2019-2020学年上海市复旦附中高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、行列式的元素3的代数余子式的值为 10， 则的模为 4 （3 分）若是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角是 5 （3 分）关于 x、y 的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，则 mn 6 （3 分）若直线 ax+3y+30 与直线 x+（a2）y+10 平行，则 a 的值为 7 （3 分）直线 l 与圆（x5）2+y24 相切，且 l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，这样的 直线 l 共有 条 8 （3 分）直线 l 过点（4，7） ，且被圆（x1）2+（y2）225 截得的弦长为 8，则 l 的方程为 9 （3 分）在平面直角坐标系中，设点 O（0，0） ，A（3，）

2、，点 P（x，y）的坐标满足 ，则在上的投影的取值范围是 10 （3 分）如图，光线从 P（a，0） （a0）出发，经过直线 l：x3y0 反射到 Q（b，0） ， 该光线又在 Q 点被 x 轴反射，若反射光线恰与直线 l 平行，且 b13，则实数 a 的取值范 围是 11 （3 分）当实数 x、y 满足 x2+y21 时，|x+2ya|+|a+6x2y|的取值与 x、y 均无关，则 实数 a 的取值范围是 第 2 页（共 22 页） 12 （3 分）已知 A（a1，1） ，B（a+1，1） ，若在曲线上恰有 4 个不同 的点 P，使，则 的取值范围是 二二.选择题选择题 13 （3 分）设

3、， 是两个非零向量，下列说法正确的是（ ） A若，则 B若 ，则 C若，则存在实数 ，使得 D若存在实数 ，使得 ，则 14 （3 分）设点 A（a1，a2） ，B（b1，b2） ，C（c1，c2）均非原点，则“能表示成和 的线性组合”是“方程组有唯一解”的（ ）条件 A充分非必要 B必要非充分 C充要 D既非充分也非必要 15 （3 分）已知点 M（a，b）与点 N（0，1）在直线 3x4y+50 的两侧，给出以下结 论： 3a4b+50； 当 a0 时，a+b 有最小值，无最大值； a2+b21； 当 a0 且 a1 时，的取值范围是（，）（，+） 正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D

4、4 16 （3 分）已知 A、B 为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段 PQ 的端点 P、 Q，满足，则动线段 PQ 所形成图形的面积为（ ） A48 B72 C96 D120 三三.解答题解答题 17已知ABC 的三个顶点 A（m，n） 、B（2，1） 、C（2，3） 第 3 页（共 22 页） （1）求 BC 边所在直线的点方向式方程； （2）BC 边上中线 AD 的方程为 2x3y+c0，且 SABC7，求点 A 的坐标 18已知 （1）求 与 的夹角 ； （2）若，且，求 t 及 19某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在 E 处按方 向释放机器人甲

5、，同时在 A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在 Q 处成功拦截机器 人甲，若点 Q 在矩形区城 ABCD 内（包含边界） ，则挑战成功，否则挑战失败，已知 AB 18 米，E 为 AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的 2 倍，比赛中两机器人均 按匀速直线远动方式行进 （1）如图建系，求 Q 的轨迹方程； （2）记与的夹角为 ，0，如何设计 AD 的长度，才能确保无论 的值为多 少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功？ （3）现已设计好 AD12 米，并在 D 处安装一个固定的摄像头用来观测，若要使摄像头 能够观测的拦截点最多，则摄像头的观测角度至少为多少度？（精确到 0.

6、01） 20如图，已知直线 l1：kx+y0 和直线 l2：kx+y+b0（b0，k0） ，点 O 为坐标原点， P（4，2） ，Q（4，4） ，点 A、B 分别是直线 l1、l2上的动点，直线 l1和 l2之间的距 离为 3 （1）求直线 OP 和直线 OQ 的夹角的余弦值； （2）已知 A、B 中点为 M，若，求的最大值； （3）若 k0，求的最小值 第 4 页（共 22 页） 21已知平面上的线段 l 及点 P，任取 l 上一点 Q，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离，记作 d（P，l） （1）求点 A（2，2）到线段 l：xy30（3x5）的距离 d（A，l） ；

7、求点 B（1，1）到线段 l：xy30（3x5）的距离 d（B，l） ； （2）若曲线 C 是边长为 6 的等边三角形，则点集 DP|d（P，C）1所表示的图形的 面积为多少？ （3）求到两条线段 l1、l2距离相等的点的集合 CP|d（P，l1）d（P，l2），其中 l1 AB，l2BD，A（0，1） ，B（0，0） ，D（2，0） 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年上海市复旦附中高二（上）期中数学试卷学年上海市复旦附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）已知向量与垂直，则实数 k 【分析】由题意利用两个向量垂直的

8、性质、两个向量的数量积公式，求出 k 的值 【解答】解：向量与垂直， 2k+1（k+1）0，则 实数 k， 故答案为： 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题 2 （3 分）若矩阵 A（2021 x 0） ，则 AB （2021） 【分析】直接由矩阵相乘定义求 AB 【解答】解：AB（20211+x0+0y）（2021） ， 所以 AB（2021） ， 故答案为： （2021） 【点评】本题考查矩阵相乘，属于简单题 3（3 分） 行列式的元素3 的代数余子式的值为 10， 则的模为 10 【分析】直接求代数余子式，求出 k，再代入求向量的模 【解答】解：元素3

9、对应的行列式为 ， k6， ， ， 所以向量的模为为 10 故答案为：10 第 6 页（共 22 页） 【点评】此题考查行列式的代数余子式，向量的模的公式 4 （3 分）若是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角是 arctan2 【分析】 根据直线的法向量求出直线的一个方向向量， 从而得到直线的斜率， 根据 ktan 可求出倾斜角 【解答】解： （2，1）是直线 l 的一个法向量， 可知直线 l 的一个方向向量为（1，2） ， 设直线 l 的倾斜角为 （0） ，得 tan2， arctan（2）arctan2 故答案为：arctan2 【点评】本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角

10、的应用，同时运算求解的 能力，是基础题 5 （3 分）关于 x、y 的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，则 mn 1 【分析】由题意写出增广矩阵，转化成矩阵，得到等式，再求解 【解答】解：增广矩阵为， 第一行除以 2，得到， 第二行+第一行（n） ，得到 由于得到的矩阵第二行比例是 1：1，可知，可以得到， 第一行+第二行，得到， 由题意知 联立 解之得， 所以 mn1， 第 7 页（共 22 页） 故答案为1 【点评】本题考查增广矩阵，以及矩阵的运算，为中等难度题 6 （3 分）若直线 ax+3y+30 与直线 x+（a2）y+10 平行，则 a 的值为 1 【分析】根据

11、直线平行的等价条件，建立方程关系进行求解即可 【解答】解：当 a0 时，两直线方程分别为：3y+30，和 x2y+10，此时两直线相 交，不满足平行， 当 a0 时，若两直线平行， 则满足， 由得 a（a2）3， 得 a22a30， 得（a+1） （a3）0， 得 a1 或 a3， 当 a1，满足条件， 当 a3 时，不成立， 故 a1 故答案为：1 【点评】本题主要考查直线平行关系的应用，结合直线平行的等价条件建立方程是解决 本题的关键难度不大 7 （3 分）直线 l 与圆（x5）2+y24 相切，且 l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，这样的 直线 l 共有 4 条 【分析】可设两坐标轴上截

12、距相等（在坐标轴上截距不为 0）的直线方程为 x+ya，利 用圆心到直线的距离等于半径，即可求得 a 的值，从而可求得直线方程；另外需要考虑 坐标轴上截距都为 0 的情况 【解答】解：设两坐标轴上截距相等（在坐标轴上截距不为 0）的直线 l 方程为 x+ya， l 与圆（x5）2+y24 相切， 2， 解得 a52或 a5+2， l 的方程为：x+y+50； 第 8 页（共 22 页） 当坐标轴上截距都为 0 时，设方程为 ykx，则2， k， yx， 故答案为：4 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，易错点在于忽略坐截距都为 0 时相切的情况， 属于中档题 8 （3 分）直线 l 过点（4，

13、7） ，且被圆（x1）2+（y2）225 截得的弦长为 8，则 l 的方程为 x4 或 4x+3y+50 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，分析可得圆心到直线的距离 d3，分直线 l 的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，圆（x1）2+（y2）225 的圆心为（1，2） ，半径 r5，设 圆心到直线 l 的距离为 d， 若直线 l 被圆（x1）2+（y2）225 截得的弦长为 8， 则 d3， 若直线 l 的斜率不存在，此时直线 l 的方程为 x4，圆心（1，2）到直线 l 的距离 d3， 符合题意； 若直线 l 的斜率存在，此时直线 l 的

14、方程为 y+7k（x4） ，即 ykx+7+4k0， 则有圆心（1，2）到直线 l 的距离 d3， 解可得 k，此时直线 l 的方程为 4x+3y+50； 综合可得：直线 l 的方程为 x4 或 4x+3y+50； 故答案为：x4 或 4x+3y+50 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题 9 （3 分）在平面直角坐标系中，设点 O（0，0） ，A（3，） ，点 P（x，y）的坐标满足 ，则在上的投影的取值范围是 3，3 【分析】先根据约束条件画出可行域，设 z 为在上的投影，再利用 z 的几何意义求 第 9 页（共 22 页） 范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取

15、值范围即可，从而得到 z 值即可 【解答】解：在上的投影： z|cosAOP2cosAOP， AOP， 当AOP时，zmax2cos 3， 当AOP时，zmin2cos3， z 的取值范围是3，3 故答案为：3，3 【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结 合的思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观 目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得 规划问题得以深化 10 （3 分）如图，光线从 P（a，0） （a0）出发，经过直线 l：x3y0 反射到 Q（b，0） ， 该光线又在 Q 点被 x

16、轴反射，若反射光线恰与直线 l 平行，且 b13，则实数 a 的取值范 围是 （5，+） 【分析】利用条件先求出点 P 关于直线 l 的对称点 P，再求出直线 PQ 的方程，得到直 线 PQ 的斜率与直线 l 的斜率互为相反数，从而求出 a 的取值范围 【解答】解：设点 P 关于直线 l 的对称点 P（m，n） ， 第 10 页（共 22 页） 直线 l 的斜截式方程为， ， ， 点 P的坐标为：， 根据两点式得到直线 PQ 的方程为：， 化简得 3ax（4a5b）y3ab0， 由于反射光线恰与直线 l 平行， ， ， b13， a5， 故答案为： （5，+） 【点评】本题考查了直线关于直线的

17、对称直线方程的求法，考查了到角公式的运用，是 基础题 11 （3 分）当实数 x、y 满足 x2+y21 时，|x+2ya|+|a+6x2y|的取值与 x、y 均无关，则 实数 a 的取值范围是 【分析】根据 x，y 满足的表达式可设 xcos，ysin，进而求出 x+2y 的范围，再由条 件可知 x+2ya0，且 a+6x2y0，则可求出 a 的取值范围 【解答】解：因为实数 x，y 满足 x2+y21，设 xcos，ysin， 则 x+2ycos+2sin，其中 arctan2， 所以x+2y， 因为|x+2ya|+|a+6x2y|的取值与 x、y 均无关， 所以|x+2ya|+|a+6x

18、2y|x+2ya+a+6x2y6， 第 11 页（共 22 页） 即此时，所以 x+2y6ax+2y， 则a， 故答案为： 【点评】本题考查了圆的参数方程，涉及绝对值取值范围等知识点，属于中档题 12 （3 分）已知 A（a1，1） ，B（a+1，1） ，若在曲线上恰有 4 个不同 的点 P，使，则 的取值范围是 【分析】根据题意，设 P 的坐标为（x，y） ，求出、的坐标，由数量积的计算公式 可得有的值，分析可得（xa）2+（y1）2+1，设 mxa，y1，即可得 m2+n2+1，分析可得点（m，n）的轨迹为（0，0）为圆心，半径为的圆，进而 分析曲线方程变形可得+1，作出其草图，据此分析可

19、得圆 m2+n2+1 与曲 线对应的图形有 4 个交点，结合直线与圆的位置关系分析可得答案 【解答】解：根据题意，设 P 的坐标为（x，y） ， 又由 A（a1，1） ，B（a+1，1） ，则（a1x，1y） ，（a+1y，1y） ， 则有（a1x） （a+1x）+（1y） （1y）（xa）21+（y1）2， 变形可得（xa）2+（y1）2+1， 设 mxa，y1， 则有 m2+n2+1，点（m，n）的轨迹为（0，0）为圆心，半径为的圆， 曲线，即+1，其图形如图： 若在曲线上恰有 4 个不同的点 P，使， 则圆 m2+n2+1 与曲线对应的图形有 4 个交点， 分析可得：或 34， 解可得：

20、或 815， 故 的取值范围是； 故答案为： 第 12 页（共 22 页） 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及曲线与方程的关系，注意运用整体思想分析， 属于综合题 二二.选择题选择题 13 （3 分）设 ， 是两个非零向量，下列说法正确的是（ ） A若，则 B若 ，则 C若，则存在实数 ，使得 D若存在实数 ，使得 ，则 【分析】 根据选择项知需要判断命题的真假， 由数量积运算将两边平 方后化简说明 C 正确、A 错、B 错，再对两边取模后，代入进 行验证 D 错 【解答】解：设非零向量 ， 的夹角是 ， 将两边平方得， 即，得 cos1， 则 ， 是共线向量，即存在实数 ，则 C 正确，

21、A 错； 另：当时，有，代入，显然不成立，故 B 错； 存在实数 ，时， 则， 第 13 页（共 22 页） 故不一定成立，故 D 错 故选：C 【点评】本题考查了向量的平方就是向量模的平方应用，以及数量积的运算，考查了分 析问题和解决问题的能力 14 （3 分）设点 A（a1，a2） ，B（b1，b2） ，C（c1，c2）均非原点，则“能表示成和 的线性组合”是“方程组有唯一解”的（ ）条件 A充分非必要 B必要非充分 C充要 D既非充分也非必要 【分析】根据向量坐标公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：若能表示成和的线性组合， 则x+y， 即（c1，c2）x（a1，a

22、2）+y（b1，b2） ， 即，则方程有解即可，不一定是唯一解， 若有唯一解，则x+y，即能表示成和的线性组合，即 必要性成立， 则“能表示成和的线性组合”是“方程组有唯一解”的必要不 充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量基本定理进行判断是解决 本题的关键 15 （3 分）已知点 M（a，b）与点 N（0，1）在直线 3x4y+50 的两侧，给出以下结 论： 3a4b+50； 当 a0 时，a+b 有最小值，无最大值； 第 14 页（共 22 页） a2+b21； 当 a0 且 a1 时，的取值范围是（，）（，+） 正确的个数是（ ） A1 B2 C3

23、D4 【分析】根据点 M（a，b）与点 N（1，0）在直线 3x4y+50 的两侧，可以画出点 M （a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的 几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论 【解答】解：点 M（a，b）与点 N（0，1）在直线 3x4y+50 的两侧， （3a4b+5） （30+4+5）0，即 3a4b+50，故错误； 当 a0 时，a+b，a+b 即无最小值，也无最大值，故错误； 设原点到直线 3x4y+50 的距离为 d，则 d，则 a2+b24，故正 确； 当 a0 且 a1 时，表示点 M（a，b）与 P（1，1）连

24、线的斜率 当 a0，b时，又直线 3x4y+50 的斜率为， 故的取值范围为（，）（，+） ，故正确 正确命题的个数是 2 个 故选：B 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，线性规划的简单应用，考查数学 转化思想方法，是中档题 16 （3 分）已知 A、B 为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段 PQ 的端点 P、 第 15 页（共 22 页） Q，满足，则动线段 PQ 所形成图形的面积为（ ） A48 B72 C96 D120 【分析】以 B 为圆心，AB 为 x 轴建立直角坐标系，则 A（2，0） ，设 P（x，y） ，Q（m， n） ，根据题意得， （x2，y） （2，0）

25、6，得 x1，根据条件，得到 则动线段 PQ 所形成图形是由 x1，4y4，m11，n3y12，12围成的 面积，求出即可 【解答】解：以 B 为圆心，AB 为 x 轴建立直角坐标系，则 A（2，0） ， 设 P（x，y） ，Q（m，n） 由得， （x2，y） （2，0）6，解得 x1， 因为， （x2）2+y225， 代入 x1，得4y4， 由， （m2，n）3（2x，y） ， 得 m11，n3y， 则动线段 PQ 所形成图形是由 x1，4y4，m11，n3y12，12围成的 区域 下图，S83+249120 故选：D 【点评】考查了向量的数量积，向量的坐标运算，本题综合性高，难度较大 三三

26、.解答题解答题 第 16 页（共 22 页） 17已知ABC 的三个顶点 A（m，n） 、B（2，1） 、C（2，3） （1）求 BC 边所在直线的点方向式方程； （2）BC 边上中线 AD 的方程为 2x3y+c0，且 SABC7，求点 A 的坐标 【分析】 （1）求出向量的坐标，结合直线点向式公式进行求解即可 （2）根据中线方程先求出 c 的值，求出 BC 的长度，结合三角形的面积公式求出 A 到直 线 BC 的距离，结合建立方程组进行求解即可 【解答】解： （1）直线 BC 的方向向量为（4，2） ， 直线过点 B（2，1） ， 则直线的点向式方程为； （2）B，C 的中点 D 的坐标为

27、（0，2） ， 则 D 在中线 2x3y+c0 上， 则6+c0，得 c6， 即中线方程为 2x3y+60， A 在中线上， 2m3n+60， BC 的方程为，即 x+2y40， |BC|2， 点 A 到直线 x+2y40 的距离 d， SABC7， SABC27， 得|m+2n4|7， 即 m+2n47 或 m+2n47， 即 m+2n110 或 m+2n+30， 由得，此时 A（3，4） ， 由得，此时 A（3，0） ， 即 A 的坐标为（3，0）或（3，4） 【点评】本题主要考查直线方程的求解，结合点向式方程以及中线性质以及三角形的面 第 17 页（共 22 页） 积公式，点到直线的距离

28、公式建立方程是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力 18已知 （1）求 与 的夹角 ； （2）若，且，求 t 及 【分析】 （1）直接展开数量积，代入已知向量的模求得 与 的夹角 ； （2）由列式求得 t 值，再由展开求得 【解答】解： （1）由，得 ，即 4，得， ， 0， ； （2）， ， t， 则 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算， 考查了向量模的求法， 关键是掌握， 是中档题 19某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在 E 处按方 向释放机器人甲，同时在 A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在 Q 处成功拦截机器 人甲，若点 Q 在矩形区城 A

29、BCD 内（包含边界） ，则挑战成功，否则挑战失败，已知 AB 18 米，E 为 AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的 2 倍，比赛中两机器人均 按匀速直线远动方式行进 （1）如图建系，求 Q 的轨迹方程； （2）记与的夹角为 ，0，如何设计 AD 的长度，才能确保无论 的值为多 第 18 页（共 22 页） 少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功？ （3）现已设计好 AD12 米，并在 D 处安装一个固定的摄像头用来观测，若要使摄像头 能够观测的拦截点最多，则摄像头的观测角度至少为多少度？（精确到 0.01） 【分析】 （1）设点代入化简即可； （2）根据题意，得出答案；

30、（3）求出ADF26.565， HDM20.70，即可求出答案 【解答】解： （1）由题意设 Q（x，y） ，A（0，0） ，E（9，0） ，由 AQ2EQ， ，化简得（x12）2+y236（x0，y0） ； （2）由（1）点 Q 的轨迹是以（12，0）为圆心，6 为半径的上半圆在矩形区域 ABCD 内 的部分， 所以当 AD6 米时，能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使 机器人乙在矩形区域 ABCD 内成功拦截机器人甲； （3）由（1）F（6，0） ，M（12，0） ，tanADF0.5，则ADF26.565， DM12，MH6，sinHDM，HDM20.70， 所以F

31、DH4526.565+20.7039.14 【点评】考查了求圆的轨迹方程，圆与直线的实际应用，已知三角函数求角等，中档题 20如图，已知直线 l1：kx+y0 和直线 l2：kx+y+b0（b0，k0） ，点 O 为坐标原点， P（4，2） ，Q（4，4） ，点 A、B 分别是直线 l1、l2上的动点，直线 l1和 l2之间的距 离为 3 第 19 页（共 22 页） （1）求直线 OP 和直线 OQ 的夹角的余弦值； （2）已知 A、B 中点为 M，若，求的最大值； （3）若 k0，求的最小值 【分析】 （1）由 cos，代入计算即可； （2）表示出，利用不等式可得（m4） （n4）+（km

32、+2） （kn+b+2）32， 即为的最大值为 32； （3）数形结合，利用两点之间线段最短可求出最小值 【解答】解： （1）根据题意，（4，2） ，（4，4） ，所以 cos， ； （2）设 A（m，km） ，B（n，knb） ，所以（m4，km2） ，（n4， knb2） 因为|8，即|（m+n8，kmknb4）|8， 所以（m+n8）2+（km+kn+b+4）2642（m4） （n4）+2（km+2） （kn+b+2） ， 所以（m4） （n4）+（km+2） （kn+b+2）32， 则（m4） （n4）+（km2） （knb2）（m4） （n4）+（km+2） （kn+b+2）32，

33、即的最大值为 32； （3）k0，直线 l1：y0，直线 l2：y+30，如图所示， 第 20 页（共 22 页） 将 Q 点上移 3 个单位长度得 Q（4，1） ，连接 PQ与 x 轴交于 A，再将 A下 移三个单位长度得到 B， 此时的值最小，为|PQ|+3+3 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，涉及两直线夹角，线段最短距离等 知识点，属于中档题 21已知平面上的线段 l 及点 P，任取 l 上一点 Q，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离，记作 d（P，l） （1）求点 A（2，2）到线段 l：xy30（3x5）的距离 d（A，l） ； 求点 B（1，1）到

34、线段 l：xy30（3x5）的距离 d（B，l） ； （2）若曲线 C 是边长为 6 的等边三角形，则点集 DP|d（P，C）1所表示的图形的 面积为多少？ （3）求到两条线段 l1、l2距离相等的点的集合 CP|d（P，l1）d（P，l2），其中 l1 AB，l2BD，A（0，1） ，B（0，0） ，D（2，0） 【分析】 （1）根据 d（P，l）的定义，结合两点间的距离公式和二次函数的性质，即可算 出的值 d（P，l） （2）d（P，C）1，即 Q 在曲线 C 上时线段 PQ 长度的最小值不超过 1，利用距离公式 即可化简出所求图形的边界曲线方程， 结合矩形面积与圆面积公式可得该图形的面积

35、； （3）根据所给的三个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之 间垂直关系，得到要求的结果 【解答】解： （1）设线段 l：xy30（3x5）上点 Q（x，x3） ， 第 21 页（共 22 页） 则|PQ| （3x5） 当 x时，d（A，l）|PQ|最小； 设线段 l：xy30（3x5）上点 Q（x，x3） ， 则|PQ| （3x5） 当 x3 时，d（B，l）|PQ|最小； （2）如图，ABC 是边长为 6 的正三角形， 由题意，点集 D 所表示的图形面积 S3SAEFC+3SMNQP+3SADE+6SAMP 由 PM1，PAM30， 得 AM DAE120 3SADE，SAEFC6， ； （3）C（x，y）|x0y0 （x，y）|yx，0x1 第 22 页（共 22 页） 【点评】本题给出点 P 到线段 l 的距离的定义，求实际问题中的距离并讨论相应的曲线 方程着重考查了点到直线的距离公式、二次函数的性质和曲线与方程的化简等知识， 属于中档题