广东省汕头市2020届高考第一次模拟考试数学文试题(含答案解析)
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1、2020 年高考(文科)数学一模试卷年高考(文科)数学一模试卷 一、选择题(共 12 小题). 1已知集合 U1,2,3,4,5,6,7,集合 A1,2,3,4,B3,4,5,6,则 AUB( ) A1,2,3,4 B1,2,7 C1,2 D1,2,3 2下列各式的运算结果虚部为 1 的是( ) Ai(i1) B C2+i2 D(1+i)2i 3从甲、乙、丙、丁 4 名同学中,任意安排 2 名同学早上到校门口值日,另外 2 名同学下 午到校门口值日,则甲和丁不在一起值日的概率为( ) A B C D 4若实数 x,y 满足 ,则 z2xy 的最大值是( ) A9 B12 C3 D6 5近年来,
2、随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切,中国到 “一带一路”沿线国家的游客人也越来越多,如图是 20132018 年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是( ) 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 20132018 年这 6 年中,2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 20162018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持 平 A B C D 6已知椭圆 C: 1(ab0)的长轴长是短轴长的 2 倍,焦距等于 2 ,则椭 圆 C 的方程为( ) A y 21 B 1
3、C 1 D 1 7已知函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,| )的图象与直线 ya(0aA) 的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8,则 f(x)的单调递减区间为( ) A6k,6k+3,kZ B6k3,6k,kZ C6k,6k+3,kZ D6k3,6k,kZ 8已知数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sn+22an(nN*), ( ) A2 B C D 9已知四边形 ABCD 为平行四边形,| | ,| | ,M 为 CD 中点, 2 ,则 ( ) A B C1 D 10已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x(,0时,f(x)x2+2ax,若曲线 yf(x)在点(1,f
4、 (1)处的切线过点 (2,0),则 a( ) A B1 C2 D 11“今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺”这是我国古代数学 名著九章算术卷第五中“商功”中的问题意思为“现有城(如图,等腰梯形的直 棱柱体),下底长 4 丈,上底长 2 丈,高 5 丈,纵长 126 丈 5 尺(1 丈10 尺)”,则 该问题中“城”的体积等于( ) A1.8975106立方尺 B3.7950106立方尺 C2.5300105立方尺 D1.8975105立方尺 12已知函数 yf(x2)的图象关于点 (2,0)对称,函数 yf(x)对于任意的 x(0, );满足 f(x)cosxf(x)si
5、nx(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数),则下列不 等式成立的是( ) Af( ) f( ) Bf( ) f( ) C f( ) f( ) D f( ) f( ) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13已知函数 f(x) , , ,则 ff(2) 14记等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S11,S525,则 S6 15已知过点 (1,0)的直线 l 被圆 x2+y26x70 截得的弦长为 2 ,则直线 l 的方 程为 16体积为 的三棱锥 ABCD 中,BCACBDAD3,CD2 ,AB2 ,则 该三棱锥外接球的表面积为 三、解答题:共 70 分,解答
6、应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分. 17设ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a、b、c,已知 btanA(2cb)tanB (1)求角 A 的大小; (2)若ABC 的面积为 3 ,b+c5 ,求 a 的值 18 在四棱锥 PABCD 中, 平面 PAC平面 ABCD, 且有 ABDC, ACCDDA AB (1)证明:BCPA; (2)若 PAPC AC ,Q 在线段 PB 上,满足 PQ2QB,求三棱锥 PACQ 的 体积 19从某小区抽取 50 户居民进行
7、月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频率 分布直方图如图 1 (1)求频率分布直方图中 x 的值并估计这 50 户用户的平均用电量; (2)若将用电量在区间50,150)内的用户记为 A 类用户,标记为低用电家庭,用电量 在区间250,350)内的用户记为 B 类用户,标记为高用电家庭,现对这两类用户进行问 卷调查,让其对供电服务进行打分,打分情况见茎叶图如图 2: 从 B 类用户中任意抽取 1 户,求其打分超过 85 分的概率; 若打分超过 85 分视为满意,没超过 85 分视为不满意,请填写下面列联表,并根据列 联表判断是否有 95%的把握认为“满意度与用电量高低有关
8、”? 满意 不满意 合计 A 类用户 B 类用户 合计 附表及公式: P(K2k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 ,na+b+c+d 20已知函数 f(x)lnx (aR) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)a,求 a 的取值范围 21已知抛物线 C:y x 2,过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,且 A, B 两点在抛物线 C 的准线上的投影分别 P、Q (1)已知 D(1,0),若( ) 0,求直线 l 的方程; (2)设 P、Q 的中点为 M,请判断 PF 与 MB 的位置关系并说明
9、理由 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为: ( 为参数),已知 直线 l1:x y0,直线 l2: xy0 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极 坐标系 (1)求曲线 C 以及直线 l1,l2的极坐标方程; (2)若直线 l1与曲线 C 分别交于 O、A 两点,直线 l2与曲线 C 分别交于 O、B 两点,求 AOB 的面积 选修 4-5:不等式选讲 23设函数 f(x)|x+a| (1)当 a2 时,求不等式 f(x) 的解集; (2
10、)若 0,f(1) ,f(ba2) ,证明|2a+b4| 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目的要求的 1已知集合 U1,2,3,4,5,6,7,集合 A1,2,3,4,B3,4,5,6,则 AUB( ) A1,2,3,4 B1,2,7 C1,2 D1,2,3 【分析】由已知求UB1,2,7,再求交集 解:由已知:UB1,2,7,A1,2,3,4 AUB1,2 故选:C 2下列各式的运算结果虚部为 1 的是( ) Ai(i1) B C2+i2 D(1+i)2i 【分析】利用复数的运算性质化简,再利用虚部的定义即可判
11、断出结论 解:Ai(i1)1i,虚部为1 B. 1i,虚部为1 C.2+i21,虚部为 0 D(1+i)2i2iii,虚部为 1 故选:D 3从甲、乙、丙、丁 4 名同学中,任意安排 2 名同学早上到校门口值日,另外 2 名同学下 午到校门口值日,则甲和丁不在一起值日的概率为( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n 6,甲和丁不在一起值日的对立事件是甲和丁在一 起值时,由此能求出甲和丁不在一起值日的概率 解:从甲、乙、丙、丁 4 名同学中,任意安排 2 名同学早上到校门口值日,另外 2 名同 学下午到校门口值日, 基本事件总数 n 6, 甲和丁不在一起值日的对立事件是甲和丁在一起值日,
12、 则甲和丁不在一起值日的概率为 P1 故选:C 4若实数 x,y 满足 ,则 z2xy 的最大值是( ) A9 B12 C3 D6 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,把最优解的坐标代入目标函数得答案 解:由实数 x,y 满足 ,作出可行域: 联立 ,解得 A(4,1), 化 z2xy 为 y2xz, 由图可知, 当直线 y2xz 过 A 时, 直线在 y 轴上的截距最小, z 有最大值为:9 故选:A 5近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切,中国到 “一带一路”沿线国家的游客人也越来越多,如图是 20132018
13、年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是( ) 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 20132018 年这 6 年中,2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 20162018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持 平 A B C D 【分析】利用折线图的性质直接求解 解:由 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况和折线图,得: 在中,20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加,故正确; 在中,20132018 年这 6 年中,2014 年中国到“一
14、带一路”沿线国家的游客人次增幅 最小,故正确; 在中,20162018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅 基本持平,故正确 故选:A 6已知椭圆 C: 1(ab0)的长轴长是短轴长的 2 倍,焦距等于 2 ,则椭 圆 C 的方程为( ) A y 21 B 1 C 1 D 1 【分析】根据条件得到 a2b,c ,结合 a2b2c2,解出 a,b 即可 解:根据条件可得 a2b,c ,又因为 a2b2c2, 则有 4b2b23,解得 b21,所以 a24, 则椭圆 C 的方程为 故选:A 7已知函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,| )的图象与直线 ya(0a
15、A) 的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8,则 f(x)的单调递减区间为( ) A6k,6k+3,kZ B6k3,6k,kZ C6k,6k+3,kZ D6k3,6k,kZ 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质,求出 f(x)的单调递减区间 解:函数 f(x)Asin(x+)(A0,0,| )的图象与直线 ya(0a A)的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8, 3, 6, 633, T6,故函数的减区间为6k+3,6k+6,即6k3,6k,kZ, 故选:D 8已知数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sn+22an(nN*), ( ) A2 B C D 【分析】根据题意,由 Sn+22a
16、n可得 Sn1+22an1,两式相减可得(SnSn1)2an 2an1,变形可得 an2an1,求出 a1,分析可得数列an是首项为 a 12,公比为 2 的 等比数列,结合等比数列的性质求出 S4和 a2,计算可得答案 解:根据题意,数列an中,Sn+22an 则有 Sn1+22an1, 可得:(SnSn1)2an2an1,即 an2an2an1,变形可得 an2an1, 对于 Sn+22an,令 n1 可得:S1+22a1,即 a1+22a1,解可得 a12, 故数列an是首项为 a12,公比为 2 的等比数列, 则 S4 30,a24, 则 ; 故选:C 9已知四边形 ABCD 为平行四
17、边形,| | ,| | ,M 为 CD 中点, 2 ,则 ( ) A B C1 D 【 分 析 】 先 根 据 已 知条 件 可 求 得 , , , 而 , 然后将其展开, 利用平面向量数量积进行运算求解即可 解:| | ,| | ,M 为 CD 中点, 2 , , , , , 故选:A 10已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x(,0时,f(x)x2+2ax,若曲线 yf(x)在点(1,f (1)处的切线过点 (2,0),则 a( ) A B1 C2 D 【分析】 先根据条件求出 x0 时 f (x) 的解析式, 然后求出曲线 yf (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线
18、方程,再由切线过点(2,0)求出 a 的值 解:f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x(,0时,f(x)x2+2ax, 当 x0 时,f(x)x2+2ax,此时 f(x)2x+2a, f(x)在(1,f(1)处的斜率 kf(1)2+2a,又 f(1)1+2a, f(x)在(1,f(1)处的切线方程为 y+12a(2+2a)(x1) 曲线 yf(x)在点(1,f (1)处的切线过点 (2,0), 12a(2+2a)(21),a 故选:D 11“今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺”这是我国古代数学 名著九章算术卷第五中“商功”中的问题意思为“现有城(如图,等腰梯形的直 棱柱体
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