2018-2019学年广西梧州市、桂林市、贵港市等高三（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、设集合 Ax|1x5，则RA（ ） Ax|x4 Bx|x4 Cx|x4 Dx|x4 2 （5 分） （2i）2（1+3i）（ ） A27i B2+i C47i D4+i 3 （5 分）已知函数 f（x），则 f（f（1） ）（ ） A17 B1 C4 D82 4 （5 分）若双曲线的离心率为 2，则其实轴长为（ ） A B C D 5 （5 分）如图显示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一 个半径为 2cm 的圆形铜片， 中间有边长为 1cm 的正方形孔 若随机向铜片上滴一滴水 （水 滴的大小忽略不计） ，则水滴正好落人孔中的概率是（ ） A B C D 6 （5 分）已

2、知函数 f（x）Asinx（A0，0）与 g（x）cosx 的部分图象如图所 示，则（ ） 第 2 页（共 20 页） AA1， BA2， CA1， DA2， 7 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 3sinA2sinC，b5，cosC ，则 a（ ） A3 B4 C6 D8 8 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A+1 B （6+）+1 C+ D （6+）+ 第 3 页（共 20 页） 10 （5 分）函数在2，+）上的最小值为（ ） A Be2 C D2e 11 （5

3、 分）设 P 为椭圆 C：1 上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长 F1P 至点 Q，使得|PQ|PF2|，则动点 Q 的轨迹方程为（ ） A （x2）2+y228 B （x+2）2+y27 C （x+2）2+y228 D （x2）2+y27 12 （5 分）设 alog30.4，blog23，则（ ） Aab0 且 a+b0 Bab0 且 a+b0 Cab0 且 a+b0 Dab0 且 a+b0 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把分把答案填在答题卡中的横线上答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）已知向量 ， 的夹角为

4、 120，且| |1，| |4，则 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 15 （5 分）已知 tan2，且mtan2，则 m 16 （5 分）设 O1为一个圆柱上底面的中心，A 为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆 周上的每个点都在球 O 的表面上若两个底面的面积之和为 8，O1A 与底面所成角为 60，则球 O 的表面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每道试题考生都必须作答 第题为必考题， 每道试题考生都必

5、须作答 第 22、 23 题为选考题， 考生根据要求作答题为选考题， 考生根据要求作答 (一一) 必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）在等比数列an中，已知 a11，a22 （1）求an的通项公式； （2）若 a3，a4分别为等差数列bn的前两项，求bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PAACBC，且 BCAC （1）证明：平面 PBC平面 PAC； 第 4 页（共 20 页） （2）设棱 AB，BC 的中点分别为 E，D，若四面体 PBDE 的体积为，求PBE 的面积 19 （12 分）2018 年中秋节到来之际，某超市

6、为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销 售范围内的 1000 名消费者在中秋节期间的月饼购买量（单位：g）进行了问卷调查，得 到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2）以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在 600g1400g 的概率； （3）已知该超市所在销售范围内有 20 万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总 量的 5%，请根据这 1000 名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好 能满足市场需求（频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表）？ 20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中直线 yx+4 与抛物线 C：x22py（p0

7、）交于 A，B 两 点，且 OAOB （1）求 C 的方程； （2）若 D 为直线 yx+4 外一点，且ABD 的外心 M 在 C 上，求 M 的坐标 21 （12 分）已知函数 f（x）（a+1）x+alnx （1）当 a1 时，求 f（x）的单调区间； （2）当 a1 且 a0 时，若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） (二二)选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）

8、在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，以坐 标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 cos2 sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（1，2） ，求|PA|PB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x+2| （1）求不等式 f（x）13 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 k，且1（m0） ，证明：m+n16 第 6 页（共 20 页） 2018-2019 学年广西梧州市、桂林市、贵港市等高三（上）期

9、末学年广西梧州市、桂林市、贵港市等高三（上）期末 数学试卷（文科）数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 Ax|1x5，则RA（ ） Ax|x4 Bx|x4 Cx|x4 Dx|x4 【分析】化简集合 A，根据补集的定义写出RA 【解答】解：集合 Ax|1x5x|x4， 则RAx|x4 故选：D 【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题 2 （5

10、分） （2i）2（1+3i）（ ） A27i B2+i C47i D4+i 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： （2i）2（1+3i）34i（1+3i）27i 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （5 分）已知函数 f（x），则 f（f（1） ）（ ） A17 B1 C4 D82 【分析】推导出 f（1）1+314，从而 f（f（1） ）f（4） ，由此能求出结果 【解答】解：函数 f（x）， f（1）1+314， f（f（1） ）f（4）2471 故选：B 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 第

11、7 页（共 20 页） 础题 4 （5 分）若双曲线的离心率为 2，则其实轴长为（ ） A B C D 【分析】利用双曲线的离心率，求出 a，即可得到实轴长 【解答】解：双曲线的离心率为 2， e，解得 a， 则其实轴长为： 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 5 （5 分）如图显示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一 个半径为 2cm 的圆形铜片， 中间有边长为 1cm 的正方形孔 若随机向铜片上滴一滴水 （水 滴的大小忽略不计） ，则水滴正好落人孔中的概率是（ ） A B C D 【分析】利用题意将原问题转化为面积比值的问题，据

12、此整理计算即可求得最终结果 【解答】解：利用面积型几何概型公式可得， 圆形铜片的面积 S4，中间方孔的面积为 S1， 油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值， 第 8 页（共 20 页） 即油滴正好落入孔中的概率为 p 故选：D 【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属 于基础题 6 （5 分）已知函数 f（x）Asinx（A0，0）与 g（x）cosx 的部分图象如图所 示，则（ ） AA1， BA2， CA1， DA2， 【分析】结合图象可知，A1，1.5，然后再由周期公式即可求解 【解答】解：由图象可知，A1，1.5， A2，T6， 又

13、6T， ， 故选：B 【点评】本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题 7 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 3sinA2sinC，b5，cosC ，则 a（ ） A3 B4 C6 D8 【分析】由已知利用正弦定理可得 3a2c，设 a2k（k0） ，则 c3k由余弦定理解 得 k 的值，即可解得 a 的值 【解答】解：3sinA2sinC， 第 9 页（共 20 页） 可得：3a2c， 设 a2k（k0） ，则 c3k 由余弦定理得：cosC， 则 k3（k舍去） ， 从而 a6 故选：C 【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三

14、角形中的应用，考查了转化思想， 属于基础题 8 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由 f（x）f（x） ，即函数 yf（x）为奇函数，其图象关 于原点对称，排除答案 A，C， 观察当1x0 时，x3x0，x2+10，x3x（x2+1）x3x2x1x2（x1） （x+1）0，所以，故排除答案 D，即可得解 【解答】解：因为 f（x）， 此函数定义域为 R， 又因为 f（x）f（x） ， 即函数 yf（x）为奇函数，其图象关于原点对称， 故排除答案 A，C， 第 10 页（共 20 页） 当1x0 时， x3x0，x2+10， x3x（x2+1）x3x2x1x2（

15、x1）（x+1）0， 所以， 故排除答案 D， 故选：B 【点评】本题考查了函数的奇偶性及其图象的对称性及不等式的有关性质，属中档题 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A+1 B （6+）+1 C+ D （6+）+ 【分析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成 【解答】解：由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成 该几何体的表面积 S 故选：A 【点评】本题考查了三视图，空间想象与运算能力，属于简单题 10 （5 分）函数在2，+）上的最小值为（ ） A Be2 C D2e 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值

16、即可 【解答】解：f（x）， 令 f（x）0，解得：x3， 第 11 页（共 20 页） 令 f（x）0，解得：x3， 故 f（x）在2，3）递减，在（3，+）递增， 故 f（x）最小值f（3）， 故选：A 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道常规题 11 （5 分）设 P 为椭圆 C：1 上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长 F1P 至点 Q，使得|PQ|PF2|，则动点 Q 的轨迹方程为（ ） A （x2）2+y228 B （x+2）2+y27 C （x+2）2+y228 D （x2）2+y27 【分析】推导出|PF1|+|PF2|2a2，|PQ|PF2|

17、，从而|PF1|+|PQ|F1Q|2，进而 Q 的轨迹是以 F1（2，0）为圆心，2为半径的圆，由此能求出动点 Q 的轨迹方程 【解答】解：P 为椭圆 C：1 上一动点，F1，F2分别为左、右焦点， 延长 F1P 至点 Q，使得|PQ|PF2|， |PF1|+|PF2|2a2，|PQ|PF2|， |PF1|+|PQ|F1Q|2， Q 的轨迹是以 F1（2，0）为圆心，2为半径的圆， 动点 Q 的轨迹方程为（x+2）2+y228 故选：C 【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查直线方程、椭圆、圆等基础知识，考查 运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 12 （5 分）设 alog30.4

18、，blog23，则（ ） Aab0 且 a+b0 Bab0 且 a+b0 Cab0 且 a+b0 Dab0 且 a+b0 【分析】容易得出1log30.40，log231，即得出1a0，b1，从而得出 ab 0，a+b0 【解答】解：； 1log30.40； 第 12 页（共 20 页） 又 log231； 即1a0，b1； ab0，a+b0 故选：B 【点评】考查对数函数的单调性，以及增函数的定义 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 1

19、20，且| |1，| |4，则 2 【分析】由向量的数量积公式： | | |cos 运算即可 【解答】解：由向量的数量积公式得： | | |cos12014（）2， 故答案为：2 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 7 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合即可求得 z 2x+y 的最大值 【解答】解：由 x，y 满足约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（1，9） ， 化 z2x+y 为 y2x+z，由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最 大

20、， z 有最大值为 7 故答案为：7 第 13 页（共 20 页） 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15 （5 分）已知 tan2，且mtan2，则 m 【分析】展开两角和与差的正弦求得，再由二倍角的正切求得 mtan2， 列关于 m 的等式求解 m 值 【解答】解：tan2， 3 mtan2， 即 m 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，是基础的计算题 16 （5 分）设 O1为一个圆柱上底面的中心，A 为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆 周上的每个点都在球 O 的表面上若两个底面的面积之和为 8，O1A 与底面所成角为 第

21、 14 页（共 20 页） 60，则球 O 的表面积为 28 【分析】由题意画出图形，设该圆柱底面半径为 r，高为 h，由圆柱的底面积求得圆柱底 面半径，再由 O1A 与底面所成角为 60求得圆柱的高，进一步求出球的半径得答案 【解答】解：如图， 设该圆柱底面半径为 r，高为 h，则 2r28， ，解得 r2， 则球 O 的半径， 故球 O 的表面积为 4R228 故答案为：28 【点评】本题考查球内接旋转体及其表面积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明

22、过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每道试题考生都必须作答 第题为必考题， 每道试题考生都必须作答 第 22、 23 题为选考题， 考生根据要求作答题为选考题， 考生根据要求作答 (一一) 必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）在等比数列an中，已知 a11，a22 （1）求an的通项公式； （2）若 a3，a4分别为等差数列bn的前两项，求bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）求出公比可得an的通项公式； （2）求出首项和公差可得bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）公比， ； （2）a34，a48， b14，公差 d8（4）12， 第 15 页（共 20 页

23、） 【点评】本题考查等比数列的通项公式与等差数列的求和公式，考查运算能力，属于基 础题 18 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PAACBC，且 BCAC （1）证明：平面 PBC平面 PAC； （2）设棱 AB，BC 的中点分别为 E，D，若四面体 PBDE 的体积为，求PBE 的面积 【分析】 （1）由 PA平面 ABC，得 PABC，再由 BCAC，得 BC平面 PAC，由此能 证明平面 PBC平面 PAC （2）设 ACPABCa，则 BDDE，由四面体 PBDE 的体积为： ，求出 a2，由此能求出PBE 的面积 【解答】证明： （1）PA平面 ABC，BC

24、平面 ABC， PABC， BCAC，PAACA， BC平面 PAC， 又 BC平面 PBC，平面 PBC平面 PAC 解： （2）设 ACPABCa， 则 BDDE， 四面体 PBDE 的体积为：， 解得 a2， PBE 的面积 SPBE 第 16 页（共 20 页） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三角形的面积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）2018 年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销 售范围内的 1000 名消费者在中秋节期间的月饼购买量（单位：g）进行了问卷调查，得 到如下频率分

25、布直方图： （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2）以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在 600g1400g 的概率； （3）已知该超市所在销售范围内有 20 万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总 量的 5%，请根据这 1000 名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好 能满足市场需求（频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表）？ 【分析】 （1）由频率分布直方图列出方程能求出 a （2）先求出消费者月饼购买量在 600g1400g 的频率，由此能求出费者月饼购买量在 600g1400g 的概率 （3）由频率分布直方图先求出人均月饼购买量，由此能求出该超市

26、应准备 12.08 吨月饼 恰好能满足市场需求 【解答】解： （1）由（0.0002+0.00055+a+0.00025）4001， 第 17 页（共 20 页） 解得 a0.001 （2）消费者月饼购买量在 600g1400g 的频率为： （0.00055+0.001）4000.62， 费者月饼购买量在 600g1400g 的概率为 0.62 （3）由频率分布直方图得人均月饼购买量为： （4000.0002+8000.00055+12000.001+16000.0005+20000.00025）400 1208g， 2012085%1208 万克12.08 吨， 即该超市应准备 12.08

27、吨月饼恰好能满足市场需求 【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设 条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题 20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中直线 yx+4 与抛物线 C：x22py（p0）交于 A，B 两 点，且 OAOB （1）求 C 的方程； （2）若 D 为直线 yx+4 外一点，且ABD 的外心 M 在 C 上，求 M 的坐标 【分析】 （1）联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出， （2）先求出线段 AB 的中垂线方程为 yx+8，再联立方程组，解得即可 【解答】解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x

28、2，y2） ，联立，可得 x22px8p0， 则 x1+x22p，x1x28p， 从而 y1y2（x1+4） （x2+4）x1x2+4（x1+x2）+168p+8p+1616， OAOB， x1x2+y1y28p+160，解得 p2， 故 C 的方程为 x24y， （2）设线段 AB 的中点 N（x0，y0） ， 由（1）可知 x0（x1+x2）2，y0x0+46， 则线段 AB 的中垂线方程为 y6（x2） ，即 yx+8， 联立，解得或， 第 18 页（共 20 页） M 的坐标为（4，4）或（8，16） 【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档 题 2

29、1 （12 分）已知函数 f（x）（a+1）x+alnx （1）当 a1 时，求 f（x）的单调区间； （2）当 a1 且 a0 时，若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，结合函数的零点个 数求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）x（a+1）+（x0） ， 当 a1 时，由 f（x）0，得 0x1 或 xa； 由 f（x）0，得 1xa； 故 f（x）在（0，1） ， （a，+）上单调递增，在（1，a）上单调递减 （2）当 a0 时

30、，f（x）在（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减， 则 f（x）minf（1）a， 因为m（0，1） ，f（m）0，且 f（2）a（2+ln2）0， 所以 f（1）a0，即a0； 当 0a1 时，f（x）在（0，a） ， （1，+）上单调递增，在（a，1）上单调递减， f（x）在 xa 时取得极大值，且 f（a）a2+（1+lna） ， 因为 0a1，所以1+lna0，则 f（a）0， 所以 f（x）在（0，+）只有一个零点 综上，a 的取值范围为（，0） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道常规题 (二二)选考题：共选考题：共

31、10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 19 页（共 20 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，以坐 标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 cos2 sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（1，2） ，求|PA|PB| 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程

32、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换 （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ， 转换为直角坐标方程为：x+y10 曲线 C 的极坐标方程为 cos2sin 转化内直角坐标方程为：yx2， （2）把直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，代入 yx2， 得到：（t1和 t2为 A、B 对应的参数） ， 所以：t1t22， 则：|PA|PB|t1t2|2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4

33、-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x+2| （1）求不等式 f（x）13 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 k，且1（m0） ，证明：m+n16 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）求出 k 的值，根据基本不等式的性质求出 m+n 的最小值即可 第 20 页（共 20 页） 【解答】解： （1）由 f（x）13，得|x1|+|x+2|13， 则或或， 解得：7x6， 故不等式的解集是（7，6） ； （2）证明：f（x）|x1|+|x+2|x1（x+2）|3， 故 k3， +1（mn0） ， 故 m0，n0， m+n（m+n） （+）10+10+216， 当且仅当，即 m4，n12 时取“” ， 故 m+n16 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想， 转化思想，是一道中档题