山西省太原市2020届高考数学一模试卷(理科)含答案解析
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1、 数学试题数学试题 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Mx|x|3,Nx|y= 6 + 2,则 MN( ) Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|3x3 2设复数 z 满足 z(2+i)5,则|zi|( ) A2 B2 C22 D4 3七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块 正方形和一块平行四边形共七块板组成 (清)陆以湉冷庐杂识卷中写道:近又有七 巧图,其式五,其
2、数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足 以排闷破寂,故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任 取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A 5 16 B11 32 C 7 16 D13 32 4在等比数列an中,a10,则“a1a4”是“a3a5”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5函数() = 21 | 的图象大致为( ) A B C D 6某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是9 5,则( ) Aa6 Ba5 Ca4 Da7 7 (3x3+ 1 ) 7 展开式中的常数项是( ) A189
3、B63 C42 D21 8 刘徽注 九章算术商功 中, 将底面为矩形, 一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马 如图, 是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为( ) A3 B 3 2 C3 D4 9已知变量 x,y 满足约束条件 + 6 3 2 1 ,若目标函数 zax+by(a0,b0)的最小 值为 2,则1 + 3 的最小值为( ) A2+3 B5+26 C8+15 D23 10已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(ab0)的右焦点为 F,过点 F 作圆 x2+y2b2的切线, 若两条切线互相垂直,则椭圆 C 的离心率为( ) A1 2 B 2 2 C 2 3 D 6 3 11设|AB|10
4、,若平面上点 P 满足对任意的 R,恒有|2 | 8,则一定正确的 是( ) A| | 5 B| + | 10 C 9 DAPB90 12设函数 f(x)是奇函数 f(x) (xR)的导函数,当 x0 时,xlnxf(x)f(x) , 则使得(x24)f(x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A (2,0)(0,2) B (,2)(2,+) C (2,0)(2,+) D (,2)(0,2) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13已知双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= 3x,若其右顶点到这 条渐
5、近线的距离为3,则双曲线方程为 14已知函数() = ( 6)(0)在(0, 4 3 )单调增加,在(4 3 ,2)单调减少,则 15在如图所示装置中,正方形框架的边长都是 1,且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直, 活动弹子 M,N 分别在正方形对角线 AC,BF 上移动,则 MN 长度的最小值是 16 某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表, 且把奇数和偶数分别依次排在了 数表的奇数行和偶数行如图,若用 a(i,j)表示第 i 行从左数第 j 个数,如 a(5,2) 11,则 a(41,18) 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分
6、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题;题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题; 共共 60 分分 17已知ABC 外接圆的半径为 R,其内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 2R(sin2B sin2A)(a+c)sinC ()求角 B; ()若 b= 7,c2,求 sinA 的值 18如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,AE平面 BCE,且 AE1 ()求证:平面 ABCD平面 ABE; ()线段 AD 上是否存在一点 F,使二
7、面角 ABFE 等于 45?若存在,请找出点 F 的位置;若不存在,请说明理由 19新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒,为筛查该病毒,有一种检验方式是检 验血液样本相关指标是否为阳性,对于 a 份血液样本,有以下两种检验方式:一是逐份 检验,则雷检验 n 次二是混合检验,将其中 k 份血液样本分别取样混合在一起,若检 验结果为阴性, 那么这 k 份血液全为阴性, 因而检验一次就够了; 如果检验结果为阳性, 为了明确这 k 份血液究竟哪些为阳性,就需要对它们再逐份检验,此时 k 份血液检验的 次数总共为 k+1 次 某定点医院现取得 4 份血液样本, 考虑以下三种检验方案: 方案一, 逐
8、个检验;方案二,平均分成两组检验;方案三,四个样本混在一起检验假设在接受 检验的血液样本中,每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的,且每份样本是 阴性的概率为 P= 22 3 ()求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率; ()若检验次数的期望值越小,则方案越“优” 方案一、二、三中哪个最“优”?请 说明理由 20已知椭圆 E 的焦点为 F1(1,0)和 F2(1,0) ,过 F2的直线交 E 于 A,B 两点,过 A 作与 y 轴垂直的直线交直线 x3 于点 C 设2 =2 , 已知当 2 时, |AB|BF1| ()求椭圆 E 的方程; ()求证:无论 如何变化,直线 BC 过定
9、点 21已知函数 f(x)xsinx+cosx,g(x)= ()判断函数 f(x)在区间(0,)上零点的个数; ()设函数 g(x)在区间(0,+)上的极值点从小到大分别为 x1,x2,x3,x4, xn证明: (1)g(x1)+g(x2)0; (2)对一切 nN*,g(x1)+g(x2)+g(x3)+g(xn)0 成立 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分,请考生在第分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分作答时请用第一题计分作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑
10、选修选修 4-4:坐标系:坐标系 与参数方程与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为 = 3 = 3 ( 为参数) , 已知点 Q (6, 0) ,点 P 是曲线 C1上任意一点,点 M 满足 = 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系 ()求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程; ()已知直线 l:ykx 与曲线 C2交于 A,B 两点,若 =4 ,求 k 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|2x+a|,g(x)|x1| ()若 f(x)+2g(x)的最小值为 1,求实数 a 的值; ()若关于 x 的不等式
11、f(x)+g(x)1 的解集包含1 2,1,求实数 a 的取值范围 来源:学_科_网 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Mx|x|3,Nx|y= 6 + 2,则 MN( ) Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|3x3 可以求出集合 M,N,然后进行交集的运算即可 Mx|3x3,Nx|2x3, MNx|2x3 故选:B 本题考查了描述法的定义,绝对值不等式和一元二次不等式的解法,交集的运算,考查 了计算
12、能力,属于基础题 2设复数 z 满足 z(2+i)5,则|zi|( ) A2 B2 C22 D4 把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的个数求解|zi| 由 z(2+i)5,得 z= 5 2+ = 5(2) (2+)(2) = 2 , |zi|2ii|22i|= 22+ (2)2= 22 故选:C 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题 3七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块 正方形和一块平行四边形共七块板组成 (清)陆以湉冷庐杂识卷中写道:近又有七 巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,
13、盖游戏之具,足 以排闷破寂,故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任 取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A 5 16 B11 32 C 7 16 D13 32 先设大正方形的边长为 4,则阴影部分可看做一个等腰直角三角形,边长为 22,另外一 部分为梯形,上底为2,下底为 22,高2,然后分别求出面积,根据与面积有关的几 何概率公式可求 设大正方形的边长为 4,则面积 4416, 阴影部分可看做一个等腰直角三角形,边长为 22,面积1 2 22 22 =4, 另外一部分为梯形,上底为2,下底为 22,高2,面积2:22 2 2 =3, 故概率 P= 7 16 故选
14、:C 本题考查了观察能力及几何概型中的面积型,属中档题 4在等比数列an中,a10,则“a1a4”是“a3a5”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件来源:学科网 ZXXK 根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可 在等比数列中,若 a1a4,即 a1a1q3, a10,1q3, 即 q1,则5 3 = 21,即 a3a5成立, 若等比数列 1,2,4,8,16, 满足 a3a5,但 a1a4不成立, 故“a1a4”是“a3a5”的充分不必要条件, 故选:A 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合等比数列的性质是解决本题的关键
15、 5函数() = 21 | 的图象大致为( ) A B C D 根据条件判断函数的奇偶性和对称性,判断当 x0 时的单调性,利用排除法进行求解即 可 f(x)= ()21 | = 21 | =f(x) ,则 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,排除 B,C, 当 x0 时,f(x)= 21 =x 1 为增函数,排除 A, 故选:D 本题主要考查函数图象的识别和判断,利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题 的关键 6某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是9 5,则( ) Aa6 Ba5 Ca4 Da7 执行程序框图,写出每次循环得到的 k,S 的值,当有 S= 9 5,k5 时,应
16、该满足条件 k a,退出循环输出 S 的值为9 5,故 a 的值应为 4 执行程序框图,有 S1,k1 不满足条件 ka,有 S1+ 1 12,k2; 不满足条件 ka,有 S1+ 1 12 + 1 23,k3; 不满足条件 ka,有 S1+ 1 12 + 1 23 + 1 34,k4; 不满足条件 ka,有 S1+ 1 12 + 1 23 + 1 34 + 1 45 = 9 5,k5; 此时,应该满足条件 ka,退出循环输出 S 的值为9 5 故 a 的值应为 4 故选:C 【点评】本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考查 7 (3x3+ 1 ) 7 展开式中的常数项是( ) A18
17、9 B63 C42 D21 利用二项式展开式的通项公式,即可求出展开式中的常数项 (33+ 1 ) 7展开式的通项公式为: Tr+1= 7 (3x3)7r(1 ) = 7 37r21;7 2, 令 21 7 2 =0,解得 r6; 所以展开式中的常数项是 T7= 7 6321 故选:D 本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题,是基础题 8 刘徽注 九章算术商功 中, 将底面为矩形, 一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马 如图, 是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为( ) A3 B 3 2 C3 D4 根据三视图得出四棱锥的结构特征,根据四棱锥与长方体的关系计算外接球的直径与体 积 由题意可知阳马
18、为四棱锥,且四棱锥的底面为长方体的一个底面, 四棱锥的高为长方体的一棱长, 且阳马的外接球也是长方体的外接球;来源:学科网 ZXXK 由三视图可知四棱锥的底面是边长为 1 的正方形,四棱锥的高为 1, 长方体的一个顶点处的三条棱长分别为 1,1,1, 长方体的对角线为3, 外接球的半径为 3 2 , 外接球的体积为 V= 4 3 ( 3 2 )3= 3 2 故选:B 本题考查了棱锥的结构特征与三视图应用问题,也考查了几何体外接球的应用问题,是 中档题 9已知变量 x,y 满足约束条件 + 6 3 2 1 ,若目标函数 zax+by(a0,b0)的最小 值为 2,则1 + 3 的最小值为( )
19、A2+3 B5+26 C8+15 D23 画出可行域,利用目标函数去最小值得到 a,b 的等式,利用基本不等式求解1 + 3 的最 小值 约束条件对应的 区域如图:目标函数 zax+by(a0,b0)经过 C 时取最小值为 2, 所以 a+b2, 则1 + 3 = 1 2( 1 + 3 ) (a+b)= 1 2(4+ + 3 ) 2+ 3 =2+3; 当且仅当3ab,并且 a+b2 时等号成立; 故选:A 本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值;关键是求出 a+b2,对所求 变形为基本不等式的形式求最小值 10已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(ab0)的右焦点为 F,过点
20、 F 作圆 x2+y2b2的切线, 若两条切线互相垂直,则椭圆 C 的离心率为( ) A1 2 B 2 2 C 2 3 D 6 3 由题意画出图形,可得2 = ,两边平方后结合隐含条件得答案 如图, 由题意可得,2 = ,则 2b2c2, 即 2(a2c2)c2,则 2a23c2, 2 2 = 2 3,即 e= = 6 3 故选:D 本题考查椭圆的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,是中档题 11设|AB|10,若平面上点 P 满足对任意的 R,恒有|2 | 8,则一定正确的 是( ) A| | 5 B| + | 10 C 9 DAPB90 关于向量的问题,如果从形上思考而不得思路,可以考虑
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