北京市房山区2020届高三第一次模拟考试数学试题(含答案解析)
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1、北京市房山区北京市房山区 2020 届高三第一次模拟考试数学试题届高三第一次模拟考试数学试题 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题分在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1复数 i(3+i)( ) A1+3i B1+3i C13i D13i 2函数 f(x)tan(x+ 6)的最小正周期为( ) A 3 B 2 C D2 3已知向量 =(1, 1 2) , =(2,m) ,若 与 共线,则| |( ) A3 B5 C6 D22 4在二项式(12x)5的展开式中,x3的系数为( ) A4
2、0 B40 C80 D80 5下列函数中,既是偶函数又在(0,+)上单调递减的是( ) Ayx 2 By|lnx| Cy2 x Dyxsinx 6某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A4 3 B8 3 C4 D8 7已知函数 f(x)= , 1 + 1, 1,若 f(2)0,且 f(x)在 R 上单调递增,则 a 的取值范围是( ) A (0,2 B (1,2 C (1,+) D2,+) 8设an是公差为 d 的等差数列,Sn为其前 n 项和,则“d0”是“nN*,Sn+1Sn”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9已知直
3、线 l:ym(x2)+2 与圆 C:x2+y29 交于 A,B 两点,则使弦长|AB|为整数的 直线 l 共有( ) A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 10党的十八大以来,脱贫工作取得巨大成效,全国农村贫困人口大幅减少如图的统计图 反映了 20122019 年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况(注:贫困发生率 贫困人数(人)统计人数(人)100%) 根据统计图提供的信息,下列推断不正 确的是( ) A20122019 年,全国农村贫困人口逐年递减 B20132019 年,全国农村贫困发生率较上年下降最多的是 2013 年 C20122019 年,全国农村贫困人口数累计减少 934
4、8 万 D2019 年,全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过 0.6% 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分 11已知集合 A1,2,m,B1,3,4,AB1,3,则 m 12设抛物线 x22py 经过点(2,1) ,则抛物线的焦点坐标为 13 已知an是各项均为正数的等比数列, a11, a3100, 则an的通项公式 an ; 设数列lgan的前 n 项和为 Tn,则 Tn 14将函数 f(x)sin(2x 3)的图象向右平移 s(s0)个单位长度,所得图象经过点 ( 2,1) ,则 s 的最小值是 15如果方程 2 4 +y|y|1 所对
5、应的曲线与函数 yf(x)的图象完全重合,那么对于函数 y f(x)有如下结论: 函数 f(x)在 R 上单调递减; yf(x)的图象上的点到坐标原点距离的最小值为 1; 函数 f(x)的值域为(,2; 函数 F(x)f(x)+x 有且只有一个零点 其中正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 题,共题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16在ABC 中,a= 2,c= 10,_ (补充条件) ()求ABC 的面积; ()求 sin(A+B) 从b4,cosB= 5 5 ,sinA= 10 10 这三个条件中任选一个,补充在上面问
6、题中并 作答 17 随着移动互联网的发展, 越来越多的人习惯用手机应用程序 (简称 app) 获取新闻资讯 为 了解用户对某款新闻类 app 的满意度,随机调查了 300 名用户,调研结果如表: (单位: 人) 青年人 中年人 老年人 满意 60 70 x 一般 55 25 y 不满意 25 5 10 ()从所有参与调研的人中随机选取 1 人,估计此人“不满意”的概率; ()从参与调研的青年人和中年人中各随机选取 1 人,估计恰有 1 人“满意”的概率; ()现需从参与调研的老年人中选择 6 人作进一步访谈,若在“满意” 、 “一般” 、 “不 满意”的老年人中各取 2 人,这种抽样是否合理?
7、说明理由 18如图,在四棱锥 PABCD 中,PB平面 ABCD,ABBC,ADBC,AD2BC2, ABBCPB,点 E 为棱 PD 的中点 ()求证:CE平面 PAB; ()求证:AD平面 PAB; ()求二面角 EACD 的余弦值 19已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)过 A(2,0) ,B(0,1)两点 ()求椭圆 C 的方程和离心率的大小; ()设 M,N 是 y 轴上不同的两点,若两点的纵坐标互为倒数,直线 AM 与椭圆 C 的 另一个交点为 P, 直线 AN 与椭圆 C 的另一个交点为 Q, 判断直线 PQ 与 x 轴的位置关系, 并证明你的结论 20 (15 分
8、)已知函数 f(x)2x3ax2+2 ()求曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; ()讨论函数 f(x)的单调性; ()若 a0,设函数 g(x)|f(x)|,g(x)在1,1上的最大值不小于 3,求 a 的取值范围 21在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作 称为该数列的一次“Z 拓展” 如数列 1,2 第 1 次“Z 拓展”后得到数列 1,3,2,第 2 次“Z 拓展”后得到数列 1,4,3,5,2设数列 a,b,c 经过第 n 次“Z 拓展”后所得 数列的项数记为 Pn,所有项的和记为 Sn ()求 P1,P2; ()若 Pn2020
9、,求 n 的最小值; ()是否存在实数 a,b,c,使得数列Sn为等比数列?若存在,求 a,b,c 满足的条 件;若不存在,说明理由 参考答案参考答案 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题分在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1复数 i(3+i)( ) A1+3i B1+3i C13i D13i 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 i(3+i)3i+i21+3i 故选:B 本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题 2函数 f(x)tan(x+ 6)的最小正周期为( ) A
10、 3 B 2 C D2 由题意利用函数 f(x)Atan(x+)的最小正周期为 ,得出结论 函数 f(x)tan(x+ 6)的最小正周期为 1 =, 故选:C 本题主要考查函数 f(x)Atan(x+)的最小正周期,属于基础题 3已知向量 =(1, 1 2) , =(2,m) ,若 与 共线,则| |( ) A3 B5 C6 D22 根据题意,由向量平行的坐标表示方法可得 m( 1 2)(2)1,即可得 =(2, 1) ;由向量模的计算公式计算可得答案 根据题意,向量 =(1, 1 2) , =(2,m) , 若 与 共线,则有 m( 1 2)(2)1,则 =(2,1) ; 则| |= 4 +
11、 1 = 5; 故选:B 本题考查向量平行的坐标表示,注意向量平行的坐标计算公式即可,属于基础题 4在二项式(12x)5的展开式中,x3的系数为( ) A40 B40 C80 D80 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出 r 的值,即可求得展开式中的 x3系数 (12x)5展开式的通项公式为 5 (2x)r,故令 r3, 可得其中的 x3系数为5 3 (2)380, 故选:D 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基 础题 5下列函数中,既是偶函数又在(0,+)上单调递减的是( ) Ayx 2 By|lnx| Cy2 x Dyxsinx
12、根据函数性质,分别判断两个函数的奇偶性和单调性即可 Af(x)是偶函数,且在(0,+)上是减函数,满足条件 B函数的定义域为(0,+) ,函数为非奇非偶函数,不满足条件 C函数为非奇非偶函数,不满足条件 Df(x)xsin(x)xsinxf(x) ,f(x)为偶函数,在(0,+)不具备单调 性,不满足条件 故选:A 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题 的关键难度不大 6某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A4 3 B8 3 C4 D8 由三视图还原原几何体,该几何体为三棱锥 PABC,其中 PA底面 ABC,且 PA2, 底面三角形 A
13、BC 为钝角三角形,BAC 为钝角,且 C 到 AB 边的距离为 4,再由棱锥体 积公式求体积 由三视图还原原几何体如图, 该几何体为三棱锥 PABC,其中 PA底面 ABC,且 PA2, 底面三角形 ABC 为钝角三角形,BAC 为钝角,且 C 到 AB 边的距离为 4 该三棱锥的体积为 V= 1 3 1 2 1 4 2 = 4 3 故选:A 本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题 7已知函数 f(x)= , 1 + 1, 1,若 f(2)0,且 f(x)在 R 上单调递增,则 a 的取值范围是( ) A (0,2 B (1,2 C (1,+) D2,+) 根据f
14、 (2) 0即可求出 = 1 2, 然后根据f (x) 在R上单调递增即可得出 1 1 1 2 + 1, 解出 a 的范围即可 f(2)12b0, = 1 2, 又 f(x)在 R 上单调递增, 1 1 1 2 + 1,解得 1a2, a 的取值范围是(1,2 故选:B 本题考查了分段函数、一次函数和指数函数的单调性,增函数的定义,已知函数求值的 方法,考查了计算能力,属于基础题 8设an是公差为 d 的等差数列,Sn为其前 n 项和,则“d0”是“nN*,Sn+1Sn”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 “nN*,Sn+1Sn”an+1
15、0 “d0”与“nN*,an+10”是否推出,与 a1的取值 (正负)有关系 “nN*,Sn+1Sn”an+10 “d0”与“nN*,an+10”相互推不出,与 a1的取值(正负)有关系, “d0”是“nN*,Sn+1Sn”的既不充分也不必要条件 故选:D 本题考查了等差数列通项公式与求和公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题 9已知直线 l:ym(x2)+2 与圆 C:x2+y29 交于 A,B 两点,则使弦长|AB|为整数的 直线 l 共有( ) A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 根据题意,直线过点 M(2,2) ,圆 C 的圆心(0,0) ,半径 r3,则
16、可得当 CM 与 AB 垂直时,即 M 为 AB 的中点时,弦长|AB|最短,求出直线 CM 的斜率,由直线垂直与斜率 的关系分析可得直线 AB 的斜率,由直线的点斜式方程分析可得答案 根据题意,直线恒过点 M(2,2) ,圆 C:x2+y29 的圆心 C 为(0,0) ,半径 r3, 则 CM22 当直线与 AB 垂直时,M 为|AB|中点,此时|AB|29 8 =2,符合题意,此时直线有一 条, 当直线过圆心 C 时,|AB|2r6,满足题意,此时直线有一条, 则当|AB|3,4,5 时,各对应两条直线, 综上,共 8 条直线 故选:C 本题考查了直线与圆的方程的应用问题,考查点到直线距离
17、公式,弦长公式,是综合性 题目 10党的十八大以来,脱贫工作取得巨大成效,全国农村贫困人口大幅减少如图的统计图 反映了 20122019 年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况(注:贫困发生率 贫困人数(人)统计人数(人)100%) 根据统计图提供的信息,下列推断不正 确的是( ) A20122019 年,全国农村贫困人口逐年递减 B20132019 年,全国农村贫困发生率较上年下降最多的是 2013 年 C20122019 年,全国农村贫困人口数累计减少 9348 万 D2019 年,全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过 0.6% 由 20122019 年我国农村贫困人口和农村贫困发
18、生率的变化情况统计图能求出结果 由 20122019 年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得: 在 A 中,20122019 年,全国农村贫困人口逐年递减,故 A 正确; 在 B 中, 20132019 年, 全国农村贫困发生率较上年下降最多的是 2013 年, 故 B 正确; 在 C 中,20122019 年,全国农村贫困人口数累计减少:98995519348 万,故 C 正 确; 在 D 中,2019年,全国各省份的农村贫困发生率有可能超过 0.6%,故 D 错误 故选:D 本题考查命题真假的判断,考查统计图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 二、填空题共二、填空
19、题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分 11已知集合 A1,2,m,B1,3,4,AB1,3,则 m 3 利用交集定义直接求解 集合 A1,2,m,B1,3,4,AB1,3, m3 故答案为:3 本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 12设抛物线 x22py 经过点(2,1) ,则抛物线的焦点坐标为 (0,1) 由点在抛物线上,代入求出抛物线的方程,进而求出焦点坐标 由题意可得,222p1,所以 2p4, 即抛物线的方程为:x24y, 所以焦点坐标为: (0,1) , 故答案为: (0,1) 本题考查抛物线的性质,属于基础题 13已知
20、an是各项均为正数的等比数列,a11,a3100,则an的通项公式 an 10n 1 ;设数列lgan的前 n 项和为 Tn,则 Tn (1) 2 先由 a11,a3100 求出公比 q,再求 an与 lgan,最后求 Tn 设等比数列an的公比为 q,由题知 q0a11,a3100,q= 3 1 =10,an 10n 1; lganlg10n 1n1,T n= (1) 2 故填:10n 1,(1) 2 本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前 n 项和的求法,属于基础题 14将函数 f(x)sin(2x 3)的图象向右平移 s(s0)个单位长度,所得图象经过点 ( 2,1) ,则 s 的
21、最小值是 12 首先利用三角函数的图象平移得到 ysin2 (xs) 3, 代入点 ( 2, 1) 后得到 sin ( 2 3 2s) 1,由此可得 s 的最小值 将函数 ysin(2x 3)的图象向右平移 s 个单位长度, 所得图象对应的函数为 ysin2(xs) 3 再由所得图象经过点( 2,1) ,可得 sin(2s 3)sin( 2 3 2s)1, 2 3 2s2k+ 2,kzsk+ 12,kz 故 s 的最小值是 12 故答案为: 12 本题考查了三角函数的图象平移,考查了三角函数奇偶性的性质,是中档题 15如果方程 2 4 +y|y|1 所对应的曲线与函数 yf(x)的图象完全重合
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