2020年辽宁省大连市高考数学第一次模拟试卷(理科)含答案解析
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1、2020 年高考数学一模试卷(理科)年高考数学一模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题) 1设集合 Ax|2x3,B1,0,1,2,3,则集合 AB 为( ) A2,1,0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,1,2,3 D2,1,0,1,2,3 2若复数 z 满足(1+i)z2,则 z 的虚部为( ) A1 Bi Ci D1 3下列函数中是偶函数,且在(0,+)是增函数的是( ) Ayln|x| Bycosx Cyx2 Dyx3 4设 Sn为等差数列an的前 n 项和,若 a4+a512,则 S8的值为( ) A14 B28 C36 D48 5PM2.5 是衡量空气质量的重要指标,我国采
2、用世卫组织的最宽值限定值,即 PM2.5 日均 值在 35g/m3以下空气质量为一级,在 3575g/m3空气质量为二级,超过 75g/m3为超 标如图是某地 12 月 1 日至 10 日的 PM2.5(单位:g/m3)的日均值,则下列说法正确 的是( ) A10 天中 PM2.5 日均值最低的是 1 月 3 日 B从 1 日到 6 日 PM2.5 日均值逐渐升高 C这 10 天中恰有 5 天空气质量不超标 D这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 43 6已知抛物线 y24x 上点 B(在第一象限)到焦点 F 距离为 5,则点 B 坐标为( ) A(1,1) B(2,3) C(4,4)
3、 D , 7设 , 是非零向量,则“ ”是“| 2 | 2 |的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 8如图是函数 f(x)2sin(x+)(0,| )的部分图象,则 , 的值分别为 ( ) A1, B , C , D , 9设数列an的前 n 项和为 Sn若 a11,an+12Sn+1,nN*,则 S5值为( ) A363 B121 C80 D40 10已知 a0,b0, ,则 a+b 的最小值为( ) A B C2 D4 11已知 a,b 是两条直线, 是三个平面,则下列命题正确的是( ) A若 a,b,ab,则 B若 ,a,则 a C若 ,a,则
4、 a D若 ,a,则 a 12易经是中国传统文化中的精髓,如图是易经后天八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、 离、 艮、 兑八卦) , 每一卦由三根线组成 (表示一根阳线,表示一根阴线) , 从八卦中任取两卦,记事件 A“两卦的六根线中恰有两根阳线”,B“有一卦恰有一 根阳线”,则 P(A|B)( ) A B C D 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13已知 x,y 满足约束条件 , , 则 zx+y 的最大值为 14双曲线 , 的一条渐近线的方程为 yx,则该双曲线的离心率 e 15定义在(1,+)上的函数 f(x)满足下列两个条件:
5、(1)对任意的 x(1,+)恒 有 f(2x)2f(x)成立; (2)当 x(1,2时,f(x)2x则 f(6)的值是 16如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 O 为线段 BD 的中点设点 P 在线段 CC1上, 二面角 A1BDP 的平面角为 ,用图中字母表示角 为 ,sin 的最小值 是 三.解答题:(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17设函数 f(x)2sinxcosx2cos2(x ) ()求 f(x)的单调递增区间; ()在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )0,a1,c 1,求 b 18某中学
6、调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况,从高一、高二年级学生中分别随机抽 取 100 人,由调查结果得到如图的频率分布直方图: ()写出频率分布直方图(高一)中 a 的值;记高一、高二学生 100 人锻炼时间的样 本的方差分别为 s12,s22,试比较 s12,s22的大小(只要求写出结论); ()估计在高一、高二学生中各随机抽取 1 人,恰有一人的锻炼时间大于 20 分钟的概 率; ()由频率分布直方图可以认为,高二学生锻炼时间 Z 服从正态分布 N(,2), 其中 近似为样本平均数 , 近似为样本方差,且每名学生锻炼时间相互独立,设 X 表示从高二学生中随机抽取 10 人,其锻炼时间位于(1
7、4.55,38.45)的人数,求 X 的数 学期望 注:同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得 s2 11.95; 若 ZN(,2),则 P(z+)0.6826,P(2z+2) 0.9544 19如图,三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 BB1C1C 为菱形,A 在侧面 BB1C1C 上的投影恰为 B1C 的中点 O,E 为 AB 的中点 ()证明:OE平面 ACC1A1; ()若 , ,在线段 C1A1上是否存在点 F(F 不与(C1,A1 重合)使得直线 EF 与平面 ACC1A1成角的正弦值为 若存在,求出 的值;若不存 在,说明理由 20已知过点 , 的曲线 C 的方程为 ()求曲线
8、 C 的标准方程: ()已知点 F(1,0),A 为直线 x4 上任意一点,过 F 作 AF 的垂线交曲线 C 于点 B,D (i)证明:OA 平分线段 BD(其中 O 为坐标原点); (ii)求 最大值 21已知函数 f(x)2sinxx2+2xa ()当 a0 时,求 f(x)零点处的切线方程; ()若 f(x)有两个零点 x1,x2(x1x2),求证: a 四、请考生在 22,23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,0),B(1,0),
9、动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为4记 M 的轨迹为曲线 C以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系,直线 1 的极坐标方程为 2cos sin+110 ()求 C 和 l 的直角坐标方程; ()求 C 上的点到 1 距离的最小值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)m|x2|,mR,g(x)|x+3| ()当 xR 时,有 f(x)g(x),求实数 m 的取值范围 ()若不等式 f(x)0 的解集为1,3,正数 a,b 满足 ab2ab3m1,求 a+b 的最小值 参考答案 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每
10、小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1设集合 Ax|2x3,B1,0,1,2,3,则集合 AB 为( ) A2,1,0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,1,2,3 D2,1,0,1,2,3 【分析】利用交集定义直接求解 解:集合 Ax|2x3,B1,0,1,2,3, 集合 AB1,0,1,2 故选:B 2若复数 z 满足(1+i)z2,则 z 的虚部为( ) A1 Bi Ci D1 【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出 解:复数 z 满足(1+i)z2,(1i)(1+i)z2(1i),2z2(1i), z1i, 则 z 的虚部为1 故选:A 3下列函数中是偶函
11、数,且在(0,+)是增函数的是( ) Ayln|x| Bycosx Cyx2 Dyx3 【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案 解:根据题意,依次分析选项: 对于 A,yln|x|,其定义域为x|x0,关于原点对称,有 f(x)ln|x|f(x),是 偶函数,且在(0,+)上,f(x)lnx,为增函数,符合题意, 对于 B,ycosx,是余弦函数,在(0,+)上不是单调函数,不符合题意; 对于 C,yx2,为二次函数,在(0,+)上是单调减函数,不符合题意; 对于 D,yx3,为奇函数,不符合题意; 故选:A 4设 Sn为等差数列an的前 n 项和,若 a4+a5
12、12,则 S8的值为( ) A14 B28 C36 D48 【分析】由等差数列的性质得 S8 ,由此能求出结果 解:Sn为等差数列an的前 n 项和,a4+a512, S8 41248 故选:D 5PM2.5 是衡量空气质量的重要指标,我国采用世卫组织的最宽值限定值,即 PM2.5 日均 值在 35g/m3以下空气质量为一级,在 3575g/m3空气质量为二级,超过 75g/m3为超 标如图是某地 12 月 1 日至 10 日的 PM2.5(单位:g/m3)的日均值,则下列说法正确 的是( ) A10 天中 PM2.5 日均值最低的是 1 月 3 日 B从 1 日到 6 日 PM2.5 日均值
13、逐渐升高 C这 10 天中恰有 5 天空气质量不超标 D这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 43 【分析】由折线图逐一分析数据,找出特例可判断,找出结果 解:由折线图可知 A 错,因为 10 天中 PM2.5 日均值最低的是 12 月 1 日;B 错,因为 2 日到 3 日是下降的; C 错,因为 10 天中有 8 天空气质量不超标;由数据分析可得日均值的中位数是 43, 故选:D 6已知抛物线 y24x 上点 B(在第一象限)到焦点 F 距离为 5,则点 B 坐标为( ) A(1,1) B(2,3) C(4,4) D , 【分析】由抛物线的方程可得准线方程,再由抛物线的性质可得到焦
14、点的距离等于到准 线的距离,可得 B 的横坐标,代入抛物线的方程可得纵坐标 解:设 B(x,y),由抛物线的方程可得准线方程为:x1, 由抛物线的性质,到焦点的距离等于到准线的距离 x+15,所以 x4, 代入抛物线的方程可得 y4,由 B 在第一象限,所以 y4,即 B 的坐标(4,4), 故选:C 7设 , 是非零向量,则“ ”是“| 2 | 2 |的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 【分析】根据向量数量积的应用,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解:若“| 2 | 2 |, 则平方得| |2+4| |2+4 | |2+4| |24 ,
15、 即 4 4 , 得 0,即 , 则“ ”是“| 2 | 2 |的充要条件, 故选:C 8如图是函数 f(x)2sin(x+)(0,| )的部分图象,则 , 的值分别为 ( ) A1, B , C , D , 【分析】结合函数的图象,由周期求出 ,由特殊点的坐标求出 的值 解:由函数图象可知 T2( ), 2, x 时,函数取得最大值 2, 可得:2sin(2 )2,可得:2 2k ,即 2k ,kZ, | , 故选:D 9设数列an的前 n 项和为 Sn若 a11,an+12Sn+1,nN*,则 S5值为( ) A363 B121 C80 D40 【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前 5
16、 项,然后求解数列的和即可 解:数列an的前 n 项和为 Sn若 a11,an+12sn+1,nN*, 可得 a23,a39,a427,a581, 则 S51+3+9+27+81121 故选:B 10已知 a0,b0, ,则 a+b 的最小值为( ) A B C2 D4 【分析】根据 ,可以得到 a+b(a+b)( ),展开后再运用基本不等 式可求得最小值 解: , a+b(a+b)( )1+1 2+2 4, 当且仅当 时等号成立, a+b 的最小值为 4 故选:D 11已知 a,b 是两条直线, 是三个平面,则下列命题正确的是( ) A若 a,b,ab,则 B若 ,a,则 a C若 ,a,则
17、 a D若 ,a,则 a 【分析】A由于 ,或相交,即可判断出正误; B由已知可得 a 或 a,即可判断出正误; C正确,利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误; D由已知可得 a 或 a,即可判断出正误 解:A若 a,b,ab,则 ,不正确,可能相交; B若 ,a,则 a 或 a,因此不正确; C若 ,a,则 a,正确; 证明:设 b,c,取 P,过点 P 分别作 mb,nc, 则 m,n,ma,na,又 mnP,a D若 ,a,则 a 或 a 故选:C 12易经是中国传统文化中的精髓,如图是易经后天八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、 离、 艮、 兑八卦) , 每一卦由三根线组成 (表示
18、一根阳线,表示一根阴线) , 从八卦中任取两卦,记事件 A“两卦的六根线中恰有两根阳线”,B“有一卦恰有一 根阳线”,则 P(A|B)( ) A B C D 【分析】先分析卦数的分类,再分别求解各自对应的种数,相比即可求解结论 解:观察八卦图可知,含 3 根阴线的共有 1 卦,含 3 根阳线的共有 1 卦, 还有 2 根阴线 1 根阳线的共有 3 卦,含有 1 根阴线 2 根阳线的共有 3 卦, 从八卦中任取两卦,有一卦恰有一根阳线的取法有: 18; 再此条件下:两卦的六根线恰有两根阳线的取法有: 3 种; 故 P(A|B) ; 故选:B 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共
19、20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13已知 x,y 满足约束条件 , , 则 zx+y 的最大值为 4 【分析】由约束条件作出可行域,结合图形得到使目标函数 zx+y 的最优解,代入坐标 求得 zx+y 的最小值 解:由 x,y 满足约束条件 , , 作出可行域如图, 联立 ,解得 A(2,2) 由图可知,使目标函数 zx+y 取得最大值最大值的最优解为点 A 的坐标, zx+y 的最大值为:4 故答案为:4 14双曲线 , 的一条渐近线的方程为 yx,则该双曲线的离心率 e 【分析】利用双曲线的渐近线方程,得到 ab 关系式,然后求解离心率 解:双曲线 , 的一条渐近线的方程为 yx
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