广西南宁市2020届高中毕业班第一次适应性测试数学试题（理科）含答案解析

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1、绝密启用前 2020 届高中毕业班第一次适应性测试届高中毕业班第一次适应性测试 理理 科科 数数 学学 （考试时间：120 分钟满分：150 分） 注意事项注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名，准考 证号填写在答题卡上 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效 3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷第卷 一、选择题一、选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 6

2、0 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1已知集合10|Ax x ，12 |Bxx ，则AB A(1,) B)1, C1,1 D1,2 2设1 i1ixy ，其中 x，y 是实数，则ixy在复平面内所对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若实数 x，y 满足 1 10 220 x xy xy ，则2zxy的最小值为 A2 B4 C5 D10 4已知,()0， 3 cos() 65 ，则sin的值为 A 4 33 10 B 3 34 10 C 7 10 D 2 3 5 5PM2.5 是空气质量的一个重

3、要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 3 35 g/m以下空气质量为一级，在 33 35 g/m75 g/m之间空气质量为二级，在 3 75 g/m以上空气质量 为超标如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值（单位： 3 g/m）的统计数据若从这 10 天中随机抽取 3 天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了 2 天的概率为 A 3 10 B 3 5 C 2 5 D 1 30 6设 a 为正实数，函数 322 ( )32f xxaxa，若,2xaa ， 0f x ，则a的取值范围是 A1,)

4、B(0,) C0,1 D 2 (0, ) 3 7已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过 2 F且斜率为3的直线与双曲线 在第一象限的交点为 A，线段 1 F A的中点为 D，若 21 0F D FA，则此双曲线的离心率为 A3 B 3 2 C 31 2 D31 8如图，四棱锥SABCD中，SD 平面 ABCD，/ /ABCD，ADCD，SDCD，ABAD， 2CDAD，M 是 BC 中点，N 是线段 SA 上的点设 MN 与平面 SAD 所成角为，则sin的最大值 为 A 3 5 7 B 3 3 7 C 2 5 7 D 2 3 7 9过

5、曲线 x yex外一点e,e作该曲线的切线 l，则 l 在 y 轴上的截距为 A e e B e 2 e C e 1 e D e 2 e 10 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为l， l与x轴的交点为P， 点A在抛物线C上， 过点A作AAl， 垂足为A若 3 cos 5 FAA ，则四边形AA PF的面积为 A8 B10 C14 D28 11 已知定义域为 R 的奇函数 f x的导函数为 fx， 当0x 时， xfxf x 若 2 2 ( log 3) log 3 f a ， 4 4 (log 6) log 6 f b ， (sin) 8 sin 8 f c ，则 a，b，c 的大

6、小关系为 Aabc Bcab Ccba Dbca 12已知函数 ()(|)2cos10,f xx的一个零点是 4 x ，当 3 x 时函数 f x取最 大值，则当取最小值时，函数 f x在, 12 12 上的最大值是 A2 B 3 2 C 3 2 D0 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分第第 1321 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22，23 题为题为 选考题选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13在平面上， 1 e，

7、2 e是方向相反的单位向量，若向量b满足 12 bebe，则b的值为_ 14 设 a， b， c 分别为三角形 ABC 的内角 A， B， C 的对边， 已知三角形 ABC 的面积等于 222 3 () 4 bca， 则内角 A 的大小为_ 15已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体 积为_ 16关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启 发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请 240 名同学，每人随机写下两个都小于 1 的 正实数 x，y 组成的实数对, x y，再统计两数能与 1 构成钝角

8、三角形三边的数对, x y的个数m；最 后再根据统计数m来估计的值假如统计结果是68m，那么可以估计的近似值为 _ （用分数表示） 三、解答题三、解答题：本大题共本大题共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久目前我国南方农户在播种水稻时一 般有直播、撒播两种方式为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于 2019 年选取 了 200 块农田，分成两组，每组 100 块，进行试验其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒 播的方式进行播种

9、得到数据如下表： 产量（单位：斤） 播种方式 840,860) 860,880) 880,900) 900,920) 920,940) 直播 4 8 18 39 31 撒播 9 19 22 32 18 约定亩产超过 900 斤（含 900 斤）为“产量高” ，否则为“产量低” （1）请根据以上统计数据估计 100 块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表） ； （2）请根据以上统计数据填写下面的 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“产量高”与“播种 方式”有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 0 ()P Kk

10、0.10 0.010 0.001 0 k 2.706 6.635 10.828 产量高 产量低 合计 直播 撒播 合计 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 4a ， 1 1 23 2n nn aa （1）证明：数列 2 n n a 为等差数列，并求数列 n a的通项公式； （2）设 1 64n n nn b a a ，求数列 n b的前 n 项和 n T 19 （本小题满分 12 分） 如图所示， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 侧棱 1 AA 平面 ABCD， 底面 ABCD 是直角梯形，ADAB， / /ABCD 1 224ABADAA （1）证明： 1

11、AD 平面 11 ABC D； （2）若1DC ，求二面角 11 BBCA的正弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 2 :1(02) 4 xy Cb b 的离心率为 1 2 ，F 为椭圆的右焦点，PQ 为过椭圆中心 O 的弦 （1）求PQF面积的最大值； （2）动直线 1 : 2 l yxt与椭圆交于 A、B 两点，证明：在第一象限内存在定点 M，使得当直线 AM 与 直线 BM 的斜率均存在时， 其斜率之和是与 t 无关的常数， 并求出所有满足条件的定点 M 的坐标 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )8ln ()f xxxax aR （1）讨论函数 f x的

12、单调性； （2）已知函数 f x的两个极值点 12121 ,1x xxx x，若1m ，证明： 1 02x；证明： 2 1 11 1 (2)(43) 1 lna mxx x x 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答注意注意：只能做所选定的题目只能做所选定的题目如果多做如果多做，则按所做的第一个则按所做的第一个 题目计分题目计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1 l的倾斜角为30，且经过点2,1A以坐标原点 O 为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，直线 2: cos3l，从原点 O 作射线

13、交 2 l于点 M，点 N 为射线 OM 上的点， 满足12OMON，记点 N 的轨迹为曲线 C （1）设动点 1 Pl，记e是直线 1 l的向上方向的单位方向向量，且APte，以 t 为参数求直线 1 l的 参数方程； 求曲线 C 的极坐标方程并化为直角坐标方程； （2）设直线 1 l与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 11 |APAQ 的值 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 21f xxx （1）求不等式 8f xx的解集； （2） 记函数 yf x的最小值为 k， 若 a， b， c 是正实数， 且 331 1 2kakbkc ， 求证：239abc 20

14、20 届高中毕业班第一次适应性测试届高中毕业班第一次适应性测试 理科数学参考答案理科数学参考答案 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B A A A C A B C C D 1B【解析】由已知得|1Ax x，又12 |Bxx ，所以 |1ABx x 故选 B 2D【解析】 由1i1i()xy ，其中 x，y 是实数， 得 1x xy ， 1 1 x y ， 所以ixy在复平面内所对应的点位于第四象限故选 D 3B【解析】作出可行域如图所示： 作直线2yxz ，再将其平移至1,2A时，直线的纵截距最小，的最小值为 4故选 B 4A【解析

15、】 由,()0a， 3 cos() 65 ，得 4 sin() 65 ， 所以sinsin ()sin()coscos()sin 666666 aaa 43314 33 525210 ，故选 A 5A【解析】 由图易知：因为第 3，8，9，10 天空气质量为一级，共 4 天， 故所求事件的概率为 21 46 3 10 3 10 C C P C ，故选 A 6A【解析】 由已知 2 ( )363 (2 )fxxaxx xa， 当,2xaa时 0fx，函数 f x在区间,2aa上单调递减， 又,2xaa ， 0f x 所以 3222 ( )322(1)0f aaa aaaa，即1a ，故选 A 7

16、C【解析】 由 21 0F D FA，可知 122 2FFF Ac， 又 2 AF的斜率为3，易得 12 6 FAF ，得 1 | 2 3AFc， 由双曲线的定义得2 322cca，所以 31 2 c e a 故选 C 8A【解析】 解法 1： （1）以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 设2DA ，则0,0,0 ,0,0,4 ,2,0,0 ,2,2,0 ,0,4,0 ,1,3,0DSABCM， 所以2,0, 4SA 设(01)SNSA，则2 ,0,4()4N， (21, 3,44 )MN 平面 SAD 的一个法向量为(0,4,0)DC ，

17、 所以 2 3 sin| | 2(101813) MN DC MNDC 因为01，所以当 9 10 ， 即9SNNA时，sin取得最大值 3 5 7 ，故选 A 解法 2：设 AD 的中点为 E，连接 ME、NE， 因为CDAD，所以MEAD 因为SD 平面 ABCD，所以SDCD，MESD 所以ME 平面 SAD， 则MNE为 MN 与平面 SAD 所成角，则MNE 设2DA ，则3ME ， 2 9MNNE， 2 3 sin 9 ME MN NE NE 的最小值为 E 到 AS 距离等于 2 5 ，所以sin的最大值为 3 5 7 故选 A 9B【解析】 由exyx，得e1 x y， 设切点

18、为 0 00 ,exxx，则 0 0 e1 x x x y ， 切线方程为 00 00 ee1 xx yxxx， 切线过点e, e， 00 0 eee xx x， 解得 0 e1x 切线方程为 e 1 ee1 (e)yx ， 当0x 时， e 2 ey ，即为其在 y 轴上的截距，故选 B 10C【解析】作出图形如下所示， 过点 F 作FFAA，垂足为 F 设3APx ，因为 3 cos 5 FAA ， 故5AFx，|4|FFx ， 由抛物线定义可知，5AFAAx， 则| 22A Fx ，故1x 四边形AA PF的面积 (|) |(25) 4 14 22 PFAAPA S ，故选 C 11C【

19、解析】 设 ( ) ( ) f x g x x ，因为 f x为奇函数，所以 g x为偶函数； 又当0x 时， 2 ( )( ) ( )0 xfxf x g x x ， 所以 g x在(0,)上单调递增， 因为 242 0sin1log6log 6log 3 8 ， 又 22 22 ( log 3)(log 3) log 3log 3 ff a ， 所以 42 (sin)(log 6)( log 3) 8 ggg ，即cba，故选 C 12D【解析】 由已知 1 cos() 42 ，cos()1 3 得244( ,)nkn kZ， 又0，所以 min 4，此时 4 2, 3 nn Z， 又，得

20、 2 3 ，所以 2 ( )2cos(4)1 3 f xx ， 又, 12 12 x ，得 2 4 33 x ， 所以函数 f x在, 12 12 上的最大值是 0故选 D 二、填空题二、填空题 131 【解析】由题意 12 0bebe，即 2 1212 0beebe e， 又 12 ,e e是方向相反的单位向量，所以 12 0ee， 12 1e e ， 所以 2 10b ，即 2 1b ，所以1b 14 3 【解析】由已知 222 13 ( 24 sin) ABC ASbcbca， 及余弦定理得3sincosAA， 所以tan3A，又0A，所以 3 A 15 20 3 【解析】由三视图可知正

21、方体边长为 2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图（1）所示， 其体积为 1120 222222 323 16 47 15 【解析】由题意，240 对都小于 1 的正实数对, x y，满足 01 01 x y ， 面积为 1，两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对, x y， 满足 22 1xy且 01 01 1 x y xy ， 面积为 1 42 ， 因为统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对, x y的个数68m， 所以 681 24042 ， 47 15 三、解答题三、解答题 17 【解析】 （1）100 块直播农田的平均产量为 48183931 85087089091093

22、0907 100100100100100 X （斤） （2）由题中所给的数据得到 22 列联表如下所示： 产量高 产量低 合计 直播 70 30 100 撒播 50 50 100 合计 120 80 200 由表中数据可得 2 K的观测值 2 200(70 5030 50)25 86.635 120 80 100 1003 k 所以有 99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关 18 【解析】 （1）因为 1 1 23 2n nn aa ，所以 1 1 3 22 nn nn aa ， 所以 2 n n a 为以 2 为首项，3 为公差的等差数列 从2(1)331 2 n n a nn，所以(

23、31)2n n an （2）由（1） 21 21 1 643 2 (31)2(32) nn n nn nn b a ann 311 (31)(32)3132nnnn 111111 ()()() 25583132 n n T n 113 23264 n nn 19 【解析】 （1）因为侧棱 1 AA 平面 ABCD， 所以平面 11 ADD A 平面 ABCD， 又ABAD，平面 11 ADD A平面ABCDAD， 所以AB 平面 1 ADD A， 而 1 AD 平面 1 ADD A，所以 1 ABAD； 因为侧棱 1 AA 平面 ABCD，所以 1 AAAD， 又 1 AAAD，所以 11 A

24、DAD， 又 1 ABADA，所以 1 AD 平面 11 ABC D （2）如图，以 D 为坐标原点，分别以 AD、DC、 1 DD所在直线为 x、y、z轴建立空间直角坐标系 则2,0,0A， 1 0,1,2C，2,4,0B， 1 2,4,2B 设平面 11 BBC的法向量为 111 ,nx y z， 又 1 (0,0,2)BB ， 1 ( 2, 3,2)BC ， 则 11 1111 20 2320 n BBz n BCxyz ，求得 1 11 0 2 3 z yx 令 1 3x ，得3, 2,0n 设平面 1 ABC的法向量为 222 ,mxy z， 又(0, 4,0)BA， 1 ( 2,

25、3,2)BC ， 则 2 1222 40 2320 m BAy m BCxyz ，求得 2 22 0y xz ， 令 2 1x ，得1,0,1m （另解：由（1）可得平面 1 ABC的法向量为 1 DA， 设为1,0,1m ，所以 |33 26 |cos,| | |26132 n m n m nm 故二面角 11 BBCA的正弦值为 442 26 20 【解析】 （1）设椭圆的半焦距为 c，则 222 cab， 由 1 22 cc e a 得1c ，所以3b 又由PQF的面积等于POF和QOF的面积之和， 设 P 点到 x 轴的距离为 h， 由 PQ 是过椭圆的中心的弦，则 Q 到 x 轴的距

26、离也为 h， 所以PQF和QOF面积相等，所以 1 2 2 PQF Schch， 由 h 的最大值为 b， 所以PQF的最大面积为3bc （2）由（1）知椭圆 22 :1 43 xy C 设 11 1 (,) 2 A xxt， 22 1 (,) 2 B xxt，( , )M m n 将 1 : 2 l yxt代入 22 1 43 xy ，得 22 30xtxt 则有 12 xxt ， 2 12 3x xt 直线 AM 与直线 BM 的斜率之和 1221 12 11 ()()()() 22 ()() MAAB nxt mxnxt mx kk mxmx 22 3 23 2 3 nm tmn tmt

27、m 为与t无关的常数， 可知当 3 2 nm，23mn 时斜率的和恒为 0， 解得 1 3 2 m n ， 1 3 2 m n 舍去 综上所述，所有满足条件的定点 M 的坐标为 3 (1, ) 2 21 【解析】 （1）由已知 2 28 ( )(0 xxa fxx x ）， 当8a 时， 2 280xxa，所以 0fx， 所以函数 f x在(0,)上单调递增； 当08a时， 2 280xxa在(0,)上有两不等正实数根， 记 1 4162 2 a x ， 2 4162 2 a x ， 当 1 0,xx时， 0fx， f x单调递增， 当 12 ,xx x时， 0fx， f x单调递减， 当 2

28、 (),xx时， 0fx， f x单调递增； 当0a 时， 1 4162 0 2 a x ， 2 4162 0 2 a x ， 所以当 2 0,xx时， 0fx， f x单调递减， 当 2 (),xx时， 0fx， f x单调递增； （2） f x定义域为(0,)，有两个极值点 1212 ,x xxx， 则 2 ( )280t xxxa在(0,)上 有两个不等正根，所以 6480 (0)0 20 a ta x ，所以08a 12 12 12 4 2 0 xx a x x xx ，所以 21 1211 12 4 224 0 xx ax xxx xx ， 所以 1 02x 这样原问题即证明当 1

29、02x且 1 1x ，1m 时， 2 1 11 1 (2)(43 1 ln ) a mxx x x 成立， 即 111 11 1 2 (4) (2)(4)(1) 1 lnxx mxx x x ， 即 11 1 1 2 (2)(1) 1 lnx mx x x ， 即 11 1 1 2ln (2)10 1 xx mx x 即 2 11 1 11 (2)(1) n0 1 l2x xmx xx ， 且 1 01x时， 1 1 0 1 x x ， 1 12x时 1 1 0 1 x x ， 设 2 (2)(1) ( )2(02)ln mx xxh x x ， 2 2 (2)22 ( )(02) mxxm

30、h xx x 当1m 时，0 ，可知 0h x， 在0,2上 h x为减函数且 10h， 当01x时， 0h x ，12x时， 0h x ， 得 2 11 1 11 (2)(1) n0 1 l2x xmx xx 成立从而得证 22 【解析】 （1）依题设直线 1 l的参数方程为 2cos30 1sin30 xt yt （t 为参数） ， 即 3 2 2 1 2 xt t y （t 为参数） 设,()N ， 11 (),00(,)M ，由题设则 1 1 12 又点 M 在 2: cos3lp，即 11 cos3上， 所以 3 12 cos ，即4cos， 将cosx，siny代入得曲线 C 的直

31、角坐标方程为 22 40(0)xyxx （2）将 1 l的参数方程代入 C 的直角坐标方程中， 得 22 331 (2)4(2)(1)0 222 ttt， 即 2 30tt ，则 1 t， 2 t为方程的两个根， 12 1tt ， 1 2 30t t ， 12 1111 |APAQtt 2 121 1 12 1 21 2 ()4| | ttt ttt t tt t 2 ( 1)1213 33 23 【解析】 （1） 218f xxxx等价于 1 218 x xx ，或 21 38 x x ，或 2 218 x xx ， 解得7x 或x或3x ， 所以不等式的解集为 , 3)7,(x （2）依题意 21213f xxxxx， 当2,1x 时等号成立，所以 f x的最小值为 3，即3k ， 所以 111 1 23abc ， 又 a，b，c 是正实数，由均值不等式得 111 23(23 ) 23 abcabc abc 2233 3 2332 aabbcc bcacab 2323 332229 2332 abacbc bacacb ， 当且仅当23abc时取等号 也即239abc