福建省厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查数学试题(文科)含答案
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1、厦门市厦门市 20202020 届高中毕业班第一次质量检查数学届高中毕业班第一次质量检查数学(文科文科)试题试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后,将答题卡交回 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 1,0,1,2,3A , | (23)0Bx xx,
2、则AB( ) A1 B 1,2 C 1,2,3 D0,1,2,3 2设 2 1 z i ,则z的共轭复数为( ) A1 i B1 i C1 i D1 i 3已知双曲线 2 2 :1 y E x k 的一个焦点是(2,0),则E的渐近线方程为( ) A 3 3 yx Byx C2yx D3yx 4通过随机询问 100 名中学生是否喜欢某电视节目,得到如下列联表: 男 女 总计 喜欢 40 30 70 不喜欢 10 20 30 总计 50 50 100 已知 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 附表: 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001 0
3、k 3.841 6.635 10.828 则以下结论正确的是( ) A有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关” B有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关” C在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“喜欢该电视节目与性别有关” D在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“喜欢该电视节目与性别无关” 5设x,y满足约束条件 2 1 20 x y xy ,则zxy的最大值为( ) A2 B0 C1 D2 6已知为第三象限角, 10 cossin 5 ,则cos2( ) A 5 4 B 3 5 C 3 5 D 4 5 7我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童现有一个长
4、、宽、高分别为 5、3、 3 的长方体,将上底面绕着上、下底面中心连线(对称轴)旋转 90 度,得到一个刍童(如图) ,则该刍童的 外接球的表面积为( ) A 43 4 B 25 2 C43 D50 8将函数( )sin23cos2f xxx的图象向左平移(0) 个单位,得到一个偶函数的图象,则的最 小值为( ) A 12 B 6 C 4 D 3 9函数 ln| ( ) x ex f x x 的部分图象大致为( ) A B C D 10 如图, 边长为 2 的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点, 将AEDV,DCFV分别沿DE, DF折起,使A,C两点重合于点 1 A,则线段 1
5、AB的长为( ) A2 B 2 3 3 C1 D 6 3 11若关于x的不等式 3ax ex在区间 2 , e e 内有解,则实数a的取值范围是( ) A 3 , 2 e B 1 , e C 2 6 , e D 3, e 12 已知ABCV是边长为2 3的正三角形,EF为该三角形内切圆的一条弦, 且3EF 若点P在ABCV 的三边上运动,则PE PF uuu r uuu r 的最大值为( ) A 5 2 B11 2 C13 2 D17 2 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知向量(2,1)a r ,( ,4)bx r ,若ab r r ,则x的值为_ 14若曲线
6、 2 3 yax x 在点(1,3)a 处的切线与直线30xy平行,则a的值为_ 15 已知倾斜角为 4 的直线l经过椭圆E的左焦点, 以E的长轴为直径的圆与l交于A,B两点, 若弦长AB 等于E的焦距,椭圆E的离心率为_ 16如图,某景区有景点A,B,C,D经测量得6kmBC ,120ABC , 21 sin 14 BAC, 60ACD ,CDAC, 则AD _km 现计划从景点B处起始建造一条栈道BM, 并在M处 修建观景台为获得最佳观景效果,要求观景台对景点A、D的视角120AMD 为了节约修建成本, 栈道BM长度的最小值为_km (本题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题:共
7、70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17 (12 分) 在数列 n a中, 2 5a ,且 1, n a, 1n a 成等差数列 (1)求证:数列1 n a 是等比数列; (2)设 n a前n项和为 n S求使得 2 log10 n S 成立的n的最大值 18 (12 分) 在平面直角坐标系xOy中, 已知动圆E过点(0,1)F, 且与直线:1m y 相切 动圆圆心E的轨迹记为C (1)求轨迹C的方程; (2) 过点F作斜率为(0)k k 的直线l交C于A,B两
8、点, 使得| 8AB , 点Q在m上, 且满足1QA QB uuu r uuu r , 求QABV的面积 19 (12 分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为 2 的正方形,PADV为等边三角形,点E,F分别 为PA,CD的中点 (1)求证:EF平面PBC; (2)已知平面PAD 平面ABCD,过E,F,C三点的平面将四棱锥PABCD分成两部分,求这两 部分体积的比 20 (12 分) 某批库存零件在外包装上标有从 1 到N的连续自然数序号,总数N未知,工作人员随机抽取了n个零件, 它们的序号从小到大依次为: 1 x, 2 x, n x现有两种方法对零件总数N进行估计 方法一:
9、用样本的数字特征估计总体的数字特征,可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近 似相等,进而可以得到N的估计值 方法二:因为零件包装上的序号是连续的,所以抽出零件的序号 1 x, 2 x, n x相当于从区间0,1N 中 随机抽取n个整数, 这n个整数将区间0,1N 分为(1)n 个小区间: 1 0,x, 12 ,x x, ,,1 n x N 由 于这n个数是随机抽取的,所以前n个区间的平均长度 n x n 与所有(1)n 个区间的平均长度 1 1 N n 近似相等, 进而可以得到N的估计值 现工作人员随机抽取了 31 个零件,序号从小到大依次为:83、135、274、380、668、8
10、95、955、964、1113、 1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、 2157、2220、2224、2396、2543、2791 (1)请用上述两种方法分别估计这批零件的总数; (结果四舍五入保留整数) (2)将第(1)问方法二估计的总数N作为这批零件的总数,从中随机抽取 100 个零件测量其内径y(单 位:mm) ,绘制出频率分布直方图(如图) 已知标准零件的内径为200mm,将这 100 个零件的内径落 入各组的频率视为这批零件内径分布的概率其中内径长度最接近标准的
11、 720 个零件为优等品,请求出优 等品的内径范围(结果四舍五入保留整数) 21 (12 分) 已知函数 2 ( )cosf xaxx (1)当 1 2 a 时,求函数( )f x的极值点; (2)若( )f x在区间 33 , 22 内有且仅有 4 个零点的充要条件为(,)aN M,求证: 2 8 MN (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分 22选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系xOy中,直线l的方程为2x ,曲线C的方程为 22 (1)1xy,动点P到原点O的距 离与到l的距离相等以坐标原点O为极点,x轴的
12、正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程; (2)若Q是曲线C上一点,且4OPOQ uuu ruuu r ,求|OP 23选修 4-5:不等式选讲(10 分) 已知函数( ) |f xxaxbxc (1)若, ,0a b c ,(0)1f,证明: 1 3 abbcac; (2)若1ab,对于任意的(, 1)x ,( )4f x 恒成立,求c的取值范围 厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查参考答案 文科数学 一、选择题 CADAC DCACB CB 二、填空题 132 141 15 6 3 166 7,10 32 21 三、解答题 17本题主要考查等差、等比
13、数列的定义,考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算;考查运 算求解能力;考查化归与转化思想等满分 12 分 解: (1)因为 1, n a, 1n a 成等差数列,所以 1 21 nn aa , 1 分 当1n 时,有 12 216aa ,得 1 3a , 2 分 所以 1 121 nn aa ,又 1 12a ,所以 1 1 2 1 n n a a , 所以1 n a 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 5 分 (2)由(1)知1 n a 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以 1 1222 nn n a ,所以21 n n a 6 分 所以 123 21212121 n
14、n S 7 分 1231 2 12 222222 12 n nn nnn , 9 分 所以 2 log10 n S 即 110 222 n n , 10 分 因为 1 222(1)2210 nnn nn ,所以数列 1 22 n n 为递增数列 当9n时, 1010 2922,不满足,当8n 时, 910 2822满足 所以满足不等式 2 log10 n S 的最大的正整数n的值为 8 12 分 18本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系等知识;考查运算求解能力、 推理论证能力等;考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等满分 12 分 解: (1)法一:依题
15、意:平面内动点E到定点(0,1)F和到定直线1y 的距离相等, 1 分 根据抛物线的定义,曲线C是以点F为焦点,直线1y 为准线的抛物线, 其方程为 2 4xy 3 分 法二:设点( , )E x y,依题意有:| |1|EFy, 1 分 即 22 (1)|1|xyy,化简得到C的方程为 2 4xy 3 分 (2)法一:依题意可设直线l的方程为:1ykx, 11 ,A x y, 22 ,B x y, 0, 1 Q x 联立 2 1 4 ykx x y ,得 2 440xkx,得 12 4xxk, 12 4x x 4 分 由 12 |28AByy,得 2 1212 2426yyk xxk, 所以
16、 2 1k ,即1k ,又由0k ,得1k , 7 分 故: 12 4xx, 12 4xx , 12 6yy, 12 1yy 101 ,1QAxx y uuu r , 202 ,1QBxx y uuu r , 2 1 212001212 1QA QBx xxxxxy yyy uuu r uuu r , 化简得: 2 00 430xx,解得 0 1x 或 3,即(1, 1)Q或(3, 1)Q 10 分 当Q为(1, 1)时,点Q到直线l的距离为 |1 1 1|3 2 22 , 13 2 86 2 22 QAB S V ; 当Q为(3, 1)时,点Q到直线l的距离为 |31 1|5 2 22 ,
17、15 2 810 2 22 QAB S V 12 分 法二:依题意可设直线l的方程为:1ykx 11 ,A x y, 22 ,B x y, 0, 1 Q x 联立 2 1 4 ykx x y ,得 2 440xkx,得 12 4xxk, 12 4x x , 5 分 由 12 |28AByy,得 2 1212 2426yyk xxk, 所以 2 1k ,即1k ,又由0k ,得1k , 7 分 解得(22 2,32 2)A,(22 2,32 2)B, 故而: 0 22 2,42 2QAx uuu r , 0 22 2,42 2QBx uuu r , 22 0000 484168441QA QBx
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