2019-2020学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）10月月考数学试卷（理科）含详细解答

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1、如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是 （ ） A抛物线 B双曲线一支 C椭圆 D抛物线或双曲线 4 （5 分）已知向量 ， 满足，则向量 在 方向上的投影 为（ ） A1 B2 C2 D1 5 （5 分）一个质量 m5kg 的物体作直线运动，设运动距离 s（单位：m）与时间 t（单位： s）的关系可用函数 s（t）1+t2表示，并且物体的动能，则物体开始运动后 第 4s 时的动能是（ ） A160J B165J C170J D175J 6 （5 分）我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面所取得的突破性进展孪生素数就是 指相差 2 的素数对，例如 5 和 7，

2、“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在 1900 年国际数学家 大会的报告上第 8 个问题中提出可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素 数，素数对（p，p+2）称为孪生素数在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的数， 第 2 页（共 24 页） 这两个数为孪生素数的概率是（ ） A B C D 7 （5 分）已知 AB、CD 分别是椭圆的长、短轴，下列命题正确 的是 点 PC，使得 PAPB； 点 PC，且直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2为定值； 点 PC，且直线 PC 与 PD 的斜率分别为 k3，k4，则 k3k4为定值； 当 P 与 C 或 D

3、重合时，APB 最大 （ ） A B C D 8 （5 分）已知 0，函数 f（x）sin（x+）在（，）上单调递减，则 的取 值范围是（ ） A （0， B （0，2 C， D， 9 （5 分）已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则的值为（ ） A B C D 10 （5 分）设 F1、F2是双曲线 C 的两个焦点，若曲线 C 上存在一点 P 与 F1关于曲线 C 的 一条渐近线对称，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C2 D 11 （5 分）设三棱锥 SABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两

4、两相互垂直，AB2，BC3，AC ，其顶点都在球 O 的球面上，则球心 O 到平面 ABC 的距离为（ ） A B C D 12 （5 分）已知过点 A（a，0）作曲线 C：yxex的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （，4）（0，+） B （0，+） C （，1）（1，+） D （，1） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 20 分）分） 第 3 页（共 24 页） 13 （5 分）二项式展开式中的常数项为 14 （5 分）若实数 x，y 满足，则的取值范围是 15 （5 分） 某地区举行高中数学竞赛， 全体参赛学生的比赛成

5、绩 近似服从正态分布 N （80， 2） ， （0） ，参赛学生共 500 名若 在（70，90）内的取值概率为 0.80，那么 90 分以上（含 90 分）的学生人数为 16 （5 分）如图，将 3 个 1010 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这 6 部分接 在一个边长为 5的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图则该多 面体的体积为 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 a11，a22，an+2（nN*） （1）令 bnan+1an，求证：bn是等比数列 （2）求数列an的通项公式 18 （12 分

6、）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的 满意程度的指标， 常用区间0， 10内的一个数来表示， 该数越接近 10 表示满意度越高 为 了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查，调查 数据如表所示： 幸福感指数 0，2） 2，4） 4，6） 6，8） 8，10 男居民人数 10 20 220 125 125 女居民人数 10 10 180 175 125 （1）在图中绘出频率分布直方图（说明：将各个小矩形纵坐标注在相应小矩形边的最上 面） ，并估算该地区居民幸福感指数的平均值； 第 4 页（共 24 页） （2）若居民幸福感指数

7、不小于 6，则认为其幸福为了进一步了解居民的幸福满意度， 调查组又在该地区随机抽取 4 对夫妻进行调查，用 X 表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人 都感到幸福）的对数，求 X 的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率） 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 （）证明：PB平面 AEC； （）设二面角 DAEC 为 60，AP1，AD，求三棱锥 EACD 的体积 20 （12 分）已知函数 f（x）ax2+（2+a）x+lnx （）讨论 f（x）的单调性； （）设 a0，证明：当时，； 21 （12 分）设 F1，F2分别

8、椭圆的左，右焦点，直线 l 与椭圆 C 交于不同的 两点 A，B，已知F1AB 的周长为 8 （）求证直线 l 必过 F2； （）求F1AB 的内切圆的半径的最大值 选做题请考生在选做题请考生在 22，23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 24 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（0，2） ， 为参数） ，在同一平面直角坐标系中，

9、经过伸缩变换得到曲线 C1，以坐标原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ 为极径， 为极角） （）求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 C1的极坐标方程； （）若射线 OA：（0）与曲线 C1交于点 A，射线与 曲线 C1交于点 B，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正数 a，b 满足 （1）证明：； （2）若存在实数 x，使得，求 a，b 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）10 月月考数学试月月考数学试 卷（理科）卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小

10、题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 小题，满分小题，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Mx|x1|2，Nx|x2x0，则 MN（ ） Ax|1x3 Bx|1x3 Cx|1x0 或 1x3 Dx|1x0 或 0x3 【分析】可以求出集合 M，N，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Mx|1x3，Nx|x0 或 x1， MNx|1x0 或 1x3 故选：C 【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集的运 算，考查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1+i）2+ai，且 z 为纯虚数，则|z|为（ ） A1 B2 C D 【

11、分析】根据纯虚数的定义，结合复数相等的条件求出 z，结合复数模长公式进行计算即 可 【解答】解：z 为纯虚数， 设 zmi，m 为实数， 则由 z（1+i）2+ai 得 mi（1+i）2+ai， 即 mim2+ai， 即m2，m2， 则 z2i，|z|2， 故选：B 【点评】本题主要考查复数模长的计算，结合复数相等求出 z 的解析式是解决本题的关 键比较基础 3 （5 分）如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是 第 7 页（共 24 页） （ ） A抛物线 B双曲线一支 C椭圆 D抛物线或双曲线 【分析】由题意结合圆锥曲线的几何观点得答案 【解答】解：房间壁灯向

12、上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥， 墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆， 而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支 故选：B 【点评】本题考查圆锥曲线的轨迹问题，着重考查圆锥曲线的由来，是基础题 4 （5 分）已知向量 ， 满足，则向量 在 方向上的投影 为（ ） A1 B2 C2 D1 【分析】 先根据 （） 推出 4， 然后根据向量 在 上投影的概念得到： 1 【解答】解： （ + ） ， （ + ）0 2+ 0， 4， 所以向量 在 方向上的投影为：1， 故选：A 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运

13、算，属中档题 5 （5 分）一个质量 m5kg 的物体作直线运动，设运动距离 s（单位：m）与时间 t（单位： s）的关系可用函数 s（t）1+t2表示，并且物体的动能，则物体开始运动后 第 4s 时的动能是（ ） 第 8 页（共 24 页） A160J B165J C170J D175J 【分析】根据题意，求出函数 s（t）的导数，由导数的几何意义可得物体开始运动后第 4s 时速度，进而计算可得答案 【解答】解：根据题意，物体的运动距离 s 与时间 t 的关系式为 s（t）1+t2， 则有 s（t）2t， 物体开始运动后第 4s 时速度 vs（4）8， 物体开始运动后第 4s 时的动能 Em

14、v2564160J； 故选：A 【点评】本题考查导数的几何意义，注意求出物体的速度，属于基础题 6 （5 分）我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面所取得的突破性进展孪生素数就是 指相差 2 的素数对，例如 5 和 7， “孪生素数猜想”正式由希尔伯特在 1900 年国际数学家 大会的报告上第 8 个问题中提出可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素 数，素数对（p，p+2）称为孪生素数在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的数， 这两个数为孪生素数的概率是（ ） A B C D 【分析】20 以内的素数共有 8 个，而 20 以内的孪生素数有（3，5） ， （5，7） ，

15、（11，13） ， （17，19） ，根据古典概型的概率公式计算即可 【解答】解：在不超过 20 的素数中所有的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19；共 8 个 在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的个数 4 个，即 （3，5） （5，7） ， （11，13） ， （17，19） ， 在不超过 20 的素数中， 随机选取两个不同的数， 其中能够组成孪生素数的概率是： ， 故选：B 【点评】本题考查古典概型概率的求法，正确求解素数是解题的关键 7 （5 分）已知 AB、CD 分别是椭圆的长、短轴，下列命题正确 的是 第 9 页（共 24 页） 点 PC，

16、使得 PAPB； 点 PC，且直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2为定值； 点 PC，且直线 PC 与 PD 的斜率分别为 k3，k4，则 k3k4为定值； 当 P 与 C 或 D 重合时，APB 最大 （ ） A B C D 【分析】由直径所对圆周角是直角判断；由斜率公式结合点 P 在椭圆上求得 k1k2为定 值，k3k4为定值判断；设出 P 点坐标，把APB 的正切值用 P 的坐标表示，可得当 P 的纵坐标的绝对值最大时APB 最大，说明正确 【解答】解：对于，以 AB 为直径的圆与椭圆除 A，B 外无交点，不点 PC，使 得 PAPB，故错误； 对于，设 P（x0

17、，y0） ，则， 即， ， 则为定值，故正确； 对于， 则为定值，故正确； 对于，设 P（x，y） ，PAB，PBA，APB， 则 tan，tan， 则 tantan（+）tan（+） ， 当|y|最大等于 b 时，tan， 最大，故正确 第 10 页（共 24 页） 正确的命题是 故选：D 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查椭圆的简单性质，是中档题 8 （5 分）已知 0，函数 f（x）sin（x+）在（，）上单调递减，则 的取 值范围是（ ） A （0， B （0，2 C， D， 【分析】由题意利用正弦函数的单调性可得+，且 +，由此 求得 的取值范围 【解答】解：已知 0，函数

18、f（x）sin（x+）在（，）上单调递减， 可得+，且 +，求得， 故选：C 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题 9 （5 分）已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则的值为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案 【解答】解：如图， 第 11 页（共 24 页） D、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE2EF， 故选：C 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题 10 （5 分）设 F1、F2是双曲线 C

19、 的两个焦点，若曲线 C 上存在一点 P 与 F1关于曲线 C 的 一条渐近线对称，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C2 D 【分析】设 F（c，0） ，渐近线方程为 yx，对称点为 F（m，n） ，运用中点坐标公 式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离 心率公式计算即可得到所求值 【解答】解：设 F（c，0） ，渐近线方程为 yx， 对称点为 F（m，n） ， 即有， 且n， 解得：m，n， 将 F（，） ，即（，） ， 代入双曲线的方程可得1， 化简可得41，即有 e25， 解得 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点

20、坐标公式和两直线垂直的条件： 第 12 页（共 24 页） 斜率之积为1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题 11 （5 分）设三棱锥 SABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两相互垂直，AB2，BC3，AC ，其顶点都在球 O 的球面上，则球心 O 到平面 ABC 的距离为（ ） A B C D 【分析】 以 SA、 SB、 SC 为棱构造长方体 AEFGSBDC， 求出 SA1， SB， SC， 以 A 为原点，AE 为 x 轴，AG 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能 求出球心 O 到平面 ABC 的距离 【解答】解：三棱锥 SABC

21、 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两相互垂直，AB2，BC3， AC， 以 SA、SB、SC 为棱构造长方体 AEFGSBDC， 则，解得 SA1，SB，SC， 以 A 为原点，AE 为 x 轴，AG 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（，0，1） ，C（0，1） ，S（0，0，1） ，F（，0） ， 球心是 SF 的中点 O，则 O（，） ， （） ，（0，1） ，（，） ， 设平面 ABC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x，得 （，1，） ， 球心 O 到平面 ABC 的距离为： d 故选：A 第 13 页（共 24 页） 【点评】本题考

22、查球心到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 12 （5 分）已知过点 A（a，0）作曲线 C：yxex的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （，4）（0，+） B （0，+） C （，1）（1，+） D （，1） 【分析】设切点为（m，mem） ，求得 yxex的导数，可得切线的斜率，求出切线方程， 代入 A 的坐标，整理为 m 的二次方程，由判别式大于 0，解不等式即可得到所求范围 【解答】解：设切点为（m，mem） ，yxex的导数为 y（x+1）ex， 可得切线的斜率为（m+1）em， 则切线方程为 yme

23、m（m+1）em（xm） ， 切线过点 A（a，0）代入得mem（m+1）em（am） ， 可得 a，即方程 m2maa0 有两个解， 则有a2+4a0 可得 a0 或 a4 即 a 的取值范围是（，4）（0，+） 故选：A 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力， 属于中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 20 分）分） 第 14 页（共 24 页） 13 （5 分）二项式展开式中的常数项为 15 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项 【解答】解：

24、二项式展开式中的通项公式为 Tr+1x6 r （1）rx2r x6 3r， 令 63r0，求得 r2，故展开式中的常数项为 15， 故答案为：15 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的 系数，二项式系数的性质，属于中档题 14 （5 分）若实数 x，y 满足，则的取值范围是 3，+） 【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点与定点 P（0， 1）连线的斜率求解 【解答】解：由约束条件， 作出可行域如图， 联立，解得 A（1，2） ， 的几何意义为可行域内动点与定点 P（0，1）连线的斜率， kPA3， 的取值范围是3，+） 第 15

25、页（共 24 页） 故答案为：3，+） 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 15 （5 分） 某地区举行高中数学竞赛， 全体参赛学生的比赛成绩 近似服从正态分布 N （80， 2） ， （0） ，参赛学生共 500 名若 在（70，90）内的取值概率为 0.80，那么 90 分以上（含 90 分）的学生人数为 50 【分析】根据比赛成绩 近似服从正态分布 N（80，2） ， （0） ，得到成绩 关于 80 对称，根据 在（70，90）内的取值概率为 0.80，得到 90 分以上（含 90 分）的概 率为 0.1，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数 【解

26、答】解：比赛成绩 近似服从正态分布 N（80，2） ， （0） ， 比赛成绩 关于 80 对称， 在（70，90）内的取值概率为 0.80， 90 分以上（含 90 分）的概率为 0.1， 90 分以上（含 90 分）的人数为 0.150050 故答案为：50 【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是 考试的成绩 关于 80 对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解 16 （5 分）如图，将 3 个 1010 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这 6 部分接 在一个边长为 5的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图则该多 面体的体积

27、为 500 【分析】先作出拼接后的几何体图形，由此能求出该多面体的体积 【解答】解：由题意得拼接后的几何体如图所示， 故该多面体的体积为： 500 第 16 页（共 24 页） 故答案为：500 【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置有关系 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 a11，a22，an+2（nN*） （1）令 bnan+1an，求证：bn是等比数列 （2）求数列an的通项公式 【分析】 （1）根据数列递推关系，结合等比数列的定义，利用定义法

28、进行证明即可 （2）利用bn是等比数列求出数列的通项公式，结合数列递推关系，利用累加法进行 求解即可 【解答】解： （1）bnan+1an， b1a2a1211， an+2（nN*） bnan+1anan（anan1）bn， bn是公比 q，首项为 1 的等比数列 （2）由（1）得 bn（）n 1， 即 an+1an（）n 1， 当 n2 时，ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）1+1+（）+（） 2+（ ）n 21+ 1+1（）n 1 （）n 1， 当 n1 时，（）01a1， 第 17 页（共 24 页） 即数列的通项公式为 an（）n 1， （nN ） 【点评】本题主要考

29、查递推数列的应用，结合等比数列的定义以及数列递推关系，利用 累加法是解决本题的关键考查学生的运算推理能力 18 （12 分）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的 满意程度的指标， 常用区间0， 10内的一个数来表示， 该数越接近 10 表示满意度越高 为 了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查，调查 数据如表所示： 幸福感指数 0，2） 2，4） 4，6） 6，8） 8，10 男居民人数 10 20 220 125 125 女居民人数 10 10 180 175 125 （1）在图中绘出频率分布直方图（说明：将各个小矩形纵坐

30、标注在相应小矩形边的最上 面） ，并估算该地区居民幸福感指数的平均值； （2）若居民幸福感指数不小于 6，则认为其幸福为了进一步了解居民的幸福满意度， 调查组又在该地区随机抽取 4 对夫妻进行调查，用 X 表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人 都感到幸福）的对数，求 X 的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率） 【分析】 （1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平 均值 （2）由已知条件得到 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，且 XB（4，0.3） ，由此能求出 X 的分布列和期望 【解答】解： （1）频率分布直方图如右图 所求的平均值为 0.0121+0.015

31、23 +0.225+0.1527+0.125296.46， 第 18 页（共 24 页） （2）男居民幸福的概率为： 0.5 女居民幸福的概率为：0.6， 故一对夫妻都幸福的概率为： 0.50.60.3， 因此 X 的可能取值为 0，1，2，3，4， 且 XB（4，0.3） 于是 P（Xk）3k（10.3）4 k（k0，1，2，3，4） ， X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 p 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081 E（X）np40.31.2 【点评】本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法， 是中档题，解题时要认真审题，注意排

32、列组合知识的合理运用 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 （）证明：PB平面 AEC； （）设二面角 DAEC 为 60，AP1，AD，求三棱锥 EACD 的体积 第 19 页（共 24 页） 【分析】 （）连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO，只要证明 EOPB，即可证明 PB平 面 AEC； （）延长 AE 至 M 连结 DM，使得 AMDM，说明CMD60，是二面角的平面角， 求出 CD，即可三棱锥 EACD 的体积 【解答】 （）证明：连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO， O 为 BD 中点

33、，E 为 PD 中点， EOPB， （2 分） EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC； （6 分） （）解：延长 AE 至 M 连结 DM，使得 AMDM， 四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD， CD平面 AMD， CDMD 二面角 DAEC 为 60， CMD60， AP1，AD，ADP30， PD2， E 为 PD 的中点AE1， DM， CD 三棱锥 EACD 的体积为： 第 20 页（共 24 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用， 考查逻辑思维能力，是中档题 20 （12 分）已知函数

34、 f（x）ax2+（2+a）x+lnx （）讨论 f（x）的单调性； （）设 a0，证明：当时，； 【分析】 （I）f（x）的定义域为（0，+） ，求出导函数通过 a 的范围，判断函数的单调 性即可 （II）设函数，则，利用函数的 导数判断函数的单调性即可推出结果 【解答】 解： （I） f （x） 的定义域为 （0， +） ， （i）若 a0，则 f（x）0，所以 f（x）在（0，+）单调增加 （ii）若，且当 所以单调增加，在单调减少 （II）设函数，则， 第 21 页（共 24 页） 当 故当， 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断，考查转化思想以及分类讨 论思想的应用，

35、是难题 21 （12 分）设 F1，F2分别椭圆的左，右焦点，直线 l 与椭圆 C 交于不同的 两点 A，B，已知F1AB 的周长为 8 （）求证直线 l 必过 F2； （）求F1AB 的内切圆的半径的最大值 【分析】 （）由椭圆定义和F1AB 的周长为 8 可得|AB|AF2|+|BF2，可证明； （） F1AB 的面积有， 又 ， 方程联立表示出F1AB 的面积，建立方程由韦达定理求出面积的最大值，然后求出半径 的最大值； 【解答】解： （）依题意有|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4+48， 且|AB|+|AF1|+|BF1|8，得|AB|AF2|+|BF2； F2在 AB

36、上，即 直线 l 必过 F2； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设F1AB 的内切圆半径为 r， F1AB 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a8， 所以 根据题意知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 xmy+1； 由，得（3m2+4）y2+6my90， （6m）2+36（3m2+4）0，mR， 由韦达定理得， 第 22 页（共 24 页） ； 令，则 t1， 令，则当 t1 时，f（t）单调递增， ， 即当 t1，m0 时，的最大值为 3，此时 故当直线 l 的方程为 x1 时，F1AB 内切圆半径的最大值为 【点评】本题考查椭圆的几何性质

37、，三角形的内切圆的性质，三角形的面积的最值的求 法，函数思想的应用，属于难题 选做题请考生在选做题请考生在 22，23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（0，2） ， 为参数） ，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换得到曲线 C1，以坐标原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ 为极径， 为极角） （）求

38、曲线 C 的直角坐标方程和曲线 C1的极坐标方程； （）若射线 OA：（0）与曲线 C1交于点 A，射线与 曲线 C1交于点 B，求的值 【分析】 （）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转化求出结果 （）利用三角函数关系式的变换求出结果 【解答】解： （）曲线 C 的参数方程为（0，2） ， 为参数） ，转换 为直角坐标方程为 x2+y24 经过伸缩变换得到曲线 C1，得到 x2+4y216，转换为极坐标方程为 2cos2+42sin216 第 23 页（共 24 页） （）线 OA：（0）与曲线 C1交于点 A，射线与曲线 C1交于点 B，则，即， 同 理， 所 以 【点评】本题

39、考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换 能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正数 a，b 满足 （1）证明：； （2）若存在实数 x，使得，求 a，b 【分析】 （1）利用基本不等式进行转化即可证明； （2）两步利用绝对值不等式与基本不等式的性质进行转化即可求出 a，b 值 【解答】解： （1）4a+b（4a+b）， ， 又 1ab1， （2）|x+2|x|（x+2）（x）|， 且仅当，即 x时，等号成立； 又 a+b（a+b） （）， 且仅当即 a2b 时，等号成立， 【点评】本题考查了不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题