 y 轴上的截

5、距；knkn+10 （nN*） 第 4 页（共 19 页） 2019-2020 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期中数学试卷学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）已知向量 （t+1，1） ， （t+2，2） ，若（ + ）（ ） ，则 t 的值为 3 【分析】根据两向量垂直，其数量积为 0，列出方程求出 t 的值 【解答】解：向量 （t+1，1） ， （t+2，2） ， 且（ + ）（ ） ， （ + ） （ ）0， 即（t+1）2+12（t+2）2+220， 解得 t3 故答案为：3 【点评】本题考查了平面向

6、量的数量积运算问题，是基础题 2 （3 分）把表示成一个三阶行列式是 【分析】本题根据行列式第一列进行展开的逆运算即可得到结果 【解答】解：根据行列式按第一列展开式，可知： 2+32 （1） 1+1 +（1） （1） 2+1 +3 （1） 3+1 故答案为： 【点评】本题主要考查行列式按列展开的相关概念本题属基础题 3 （3 分）已知向量 （1，2） ， （3，4） ，则向量 在向量 上的投影为 1 第 5 页（共 19 页） 【分析】利用向量投影的意义解答 【解答】解：由已知向量 在向量 上的投影为1； 故答案为：1 【点评】本题考查了平面向量的投影求法；利用数量积的几何意义求之即可 4 （

7、3 分）若 3x14y12，3x24y22，则经过 A（x1，y1）和 B（x2，y2）的直线 l 的方 程为 3x4y20 【分析】由题意可得点 A、B 同在直线 3x4y20 上，再由两点确定一条直线可得结 论 【解答】解：由 3x14y12，3x24y22，可得点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）都在直 线 3x4y20 上， 又因为过两点确定一条直线， 故所求直线方程为 3x4y20， 故答案为：3x4y20 【点评】本题考查直线和方程的对应关系，点在直线上和点的坐标适合方程是解决问题 的关键，属基础题 5 （3 分） 点 （3， 1） 和 （4， 6） 在直线 3x2y+a0

8、的两侧， 则实数 a 的取值范围是 （ 7，24） 【分析】由题意（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧可得不等式（7+a） （ 24+a）0，解出此不等式的解集即可得到所求的答案 【解答】解：由题意点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧 （3321+a） （3（4）26+a）0 即（7+a） （24+a）0 解得7a24 故答案为（7，24） 【点评】本题考点二元一次不等式的几何意义，考查了二元一次不等式与区域的关系， 解题的关键是理解二元一次不等式与区域的关系， 利用此关系得到参数所满足的不等式， 解出取值范围，本题属于基本题 6 （3 分） 直线 l 过点

9、A （5， 3） ， 且在两坐标轴上的截距相等， 则直线 l 的方程是 x+y+8 0 或 3x5y0 第 6 页（共 19 页） 【分析】当直线经过原点时，直线方程为 yx；当直线不经过原点时，设直线方程为 x+ya，把点 A 的坐标代入即可得出 【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为 yx，即 3x5y0； 当直线不经过原点时，设直线方程为 x+ya， 直线 l 过点 A（5，3） ， 35a，a8， 直线方程为 x+y80 综上，直线方程为 x+y+80 或 3x5y0 故答案为：x+y+80 或 3x5y0 【点评】本题考查了直线方程的求法，考查了分类讨论思想，属基础题 7 （3 分

10、）点 A（1，5）关于直线 xy+90 的对称点坐标为 （4，8） 【分析】直接利用中点的坐标公式的应用和直线垂直的充要条件的应用求出结果 【解答】解：设对称点的坐标为（x，y） ， 所以，解得， 故对称点的坐标为（4，8） 故答案为（4，8） 【点评】本题考查的知识要点：点的对称问题的应用，中点坐标公式的应用，直线垂直 的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8 （3 分）已知 P 是ABC 内部一点，+ ，记PBC、PAC、PAB 的面 积分别为 S1、S2、S3，则 S1：S2：S3 1：2：3 【分析】延长 PB 到 B，使 PB2PB，延长 PC

11、到 C，使 3PCPC，则+ ，再利用比例关系确定 S1：S2：S3 【解答】解：如图：延长 PB 到 B，使 PB2PB，延长 PC 到 C，使 3PCPC，则 + ， P 是ABC的重心， SPABSPACSPBCk 第 7 页（共 19 页） S1PBPCsinBPC PBPCsinBPC SPBCk S3SPABk， S2SPACk 故 S1：S2：S31：2：3 故答案为：1：2：3 【点评】本题考查了向量的三角形法则、共线定理、相似三角形的性质，属于难题 9 （3 分）在ABC 中，AB5，AC7，D 是 BC 边的中点，则 12 【分析】根据中线定理知，再根据向量的减法定义知：，

12、 则（）即可求解 【解答】解：在ABC 中，D 是 BC 边的中点 AB5，AC7 即12 第 8 页（共 19 页） 故答案为：12 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，还有三角形的中线定理，属于基础题 10 （3 分）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点 A，B 满足|2， 则点集P|x+y，|x|+|y|1，x，yR所表示的区域的面积是 4 【分析】由|2，x+y，不妨设（2，0） ，（m，n） ， 利用2，2m2， 解得 m1，n可得x+y令 a2x+y，b，解 得，x， 由|x|+|y|1，x，yR，可得+1，对 a，b 分类讨论，画出图形， 可得（a，b）满足的区域为图中

13、阴影部分即可得出 【解答】解：|2， 不妨设（2，0） ，（m，n） ， 2，2m2， 解得 m1，n x+y，x（2，0）+y 令 a2x+y，b， 解得，x， 由|x|+|y|1，x，yR，可得+1， 对 a，b 分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分 可得（a，b）满足的区域的面积为4 故答案为：4 第 9 页（共 19 页） 【点评】本题考查了向量的运算性质、基本不等式的性质、线性规划的有关知识、的面 积，考查了推理能力和计算能力，属于难题 11 （3 分）在平面上，|1，+，若|，则 |的取值范围是 （， 【分析】根据，|1，+，可知：四边形 AB1PB2 是一个

14、矩形以 AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系设|AB1|a，|AB2|b点 O 的坐标为（x，y） ，点 P（a，b） 根据向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质 即可得出 【解答】解：根据，+，可知：四边形 AB1PB2是一个矩形 以 AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系设|AB1|a，|AB2|b 点 O 的坐标为（x，y） ，点 P（a，b） |1， ， 变形为 |，（xa）2+（yb）2， 1x2+1y2， x2+y2 （xa）2+y21，y21 第 10 页（共 19 页） 同理，x21 x2+y22 由可知：x2+y22 |， 故答案为（， 【点评】本题考查了向

15、量的平行四边形法则、矩形的定义、向量的坐标运算、模的计算 公式、不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于 难题 12 （3 分）已知集合 A（x，y）|x|+|y|a，a0，B（x，y）|xy|+1|x|+|y|若 A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 a 的值为 或 2+ 【分析】根据曲线性质求出集合 A，B 对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即 可 【解答】解：A（x，y）|x|+|y|a，a0， x0，y0 时，即 x+ya 表示在第一象限内的线段 将 x，y 分别换成x，y 方程不变，因此 |x|+|y|a 关于 x 轴对称，也关于 y

16、轴对称 那么，集合 A（x，y）|x|+|y|a，a0 表示点集为正方形， |xy|+1|x|+|y| |xy|x|y|+10 第 11 页（共 19 页） 即（|x|1） （|y|1）0 |x|1 或|y|1 即 x1，y1 B（x，y）|x1，或 x1，表示 2 组平行线， AB 为 8 个点，构成正八边形 如图 1，AOB45 又 A（1，a1） tanxOAa1 tanAOBtan2xOA1， 即 2a22aa2， a22 a0，a 如图 2，AOB45 又 A（a1，1） tanxOA， tanAOBtan2xOA1， 即 2a22a+a2， a24a+20， 解得 a2+或 a2（

17、舍） ， 综上 a或 a2+， 故答案为：或 2+ 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用曲线的轨迹，结合两角和差的正切公式是 解决本题的关键综合性较强，难度较大 二二.选择题选择题 13 （3 分）关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵为（ ） A B C D 【分析】根据二元一次方程方程组与增广矩阵的关系，即可求得答案 【解答】解：的增广矩阵， 故选：C 【点评】本题考查二元一次方程组与系数矩阵及增广矩阵的关系，考查转化思想，属于 基础题 第 13 页（共 19 页） 14 （3 分）设 x、y 满足线性约束条件，则 x+2y 的取值范围是（ ） A2，6

18、 B2，5 C3，6 D3，5 【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值 【解答】解：约束条件对应的可行域如下图： 由图可知：当 x2，y2 时，目标函数 Z 有最大值 Zmax6， 当 x2，y0 时，目标函数 Z 有最小值 Zmax2， 则 x+2y 的取值范围是：2，6， 故选：A 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函 数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组） 寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一

19、代入，最后 比较，即可得到目标函数的最优解 15 （3 分） 点 A （5，0） 、到直线 l 的距离都是 4， 满足此条件的直线有 （ ） A一条 B两条 C三条 D四条 【分析】由题意求出 AB 的距离是否等于 8，大于 8，小于 8，结合与 AB 平行的直线，即 可判断满足题意的直线的条数 【解答】解：点 A（5，0） 、，所以|AB|8所以 第 14 页（共 19 页） AB 的中垂线到 A、B 到距离都是 4， 与 AB 连线平行的直线有 2 条到 A、B 到距离都是 4， 所以点 A（5，0） 、到直线 l 的距离都是 4，满足此条件的直线有 3 条 故选：C 【点评】本题是基础题

20、，考查点到直线的距离的应用，与直线有关的动点的轨迹问题， 考查想象能力，计算能力 16 （3 分）已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若（其中 P 是 ABC 所在平面内任意一点） ，则 O 点是ABC 的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 【 分 析 】 可 先 将 原 式 通 过 变 形 化 简 为， 然 后 再 将 ，代入前式，再想办法将表示成的单位向量的和 的形式，问题即可解决 【解答】解：由得， 即 即 即再设为的单位向量，为的单位向量， 所以（a+b+c）bc（） ， 所以则说明 O 在A 的角平分线上，同理可得 O 也在B， C 的平分线上， 故 O 为ABC 的内心 故选

21、：B 【点评】本题考查了利用平面向量的知识解决三角形的有关问题，关键是将向量及向量 加法、减法以及数乘的几何意义和三角形的几何性质有机结合起来 三三.解答题解答题 17用行列式的方法解关于 x、y 的方程组，并对解的情况进行 讨论 第 15 页（共 19 页） 【分析】此题可用一般的用行列式的方法解关于 x，y 的方程组，掌握一般方法即可解决 【解答】解：用行列式的方法解关于 x，y 的方程组 ， 并对解得情况进行讨论 解： （1）k0 且 k2 时原方程有唯一解 （2）k0 时，无解 （3）k2 时，无穷多解 【点评】此题可用一般的用行列式的方法解关于 x，y 的方程组，为简单题 18ABC

22、 的顶点 A（3，1） ，AB 的中线方程为 6x+10y590，B 的平分线方程为 x 4y+100，求： （1）点 B 的坐标； （2）BC 边所在的直线方程 【分析】 （1）利用对称性和中点求出 B； （2）设出 BC 的斜率，利用两直线间夹角公式， 求出斜率 kBC，求出直线 BC 【解答】解： （1）根据题意得，得， 故 B（10，5） （2）B 的平分线斜率为 k，直线 AB 的斜率， 由，得， y5（x10） ， 即 2x+9y650 第 16 页（共 19 页） 【点评】考查直线的一般式方程，考查了对称性问题，求直线的斜率，中档题 19已知ABC 的三边长 AB8，BC7，AC

23、3 （1）求； （2）A 的半径为 3，设 PQ 是A 的一条直径，求的最大值和最小值 【分析】 （1）先根据已知条件求出角 A，再带入向量的数量积即可； （2）先把所求用已知条件转化，再设，的夹角为 ，利用其余弦值的范围即可求 解 【解答】解： （1）设BAC，所以：cos |cos8312 （2）因为：（+） （+）（+） （）+ （）+； 设，的夹角为 ，则 0 +1232+37cos3+21cos； 1cos1， 的最大值为 24；最小值为18 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力， 第 17 页（共 19 页） 属于中档题 20在ABC 中，AC

24、2，BC6，ACB60，点 O 为ABC 所在平面上一点，满足 （m，nR 且 m+n1） （1）证明：； （2）若点 O 为ABC 的重心，求 m、n 的值； （3）若点 O 为ABC 的外心，求 m、n 的值 【分析】 （1）由m（）+n（） ，整理即可求解； （2）由三角形重心性质可知 ，代入即可求解； （3）由 O 为ABC 的外心，可求18，2， 26，然后根据已知分别求，根据平面向量的基本定 理即可求出 m，n 【解答】解： （1）m（）+n（） ， ， （2）点 O 为ABC 的重心， ， m1，n1； （3）点 O 为ABC 的外心， 18，2，26， +，+， ， 【点评】本

25、题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，考查化简运算能力，属于难 题 第 18 页（共 19 页） 21 （1）已知直线 l 过点，它的一个方向向量为 求直线 l 的方程； 一组直线 l1，l2，ln，l2n（nN*）都与直线 l 平行，它们到直线 l 的距离依次 为 d，2d，nd，2nd（d0） ，且直线 ln恰好经过原点，试用 n 表示 d 的关系式， 并求出直线 l1（i1，2，2n）的方程（用 n、i 表示） ； （2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线 L1，L2，Ln，的直线簇，使 它同时满足以下三个条件：点（1，1）Ln；kn+1anbn，其中 kn+1是直线 Ln+

26、1 的斜率，an和 bn分别为直线 ln在 x 轴和 y 轴上的截距；knkn+10 （nN*） 【分析】 （1）根据条件列出，整理即可； 当直线 lnl 且经过原点时方程为：xy0，另根据条件可得直线 ln到直线 l 的距离 为 nd，设直线 li（i1，2，2n）的方程为 xy+i0（i4） ，可得i4（1） ， 则直线 li（i1，2，2n）的方程为 xy+4（1）0； （2）用反证法证出矛盾，故不存在 【解答】解： （1）根据条件可得，整理得直线 l 的方程为 xy+40； 直线 lnl 且经过原点，所以直线 ln的方程为：xy0， 由题意可知，直线 ln到直线 l 的距离为 nd，即

27、nd，则 d（nN+） ， 设直线 li（i1，2，2n）的方程为 xy+i0（i4） ， 又直线 li到直线 l 的距离为 id，则 id，所以i4（1） ， 所以直线 li（i1，2，2n）的方程为 xy+4（1）0； （2）假设存在满足题意的直线簇，由（1）值 Ln的方程为 y1kn（x1） ，n1，2， 3， 分别令 y0，x0 得，bn1kn，由 kn+1anbn，即 ，n1，2，3， 迭加得， 第 19 页（共 19 页） 因为 knkn+10 （nN*） ，所以所以 ki同号，下面仅讨论 kn0 的情形， 由0，所以，所以 ， 显然，当 n时，kn+10，矛盾， 故满足题意得直线簇不存在 【点评】本题考查直线方程的求法，考查新定义条件的应用，综合性较强，属于难题