2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、在ABC 中， AB4， AC3， 角 A 的平分线与 AB 边上的中线交于点 O， 则的值为 9 （3 分）已知，若 012 时， （m0，n0）的最大值为 1，则 m+n 的最小值为 10 （3 分）已知ABC 满足，点 D 为线段 AB 上一动点， 若的最小值为1，则ABC 的面积 S 二二.选择题选择题 11 （3 分）下列命题中，正确的是（ ） A直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan C直线的斜率为 tan，则直线的倾斜角是 第 2 页（共 16 页） D直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单 调递增 12 （3 分）向量（a1，a

2、2）与（b1，b2）平行是二元一次方程组存在无穷 多解的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 13 （3 分）已知直线 l1的方程是 axy+b0，l2的方程是 x+bya0（ab0，ab） ，则 下列各示意图中，正确的是（ ） A B C D 14（3 分） 设， O 为坐标原点， 动点 P （x， y） 满足， ，则 x+y 的最大值是（ ） A B C D 三三.解答题解答题 15利用二阶行列式，讨论两条直线的位置关系 16已知向量，向量 是与向量 夹角为的单位向量 （1）求向量 ； （2）若向量 与向量共线，且 与的夹角为钝角，求 实数 x 的取值

3、范围 17某学校在平面图为矩形的操场 ABCD 内进行体操表演，其中 AB40，BC15，O 为 AB 上一点，且 BO10，线段 OC、OD、MN 为表演队列所在位置（M、N 分别在线段 第 3 页（共 16 页） OD、OC 上） ，OCD 内的点 P 为领队位置，且 P 到 OC、OD 的距离分别为、， 记 OMd，我们知道当OMN 面积最小时观赏效果最好 （1）当 d 为何值时，P 为队列 MN 的中点； （2）怎样安排 M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时OMN 的面积 18如图，O 坐标原点，从直线 yx+1 上的一点作 x 轴的垂线，垂 足记为 Q1，过 Q1作 OP1的平行线

4、，交直线 yx+1 于点，再从 P2 作 x 轴的垂线，垂足记为 Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1，P2，Q2， Pn，Qn，记 Pk点的坐标为，k1，2，3，n，现已知 x12 （1）求 Q2、Q3的坐标； （2）试求 xk（1kn）的通项公式； （3）点 Pn、Pn+1之间的距离记为|PnPn+1|（nN*） ，是否存在最小的正实数 t，使得 +t 对一切的自然数 n 恒成立？若存在，求 t 的值， 若不存在，请说明理由 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中 数学试卷数学试

5、卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）方程组的增广矩阵是 【分析】转化成标准方程形式，再写出增广矩阵 【解答】解：方程可以转化成， 所以增广矩阵为 故答案为 【点评】本题考查增广矩阵，为基础题 2 （3 分）已知，若向量与共线，则实数 的 值为 2 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出 的值 【解答】解：， 则（5，+2） ； 又向量与共线， 则 5810（+2）0， 解得 2 故答案为：2 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的问题，是基础题 3 （3 分）过点 A（1，4）且与直线垂直的直线的点法向式方程为 5（x1）+2 （

6、y4）0 【分析】根据向量垂直的条件得到直线的法向量，再利用直线点法式方程定义得到直线 点法式方程 第 5 页（共 16 页） 【解答】解：与直线垂直的直线的法向量为（5，2） ， 则直线的点法向式方程为：5（x1）+2（y4）0， 故答案为：5（x1）+2（y4）0 【点评】本题主要考查了直线点法式方程，是基础题 4 （3 分）计算： 【分析】本题根据矩阵乘法的计算法则进行计算可得结果 【解答】解：根据矩阵乘法的计算法则，可知 故答案为： 【点评】本题主要考查矩阵乘法的计算法则及计算能力，属基础题 5 （3 分）已知向量 、 的夹角为 120，则 【分析】根据平面向量的数量积求模长即可 【解

7、答】解：向量 、 的夹角为 120， 所以4+4 +41+413cos120+97， 所以 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的数量积求模长的问题，是基础题 6 （3 分）将直线 2x+y+30 绕着它与 x 轴的交点，按顺时针方向旋转，得到直线 l，则 直线 l 的方程为 6x2y+90 【分析】求出已知直线与 x 轴的交点坐标，设所得直线的斜率为 k，由到角公式列式求得 k，再由点斜式求得所得直线 l 的方程 【解答】解：在方程 2x+y+30 中，取 y0，可得直线与 x 轴的交点 A（，0） ， 按顺时针方向旋转，设所得直线的斜率为 k， 则有 tan1，求得 k3，故所得直线 l

8、 的方程为 y3（x+） ， 第 6 页（共 16 页） 化简可得 6x2y+90， 故答案为：6x2y+90 【点评】本题考查一条直线到另一条直线的夹角公式，用点斜式求直线的方程，属于基 础题 7 （3 分）一直线过点 P（1，0） ，且点 Q（1，1）到该直线的距离等于 2，则该直线的倾 斜角为 或 【分析】设出直线的斜率和倾斜角，可得直线的方程，根据点到直线的距离公式求出斜 率，可得直线的倾斜角再检验斜率不存在的情况，综合可得结论 【解答】解：设该直线的斜率为 k，倾斜角为 ，0，） ，则 ktan 直线的方程为 y0k（x1） ，即 kxyk0 根据点 Q（1，1）到该直线的距离等于

9、2，可得 2，求得 ktan， arctan 当直线的斜率不存在时，方程为 x1，检验满足条件，此时直线的倾斜角为， 故答案为：或 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，点到直线的距离公式的应用，求直线的方 程，反正切函数的应用，属于中档题 8（3 分） 在ABC 中， AB4， AC3， 角 A 的平分线与 AB 边上的中线交于点 O， 则的值为 3 【分析】由内角平分线定理可得，再由向量共线定理可得，再由向量 数量积的性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求 【解答】解：在ABC 中，AB3，AC2， 设角 A 的平分线与 AB 边上的中线 CD 交于点 O， 由内角平分线定理

10、可得， +（）+； +6； 第 7 页（共 16 页） （6）（642）3 故答案为：3 【点评】本题考查向量数量积的求法，注意运用向量共线定理和内角平分线定理，考查 向量的平方即为模的平方，以及运算能力，属于中档题 9 （3 分）已知，若 012 时， （m0，n0）的最大值为 1，则 m+n 的最小值为 9 【分析】用坐标运算出 x，y，再得到关于 m，n 的方程，利用柯西不等式得到结论 【解答】解：（1，2） ，（0，1） ， （x，y）（1，2）+（0，1） ， x，y2+； 012，所以1（m0，n0） 故（m+n） （）（1+2）29，当且仅当 m时，等号成立） 故答案为：9 【点

11、评】考查向量坐标的运算，柯西不等式的应用，中档题 10 （3 分）已知ABC 满足，点 D 为线段 AB 上一动点， 若的最小值为1，则ABC 的面积 S 12 【分析】设，由余弦定理得， 分析最小值，进而求解 【解答】解：设， 第 8 页（共 16 页） 则 AMEN，ANME，四边形 AMEN 为平行四边形， ， cosEMA， ， ， 1， 当且仅当时，取等号， ， ABC 的面积 s12， 故答案为：12 【点评】本题考查向量的运算，属于中档题 二二.选择题选择题 11 （3 分）下列命题中，正确的是（ ） A直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 t

12、an C直线的斜率为 tan，则直线的倾斜角是 D直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单 调递增 【分析】利用直线斜率的定义及倾斜角和斜率的关系逐一核对四个选项得答案 【解答】解：对于 A，直线的倾斜角为锐角时，斜率大于 0，直线的倾斜角为钝角时，斜 率小于 0，故 A 错误； 第 9 页（共 16 页） 对于 B，直线的倾斜角 90时，直线的斜率不存在，故 B 错误； 对于 C，因为直线的倾斜角应大于等于 0 度小于 180 度，而 tan 里的 可能会超过这个 范围，故 C 错； 对于 D，当 90时，斜率 tan 在上均单调递增，故 D 对， 故选：D 【点评】本题考查直线的倾斜

13、角，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题 12 （3 分）向量（a1，a2）与（b1，b2）平行是二元一次方程组存在无穷 多解的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 【分析】由于向量（a1，a2）与（b1，b2）平行a1b2a2b10；而二元一次方程组 存在无穷多解对应的两条直线是同一条直线， 即 a1b2a2b10 且 a1c2 a2c10；根据充分必要条件的定义可得出结论 【解答】解：设命题 p：向量（a1，a2）与（b1，b2）平行a1b2a2b10； 又设命题q： 二元一次方程组存在无穷多解a1b2a2b10且a1c2a2c1 0； p 未必推

14、出 q，qp； p 是 q 的必要不充分条件； 故选：B 【点评】本题考查了向量平行的充要条件，二元一次方程组有无数解的充要条件，充分 必要条件的判断，属于基础题 13 （3 分）已知直线 l1的方程是 axy+b0，l2的方程是 x+bya0（ab0，ab） ，则 下列各示意图中，正确的是（ ） 第 10 页（共 16 页） A B C D 【分析】 有条件知， 两直线的斜率均存在且不为 0， 写出它们的斜截式方程后再进行判断 【解答】解：ab0， 直线 l1与直线 l2的斜率均存在 直线 l1的斜截式方程为 yax+b 直线 l2的斜截式方程为 y 对于 A 选项，根据直线 l1的图象可知

15、 a0，且 b0，因此直线 l2的斜率应小于 0，在 y 轴上的截距应大于 0，图象符合； 对于 B 选项，根据直线 l1的图象可知 a0，且 b0，因此直线 l2的斜率应大于 0，在 y 轴上的截距应小于 0，图象不符合； 对于 C 选项，根据直线 l1的图象可知 a0，且 b0，因此直线 l2的斜率应小于 0，在 y 轴上的截距应小于 0，图象不符合； 对于 D 选项，根据直线 l1的图象可知 a0，且 b0，因此直线 l2的斜率应小于 0，在 y 轴上的截距应小于 0，图象不符合 故选：A 【点评】本题主要考查直线的斜率和纵截距的几何意义，属于基础题 14（3 分） 设， O 为坐标原点

16、， 动点 P （x， y） 满足， ，则 x+y 的最大值是（ ） A B C D 【分析】根据题意找到约束条件，画出可行域求解 【解答】解：，O 为坐标原点，动点 P（x，y） ， 第 11 页（共 16 页） ， ， 画出可行域， 令 zx+y，则 yx+z， 所以当过点 A（1，）时，zmax， 故选：C 【点评】本题考查了数量积的坐标运算、线性规划的有关知识，考查了数形结合的思想 方法，属于中档题 三三.解答题解答题 15利用二阶行列式，讨论两条直线的位置关系 【分析】由题意根据 D，Dx，Dy讨论两直线的位置关系 【解答】解：D（m+1） （m+8） （3m+10） （m+1） 当

17、D0 时，m1 或者 m8 m1 时，DDxDy0，两直线重合 m8 时，两直线平行 第 12 页（共 16 页） 当 D0，即 m1 或者 m8 时，两直线相交 综上所述 m1 时，两直线重合； m8 时，两直线平行； m1 或者 m8 时，两直线相交 【点评】本题考查行列式判断两直线的位置关系 16已知向量，向量 是与向量 夹角为的单位向量 （1）求向量 ； （2）若向量 与向量共线，且 与的夹角为钝角，求 实数 x 的取值范围 【分析】 （1）根据向量 与向量 夹角为，且为单位向量，利用向量旋转求出向量 ； （2）由向量 与向量 共线求得得 ，再根据 与 夹角为钝角，列不等式组求出 x

18、的取 值范围 【解答】解： （1）向量，向量 是与向量 夹角为的单位向量， 则（，）（cos，sin） ， 所以 （cos（+） ，sin（+） ）（cos，sin）（0，1） ； 或 （cos（） ，sin（） ）（cos，sin）（，） ； 所以向量 （0，1）或； （2）由向量 与向量共线，得 （，） ； 又 与的夹角为钝角， 则， 即， 第 13 页（共 16 页） 解得， 所以实数 x 的取值范围是（，2）（2，）（0，2） 【点评】本题考查了平面向量的夹角与旋转的应用问题，也考查了计算与求解能力，是 中档题 17某学校在平面图为矩形的操场 ABCD 内进行体操表演，其中 AB40，

19、BC15，O 为 AB 上一点，且 BO10，线段 OC、OD、MN 为表演队列所在位置（M、N 分别在线段 OD、OC 上） ，OCD 内的点 P 为领队位置，且 P 到 OC、OD 的距离分别为、， 记 OMd，我们知道当OMN 面积最小时观赏效果最好 （1）当 d 为何值时，P 为队列 MN 的中点； （2）怎样安排 M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时OMN 的面积 【分析】 （1）以 O 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立坐标系，方程组计算； （2）求 出面积方程，用柯西不等式计算 【解答】解： （1）以 O 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，过 O 垂直于 AB 的直

20、线为 y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系则 C（10，15） ，B（10，0） ，D（30，15） ，P（4， 4） OC：y1.5x；OD：y0.5x， 设 P（a，b） ，M（2m，m） ，N（n，1.5n） ， （m0，n0） ， P 到 OC、 OD 的距离分别为、， 联立解方程组， 得， P 为 MN 的中点，所以，得 m，n，所以， d|OM| （2）由 M，N，P 三点共线，得，5m+6.5n4mn，即， SOMN， 第 14 页（共 16 页） （2m+n），当且仅当 5n213m2成立， 所以OMN 面积最小为 【点评】考查函数在实际问题中的应用，中档题 18如图，O 坐

21、标原点，从直线 yx+1 上的一点作 x 轴的垂线，垂 足记为 Q1，过 Q1作 OP1的平行线，交直线 yx+1 于点，再从 P2 作 x 轴的垂线，垂足记为 Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1，P2，Q2， Pn，Qn，记 Pk点的坐标为，k1，2，3，n，现已知 x12 （1）求 Q2、Q3的坐标； （2）试求 xk（1kn）的通项公式； （3）点 Pn、Pn+1之间的距离记为|PnPn+1|（nN*） ，是否存在最小的正实数 t，使得 +t 对一切的自然数 n 恒成立？若存在，求 t 的值， 若不存在，请说明理由 【分析】 （1）求得 OP1的斜率，由两直线平行的条件，解方

22、程可得 x2，x3，进而得到所 求点的坐标； （2）Pk（xk，xk+1） ，Qk1（xk1，0） ，运用两直线平行的条件，可得 xk2xk1+2，构 造等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求； 第 15 页（共 16 页） （3）由两点的距离公式和等比数列的通项公式以及求和公式，计算可得所求和，再由不 等式恒成立思想和不等式的性质，可判断存在性，求得最小值 【解答】解： （1）x12，即有 P1（2，2） ，k1， Q1（2，0） ，P2（x2，x2+1） ，OP1P2Q1， 可得 k1，解得 x26， 则 Q2（6，0） ， 由 P2（6，4） ，P3（x3，x3+1） ， OP1P3Q

23、2，可得1，解得 x314， Q3（14，0） ； （2）由 Pk（xk，xk+1） ，Qk1（xk1，0） ， OP1PkQk1，可得 1，化为 xk2xk1+2， 即为 xk+22（xk1+2） ， 可得数列xk+2为首项是 4，公比为 2 的等比数列， 则 xk+242k 1， 可得，1kn； （3）|PnPn+1| |xn+1xn|2n+22n+1|2n， +（+） （1）， 假设存在最小的正实数 t， 使得+t 对一切的自然数 n 恒成立， 第 16 页（共 16 页） 可得 t，故存在这样的 t，且 t 的最小值为 【点评】本题考查数列与解析几何的综合，考查数列的构造法，以及等比数列的定义、 通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题