2020届湘赣皖长郡十五校高三联考第二次考试数学试卷（理科）含答案解析

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1、 姓 名 准考证号 绝密启用前绝密启用前 2020 届湘赣皖长郡十五校高三联考届湘赣皖长郡十五校高三联考 第二次考试第二次考试 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 长郡中学；衡阳八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；九江市一中； 由 联合命题 石门一中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；南昌二中；合肥八中 炎德文化审校、制作炎德文化审校、制作 总分:150 分 时量:120 分钟 注意事项注意事项: 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应

2、题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷第卷 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知复数 2 )1 ( 2 i i z ，则zz 在复平面内对应的点位于 A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 2已知2)2(log2xZxA，034 2 xxxB则 AB= A631xxx

3、或 B654 ， C D63 xx 3棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 PCBD1，则动点 P 的 轨迹所围成图形的面积为 A3 B23 C 2 3 D1 4已知偶函数)(xf在), 0 上单调递增，) 4 1 ( 3 1 fa ，) 2 7 (log3fb ，)5(log 3 1 fc ，则 a、b、c 的大小关系为 Acba Bbac Cabc Dcab 5干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法它是用 60 组各不相同的天 干地支标记年月日时的历法具体的算法如下:先用年份的尾数查出天干，如 2013 年 3

4、为癸；再用 2013 年 除以 12 余数为 9，9 为巳那么 2013 年就是癸巳年了， 2020 年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大 25 岁间李东的父亲是哪一年出生 A甲子 B乙丑 C丁巳 D丙卯 6函数 xx xx xf cos sin )( 2 的大致图象是 7纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文 化艺术宝库中的巨大财富小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣收集了如下 9 枚纹样微章，其中 4 枚凤 纹徽章，5 枚龙纹微章小楠从 9 枚徽章中任取 3 枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为 A 4 3 B 42 37 C

5、37 21 D 42 5 8设函数)( 6 sin()( Nxxf 在 6 5 , 12 5 上单调递减，则下述三个结论: )(xf在, 2 上的最大值为 2 1 ，最小值为1； )(xf在2 , 0上有且仅有 4 个零点； )(xf关于 12 7 x轴对称； 其中所有正确结论的编号是 A B C D 9在直角ABC 中， 2 A，点 D 在边 BC 上，AD=4，AC=5且ADC 的面积为 8，则 cosB= A 85 1713 B 85 1716 C 881 88125 D 5 4 10已知随机变量), 1 ( 2 NX，且)()0(aXPXP，则 523 ) 2 ()1 ( x xax的

6、展开式中 4 x的系数 为 A680 B640 C180 D40 11已知)0 ,()0 ,( 21 cFcF、是双曲线1 2 2 2 2 b y a x C：的左、右焦点， 1 F关于双曲线的一条渐近线的对称点 为 P，且点 P 在抛物线cxy4 2 上，则双曲线的离心率为 A12 B2 C5 D 2 15 12已知函数)(3)( 2 Raxaexf x ，若2 , 0x时，)(xf在0x处取得最大值，则 a 的取值范围为 A e a 6 - B 2 12 e a C0a D e a e 612 2 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题

7、，每个试题考生都必须作笞第题为必考题，每个试题考生都必须作笞第 22、23 题为选题为选 考题，考生根据要求作答考题，考生根据要求作答 二、填空题填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的橫线上） 13设x是函数xxxfsincos3)(的一个极值点，则 2 sin2cos= . 14已知)(x f 是函数)(xf的导函数，且对任意实数都有)() 32()(xfxexf x ，1)0(fe 是自然 对数的底数，则)(xf在0x处切线方程为 . 15已知直线032 yx与椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 相交于 A，B 两点，且线段

8、 AB 的中点在直线 0143 yx上，则此椭圆的离心率为 . 16已知 A、B、C、D 四点都在表面积为 100的球 O 的表面上，若 12034BACBC，则球 O 内接三棱锥BCDA的体积的最大值为 . 三解答题三解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 12 分） 设数列 n a的前 n 项和为 n S， n nnnnn b cabnaS 1 , 223， （1）证明： n b为等比数列，并求 n a； （2）记 n T为 n c的前项和，mTn恒成立，求 m 的取值范围 18（本小题满分 12 分） 如图四边形ABCD为矩形，E、F 分别为 AD

9、、BC 边的三等分点，其中 AB=AE=CF=1，BF=2，以 EF 为 折痕把四边形ABFE折起如图，使面ABFE面EFCD. （1）证明：图中 CDBD； （2）求二面角CBDA的余弦值. 19（本小题满分 12 分） 已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x C：的离心率为 2 3 ，) 2 1 , 3(M是椭圆 C 上的一点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点)0 , 4(P作直线l与椭圆 C 交于不同两点 A、B，A 点关于 x 轴的对称点为 D，问直线 BD 是否过定 点？若是，求出该定点的坐标；若不是请说明理由 20（本小题满分 12 分） 发展“会员”、提

10、供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式某连锁店为了吸引会 员，在 2019 年春节期间推出一系列优惠促销活动抽奖返现便是针对“白金卡会员”、 “金卡会员”、 “银 卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动：“白金卡会员”、金卡会员”、“银 卡会员”、“基本会员”分别有 4 次、3 次、2 次、1 次抽奖机会抽奖机如图：抽奖者第一次按下抽奖键， 在正四面体的顶点 O 出现一个小球，再次按下抽奖键，小球以相等的可能移向邻近的顶点之一，再次按下 抽奖键，小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一每一个顶点上均有一个发光器，小球在某点时，该 点等可能发红光或蓝光，若出现红光

11、则获得 2 个单位现金，若出现蓝光则获得 3 个单位现金. （1）求“银卡会员”获得奖金的分布列； （2）(1,2,3,4,) i P i 表示第i次按下抽奖键，小球出现在 O 点处的概率 求 1234 ,P P P P的值； 写出 1n P 与 n P关系式，并说明理由. 21（本小题满分 12 分） 已知函数Zaaxxg e xxexf x ,)(), 2 ln()(，其中 e 是自然对数的底数. （1）求函数( )f x在1x 处的切线方程； （2）当0x时，( )( )f xg x恒成立，求 a 的最大值. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答若多做，则按所做的第一题计分

12、题中任选一题作答若多做，则按所做的第一题计分. 22（本小题满分 10 分）选修）选修 44:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在直角坐标系 x0y 中，直线l经过点(3,0)P，倾斜角 6 ，曲线 C 的参数方程为 2cos 3sin x y （为参 数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线l的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值 23（本小题满分 10 分）选修选修 45:不等式选讲不等式选讲 已知0,0,0abc，函数( )f xxaxbc （1）当 a=1，b=2 时，求不等式( )5f xc的解集; （2）当( )f x的最小值为 6 时，证明: 222222 12 abacbc cba