2020年4月山西省太原五中高三第一次模拟数学试卷（文科）含答案解析

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1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）模拟试卷（文科）月份）模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x0，By|y2|x|，则AB（ ） Ax|x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|1x2 2若 z4+3i，则 （ ） A1 B1 C i D i 3已知非零向量 ， 满足| |4| |，且 （2 ），则 与 的夹角为（ ） A B C D 4若 tan ，则 cos 2+2sin2（ ） A B C1 D 5已知双曲线 C： 的左右焦点为 F1、F2，点 M 为双曲线 C 上任一点，则|MF1| |MF2|的最小值为（ ） A1 B C2 D3 6以下四个命

2、题中，真命题的个数是 （ ） 若 a+b2，则 a，b 中至少有一个不小于 1； 0 是 的充要条件； x0，+），x3+x0； 函数 yf（x+1）是奇函数，则 yf（x）的图象关于（1，0）对称 A0 B1 C2 D3 7执行如图所示的程序框图则输出的所有点（x，y）（ ） A都在函数 yx+1 的图象上 B都在函数 y2x 的图象上 C都在函数 y2x的图象上 D都在函数 y2x1的图象上 8已知函数 f（x）满足：f（x）|x|且 f（x）2x，xR（ ） A若 f（a）|b|，则 ab B若 f（a）2b，则 ab C若 f（a）|b|，则 ab D若 f（a）2b，则 ab 9函数

3、 f（x） （0a1）图象的大致形状是（ ） A B C D 10 已知数列an是等比数列， 数列bn是等差数列， 若 a1a6a113 ， b 1+b6+b117， 则 tan 的值是（ ） A1 B C D 11已知抛物线 x22y 的焦点为 F，点 M 是抛物线 C 上的一点，O 为坐标原点，若MOF 的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为（ ） A B C D 12如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面 体的表面积为（ ） A14 B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若样本数据 x1，x2，x10的平均

4、数为 10，则数据 4x13，4x23，4x103，的 平均数为 14已知 x，y 满足约束条件 ，若 zax+y 的最大值为 4，则 a 15函数 f（x）sin（x ）的图象向右平移 个单位后与原函数的图象关于 x 轴对称， 则 的最小正值是 16已知 f（x）|x ex|，g（x）f2（x）+tf（x）（tR）若满足 g（x）1 的 x 有四个， 则 t 的取值范围为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列an是等比数列，a24，a3+2 是 a2和 a4的等差中项 （）求数列an的通项公式； （）设 bn2log2an1，求数列anbn的前 n 项和 Tn 18如图，

5、四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，四边形 ABCD 为平行四边形， CA CD，BCD120 （1）若 ACBDO，求证：B1O平面 A1C1D； （2）若 CD2，且三棱锥 ACDC1的体积为 2 ，求 C1D 192019 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分 类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在 某小区年龄处于20，45岁的人中随机地抽取 x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和 实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄 段人数的频率分布直方图和表中的统计

6、数据 （1）求 x，y，z 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 x 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代 替，结果按四舍五入保留整数）； （3）从年龄段在25，35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 9 人进行专访，并在 这 9 人中选取 2 人作为记录员， 求选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在30， 35中的概 率 组数 分组 “环保族”人数 占本组频率 第一组 20，25） 45 0.75 第二组 25，30） 25 y 第三组 30，35） 20 0.5 第四组 35，40） z 0.2 第五组 40，45） 3 0.1 20已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2+

7、y26x+50 相交于不同的两点 A，B （1）求圆 C1的圆心坐标； （2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数 k，使得直线 L：yk（x4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求 出 k 的取值范围；若不存在，说明理由 21已知函数 f（x）lnx+x，g（x）4x2+mx（m0），函数 f（x）在点 x1 处的切线与 函数 yg（x）相切 （1）求函数 g（x）的值域； （2）求证：f（x）g（x） 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系 与参数方程 22已知曲线 C 的极坐标方程是 sin28cos0，

8、以极点为平面直角坐标系的原点，极轴 为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy在直角坐标系中，倾斜角为 的直线 l 过点 P（2，0） （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）设点 Q 和点 G 的极坐标分别为（2， ），（2，），若直线 l 经过点 Q，且与曲 线 C 相交于 A，B 两点，求GAB 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23（）若 a，b，均为正数，且 a+b1证明：（1 ）（1 ）9； （）若不等式|x+3|xa|2 的解集为x|x1，求实数 a 的值 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 Ax|x0

9、，By|y2|x|，则AB（ ） Ax|x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|1x2 【分析】先指数函数的性质求出集合 By|y1，再利用补集的定义即可算出结果 解：|x|0，y2|x|1， 集合 By|y1， ABx|0x1， 故选：B 【点评】本题主要考查了指数函数的性质，以及补集的定义，是基础题 2若 z4+3i，则 （ ） A1 B1 C i D i 【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可 解：z4+3i，则 i 故选：D 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力 3已知非零向量 ， 满足| |4| |，且 （2 ），则 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析

10、】 由题意可得可得 （2 ） 2 0， 设 与 的夹角为 ， 求得 cos ，结合 的范围，求得 的值 解： 由已知非零向量 ， 满足| |4| |， 且 （2 ） ， 可得 （2 ） 2 0， 设 与 的夹角为 ，则有 2 | | 4| | cos0，即 cos ，又因为 0， 所以 ， 故选：C 【点评】本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其 数量积为零来进行转化本体属于基础题，注意运算的准确性 4若 tan ，则 cos 2+2sin2（ ） A B C1 D 【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2+sin2），再将“弦”化“切”即可得 到答案 解

11、：tan ， cos2+2sin2 故选：A 【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题 5已知双曲线 C： 的左右焦点为 F1、F2，点 M 为双曲线 C 上任一点，则|MF1| |MF2|的最小值为（ ） A1 B C2 D3 【分析】 根据条件设 M （x， y） ， 其中 x ， ， 表示出|MF1|MF2| ， 则可 得当 x 时取得最小值 解：根据题意可得 F1（ ，0），F2（ ，0），设 M（x，y），其中 x（， ，+），则 y2 1， 则 |MF1 | |MF2| ， 因为 x（， ，+），所以 3， 则当 x 时，|MF1| |MF2|取最小值，最

12、小值 1， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的相关性质，考查函数最值得求法，属于中档题 6以下四个命题中，真命题的个数是 （ ） 若 a+b2，则 a，b 中至少有一个不小于 1； 0 是 的充要条件； x0，+），x3+x0； 函数 yf（x+1）是奇函数，则 yf（x）的图象关于（1，0）对称 A0 B1 C2 D3 【分析】利用逆否命题的真假判断的正误； 由 可得 0，反之不成立，取 即可判断； 利用全称命题直接判断的正误即可 利用函数的奇偶性以及对称性说明的正误； 解：对于，逆否命题为：a，b 都小于 1，则 a+b2 是真命题 所以原命题是真命题 对于， 0，反之不成立，取 ，不能说

13、 ，所以是假命题； 对于，x0，+），x3+x0；显然是真命题； 对于，函数 yf（x+1）是奇函数，函数的对称中心为（0，0），则 yf（x）的图象 是 yf（x+1）的图象向右平移 1 个单位得到的，所以 yf（x）关于（1，0）对称是 真命题； 故选：D 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系，函数的 对称性，充要条件，是基础题 7执行如图所示的程序框图则输出的所有点（x，y）（ ） A都在函数 yx+1 的图象上 B都在函数 y2x 的图象上 C都在函数 y2x的图象上 D都在函数 y2x1的图象上 【分析】开始 x1，y2，输出（x，y），继续循环，xx

14、+1，y2yx4 就循环，当 x4 时，循环结束最后看碟输出（x，y）值适合哪一个函数的解析式即可 解：开始：x1，y2， 进行循环： 输出（1，2），x2，y4， 输出（2，4），x3，y8， 输出（3，8），x4，y16， 输出（4，16），x5，y32，因为 x54， 退出循环， 则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数 y2x的图象上 故选：C 【点评】本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的 重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要 分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选

15、择恰当的数学模型解 模 8已知函数 f（x）满足：f（x）|x|且 f（x）2x，xR（ ） A若 f（a）|b|，则 ab B若 f（a）2b，则 ab C若 f（a）|b|，则 ab D若 f（a）2b，则 ab 【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可 解：A若 f（a）|b|，则由条件 f（x）|x|得 f（a）|a|， 即|a|b|，则 ab 不一定成立，故 A 错误， B若 f（a）2b， 则由条件知 f（x）2x， 即 f（a）2a，则 2af（a）2b， 则 ab，故 B 正确， C若 f（a）|b|，则由条件 f（x）|x|得 f（a）|a|，则|a|b|不一定成立，故

16、 C 错误， D若 f（a）2b，则由条件 f（x）2x，得 f（a）2a，则 2a2b，不一定成立，即 a b 不一定成立，故 D 错误， 故选：B 【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题 的关键综合性较强，有一定的难度 9函数 f（x） （0a1）图象的大致形状是（ ） A B C D 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x0 时，f（x）logax（0a1）是 单调减函数，即可得出结论 解：由题意，f（x）f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 B、D； x0 时，f（x）logax（0a1）是单调减函数，排除 A 故选：C 【点

17、评】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关 键 10 已知数列an是等比数列， 数列bn是等差数列， 若 a1a6a113 ， b 1+b6+b117， 则 tan 的值是（ ） A1 B C D 【分析】由等差数列和等比数列的性质求出 b3+b9，1a4a8的值，代入 得答 案 解：在等差数列bn中，由 b1+b6+b117，得 3b67， ， ， 在等比数列an中，由 ，得 ， ， ， 则 tan tan 故选：D 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的性质，训 练了三角函数值的求法，是中档题 11已知抛物线 x22y 的焦点为

18、F，点 M 是抛物线 C 上的一点，O 为坐标原点，若MOF 的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，可知MOF 的外接圆的圆心在 OF 的垂直平分线上，则圆心 纵坐标为 ，结合MOF 的外接圆与抛物线的准线相切，得外接圆半径为 ，代入圆的面 积公式得答案 解：如图，抛物线 x22y 的焦点为 F（0， ）， MOF 的外接圆的圆心在 OF 的垂直平分线上，则圆心纵坐标为 ， 又MOF 的外接圆与抛物线的准线相切，外接圆半径为 则该圆的面积为 故选：C 【点评】本题是抛物线与圆的综合题，考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思 想方法，是中档

19、题 12如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面 体的表面积为（ ） A14 B C D 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱切去一个三棱锥体 如图所示： 所以该几何体的表面积为： S 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公 式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若样本数据 x1，x2，x10的平均数为 10，则数据 4x13，4x23，4

20、x103，的 平均数为 37 【分析】根据平均数定义可求 解：因为样本数据 x1，x2，x10的平均数为 10，则 ， 所以数据 4x13，4x23，4x103，的平均数为 ， 故答案为：37 【点评】本题考查平均数，属于基础题 14已知 x，y 满足约束条件 ，若 zax+y 的最大值为 4，则 a 2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 则 A（2，0），B（1，1）， 若 zax+y 过 A 时取得最大值为 4，则 2a4，解得 a2， 此时，目标函数为 z2x+y， 即 y2x+z

21、， 平移直线 y2x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 4，满足条件， 若 zax+y 过 B 时取得最大值为 4，则 a+14，解得 a3， 此时，目标函数为 z3x+y， 即 y3x+z， 平移直线 y3x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 6，不满足条 件， 故 a2； 故答案为：2 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键 15函数 f（x）sin（x ）的图象向右平移 个单位后与原函数的图象关于 x 轴对称， 则 的最小正值是

22、 3 【分析】根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，诱导公式，得出结论 解：函数 f（x）sin（x ）的图象向右平移 个单位后与原函数的图象关于 x 轴对 称， 则平移后函数的解析式为 ysin（x ） sin （x ） ， （2k+1）， kZ， 则 取得最小正值时， ，3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，诱导公式，属于基础题 16已知 f（x）|x ex|，g（x）f2（x）+tf（x）（tR）若满足 g（x）1 的 x 有四个， 则 t 的取值范围为 （， ） 【分析】g（x）1 的 x 有四个，等价于方程 f2（x）+tf（x）+10

23、 有 4 个根，设 h（x） x ex，利用导数得到函数 h（x）的单调性和极值，画出函数 h（x）的大致图象，再利 用函数图象的变换得到函数 f （x） 的大致图象， 要使方程 f2（x） +tf （x） +10 有 4 个根， 则方程 m2+tm+10 应有两个不等的实根，且一个根在（0， ）内，一个根在（ ，+） 内，设 （m）m2+tm+1，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出 t 的取值范 围 解：g（x）1 的 x 有四个， 方程 f2（x）+tf（x）+10 有 4 个根， 设 h（x）x ex，则 h（x）ex+xexex（x+1）， 令 h（x）0，得 x1， 当 x（

24、，1）时，h（x）0，函数 h（x）单调递减； 当 x（1，+）时，h（x）0，函数 h（x）单调递增， h（x）minh（1） ， 画出函数 h（x）x ex的大致图象，如图所示：， f（x）|x ex|， 保留函数 h（x）的 x 轴上方的图象，把 x 轴下方的图象关于 x 轴翻折到 x 轴上方， 即可得到函数 f（x）|x ex|的图象，如图所示：， 令 mf（x），则 m2+tm+10， 所以要使方程 f2（x）+tf（x）+10 有 4 个根， 则方程 m2+tm+10 应有两个不等的实根，且一个根在（0， ）内，一个根在（ ，+） 内， 设 （m）m2+tm+1，因为 （0）10，

25、则只需 （ ）0，即 ， 解得：t ， 故答案为：（， ） 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调 性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列an是等比数列，a24，a3+2 是 a2和 a4的等差中项 （）求数列an的通项公式； （）设 bn2log2an1，求数列anbn的前 n 项和 Tn 【分析】（）等比数列an中，a24，a3+2 是 a2和 a4的等差中项，有等比数列的首 项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公 式即可求得结果； （）把（1）中求

26、得的结果代入 bn2log2an1，求出 bn，利用错位相减法求出 Tn 解：（）设数列an的公比为 q， 因为 a24，所以 a34q， ） 因为 a3+2 是 a2和 a4的等差中项，所以 2（a3+2）a2+a4 即 2（4q+2）4+4q2，化简得 q22q0 因为公比 q0，所以 q2 所以 （nN*） （）因为 ，所以 bn2log2an12n1 所以 则 ， ， 得， ， 所以 【点评】本题考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念及错位相减法求数列的 前项和 Sn，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题 18如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1平

27、面 ABCD，四边形 ABCD 为平行四边形， CA CD，BCD120 （1）若 ACBDO，求证：B1O平面 A1C1D； （2）若 CD2，且三棱锥 ACDC1的体积为 2 ，求 C1D 【分析】（1）连结 B1D1，交 A1C1B1D1E，连结 DE，B1E DO，四边形 EB1OD 是平 行四边形，B1ODE，由此能证明 B1O平面 A1C1D （2） 推导出 CDAC， ACCC1， 从而 AC平面 CDC1 ， 2 ，求出 CC1 ，由此能求出 C1D 解：（1）证明：连结 B1D1，交 A1C1B1D1E，连结 DE， B1E DO， 四边形 EB1OD 是平行四边形，B1OD

28、E， B1O面 A1C1D，DE面 A1C1D， B1O平面 A1C1D （2）解：CD2，CA CD2 ， BCD120ADC60， cos60 ，解得 CD4， CD2+CA2AD2，CDAC， AA1平面 ABCD，ACCC1， CDCC1C，AC平面 CDC1， 三棱锥 ACDC1的体积为 2 ， 2 ， 解得 CC1 ， C1D 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 192019 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分 类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资

29、源利用，改善垃圾资源环境，某部门在 某小区年龄处于20，45岁的人中随机地抽取 x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和 实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄 段人数的频率分布直方图和表中的统计数据 （1）求 x，y，z 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 x 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代 替，结果按四舍五入保留整数）； （3）从年龄段在25，35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 9 人进行专访，并在 这 9 人中选取 2 人作为记录员， 求选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在30， 35中的概 率 组数 分组 “环保族”人数

30、 占本组频率 第一组 20，25） 45 0.75 第二组 25，30） 25 y 第三组 30，35） 20 0.5 第四组 35，40） z 0.2 第五组 40，45） 3 0.1 【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出 x，y，z （2）根据频率分布直方图，能估计这 x 人年龄的平均值 （3）从年龄段在25，35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 9 人进行专访，25， 30）中选 5 人，30，35中选 4 人，在这 9 人中选取 2 人作为记录员，基本事件总数 n ，选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在30，35包含的基本事件个数 m 26，由此能求出选取的 2 名记

31、录员中至少有一人年龄在30，35中的概 率 解：（1）由题意得： （2）根据频率分布直方图，估计这 x 人年龄的平均值为： 22.50.065+27.50.045+32.50.045+37.50.035+42.50.03530.75 （3）从年龄段在25，35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 9 人进行专访， 25，30）中选：9 5 人，30，35中选：9 4 人， 在这 9 人中选取 2 人作为记录员， 基本事件总数 n ， 选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在30，35包含的基本事件个数： m 26， 选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在30，35中的概率 p 【点评】本题考查频

32、率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分 层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题 20已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2+y26x+50 相交于不同的两点 A，B （1）求圆 C1的圆心坐标； （2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数 k，使得直线 L：yk（x4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求 出 k 的取值范围；若不存在，说明理由 【分析】（1）通过将圆 C1的一般式方程化为标准方程即得结论； （2）设当直线 l 的方程为 ykx，通过联立直线 l 与圆 C1的方程，利用根的判别式大于 0、韦

33、达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论； （3）通过联立直线 L 与圆 C1的方程，利用根的判别式0 及轨迹 C 的端点与点（4， 0）决定的直线斜率，即得结论 解：（1）圆 C1：x2+y26x+50， 整理，得其标准方程为：（x3）2+y24， 圆 C1的圆心坐标为（3，0）； （2）设当直线 l 的方程为 ykx、A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立方程组 ， 消去 y 可得：（1+k2）x26x+50， 由364（1+k2）50，可得 k2 由韦达定理，可得 x1+x2 ， 线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的参数方程为 ，其中 k ， 线段 AB 的

34、中点 M 的轨迹 C 的方程为：（x ） 2+y2 ，其中 x3； （3）结论：当 k（ ， ） ， 时，直线 L：yk（x4）与曲线 C 只有 一个交点 理由如下： 联立方程组 ， 消去 y，可得：（1+k2）x2（3+8k2）x+16k20， 令（3+8k2）24（1+k2） 16k20，解得 k ， 又轨迹 C 的端点（ ， ）与点（4，0）决定的直线斜率为 ， 当直线 L：yk（x4）与曲线 C 只有一个交点时， k 的取值范围为 ， ， 【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属 于难题 21已知函数 f（x）lnx+x，g（x）4x2+mx（m0）

35、，函数 f（x）在点 x1 处的切线与 函数 yg（x）相切 （1）求函数 g（x）的值域； （2）求证：f（x）g（x） 【分析】（1）切点 P（1，1），f（x） 1，f（1）2可得过点 P 的 f（x）的 切线为 y12（x1），化为：2xy10根据函数 f（x）在点 x1 处的切线与函 数 yg（x）相切联立 y4x2+mx，2xy10，化为：4x2+（m2）x+10，令 0，m0，即可即得出 m利用二次函数的单调性可得函数 g（x）的值域 （2） 要证明 f （x） g （x） ， 即证明 4x23xlnx0 x （0， +） 即证明 4x3 x （0， + ）令 h（x） x（0，

36、+）y4x3假设直线 y4x+m 与曲线 h（x）相 切于点 P （x0， ） h （x） 4 ， 可得 lnx014 令 u （x0） lnx0+4 1 在 （0，+）上单调递增可得 x0（ ，1）可得切线方程为：y 4（xx0）， 令 x0，可得 y 4x0，下面证明： 4x03 即可， 解：（1）切点 P（1，1），f（x） 1，f（1）2 可得过点 P 的 f（x）的切线为 y12（x1），化为：2xy10 函数 f（x）在点 x1 处的切线与函数 yg（x）相切 联立 y4x2+mx，2xy10，化为：4x2+（m2）x+10，令（m2）2160， m0， 解得 m2 g（x）4x2

37、2x4 函数 g（x）的值域为 ，+） （2）证明：证明 f（x）g（x），即证明 4x23xlnx0x（0，+） 即证明 4x3 x（0，+） 令 h（x） x（0，+）y4x3 假设直线 y4x+m 与曲线 h（x）相切于点 P（x0， ） h（x） 则 4，可得 lnx014 令 u（x0）lnx0 +4 1在（0，+）上单调递增 可得 u（ ）u（1）0， x0（ ，1） 可得切线方程为：y 4（xx0）， 令 x0，可得 y 4x0， 下面证明： 4x03 即可， 化为：8 3x010， 令 u（x）8x23x1，x（ ，1）， u（x）8 u（x）在 x（ ，1）上单调递增， 而

38、u（ ） 1 0，满足 u（x）0 结论得证 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、等价转化方 法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 一、选择题 22已知曲线 C 的极坐标方程是 sin28cos0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴 为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy在直角坐标系中，倾斜角为 的直线 l 过点 P（2，0） （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）设点 Q 和点 G 的极坐标分别为（2， ），（2，），若直线 l 经过点 Q，且与曲 线 C 相交于 A，B 两点，求GAB 的面积 【分析】

39、（1）sin28cos0，化为 2sin28cos0，令 ，即可得出直 角坐标方程直线 l 的参数方程为： （t 为参数） （2）点 Q 和点 G 的极坐标分别为（2， ），（2，），分别化为：Q（0，2），G （2，0）kl1，倾斜角为 ，可得直线 l 的参数方程： （t 为参数）将 参数方程代入曲线 C 的方程可得：t28 t320，设 t1与 t2为此方程的两个实数根， 可得|AB|t1t2| 点 G 到直线 l 的距离 d即可得出 SGAB |BA| d 解：（1）sin28cos0，化为 2sin28cos0， 直角坐标方程为：y28x 直线 l 的参数方程为： （t 为参数） （2

40、）点 Q 和点 G 的极坐标分别为（2， ），（2，），分别化为：Q（0，2），G （2，0），kl 1，倾斜角为 ，直角坐标方程为：yx2可得直线 l 的参 数方程： （t 为参数）将参数方程代入曲线 C 的方程可得：t28 t32 0，128+4320，设 t1与 t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2 ，t1t2 32|AB|t1t2| 16点 G 到直线 l 的距离 d 2 S GAB |BA| d 16 【点评】本题考查极坐标方程化为直角标准方程、直线的参数方程及参数几何意义的应 用、三角形面积计算公式，考查逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题 选修 4-5：不等式选讲 23（

41、）若 a，b，均为正数，且 a+b1证明：（1 ）（1 ）9； （）若不等式|x+3|xa|2 的解集为x|x1，求实数 a 的值 【分析】 （） 将 1a+b 代入， 可得 （1 ） （1 ） （1 ） （1 ） （1+1 ） （1+1 ）由三元均值不等式，即可得证； （）由题意 xa，不等式可化为 x+3+xa2，利用不等式|x+3|xa|2 的解集为 x|x1，即可求实数 a 的值 【解答】（）证明：a，b，c，d 均为正数，且 a+b1， （1 ）（1 ）（1 ）（1 ） （1+1 ）（1+1 ） （3 ）（3 ）9， （1 ）（1 ）9； （）解：由题意 xa，不等式可化为 x+3+xa2，x （a1）， （a1）1，a2 【点评】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力，属于中档题