2019-2020学年上海市交大附中高二（上）9月月考数学试卷（含详细解答）

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1、若 a，b 是函数 f（x）x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且 a，b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等 于 8 （3 分）已知梯形 ABCD，ABCD，设，向量的起点和终点分别是 A、B、C、 D 中的两个点，若对平面中任意的非零向量 ，都可以唯一表示为、的线性组合， 那么的个数为 9 （3 分）已知数列an（nN*） ，若 a11，an+1+an（）n，则a2n 10 （3 分）若函数 f（x）无最大值，则实数 a 的取值范围 11 （3 分）设 0，2） ，若关于 x 的方程 sin（2x+）a 在区间0，上有三个解，且 它们

2、的和为，则 12 （3 分）设点 P 在以 A 为圆心，半径为 1 的圆弧上运动（包含 B、C 两个端点） ， ，且，x+y+xy 的取值范围为 第 2 页（共 20 页） 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知函数 f（x）的图象是由函数 g（x）cosx 的图象经过如下变换得到：先将 g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半， 纵坐标不变，则函数 f（x）的图象的一条对称轴方程为（ ） Ax Bx Cx Dx 14 （3 分）在等差数列an中，设 k，l，p，rN*，则 k+lp+r 是 ak+alap+ar的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件

3、 C充要条件 D既非充分非必要条件 15 （3 分）如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的高，AB3，AC 2，则的值为（ ） A B C2 D 16 （3 分）凸四边形就是没有角度数大于 180的四边形，把四边形任何一边向两方延长， 其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形 ABCD 中，AB1，ACCD，ACCD，当ABC 变化时，对角线 BD 的最大 值为（ ） A3 B4 C D 三、解答题三、解答题 第 3 页（共 20 页） 17在一个平面内，一质点 O 受三个力、的作用保持平衡，其中与的夹角 为 ，与的夹角为 （1）若 120，150，|1

4、0 牛，求力、的大小； （2）若|：|：|1：，求 与 满足的关系 18已知函数 f（x）ax22ax+2（a0）在区间1，4上的最大值为 10 （1）求 a 的值及 f（x）的解析式； （2）设 g（x），若不等式 g（3x）t3x0 在 x0，2上有解，求实数 t 的取 值范围 19已知函数 f（x）sin2x+2cos2x1，x（0，） （1）求函数 yf（x）的单调递减区间； （2）在ABC 中，若 f（A）f（B） ，且 AB，AB，求ABC 外接圆半径的长 20已知函数 f（x）2x+k2 x（xR） （1）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）设 k0，问函数 f（x）

5、的图象是否关于某直线 xm 成轴对称图形，如果是，求出 m 的值；如果不是，请说明理由； （可利用真命题： “函数 g（x）的图象关于某直线 xm 成轴对称图形”的充要条件为“函数 g（m+x）是偶函数” ） （3）设 k1，函数 h（x）a2x21 x a，若函数 f（x）与 h（x）的图象有且只 有一个公共点，求实数 a 的取值范围 21已知以 a1为首项的数列an满足：|an+1|an+1|（nN*） （1）当时，且1an0，写出 a2、a3； （2）若数列|an|（1n10，nN*）是公差为1 的等差数列，求 a1的取值范围； （3）记 Sn为an的前 n 项和，当 a10 时， 第

6、4 页（共 20 页） 给定常数 m（m4，mN*） ，求 Sm1的最小值； 对于数列 a1，a2，a8，当 S8取到最小值时，是否唯一存在满足|aj+2|aj1+1|（2 j6，jN*）的数列an？请说明理由 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年上海市交大附中高二（上）学年上海市交大附中高二（上）9 月月考数学试卷月月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）若，且，则 t 23 【分析】根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列方程求得 t 的值 【解答】解：由题意计算， 又， 则（2 + ） 0， 即 37+（1）（2+t）0， 解

7、得 t23 故答案为：23 【点评】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题 2 （3 分）已知集合，Bx|x22x30，xR，则 AB （，2） 3，+） 【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合（5，2） ， Bx|x22x30，xR（，13，+） ， AB（，2）3，+） 故答案为： （，2）3，+） 【点评】本题考查并集的求法，考查并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 3 （3 分）函数 f（x）的单调递增区间是 ，2） 【分析】令 tx2+3x20，求得函数的定义域，f（x）log0.5t，本题即求函数 t 在 定义域内的减区间

8、，再利用二次函数的性质可得结论 【解答】解：令 tx2+3x20，求得 1x2，故函数的定义域为（1，2） ，f（x） 第 6 页（共 20 页） log0.5t， 本题即求函数 t 在定义域内的减区间 利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的减区间为，2） ， 函数 f（x）的单调递增区间是，2） 故答案为：，2） 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题 4 （3 分）已知函数 f（x）arcsin（2x+1） ，则 f 1（ ） 【分析】欲求，只需令 arcsin（2x+1）求出 x 的值，根据原函数与反函 数之间的关系可得结论 【解答】解：令 ar

9、csin（2x+1） 即 sin2x+1 解得 x 故答案为： 【点评】本题主要考查了反函数，以及反函数求值和三角形函数的运算，属于基础题 5 （3 分）若实数 满足，其中 D 是ABC 边 BC 延长线（不含 C） 上一点，则 的取值范围为 （，0） 【分析】根据给出条件转化，推出，由于 D 在 BC 的延长线上，故 0 【解答】解：，； ，； D 是ABC 边 BC 延长线（不含 C）上一点 即：0，（，0） 故答案为： （，0） 【点评】本题考查了向量的基本运算，属于基础题 6 （3 分） 若对任意 xR， 不等式 sin2x+2sin2xm0 恒成立， 则 m 的取值范围是 （+1，

10、第 7 页（共 20 页） +） 【分析】 由条件利用三角恒等变换可得 msin （2x） +1， 再根据sin （2x） +1 的最大值为+1，从而求得 m 的范围 【解答】解：不等式 sin2x+2sin2xm0，即 msin2xcos2x+1sin（2x）+1 由于sin（2x）+1 的最大值为+1，m+1， 故答案为： （+1，+） 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，函数的恒成立问题，属于中档 题 7 （3 分）若 a，b 是函数 f（x）x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且 a，b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q

11、的值等于 9 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到 a+bp，abq，再由 a，b，2 这三个 数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于 a，b 的方程组，求得 a， b 后得答案 【解答】解：由题意可得：a+bp，abq， p0，q0， 可得 a0，b0， 又 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得或 解得：；解得： pa+b5，q144， 则 p+q9 故答案为：9 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质， 是基础题 8 （3 分）已知梯形 ABCD，ABCD，设，向量的起点和终点分别是 A、B

12、、C、 D 中的两个点，若对平面中任意的非零向量 ，都可以唯一表示为、的线性组合， 第 8 页（共 20 页） 那么的个数为 8 【分析】根据题意可知，不共线，然后从 A，B 中选一个点，从 C，D 中选一个 点，从而得出的个数为 【解答】解：据题意知与不平行， 则从 A，B 中选一个点，从 C，D 中选一个点，的个数共：个 故答案为：8 【点评】考查平面向量基本定理，向量平行的定义，以及组合数公式 9 （3 分）已知数列an（nN*） ，若 a11，an+1+an（）n，则a2n 【 分 析 】 由 已 知 推 导 出， 从 而 ，由此能求出a2n 【解答】解：数列an（nN*）满足 a11

13、，an+1+an（）n， （a1+a2）+（a3+a4）+（a2n 1+a2n） ， 又a1+ （ a2+a3） + （ a4+a5） + + （ a2n 2 a2n1） 即 【点评】本题考查由数列递推式求数列的通项公式，考查数列极限的求法，是中档题 10 （3 分）若函数 f（x）无最大值，则实数 a 的取值范围 （， 第 9 页（共 20 页） 1） 【分析】求出函数 f（x）的导数，可得极值点，讨论 a1，a1，a1，结合单 调性和 f（x）无最大值，可得 a 的不等式组，解不等式可得 a 的范围 【解答】解：若 a0，对 f（x）， 求导 f（x）， 当 x1 时，f（x）0，此时函数

14、为增函数， 当 x1 时，f（x）0，此时函数为减函数， 故当 x1 时，f（x）的最大值为 2，与题意不符，舍去； 当 a0，f（x）， 令 f（x）0，则 x1， 当 a1 时，可得 f（x）在（，1递增， 可得 f（x）在 x1 处取得最大值 1，与题意不符，舍去； 若 f（x）无最大值，则，或， 解得：a1 或， 故答案为： （，1） 【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，以及运用分类讨论的 思想方法，考查运算能力，属于中档题 11 （3 分）设 0，2） ，若关于 x 的方程 sin（2x+）a 在区间0，上有三个解，且 它们的和为，则 或 【分析】求出函数的周期

15、，结合方程在区间0，上有三个解，则等价为 x0 和 x 是方程的两个解，结合对称性求解第三个解即可 【解答】解：函数的周期为 ，若方程 sin（2x+）a 在区间0，上有三个解， 则三个解必有 x0，和 x， 另外一个根 m 可能与 x0 关于对称轴对称，或者与 x 对称， 由 2x+k+， 第 10 页（共 20 页） 得 x+， 若 k0 则对称轴为 x，此时 m 与 0 关于为 x对称， 则 m2（）， 则三个根之和为 0+， 得 ， 若 k1，则对称轴为 x，此时 m 与 0 关于为 x对称， 则 m2（）， 则三个根之和为 0+， 得 ， 综上 或， 故答案为：或 【点评】本题主要考

16、查函数与方程的应用，结合三角函数在一个周期内的性质，得到为 x 0 和 x 是方程的两个解以及通过三角函数的对称性进行求解是解决本题的关键综 合性较强 12 （3 分）设点 P 在以 A 为圆心，半径为 1 的圆弧上运动（包含 B、C 两个端点） ， ，且，x+y+xy 的取值范围为 1，3 第 11 页（共 20 页） 【分析】由平面向量的坐标运算得：，所以，即 ， 由三角函数求值及辅助角公式问题得：x+y+xycos+sin+sincos+sin22sin （+）+，又 y12sin（+） ，y2 都在0，为增函数，在，为减函数， 则当 0 或时，x+y+xy 取最小值 1，当 时，x+y

17、+xy 取最大值 3，即 x+y+xy 的取值范围为：1，3，得解 【解答】解：建立以点 A 为直角坐标系为原点，AB 为 x 轴，AB 为 y 轴的直角坐标系， 则 A（0，0） ，B（1，0） ，C（，） ，P（cos，sin） ， （0） ， 又， 所以， 即， 所以 x+y+xycos+sin+sincos+sin22sin（+）+， 又 y12sin（+） ，y2都在0，为增函数，在， 为减函数， 则当 0 或时，x+y+xy 取最小值 1，当 时，x+y+xy 取最大值 3， 即 x+y+xy 的取值范围为：1，3， 故答案为：1，3 第 12 页（共 20 页） 【点评】本题考查

18、了平面向量的坐标运算、三角函数求值及辅助角公式问题，属中档题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知函数 f（x）的图象是由函数 g（x）cosx 的图象经过如下变换得到：先将 g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半， 纵坐标不变，则函数 f（x）的图象的一条对称轴方程为（ ） Ax Bx Cx Dx 【分析】根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得 结论 【解答】解：已知函数 f（x）的图象是由函数 g（x）cosx 的图象经过如下变换得到： 先将 g（x）的图象向右平移个单位长度，可得 ycos（x）的图象， 再将其图

19、象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数 f（x）cos（2x ）的图象， 令 2xk，可得 f（x）的图象的对称轴方程为 x+，kZ，结合所给的选 项， 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称 性，属于基础题 第 13 页（共 20 页） 14 （3 分）在等差数列an中，设 k，l，p，rN*，则 k+lp+r 是 ak+alap+ar的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分非必要条件 【分析】根据等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：在等差数列 0，0，0，中，3+

20、41+2，则 a3+a4a1+a2不成立，即充 分性不成立， 在等差数列中，ak+al2a1+（k+l2）d，ap+ar2a1+（p+r2）d， 由 ak+alap+ar得 2a1+（k+l2）d2a1+（p+r2）d， 即（k+l2）d（p+r2）d，当 d0 时，k+l2p+r2，即 k+lp+r，即必要性不 成立， 即 k+lp+r 是 ak+alap+ar的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的通项公式和性质是 解决本题的关键 15 （3 分）如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的高，AB3，AC 2，则的值为（ ） A B

21、C2 D 【分析】由余弦定理可得，由面积可求得，进而求得答案 【解答】解：， 又，AB3，AC2， 故由余弦定理可得 BC27， 又， ， 第 14 页（共 20 页） ， 故选：A 【点评】本题考查解三角形，涉及了数量积的运算，余弦定理以及三角形面积公式的运 用，考查运算能力，属于中档题 16 （3 分）凸四边形就是没有角度数大于 180的四边形，把四边形任何一边向两方延长， 其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形 ABCD 中，AB1，ACCD，ACCD，当ABC 变化时，对角线 BD 的最大 值为（ ） A3 B4 C D 【分析】直接利用余弦定理和

22、正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解：设ABC，ACB，则 由正弦定理得， 所以由余弦定理得 3+ 7+ 故当时，取得最大值为 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 三、解答题三、解答题 第 15 页（共 20 页） 17在一个平面内，一质点 O 受三个力、的作用保持平衡，其中与的夹角 为 ，与的夹角为 （1）若 120，150，|10 牛，求力、的大小； （2）若|：|：|1：，求 与 满足的关系 【分析】 （1）根据质点平衡，知、夹角为 90 度，合力与是相反力，在直角三角 形中可计算

23、出两个力的大小 （2）设三个力的大小分别为 t，t，t，及平行四边形法则得 +270 【解答】解： （1）由题意知，+ ，且 120，150，|10， 所以F1OF290 所以：100， 如图所示 所以：130， 利用直角三角形的边角关系式， 解得：， （2）由于|：|：|1：，且处于平衡状态， 第 16 页（共 20 页） 则：以，为边长的三角形为直角三角形， 如上图所示： 根据直角三角形解得：， 所以：， 则：， 同理：， 由于：以，为边长的三角形为直角三角形， 则： 【点评】本题考查的知识要点：向量的模的运算，解三角形知识的应用，三角形法则的 应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，是中

24、档题 18已知函数 f（x）ax22ax+2（a0）在区间1，4上的最大值为 10 （1）求 a 的值及 f（x）的解析式； （2）设 g（x），若不等式 g（3x）t3x0 在 x0，2上有解，求实数 t 的取 值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出 a 的值，求出函数的解析式即可； （2）问题转化为 t22（）+12+在 x0，2上有解，令 u，1，根据函数的单调性求出 t 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）2ax2a2a（x1） ， （a0） ， 令 f（x）0，解得：x1， 令 f（x）0，解得：x1， 故 f（x）在1，1）递减，

25、在（1，4递增， 1（1）41， 故 f（x）maxf（4）16a8a+28a+210，解得：a1， 故 f（x）x22x+2； 第 17 页（共 20 页） （2）由（1）g（x）x+2， 若不等式 g（3x）t3x0 在 x0，2上有解， 则 3x+2t3x0 在 x0，2上有解， 即 t22（）+12+在 x0，2上有解， 令u，1， x0，2， 则 t2+在 u，1上有解， 当 u，1时，2+，1， 于是 t1， 故实数 t 的范围是（，1 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题， 考查转化思想，换元思想，是一道综合题 19已知函数 f（x）sin2

26、x+2cos2x1，x（0，） （1）求函数 yf（x）的单调递减区间； （2）在ABC 中，若 f（A）f（B） ，且 AB，AB，求ABC 外接圆半径的长 【分析】 （1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由复合函数的单调性求函数 y f（x）的单调递减区间； （2）由 f（A）f（B） ，且 AB，求得 A+B，得 C，结合 cAB，再 由正弦定理求得ABC 外接圆半径的长 【解答】解： （1）f（x）sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x， 由，得，kZ 取 k0，可得 函数 yf（x）的单调递减区间为（） ； （2）由 f（A）f（B） ，得， 第 18 页（共 20

27、页） AB，则 A+B， C，cAB ，即 R1 【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查三角形的解法，是中档题 20已知函数 f（x）2x+k2 x（xR） （1）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）设 k0，问函数 f（x）的图象是否关于某直线 xm 成轴对称图形，如果是，求出 m 的值；如果不是，请说明理由； （可利用真命题： “函数 g（x）的图象关于某直线 xm 成轴对称图形”的充要条件为“函数 g（m+x）是偶函数” ） （3）设 k1，函数 h（x）a2x21 x a，若函数 f（x）与 h（x）的图象有且只 有一个公共点，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）

28、根据函数奇偶性的定义即可判断函数 f（x）的奇偶性； （2）个别化函数图象对称的定义进行证明； （3）根据指数函数的图象和性质即可得到结论 【解答】解： （1）f（x）2 x+k2x， 若 f（x）是偶函数，则 f（x）f（x） ，即 2 x+k2x2x+k2x，（1 分） 所以（k1） （2x2 x）0 对任意实数 x 成立，所以 k1； （2 分） 若 f（x）是奇函数，则 f（x）f（x） ，即 2 x+k2x2xk2x，（3 分） 所以（k+1） （2x+2 x）0 对任意实数 x 成立，所以 k1 （4 分） 综上，当 k1 时，f（x）是偶函数；当 k1 时，f（x）是奇函数；当

29、k1 时，f（x） 既不是奇函数也不是偶函数 （5 分） （2）当 k0 时，若函数 f（x）的图象是轴对称图形，且对称轴是直线 xm，则函数 f （m+x）是偶函数，即对任意实数 x，f（mx）f（m+x） ，（1 分） 故 2m x+k2（mx）2m+x+k2（m+x） ，化简得（2x2 x） （2mk2m）0，（3 分） 因为上式对任意 xR 成立，所以 2mk2 m0， （4 分） 所以，函数 f（x）的图象是轴对称图形，其对称轴是直线 （5 分） 第 19 页（共 20 页） （3）由 f（x）h（x）得， 即，（2 分） 此方程有且只有一个实数解 令 t2x，则 t0，问题转化为：

30、方程有且只有一个正数根 （3 分） 当 a1 时，不合题意 （4 分） 当 a1 时， （i） 若0，则 a3 或，若 a3，则，符合题意；若，则 t2， 不合题意 （6 分） （ii） 若0， 则 a3 或， 由题意， 方程有一个正根和一个负根， 即， 解得 a1 （7 分） 综上，实数 a 的取值范围是3（1，+） （8 分） 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及指数函数性质的综合应用，综合性较强， 涉及的知识点较多 21已知以 a1为首项的数列an满足：|an+1|an+1|（nN*） （1）当时，且1an0，写出 a2、a3； （2）若数列|an|（1n10，nN*）是公差为1 的

31、等差数列，求 a1的取值范围； （3）记 Sn为an的前 n 项和，当 a10 时， 给定常数 m（m4，mN*） ，求 Sm1的最小值； 对于数列 a1，a2，a8，当 S8取到最小值时，是否唯一存在满足|aj+2|aj1+1|（2 j6，jN*）的数列an？请说明理由 【分析】 （1）当时，且1an0，可得 01+an1，|a2|a1+1|，可得 a2 同理可得：a3 （2）数列|an|（1n10，nN*）是公差为1 的等差数列，由|an|a1|（n1） 0，可得|a1|n1n10 时，|a1|9，由|an+1|an+1|（nN*） 可得 an+1（|a1|n） ， 正号不成立，因此 an

32、|a1|+n10即可得出 （3）当 a10 时，an+1（an+1） a21，a32，或 0a43，1 可得m 为奇数， 最小值01+011+0， m 为偶数， 最小值0+12+3 第 20 页（共 20 页） （m2） 不唯一，S84，例如 0、1、0、1、0、1、0、1和 0、1、2、1、2、 1、2、1 均符合 【解答】解： （1）当时，且1an0，01+an1， |a2|a1+1|，a2 同理可得：a3 （2）数列|an|（1n10，nN*）是公差为1 的等差数列， |an|a1|（n1）0，|a1|n1 n10 时，|a1|9， |an+1|an+1|（nN*） an+1（|a1|n） ，正号不成立， an|a1|+n10 a19 （3）当 a10 时，an+1（an+1） a21，a32，或 0a43，1 m 为奇数，最小值01+011+0， m 为偶数，最小值0+12+3（m2） 不唯一，S84，例如 0、1、0、1、0、1、0、1和 0、1、2、1、2、 1、2、1 均符合 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法、绝对值 应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题