2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市高三（上）期中数学试卷（理科）含详细解答

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1、设函数 f（x）cos（x+） ，则下列结论错误的是（ ） Af（x）的一个周期为2 Byf（x）的图象关于直线 x对称 Cf（x+）的一个零点为 x Df（x）在（，）单调递减 6 （5 分）已知 cos（+），则 cos2（ ） A B C D 7 （5 分）函数 f（x）lnx+2x6 的零点所在的大致区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 8 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）既是偶函数又是周期函数若 f（x）的最小正周期是 ， 且当 x0，时，f（x）sinx，则 f（）的值为（ ） A B C D 9 （5 分）设当 x 时，函数 f（x

2、）sinx2cosx 取得最大值，则 cos（ ） A B C D 第 2 页（共 18 页） 10 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （xR，A0，0，|）的图象（部分） 如图所示，则 ， 分别为（ ） A B C D 11 （5 分）设函数 f（x）则不等式 f（x）f（1）的解集是（ ） A （3，1）（3，+） B （3，1）（2，+） C （1，1）（3，+） D （，3）（1，3） 12 （5 分）已知 f（x），若关于 x 的方程f（x）2（2m+1）f（x）+m2+m0 恰 好有 4 个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ） A （，2）（2，e） B （+

3、1，e） C （e1，e） D （，e） 二、填空题（共二、填空题（共 4 题，每小题题，每小题 5 分）分） 13 （5 分）（ex+2x）dx 14 （5 分）函数 y（2x23x+1）的递减区间为 15 （5 分）已知幂函数 f（x）（kN）满足 f（2）f（3） ，则 f（x）的解析式 为 16 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，若存在常数 0 使|f（x）|x|对一切实数 x 均 成立，则称 f（x）为“条件约束函数” 现给出下列函数： f（x）4x； f（x）x2+2； 第 3 页（共 18 页） f（x）； f（x）是定义在实数集 R 上的奇函数，且对一切 x1，x2均有

4、 f（x1）f（x2）4|x1 x2| 其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号） 三、简答题三、简答题 17 （12 分）已知，函数 f（x），ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c （1）若，b1，求ABC 的面积 S； （2）若 0，求 cos2 的值 18 （12 分）已知函数 f（x）sin（2x+）+cos（2x+）2sinxcosx （）求函数 f（x）的最小正周期及对称轴方程； （）将函数 yf（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、 横坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 yg（x）的图象，求 yg（x）在0，上的单调 递减

5、区间 19 （12 分）如图，在ABC 中，B，D 为边 BC 上的点，E 为 AD 上的点，且 AE 8，AC4，CED （1）求 CE 的长 （2）若 CD5，求 cosDAB 的值 20 （12 分）设函数 f（x）x+ax2+blnx，曲线 yf（x）过 P（1，0） ，且在 P 处的切线斜 率为 2 （1）求 a，b 的值； （2）证明：f（x）2x2 第 4 页（共 18 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）（a+1）lnx+ax2+1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设 a1，若对任意 x1、x2恒有|f（x1）f（x2）|4|x1x2|，求 a 的取值范围 选修

6、选修 4-4：参数方程与极坐标系：参数方程与极坐标系（10 分）分） 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2cos29，点 P（2，） ，以极点 O 为 原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 （1）求直线 OP 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 OP 与曲线 C 交于 A、B 两点，求+的值 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年内蒙古鄂尔多斯市高学年内蒙古鄂尔多斯市高三（上）期中数学试卷（理三（上）期中数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 题，每小题题，每小题 5 分）分） 1

7、 （5 分）集合 A0，2，a，B1，a2，若 AB0，1，2，4，16，则 a 的值为（ ） A0 B1 C2 D4 【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合 a 与 a2的关系，易得，即可得答 案 【解答】解：A0，2，a，B1，a2，AB0，1，2，4，16 a4， 故选：D 【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案， 本题属于容易题 2 （5 分）设命题 p：xR，x23x，则p 为（ ） AxR，x23x BxR，x23x CxR，x23x DxR，x23x 【分析】把全称量词改为存在量词，同时否定结论得答案 【解答】解：由命题 p：xR，x23x，

8、 得p：xR，x23x， 故选：C 【点评】本题考查全程命题的否定，是基础题 3 （5 分）在ABC 中，若 AB，BC3，C120，则 AC（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用余弦定理求解即可 【解答】解：在ABC 中，若 AB，BC3，C120， AB2BC2+AC22ACBCcosC， 第 6 页（共 18 页） 可得：139+AC2+3AC， 解得 AC1 或 AC4（舍去） 故选：A 【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力 4 （5 分）已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A2 Bsin2 C D2sin1 【分析

9、】连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是 1 弧度的角，由于此半弦 是 1，故可解得半径是，弧长公式求弧长即可 【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角 形，半弦长为 1，其所对的圆心角也为 1 故半径为 这个圆心角所对的弧长为 2 故选：C 【点评】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一 个直角三角形求半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键 5 （5 分）设函数 f（x）cos（x+） ，则下列结论错误的是（ ） Af（x）的一个周期为2 Byf（x）的图象关于直线 x对称 Cf（x+）的一个零点为 x Df（x）在

10、（，）单调递减 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可 【解答】解：A函数的周期为 2k，当 k1 时，周期 T2，故 A 正确， B当 x时，cos（x+）cos（+）coscos31 为最小值， 此时 yf（x）的图象关于直线 x对称，故 B 正确， C 当 x时，f（+）cos（+）cos0，则 f（x+）的一个零点 第 7 页（共 18 页） 为 x，故 C 正确， D当x 时，x+，此时函数 f（x）不是单调函数，故 D 错误， 故选：D 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质 是解决本题的关键 6 （5 分）已知 cos（+），则 c

11、os2（ ） A B C D 【分析】由已知利用诱导公式可求 sin 的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算 得解 【解答】解：cos（+）sin，则 sin， cos212sin212（）2 故选：B 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 7 （5 分）函数 f（x）lnx+2x6 的零点所在的大致区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 【分析】可得 f（2）ln220，f（3）ln30，由零点判定定理可得 【解答】解：由题意可得 f（1）40， f（2）ln220，f

12、（3）ln30， f（4）ln4+20， 显然满足 f（2）f（3）0， 故函数 f（x）lnx+2x6 的零点所在的区间为（2，3） 故选：C 【点评】本题考查函数零点的判定定理，涉及对数值得运算和大小比较，属基础题 8 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）既是偶函数又是周期函数若 f（x）的最小正周期是 ， 且当 x0，时，f（x）sinx，则 f（）的值为（ ） A B C D 第 8 页（共 18 页） 【分析】要求 f（） ，则必须用 f（x）sinx 来求解，那么必须通过奇偶性和周期性， 将变量转化到区间0，上，再应用其解析式求解 【解答】解：f（x）的最小正周期是 f（）f（

13、2）f（） 函数 f（x）是偶函数 f（）f（）sin 故选：D 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析式求函数值，是 基础题，应熟练掌握 9 （5 分）设当 x 时，函数 f（x）sinx2cosx 取得最大值，则 cos（ ） A B C D 【分析】利用辅助角公式化简函数 f（x）的解析式，再利用三角函数的最值条件，求得 cos 的值 【解答】解：由题意可得 f（）sin2cos（sincos）， sincos1 再结合 sin2+cos21， 求得 sin，cos， 故选：C 【点评】本题主要考查辅助角公式，三角函数的最值条件，属于中档题 10 （5 分）已知函

14、数 f（x）Asin（x+） （xR，A0，0，|）的图象（部分） 如图所示，则 ， 分别为（ ） 第 9 页（共 18 页） A B C D 【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值 【解答】解：由函数的图象可得 A2，根据，求得 再由五点法作图可得 +，解得 ， 故选：C 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求 出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，属于中档题 11 （5 分）设函数 f（x）则不等式 f（x）f（1）的解集是（ ） A （3，1）（3，+） B （3，1）（2，+） C （1，1）（3，+） D

15、（，3）（1，3） 【分析】先求 f（1） ，依据 x 的范围分类讨论，求出不等式的解集 【解答】解：f（1）3，当不等式 f（x）f（1）即：f（x）3 如果 x0 则 x+63 可得 x3，可得3x0 如果 x0 有 x24x+63 可得 x3 或 0x1 综上不等式的解集： （3，1）（3，+） 故选：A 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题 12 （5 分）已知 f（x），若关于 x 的方程f（x）2（2m+1）f（x）+m2+m0 恰 好有 4 个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ） A （，2）（2，e） B （+1，e） C （e1，e）

16、D （，e） 【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设 tf（x） ，利用换元法，将方程转化为 一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论 【解答】解：令 tf（x） ，则方程有两个根 t1m 或 t2m+1， 当 x0 时，f（x）， 第 10 页（共 18 页） 当 0xe 时，f（x）0，当 xe 时，f（x）0 f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+）单调递增； 作出函数 f（x）的草图如图：关于 x 的方程f（x）2（2m+1）f（x）+m2+m0 恰好有 4 个不相等的实数根， 转化为 t1f（x）有一个，t2f（x）有 3 个，则 0me 且 m+1e，e1me

17、故选：C 【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数 的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程， 是解决本题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 4 题，每小题题，每小题 5 分）分） 13 （5 分）（ex+2x）dx e 【分析】找出被积函数的原函数，然后计算 【解答】解：（ex+2x）dx（ex+x2）e+11e； 故答案为：e； 【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数 14 （5 分）函数 y（2x23x+1）的递减区间为 （1，+） 【分析】令 t2x23x+10，求得函数的定义域，且 yt，

18、本题即求函数 t 在定 义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得结论 【解答】解：令 t2x23x+10，求得 x，或 x1，可得函数的定义域为x|x， 第 11 页（共 18 页） 或 x1，且 yt， 故本题即求函数 t 在定义域内的增区间 再利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的增区间为（1，+） ， 故答案为： （1，+） 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的 数学思想，属于基础题 15 （5 分）已知幂函数 f（x）（kN）满足 f（2）f（3） ，则 f（x）的解析式 为 f（x）x2 【分析】由已知可得幂函数 f（x）x k2+k+2

19、， （kZ）为增函数，由k2+k+20 求得 k 的值，则幂函数解析式可求； 【解答】解： （1）由 f（2）f（3） ， 可得幂函数 f（x）x k2+k+2， （kZ）为增函数， 则k2+k+20，解得：1k2， 又 kZ，k1 或 k0， 则 f（x）x2； 故答案为：f（x）x2 【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了幂函数的单调性 16 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，若存在常数 0 使|f（x）|x|对一切实数 x 均 成立，则称 f（x）为“条件约束函数” 现给出下列函数： f（x）4x； f（x）x2+2； f（x）； f（x）是定义在实数集 R 上的奇函数，且对一

20、切 x1，x2均有 f（x1）f（x2）4|x1 x2| 其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号） 【分析】用 F 函数的定义加以验证，对于均可以找到常数 0，使|f（x）| |x|对一切实数 x 均成立， 说明它们是 “条件约束函数” 而对于， 当 x0 时， | ，所以不存在常数 0，使|f（x）|x|对一切实数 x 均成立，故它们不符合题意 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：对于，f（x）4x，易知存在 40，使|f（x）|x|对一切实数 x 均 成立，符合题意；是“条件约束函数” 对于用 F 函数的定义不难发现：因为 x0 时，|，所以不存在常数 0， 使|f

21、（x）|x|对一切实数 x 均成立，不符合题意，不是“条件约束函数” 对于，因为|f（x）|x|，所以存在常数 0，使|f （x）|x|对一切实数 x 均成立，是“条件约束函数” 对于，f（x）是定义在实数集 R 上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）f （x2）|4|x1x2|得到， |f（x）|4|x|成立，存在 40，使|f（x）|x|对一切实数 x 均成立，符合题意 是“条件约束函数” 故答案为： 【点评】本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题题中“条件约束函数” 的实质是函数 f（x）与 x 的比值对应的函数是有界的，抓住这一点不难解出 三、简答题三、简答题

22、17 （12 分）已知，函数 f（x），ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c （1）若，b1，求ABC 的面积 S； （2）若 0，求 cos2 的值 【分析】 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三 角函数的形式；通过，b1，结合正弦定理求解即可 （2）利用角的变换以及两角和与差的三角函数求解即可 【解答】解：，函数 f（x）， ， （1） 由， 结合 A， B， C 为三角形内角得而 由 正弦定理得，所以 （2）由时， 第 13 页（共 18 页） ， 【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计 算能力

23、18 （12 分）已知函数 f（x）sin（2x+）+cos（2x+）2sinxcosx （）求函数 f（x）的最小正周期及对称轴方程； （）将函数 yf（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、 横坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 yg（x）的图象，求 yg（x）在0，上的单调 递减区间 【分析】 （） 直接利用三角函数关系式的恒等变换， 把函数的关系式变形成正弦型函数， 进一步求出函数的周期和对称轴方程 （）利用关系式的平移和伸缩变换，进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间 【解答】解： （）f（x）sin（2x+）+cos（2x+）2sinxcosx sin2x，

24、， 所以函数 f（x）的最小正周期为 T（4 分） 令 2x+k（kZ） ， 解得：x（kZ） ， f（x）对称轴方程为：x（kZ）（6 分） （）将函数 yf（x）的图象向左平移个单位， 所得图象的解析式为：2cos（2x+） 再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的 2 倍， 得到：， 第 14 页（共 18 页） 令：（kZ） ， 所以：（kZ） ， 又 x0，所以 yg（x）在0，上的单调递减区间为：0， 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用、 周期性的应用，函数关系式的平移和伸缩变换及相关的运算问题 19 （12 分）如图，在ABC

25、中，B，D 为边 BC 上的点，E 为 AD 上的点，且 AE 8，AC4，CED （1）求 CE 的长 （2）若 CD5，求 cosDAB 的值 【分析】 （1）由已知可求AEC，在AEC 中，由余弦定理可得， 即可解得 CE 的值 （2）在CDE 中，由正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求 ，进而利用两角差的余弦函数公式可求 cosDAB 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1），（1 分） 在AEC 中，由余弦定理得 AC2AE2+CE22AECEcosAEC，（2 分） ， ，（4 分） （5 分） （2）在CDE 中，由正弦定理得，（6 分） 第 15 页（共

26、18 页） ， ，（7 分） 点 D 在边 BC 上， ， 而， CDE 只能为钝角，（8 分） ，（9 分） ，（10 分） （12 分） 【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余 弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 20 （12 分）设函数 f（x）x+ax2+blnx，曲线 yf（x）过 P（1，0） ，且在 P 处的切线斜 率为 2 （1）求 a，b 的值； （2）证明：f（x）2x2 【分析】 （1）由 f（x）x+ax2+blnx，知 f（x）1+2ax+，由 yf（x）过 P（1，0） ， 且在 P 点处的切

27、线斜率为 2，知，由此能求出 a，b （2）f（x）的定义域为（0，+） ，由（I）知 f（x）xx2+3lnx，设 g（x）f（x） （2x2）2xx2+3lnx，则 g（x），由此能证明 f（x）2x2 【解答】解： （1）f（x）x+ax2+blnx， f（x）1+2ax+， yf（x）过 P（1，0） ，且在 P 点处的切线斜率为 2， ， 解得 a1，b3 （2）f（x）的定义域为（0，+） ， 由（1）知 f（x）xx2+3lnx， 第 16 页（共 18 页） 设 g（x）f（x）（2x2）2xx2+3lnx， 则 g（x）， 当 0x1 时，g（x）0；当 x1 时，g（x）0

28、 g（x）在（0，1）单调增加，在（1，+）单调减少 g（x）maxg（1）0 g（x）f（x）（2x2）0， f（x）2x2 【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，考查不等式的证明解题要认真审题，注 意导数性质和构造法的合理运用 21 （12 分）已知函数 f（x）（a+1）lnx+ax2+1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设 a1，若对任意 x1、x2恒有|f（x1）f（x2）|4|x1x2|，求 a 的取值范围 【分析】 （1）f（x）+2ax， （x（0，+） ） 对 a 分类讨论：当 a 0 时，当 a1 时，当1a0 时，利用导数研究函数的单调性即可； （2）不妨设

29、0x1x2，对任意 x1、x2恒有|f（x1）f（x2）|4|x1x2|f（x1）f（x2） 4（x2x1） ， f （x1） +4x1f （x2） +4x2， 令 g （x） f （x） +4x， 则 g （x） f （x） +4+2ax+4， 等价于 g（x）在（0，+）上单调递减，即+2ax+40，分离参数即可得出 【解答】解： （1）f（x）+2ax， （x（0，+） ） 当 a0 时，f（x）0，因此函数 f（x）在 x（0，+）单调递增 当 a1 时，f（x）0，因此函数 f（x）在 x（0，+）单调递减 当1a0 时，令 f（x）0，解得 x 当 x时，f（x）0，函数 f（x）

30、在 x单调递增 当 x时，f（x）0，函数 f（x）在 x单调递减 （2）不妨设 0x1x2，对任意 x1、x2恒有|f（x1）f（x2）|4|x1x2| f（x1）f（x2）4（x2x1） ， f（x1）+4x1f（x2）+4x2， （*） 第 17 页（共 18 页） 令 g（x）f（x）+4x，则 g（x）f（x）+4+2ax+4， （*）等价于 g（x）在（0，+）上单调递减，即+2ax+40， 从而2， a 的取值范围是（，2 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、分类讨 论的思想方法，考查了分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 选修选修 4

31、-4：参数方程与极坐标系：参数方程与极坐标系（10 分）分） 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2cos29，点 P（2，） ，以极点 O 为 原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 （1）求直线 OP 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 OP 与曲线 C 交于 A、B 两点，求+的值 【分析】 （1）化为直角坐标得 P（3，） ，由此能求出直线 OP 的参数方程， 曲线 C 的方程转化为 2cos22sin29，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程 （2）直线 OP 的参数方程代入曲线 C，得：t2+4t60，由此利用韦达定理能示出 【解答】解： （1）点 P（2，） ，化为直角坐标得 P（3，） ， 直线 OP 的参数方程为， 曲线 C 的方程为 2cos29，即 2cos22sin29， 曲线 C 的直角坐标方程为 x2y29 （2）直线 OP 的参数方程为代入曲线 C，得： t2+4t60， ， 第 18 页（共 18 页） 【点评】本题考查直线的参数方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段倒数和的 求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式合理运用