2019-2020学年内蒙古呼和浩特市高三（上）12月调研数学试卷（文科）含详细解答

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1、函数 ysin2x 的图象向左平移个单位以后，得到的图象对应的函数解析式为 （ ） Aysin2x B C Dycos2x 9 （5 分）若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题 丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10 （5 分）已知等比数列an满足 a13，a1+a3+a521，则 a3+a5+a2n+3等于（ ） A6（2n+11） B6（22n1） C D6（2n1） 11 （5 分）已知ABC 的三边 a，b，c 满足：a3+b3c3，则此三角形是（ ） A钝角三角形 B

2、锐角三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 12 （5 分）已知函数 f（x）满足，且 f（0）1，则函数 零点的个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D0 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案直接填在题中横线上把答案直接填在题中横线上.） 13 （5 分）已知，且，则实数 k 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+y 的最大值为 15 （5 分） 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人（注：每个面包可以分割） ，使每人所得成等差数列，

3、且使较大的三份 之和的是较小的两份之和，则最小 1 份是 ，公差为 16 （5 分）下列命题： 若等差数列an的公差 d 不为 0， 则给 n， 对于一切 kN*（kn） ， 都有 ank+an+k2an； 若等差数列an的公差 d0且 S3S8，则 S5和 S6都是Sn中的最大项； 第 3 页（共 18 页） 命题 P：x，y（0，1） ，x+y2，的否定为：x0，y0（0，1） ，x0+y02； 若函数 f（x）3x，则 f（x）3xlnx 其中真命题的序号为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 60 分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）分，解答写

4、出文字说明，证明过程或演算过程） 17 （12 分）已知函数 f（x）lnx （1）若 f（x）在 xt 处的切线 l 过原点，求切线 l 的方程； （2）令，求 g（x）在上的最大值和最小值 18 （12 分）已知函数，g（x）2sin2 （1）若 是第二象限角，且 f（），求 g（）的值； （2）求 f（x）+g（x）的最大值，及最大值对应的 x 的取值 19 （12 分）已知 Sn为数列an的前 n 项和，已知 an0，an2+2an4Sn+3，且 anbn1 （1）求数列bn的通项公式 bn； （2）求满足 b1b2+b2b3+bnbn+1的 n 的最大值 20 （12 分） （）当

5、k（kZ）时，求证：； （）如图，圆内接四边形 ABCD 的四个内角分别为 A、B、C、D若 AB6，BC3， CD4，AD5求的值 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+（a1）lnx （1）设 a2 时，判断函数 f（x）在上的零点的个数； （2）当 g（x）f（x）+（a+1）xlnx，是否存在实数 a，对x1，x2（0，+）且 x1 x2，有+a0 恒成立，若存在，求出 a 的范围；若不存在，请说明理 由 第 4 页（共 18 页） 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时清写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答

6、时清写清 题号题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，直线 l 过点 P（2，） ，且与直线（R）垂直 （1）设直线 l 上的动点 M 的极坐标为（，） ，用 表示； （2）在以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴的直角坐标中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，若曲线 C 与直线（R）交于点 Q，求点 Q 的极坐 标及线段 PQ 的长度 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x|+|x1| （1）若 f（x）|m1|恒成立，求实数 m 的最大值； （2）记（1）中 m 的最大值为 M，正实数 a，b 满足

7、a2+b2M，证明：a+b2ab 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年内蒙古呼和浩特市高三（上）学年内蒙古呼和浩特市高三（上）12 月调研数月调研数学试卷学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）复数 z 满足（1+i）z2i，则 z 在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用两个

8、复数代数形式的乘除法法则计算复数 z， 求得它在复平面内对应点的坐 标，从而得出结论 【解答】解：复数 z 满足（1+i）z2i，z1+i，它在复平面 内对应点的坐标为（1，1） ， 故选：A 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，复数与 复平面内对应点之间的关系，属于基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，集合 Bx|x10，则 AB（ ） A （1，3） B （2，3） C （1，+） D （2，+） 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：由条件得 Ax|2x3，Bx|x1， 所以 ABx|x2，即（2，+） ， 故选：D 【

9、点评】本题考査集合之间的基本运算，不等式的解法、并集的求法，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 3 （5 分）已知 sin，则 sin（2）（ ） A B C D 【分析】由题意利用诱导公式，二倍角的余弦公式，求得要求式子的值 【解答】解：， 故选：B 第 6 页（共 18 页） 【点评】本题主要考查考查三角函数诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题 4 （5 分）在同一直角坐标系中，函数 y，y1oga（x+） （a0 且 a1）的图象可 能是（ ） A B C D 【分析】对 a 进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断； 【解答】解：由函数 y，y1oga（x+）

10、， 当 a1 时，可得 y是递减函数，图象恒过（0，1）点， 函数 y1oga（x+） ，是递增函数，图象恒过（，0） ； 当 1a0 时，可得 y是递增函数，图象恒过（0，1）点， 函数 y1oga（x+） ，是递减函数，图象恒过（，0） ； 满足要求的图象为：D 故选：D 【点评】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题 5（5 分） 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a4+a724， S648， 则an的公差为 （ ） A8 B4 C2 D1 【分析】直接利用等差中项及等差数列的求和公式即可得到公差的值 【解答】解：由等差中项得 a4+a7a5+a624， 因为，

11、 所以 a3+a416， 所以（a5+a6）（a3+a4）4d8， 第 7 页（共 18 页） 所以 d2 故选：C 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和公式和等差中项的应用属于基础试题 6 （5 分）已知 a 为函数 f（x）x312x 的极小值点，则 a（ ） A4 B2 C4 D2 【分析】可求导数得到 f（x）3x212，可通过判断导数符号从而得出 f（x）的极小 值点，从而得出 a 的值 【解答】解：f（x）3x212； x2 时，f（x）0，2x2 时，f（x）0，x2 时，f（x）0； x2 是 f（x）的极小值点； 又 a 为 f（x）的极小值点； a2 故选：D 【点评】考

12、查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程， 要熟悉二次函数的图象 7 （5 分） 若函数 f （x） 为 R 上的奇函数， 且当 x0 时， f （x） ex+m， 则 （ ） A2 B3 C4 D2 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）e0+m0，解得 m1，即可得函数 的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）为 R 上的奇函数，则 f（0）e0+m0，解得 m1， 又由 x0 时， f （x） ex1， 则 故选：A 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题 8 （5 分）函数 ysin2x 的

13、图象向左平移个单位以后，得到的图象对应的函数解析式为 （ ） Aysin2x B C Dycos2x 【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：ysin2x 左移个单位，则， 四个选项中，首先排除 A 和 D， 对于选项 B， 由于， 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的平移变换和伸缩变 换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 9 （5 分）若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题 丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ） A充分不必要条件 B必要不

14、充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由题意命题甲是命题乙的充分非必要条件，可得甲已，命题丙是命题乙的必 要非充分条件，可得已丙，命题丁是命题丙的充要条件，可得丁丙，然后根据必要 条件、充分条件和充要条件的定义进行判断 【解答】解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲， 因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙， 因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁， 由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件， 故选：B 【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题 10 （5 分）已知等比数列an满足 a1

15、3，a1+a3+a521，则 a3+a5+a2n+3等于（ ） A6（2n+11） B6（22n1） C D6（2n1） 【分析】 结合等比数列的通项公式及已知条件可求公比 q， 然后结合等比数列的性质及求 和公式可求 【解答】解：， ， 整理得 q4+q260 及（q22） （q2+3）0， 解得 q22 或3（舍） ； 第 9 页（共 18 页） 设 bna2n+1，则 b1a3，b2a5，bn+1a2n+3，问题转化为求以 a36 为首项，q22 为 公比的新等比数列bn的前 n+1 项和； 故选：A 【点评】本题主要考查了等比数列通项公式与前 n 项和求解，属于基础试题 11 （5 分

16、）已知ABC 的三边 a，b，c 满足：a3+b3c3，则此三角形是（ ） A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】依题意可知C 为ABC 中的最大角，且（）3+（）31；利用指数函数的 单调性可证得（）2（ ）3， （）2（）3，利用不等式的性质与余弦定理即可 判断出答案 【解答】解：a3+b3c3， C 为ABC 中的最大角，且（）3+（）31； 0ac，0bc， 01，01， （）2（）3， （）2（）3， （）2+（）2（）3+（）31， c2a2+b2，由余弦定理得：cosC0， C 为锐角 ABC 为锐角三角形 故选：B 【点评】本题考查三角形形状的判定

17、，推出平方关系式与立方关系式，也是难点，考查 转化思想与创新思维能力，属于难题 12 （5 分）已知函数 f（x）满足，且 f（0）1，则函数 零点的个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D0 个 第 10 页（共 18 页） 【分析】先根据条件求出 c 的值，再令 g（x）0，解出 f（x） ，进一步判断 f（x）的零 点个数，从而得到 g（x）的零点个数 【解答】解：exf（x）1， exf（x）x+c， f（0）1，c1， 由，得 f（x）0 或， x1 或 ex6（x+1） 函数 yex与函数 y6（x+1）的图象如图所示： 由图象可知，函数 yex与函数 y6（x+1）的图象交

18、点个数为 2 个， 的解得个数为 2 个， 综上，g（x）有 3 个零点 故选：B 【点评】本题考查了函数的解析式得求法和函数零点的判断，考查了数形结合思想和转 化思想，属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案直接填在题中横线上把答案直接填在题中横线上.） 13 （5 分）已知，且，则实数 k 8 【 分 析 】 可 先 求 出， 然 后 根 据 即可求出 k 的值 【解答】解：， ， 3（8k）4（4+2k）0，解得 k8 故答案为：8 第 11 页（共 18 页） 【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘

19、运算，平行向量的坐标关系，考查了 计算能力，属于基础题 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+y 的最大值为 5 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可 【解答】解：可行域如图所示，作出直线 y3x+z，可知 z 要取最大值， 即直线经过点 C解方程组得 C（2，1） ， 所以 zmin32+（1）5 故答案为：5 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力 15 （5 分） 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人（注：每个面包可以分割） ，使每人所得成等差数列，且使较大的三份

20、之和的是较小的两份之和，则最小 1 份是 ，公差为 【分析】设每人所得成等差数列an，不妨设 d0由题意可得 a1+a2（a3+a4+a5） ， a1+a2+a3+a4+a5100，利用通项公式与求和公式即可得出 【解答】解；设每人所得成等差数列an，不妨设 d0 则 a1+a2（a3+a4+a5） ，a1+a2+a3+a4+a5100， 2a1+d（3a1+9d） ，5a1+d100， 联立解得：a1，d 故答案为：， 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 第 12 页（共 18 页） 于中档题 16 （5 分）下列命题： 若等差数列an的公差 d 不

21、为 0， 则给 n， 对于一切 kN*（kn） ， 都有 ank+an+k2an； 若等差数列an的公差 d0且 S3S8，则 S5和 S6都是Sn中的最大项； 命题 P：x，y（0，1） ，x+y2，的否定为：x0，y0（0，1） ，x0+y02； 若函数 f（x）3x，则 f（x）3xlnx 其中真命题的序号为 【分析】利用等差数列的性质判断，命题的否定判断， 【解答】解：对于根据等差中项可知，是正确的； 对于对于 d0，S3S8，使得 a60，所以 S5和 S6都是中的最大项；所以正确； 对于命题 P 的否定为：x0，y0（0，1） ，x0+y02，所以错； 对于因为 f（x）3x，所以

22、则 f（x）3xln3，所以错误 故答案为： 【点评】本题考查运算求解推理论证掌握扎实的基本功，才能做到不漏选不多选 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 60 分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程） 17 （12 分）已知函数 f（x）lnx （1）若 f（x）在 xt 处的切线 l 过原点，求切线 l 的方程； （2）令，求 g（x）在上的最大值和最小值 【分析】 （1）求导，进而求得斜率，由此求得切线方程； （2）判断函数 g（x）的单调性，由此求解函数最值 【解答】解： （1）设切线的方程为 ykx，则xt

23、，则 f（t） lnt 切线方程为lnt10 则 te 切线 l 的方程为 （2）， 当时，g（x）0；exe2时，g（x）0， 所以最大值， 第 13 页（共 18 页） ，且， 所以最小值 【点评】本题考查函数的求导，以及切线方程的求解，考查利用导数判断函数的单调性 及求解函数的最值，考查运算求解及推理论证能力，属于基础题 18 （12 分）已知函数，g（x）2sin2 （1）若 是第二象限角，且 f（），求 g（）的值； （2）求 f（x）+g（x）的最大值，及最大值对应的 x 的取值 【分析】 （1）先化简 f（x） 、g（x）的解析式，由题意求出 cos 的值，可得 g（）的值 （2

24、）利用三角恒等变换化简三角函数 f（x）+g（x） ，结合三角函数图象和性质求出它的 最大值，及最大值对应的 x 的取值 【解答】解： （1） ， ， 则，则 是第二象限角， （2）， 当时，f（x）+g（x）取得最大值 3， 此时，即 ， 【点评】本题主要考查利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图象求最值，考 查运算求解，推理论证，属于中档题 19 （12 分）已知 Sn为数列an的前 n 项和，已知 an0，an2+2an4Sn+3，且 anbn1 （1）求数列bn的通项公式 bn； 第 14 页（共 18 页） （2）求满足 b1b2+b2b3+bnbn+1的 n 的最大值 【分析

25、】 （1）利用已知条件转化求解数列的和，即可 （2）通过数列的通项公式，利用裂项消项法转化求解数列的和即可 【解答】解： （1）当 n1 时，a13； 当 n2 时， 整理得 anan12，an2n+1，所以 （2）设， 所以 ， 令，解得 n9， 所以 n 的最大值为 8 【点评】本题考查数列中项与和的关系，裂项相消等考察数列通项公式的求法，裂项 相消求和转化与化归，运算求解，是中档题 20 （12 分） （）当 k（kZ）时，求证：； （）如图，圆内接四边形 ABCD 的四个内角分别为 A、B、C、D若 AB6，BC3， CD4，AD5求的值 【分析】 （）利用三角函数恒等变换的应用即可证

26、明 （）由于四点共圆对角互补，可得 sinAsinC，sinBsinD，cosAcosC，cosB cosD，可得，连接 AC、BD，设 ACx， BDy，利用余弦定理可得，进而即可计算求解 第 15 页（共 18 页） 【解答】解： （）证明 （）因为 ABCD 为圆的内接四边形， 所以 sinAsinC，sinBsinD，cosAcosC，cosBcosD， 由此可知： ， 连接 AC、BD，设 ACx，BDy， 由 余 弦 定 理 可 得 ：， ， 解得， 那么， 所以原式 【点评】 本题主要考查了三角恒等变换公式化简以及正余弦定理的运用倍角公式的应用， 考查了四点共圆对角互补，多次使用

27、余弦定理解决问题等，考查了运算求解能力和推理 论证能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+（a1）lnx （1）设 a2 时，判断函数 f（x）在上的零点的个数； （2）当 g（x）f（x）+（a+1）xlnx，是否存在实数 a，对x1，x2（0，+）且 x1 x2，有+a0 恒成立，若存在，求出 a 的范围；若不存在，请说明理 由 【分析】 （1）先对 f（x）求导，判断 f（x）在上的单调性，进一步确定 f（x） 的零点个数； （2）根据条件求出 g（x）的解析式，然后由+a0 得 g（x1）+ax1g 第 16 页（共 18 页） （x2）+ax2，令 h（x）g（x

28、）+ax，将问题转为 h（x）0 恒成立，进一步求出 a 的范 围 【解答】解： （1）由 f（x） ，可得 f（x）的定义域为（0，+） ， ， 令 f（x）0，则 x11 或 x2a1，a2，x2x1， 函数 f（x）在（0，1） ， （1，+）单调递增，在（1，a1）上递减 ，f（x）在单调递增， ，f（x）在上无零点 （2）g（x）f（x）+（a+1）xlnx， ，不妨设 x1x20，则 +a0 可化为 g（x1）+ax1g（x2）+ax2， 令 h（x）g（x）+ax，则 h（x）g（x）+a0， ， 令，则0，G（x）单调递减， G（x）G（x）2，a2， 综上，a 的取值范围是2

29、，+） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数零点的判断和不等式恒成立问题， 考查了转化思想和计算能力，属中档题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时清写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时清写清 题号题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，直线 l 过点 P（2，） ，且与直线（R）垂直 （1）设直线 l 上的动点 M 的极坐标为（，） ，用 表示； （2）在以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴的直角坐标中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，若曲

30、线 C 与直线（R）交于点 Q，求点 Q 的极坐 标及线段 PQ 的长度 第 17 页（共 18 页） 【分析】 （1）直接利用垂直关系的应用求出结果 （2）利用两点间的距离公式和余弦定理定理的应用求出结果 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 由 已 知 条 件 可 得 ： 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 ： ， 动点 M（，）在直线 l 上， ， ； （2）曲线 C 的极坐标方程为：2sin， 联立曲线 C 与直线（R） ， 解得：或 Q（0，0） ， 当时：， Q（0，0）时|PQ|2， |PQ|1 或|PQ|2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两

31、点 间的距离公式的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x|+|x1| （1）若 f（x）|m1|恒成立，求实数 m 的最大值； （2）记（1）中 m 的最大值为 M，正实数 a，b 满足 a2+b2M，证明：a+b2ab 【分析】 （1）利用绝对值不等式的性质可得 f（x）1，进而得到|m1|1，由此得到答 案； （2）通过三角换元，利用三角函数的性质得证 【解答】解： （1）f（x）|x|+|x1|x（x1）|1，f（x）|m1|恒成立， f（x）min|m1|，即：|m1|1， 解得：0m2， m 的最大值为 2 （2）证明：由（1）知 M2，即 a2+b22， 第 18 页（共 18 页） 令， ， 设， ， ， 令， 又f（t）在单调递减， ， a+b2ab0，即 a+b2ab 【点评】本题考査绝对值不等式性质，三角不等式性质及其不等式的证明，考查换元思 想，逻辑思维能力、运算求解能力，属于基础题