2019-2020学年内蒙古赤峰二中、呼市二中高三（上）10月月考数学试卷（理科）含详细解答

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1、若幂函数 yf（x）的图象过点，则函数 f（x1）f2（x）的最大值 为（ ） A B C D1 7 （5 分）已知 f（x）是周期为 2 的奇函数，当1x0 时，若， 则 a+b 等于（ ） A1 B1 C2 D2 8 （5 分）在正方形 ABCD 中，点 O 为ABC 内切圆的圆心，若，则 xy 的值 为（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 9 （5 分）已知 Sn是等比数列an的前 n 项和，若，则数列an的公 比 q 为（ ） A3 B2 C3 D2 10 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 t50，则输出的 n 的值为（ ） A4 B5 C6 D7 11 （5

2、分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a 是 b 和 c 的等比中项， 则（ ） A1 B C D 12 （5 分）已知数列 1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5， 其中第一项是 20，第二项是 1，接着两项为 20，21，接着下一项是 2，接着三项是 20， 21，22，接着下一项是 3，依此类推，记该数列的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn3000 的最 小的正整数 n 的值为（ ） A65 B67 C75 D77 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第

3、3 页（共 19 页） 13 （5 分）已知 x，y 满足，则 zx+2y 的最大值为 14 （5 分）已知，则 15 （5 分）已知正实数 x、y 满足（x+1） （y+2）16，则 4x+y 的最小值为 16 （5 分）已知函数，g（x）ln（x+a） （aR） ，若函数 yf （x）g（x）恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为

4、选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosAcosBsinAsinB 1sinC （1）求角 C 的大小； （2）若ABC 的面积为，c2，求 a+b 的值 18 （12 分）已知函数的图象与直线 y2 的相邻两个交点之间的距离为 1 （1）求函数 f（x）的增区间； （2）当时，求函数 f（x）的最大值、最小值及相应的 x 的值 19 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn2+n （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn2n 1a n，若数列bn的前

5、 n 项和为 Tn，求满足 Tn258 的正整数 n 的值 20 （12 分）已知函数 f（x）log2（ax1）log2x （1）若关于 x 的方程有解，求实数 a 的最小整数值； （2）若对任意的，函数 f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超 过 1，求实数 a 的取值范围 21 （14 分）已知函数 f（x）lnx（2a+1）x，aR （1）当 x（0，e2）时，f（x）有 2 个零点，求 a 的取值范围； 第 4 页（共 19 页） （2）若不等式 f（x）ax2恒成立，求 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中

6、任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 两种坐标系中取相同的长度单位，C 的极坐标方程为 8cos （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）经过点 Q（1，1）作直线 l 交曲线 C 于 M，N 两点，若 Q 恰好为线段 MN 的中点， 求直线 l 的方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x3|+1m，g（x）3|x+1|+|3x2| （1）解不等式 g（

7、x）7； （2）若x1，x2R，都有 f（x1）g（x2）恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰二中、呼市二中高三（上）学年内蒙古赤峰二中、呼市二中高三（上）10 月月考月月考 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，Bx|x2+3x40，则 A（RB）等于（ ） A

8、x|0x1 Bx|1x2 Cx|0x2 Dx|1x2 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集、补集的运算即可 【解答】解：Ax|0x2，Bx|x4 或 x1， RBx|4x1，A（RB）x|0x1 故选：A 【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运算，考查 了计算能力，属于基础题 2 （5 分）复数（i 为虚数单位）等于（ ） A B C D+ 【分析】根据复数的运算性质化简即可 【解答】解： ， 故选：B 【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题 3 （5 分）已知向量 ， 的夹角为，若，则（ ） A B C D 【分析】根据条件进行数量积的运算即

9、可得出 【解答】解： ， 的夹角为，且， 第 6 页（共 19 页） 故选：B 【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于 基础题 4 （5 分）已知 a0，b0，则“a+b0”是“a2b2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】当 a0，b0 时，必有 ab0，而 a2b2等价于（a+b） （ab）0，故 a+b 0；根据充分必要条件的定义判断即可 【解答】解：a0，b0，ab0， a+b0，a2b2（a+b） （ab）0，a2b2； 反之，a2b2时， （a+b） （ab）0，ab0，a+b0 故当

10、a0，b0 时， “a+b0”是“a2b2”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5（5 分） 观察下列等式： 13+2332， 13+23+3362， 13+23+33+43102， 记 f （n） 13+23+33+ +n3根据上述规律，若 f（n）225，则正整数 n 的值为（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】由题意知通项公式，代入可解 【解答】解：由已知等式的规律可 f（n）13+23+33+n3， 当 f（n）225 时，可得 n5 故选：D 【点评】本题考查归纳推理，属于基础题 6 （5 分）若幂函数

11、yf（x）的图象过点，则函数 f（x1）f2（x）的最大值 为（ ） A B C D1 【分析】设函数 f（x）的解析式，代入过点坐标，求出 f（x）的解析式，再求出 f（x1） 第 7 页（共 19 页） f2（x）的解析式，再用换元法，转化为二次函数求最大值，即可算出结果 【解答】解：设函数 f（x）x，由题意可知：82， ， yf（x1）f2（x）x， 令t，则：xt2+1，且 t0， yt（t2+1）t2+t1，t0， t时，ymax， 故选：C 【点评】本题考查了幂函数的定义与性质，以及用换元法求函数最值，是基础题 7 （5 分）已知 f（x）是周期为 2 的奇函数，当1x0 时，若

12、， 则 a+b 等于（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】 由奇函数的性质 f （0） 0， 可求 a， 然后结合 f （） f （） f （） ， 代入即可求解 b，进而可求 【解答】解：f（x）是周期为 2 的奇函数，当1x0 时， f（0）0， a0，f（x）， f（）f（）f（）， a0，b1，a+b1 故选：B 【点评】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式，属于基础试题 8 （5 分）在正方形 ABCD 中，点 O 为ABC 内切圆的圆心，若，则 xy 的值 为（ ） 第 8 页（共 19 页） A B C D 【分析】直接利用直角三角形的边长和内切圆的半径之间的关系的应用

13、和向量的线性运 算的应用利用对应关系的应用求出结果 【解答】解：连 OB 并延长到与 AC 相交于点 H， 设正方形 ABCD 的边长为 1，则， 设ABC 内切圆的半径为 r，则，可得 设ABC 内切圆在 AB 边上的切点为 E， 则， 所以有， 故 如图所示： 故选：D 【点评】本题考查知识要点：直角三角形的边长和内切圆的半径之间的关系的应用，向 量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 9 （5 分）已知 Sn是等比数列an的前 n 项和，若，则数列an的公 比 q 为（ ） A3 B2 C3 D2 第 9 页（共 19 页） 【分析】推导出 q1，q

14、m27再由，解得 m3，由此能求出 q 【解答】解：由 q1 时，故 q1 ，qm27 又，解得 m3，q3 故选：A 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 10 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 t50，则输出的 n 的值为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：由循环图 S1，n0，m1； SSm110，m2m212，nn+10+11；符合 St； SSm022，m2m22

15、4，nn+11+12；符合 St； SSm246，m2m248，nn+12+13；符合 St； SSm6814，m2m2816，nn+1314；符合 St； 第 10 页（共 19 页） SSm141630，m2m21632，nn+14+15；符合 St； SSm303262，m2m23264，nn+15+16，不符合 St，跳出 循环，输出结果，这时 n6， 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 11 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a 是 b 和 c 的等比中项， 则（ ） A

16、1 B C D 【分析】由题意有 a2bc，然后结合同角基本关系及两角和的正弦公式对所求式子进行 化简后，再结合正弦定理即可求解 【解答】解：由题意有 a2bc， 故选：A 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及同角基本关系，两角和的正弦公式及正弦定 理在三角求值中的应用 12 （5 分）已知数列 1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5， 其中第一项是 20，第二项是 1，接着两项为 20，21，接着下一项是 2，接着三项是 20， 21，22，接着下一项是 3，依此类推，记该数列的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn3000 的最 小的正整数 n 的值

17、为（ ） A65 B67 C75 D77 【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为 1，第一组：20，第二组：20，21，第三组： 20，21，22，第 k 组：20，21，22，2k 1，及 1，2，3，k 根据等差数列及等比 数列前 n 项和公式计算即可 【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为 1，各组的和分别为： 即：第一组：20，第 1 组和为：211； 第二组：20，21，第 2 组和为：221； 第 11 页（共 19 页） 第三组：20，21，22，第 3 组和为：231； 第 k 组：20，21，22，2k 1，第 k 组和为：2k1； 及等差数列，1，2，3，k，其和为

18、：； 故所有项数和为 n1+2+3+k+k， 当 k10 时，n65 项， 则 Snk+1020913000， 当 k11 时，n77 项， 则 Snk+1141493000， 第 65 项以后的项依次为：20，21，22，210，11，20，21， 由于 20+21+22+28291511，20+21+22+2921011023， 所以 2091+5113000；2091+10233000； 故满足 Sn3000 的最小的正整数 n 的值为 65+1075 故选：C 【点评】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、 推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题 二、填

19、空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知 x，y 满足，则 zx+2y 的最大值为 5 【分析】画出满足条件的平面区域，结合图象求出 z 的最大值即可 【解答】解：画出满足条件的平面区域， 如图示：联立解得； 第 12 页（共 19 页） 即 A（1，2） 显然直线过 A 时 z 最大， 故 zmax5， 故答案为：5 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题 14 （5 分）已知，则 【分析】由题意求得 tan 的值，再化简，转化为关于 tan 的解析式，从 而求出结果 【解答】解：，3，

20、化简得 tan+13（1tan） ， 解得 tan； 所以cos2cos+sin2sin （cos2+sin2） （+） （+） 故答案为： 【点评】本题考查了三角函数关系式的恒等变变换与诱导公式的应用问题，也考查了运 算求解能力，是基础题 15 （5 分）已知正实数 x、y 满足（x+1） （y+2）16，则 4x+y 的最小值为 10 【分析】由已知可得， （4x+4） （y+2）64，然后利用基本不等式可得，4x+y（4x+4） +（y+2）66 即可求解最值 【解答】解：正实数 x、y 满足（x+1） （y+2）16， 第 13 页（共 19 页） （4x+4） （y+2）64， 由基

21、本不等式可得，4x+y（4x+4）+（y+2）6610， 当且仅当 4x+4y+28 即 x1，y6 时取等号， 故 4x+y 的最小值为：10， 故答案为：10 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条 件的配凑 16 （5 分）已知函数，g（x）ln（x+a） （aR） ，若函数 yf （x）g（x）恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 （4，e3） 【分析】根据函数 g（x）和 f（x）的关系，利用数形结合进行求解即可 【解答】解：如图，当直线 yx+3 与 g（x）ln（x+a） （aR）相切时， 设切点为（x0，y0） ，则， 解得 x03，

22、此时 a4， 又 f（0）g（0） ，ae3 综上，实数 a 的取值范围是（4，e3） 故答案为： （4，e3） 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及绝对值函数以及导数几何 意义进行求解即可 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作每个试题考生都必须作答答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 第 14 页（共 19 页） 分分. 17 （10 分）在ABC

23、中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosAcosBsinAsinB 1sinC （1）求角 C 的大小； （2）若ABC 的面积为，c2，求 a+b 的值 【分析】 （1）化简，求出 C； （2）余弦定理得出 a2+b220 与 ab8 联立解方程即可 【解答】 解：（1） ， ， 即， 2sin（C）1，0C，故 （2）由ABC 的面积为，知，ab8， 由余弦定理知 c2a2+b22abcosC12，故 a2+b220， （a+b）22ab20， 解得 a+b6 【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力 18 （12 分）已知函数的图象与直线 y2 的相

24、邻两个交点之间的距离为 1 （1）求函数 f（x）的增区间； （2）当时，求函数 f（x）的最大值、最小值及相应的 x 的值 【分析】 （1）化函数 f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出 的值，写 出 f（x）的解析式，求出它的增区间； （2）求出时函数 f（x）的取值范围，即可得出函数 f（x）的最大、最小值 【解答】解： （1）函数 sin2x（2cos2x1） sin2xcos2x 2sin（2x） ， 由函数 f（x）的图象与直线 y2 的相邻两个交点之间的距离为 1， 所以 T1，即，解得 ， 所以； 第 15 页（共 19 页） 令，解得； 所以函数 f（x）的增区间

25、为 （2）当时，； 则当，即时，函数 f（x）的最小值为2； 当，即时，函数 f（x）的最大值为 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问 题，是基础题 19 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn2+n （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn2n 1a n，若数列bn的前 n 项和为 Tn，求满足 Tn258 的正整数 n 的值 【分析】 （1）通过 anSnSn1求解数列an的通项公式即可 （2）化简数列的通项公式，利用错位相减法，求解数列的和即可 【解答】解： （1）由 a1S12 当 n2 时， 由 a12 符合 an2n（

26、a2） ，故数列an的通项公式为 an2n （2）由， 作差得： 得： 得： 由数列Tn单调递增，且， 故满足 Tn258 的正整数 n 的值为 5 【点评】本题考查数列求和的方法，错位相减法的应用，是基本知识的考查，基础题 20 （12 分）已知函数 f（x）log2（ax1）log2x （1）若关于 x 的方程有解，求实数 a 的最小整数值； 第 16 页（共 19 页） （2）若对任意的，函数 f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超 过 1，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）化为 log2（ax1）3log2x，推出 令，x0，则，判断函数的单调性求解函 数的最值即可

27、（2）函数化为，x0，ax10，利用函数的单调性求解 最小值，与最大值，构造函数令，利用函数的导数求解函 数的最值，推出结果 【解答】解： （1）化为 log2（ax1）3log2x， x0，ax1x3， 令，x0，则， g （ x ） 的 单 调 减 区 间 为， 单 调 增 区 间 为， ， a 的最小整数值为 2 （2），x0，ax10， a0，f（x）的定义域为，且 f（x）是增函数 则，f（x）在t，t+1上的最大值为，最小值为 由题意知， ， 令， 第 17 页（共 19 页） h（t）在上是减函数，h（t）最大值为 ，a 的取值范围是 【点评】本题考查函数的导数的应用，构造法的应

28、用，二次导函数求解函数的单调性以 及函数的最值，考查转化思想以及计算能力，是难题 21 （14 分）已知函数 f（x）lnx（2a+1）x，aR （1）当 x（0，e2）时，f（x）有 2 个零点，求 a 的取值范围； （2）若不等式 f（x）ax2恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）由 f（x）0 得，令，求出导函数，判断单调性， 通过 f（x）在（0，e2）上有 2 个零点，求解即可 （2）不等式 f（x）ax2即 ax2（2a+1）x+lnx0，设 g（x）ax2（2a+1）x+lnx， 则不等式 f（x）ax2等价于 g（x）0通过函数的导数判断函数的单调性求解函数 的最大值，

29、推出1a0；再证明当 a0 时，不可能满足 g（x）0 恒成立得到实 数 a 的取值范围 【解答】解： （1）x（0，e2）时，由 f（x）0 得， 令，则， 0xe 时，h（x）0，xe 时，h（x）0 h（x）在（0，e上是增函数，在e，+）上是减函数， 又 h（1）0， 当时，f（x）在（0，e2）上有 2 个零点， （2）因为不等式 f（x）ax2即为 lnx（2a+1）xax2， 得 ax2（2a+1）x+lnx0， 设 g（x）ax2（2a+1）x+lnx，则不等式 f（x）ax2等价于 g（x）0 从而，x0 当 a0 时，x（0，1）时，g（x）0；x（1，+）时，g（x）0，

30、 所以函数 g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减， 此时 g（x）maxg（1）a1 第 18 页（共 19 页） 由题意，若 g（x）0 恒成立，则 g（x）max0，即a10，解得 a1 所以1a0； 当 a0 时， 故不可能满足 g（x）0 恒成立 综上，实数 a 的取值范围是（1，0 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力， 分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按

31、所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 两种坐标系中取相同的长度单位，C 的极坐标方程为 8cos （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）经过点 Q（1，1）作直线 l 交曲线 C 于 M，N 两点，若 Q 恰好为线段 MN 的中点， 求直线 l 的方程 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用直线和曲线的位置关系及中点的坐标关系和直线垂直的充要条件的应用求出结 果 【解答】解： （1）由 8cos，得

32、 28cos， 根据公式，得 x2+y28x， 故曲线 C 的直角坐标方程是 x2+y28x （2）设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y1k（x1） 而曲线 C：x2+y28x 化为标准方程是（x4）2+y216， 故圆心 C（4，0） 因为 Q 恰好为线段 MN 的中点， 所以 QCMN 所以 kQCk1，即，解得 k3 第 19 页（共 19 页） 故直线 l 的方程是 y13（x1） ，即 3xy20 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线 垂直的充要条件的应用，直线的方程的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于

33、基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x3|+1m，g（x）3|x+1|+|3x2| （1）解不等式 g（x）7； （2）若x1，x2R，都有 f（x1）g（x2）恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可 （2）若x1，x2R，都有 f（x1）g（x2）恒成立，即 f（x）maxg（x）min，通过求解 函数的最值推出结果即可 【解答】解： （1）由 g（x）7，得 3|x+1|+|3x2|7， 当 x1 时，3（x+1）（3x2）7，得； 当时，3（x+1）（3x2）7，得 57，即 x； 当时，3（x+1）+（3x2）7，得 x1； 综上，不等式 g（x）7 解集是 （2）若x1，x2R，都有 f（x1）g（x2）恒成立， 则 f（x）maxg（x）min， 而 f（x）max1m， 易知 g（x）3|x+1|+|3x2|3x+3|+|3x2|3x+3（3x2）|5，则 g（x）min5 则 1m5，解得 m4 故实数 m 的取值范围是（4，+） 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题