2020年湖南省永州市中考第一次模拟数学试卷（含答案解析）

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1、2020 年湖南省永州市中考数学第一次模拟试卷年湖南省永州市中考数学第一次模拟试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1在1、1、2 这四个数中，最小的数是（ ） A1 B1 C D2 2 为了实现街巷硬化工程高质量 “全覆盖” ， 我省今年 14 月公路建设累计投资 92.7 亿元， 该数据用科学记数法可表示为（ ） A0.9271010 B92.71010 C9.271011 D9.27109 3如图，直线 mn，170，230，则A 等于（ ） A30 B35 C40 D50 4如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班 40 名同学 一周参加体

2、育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A16，10.5 B8，9 C16，8.5 D8，8.5 5一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆， 根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ） A B2 C3 D （+1） 6 如图所示， 边长为 12m 的正方形池塘的周围是草地， 池塘边 A， B， C， D 处各有一棵树， 且 ABBCCD3m，现用长 4m 的绳子将羊拴在一棵树上，为了使在草地上活动区域 的面积最大，应将绳子拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大， 应将绳子拴在（ ） AA 处 BB 处 CC 处 DD 处 7如图，抛物线 y

3、ax2+bx+c 经过点（1，0） ，对称轴 l 如图所示则下列结论：abc 0；ab+c0；2a+c0；a+b0，其中所有正确的结论是（ ） A B C D 8如图，在三角形 ABC 中，M，N 分别是边 AB，AC 上的点，AMAB，ANAC，则 三角形 AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比（ ） A B C D 9如图， 学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度， 他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 20m， DE 的长为 10m，则树 AB 的高度是（ ）m A20 B30 C30

4、D40 10如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AE 平分BAD 交 BC 于点 E， 且ADC60，ABBC，连接 OE下列结论：CAD30；SABCDAB AC；OBAB；OEBC其中成立的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对 称图形又是中心对称图形的概率是 12已知关于 x 的分式0 无解，则 a 13如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的一个顶点在原点 O 处，且AOC60，A 点的坐标是（0，4） ，则直线 AC

5、 的表达式是 14从 3，0，1，2，3 这五个数中抽取一个数，作为函数 y（5m2）x 和关于 x 的一元二次方程 （m+1） x2+mx+10 中 m 的值 若恰好使函数的图象经过第一、 三象限， 且使方程有实数根，则满足条件的 m 的值是 15荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽现在塔底低于地面约 7 米，某校学生测得古塔的整体高度约为 40 米其测量塔顶相对地面高度的过程如下： 先在地面 A 处测得塔顶的仰角为 30，再向古塔方向行进 a 米后到达 B 处，在 B 处测得 塔顶的仰角为 45 （如图所示） ， 那么a 的值约为 米 （1.73， 结果精确到 0.1）

6、 16若关于 x 的一元二次方程x22mx4m+10 有两个相等的实数根，则（m2） 22m （m1）的值为 17如图，在平面直角坐标系中，已知 C（3，4） ，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切点 A、B 在x轴上， 且OAOB 点P为C上的动点， APB90， 则AB长度的最大值为 18 一列数a1， a2， a3满足条件a1， an（n2， 且n为整数） ， 则a2019 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算：6sin45+|27|（）3+（2020）0 20先化简，再求值：1，其中 a、b 满足（a）2+0 21已知关于 x 的一元二次方程 x26x+（4m+1）0 有

7、实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为 x1、x2，且|x1x2|4，求 m 的值 22我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动” ，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、 排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了 m 名学生（每名 学生必选且只能选择这五项活动中的一种） 根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）m ，n （2）补全上图中的条形统计图 （3）若全校共有 2000 名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球 （4）在抽查的 m 名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等 10 名学生喜欢羽毛球活动， 学校打算从小薇、小燕、小红、小

8、梅这 4 名女生中，选取 2 名参加全市中学生女子羽毛 球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率 （解答过程中，可将 小薇、小燕、小红、小梅分别用字母 A、B、C、D 代表） 23如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOOC，BOOD，且AOB 2OAD （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若AOB：ODC4：3，求ADO 的度数 24如图，一座山的一段斜坡 BD 的长度为 600 米，且这段斜坡的坡度 i1：3（沿斜坡从 B 到 D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比） 已知在地面 B 处测得山顶 A 的仰角 为 30，在斜坡 D 处测

9、得山顶 A 的仰角为 45求山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是多少 米？ 25如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过点 A 作O 的切线交 BC 的 延长线于点 D （1）求证：DACDBA； （2）过点 C 作O 的切线 CE 交 AD 于点 E，求证：CEAD； （3）若点 F 为直径 AB 下方半圆的中点，连接 CF 交 AB 于点 G，且 AD6，AB3，求 CG 的长 26如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） （1）求二次函数的解析式和直线 B

10、D 的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为 2？若存在 求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1在1、1、2 这四个数中，最小的数是（ ） A1 B1 C D2 【分析】根据实数大小比较的法则比较即可 【解答】解：在实数1，1，2 中，最小的数是1 故选：A 2 为了实现街巷硬化工程高质量 “全覆盖” ， 我省今年 1

11、4 月公路建设累计投资 92.7 亿元， 该数据用科学记数法可表示为（ ） A0.9271010 B92.71010 C9.271011 D9.27109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 92.7 亿亿元用科学记数法表示为 9.27109元 故选：D 3如图，直线 mn，170，230，则A 等于（ ） A30 B35 C40 D50 【分析】首先根据平行线的性质求出3

12、的度数，然后根据三角形的外角的知识求出A 的度数 【解答】解：如图，直线 mn， 13， 170， 370， 32+A，230， A40， 故选：C 4如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班 40 名同学 一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A16，10.5 B8，9 C16，8.5 D8，8.5 【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时 间超过 8 小时的有 14+721 人 【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即 8； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知， 这

13、组数据的中位数是 9； 故选：B 5一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆， 根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ） A B2 C3 D （+1） 【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形可 计算边长为 2，据此即可得出表面积 【解答】 解： 由三视图可知： 该几何体是一个圆锥， 其轴截面是一个高为的正三角形 正三角形的边长2 圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 2， 底面周长为 2 侧面积为222，底面积为 r2， 全面积是 3 故选：C 6 如图所示， 边长为 12m 的正方形池塘的周围是草地， 池塘边 A， B， C

14、， D 处各有一棵树， 且 ABBCCD3m，现用长 4m 的绳子将羊拴在一棵树上，为了使在草地上活动区域 的面积最大，应将绳子拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大， 应将绳子拴在（ ） AA 处 BB 处 CC 处 DD 处 【分析】分别把 A、B、C、D 这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行比较即可选择 出 B 【解答】解：SA42+12（m2） ； SB4212（m2） ； SC42+12（m2） ； SD428（m2） 所以选 B 7如图，抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，对称轴 l 如图所示则下列结论：abc 0；ab+c0；2a+c0；a+b0，其

15、中所有正确的结论是（ ） A B C D 【分析】根据开口向下得出 a0，根据对称轴在 y 轴右侧，得出 b0，根据图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，得出 c0，从而得出 abc0，进而判断错误； 由抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，即可判断正确； 由图可知，x2 时，y0，即 4a+2b+c0，把 ba+c 代入即可判断正确； 由图可知，x2 时，y0，即 4a+2b+c0，把 cba 代入即可判断正确 【解答】解：二次函数图象的开口向下， a0， 二次函数图象的对称轴在 y 轴右侧， 0， b0， 二次函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c0， abc0

16、，故错误； 抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ， ab+c0，故正确； ab+c0，ba+c 由图可知，x2 时，y0，即 4a+2b+c0， 4a+2（a+c）+c0， 6a+3c0，2a+c0，故正确； ab+c0，cba 由图可知，x2 时，y0，即 4a+2b+c0， 4a+2b+ba0， 3a+3b0，a+b0，故正确 故选：D 8如图，在三角形 ABC 中，M，N 分别是边 AB，AC 上的点，AMAB，ANAC，则 三角形 AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比（ ） A B C D 【分析】根据 AMAB，ANAC，MANBAC，可以得到MANBAC，然 后相似

17、三角形的面积之比等于相似比的平方， 从而可以得到AMN和ABC的面积之比， 然后即可得到三角形 AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比，本题得以解决 【解答】解：AMAB，ANAC，MANBAC， ， MANBAC， （）2， 三角形 AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比为 1：15， 故选：B 9如图， 学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度， 他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 20m， DE 的长为 10m，则树 AB 的高度是（ ）m A20 B30 C30 D40 【分析】先

18、根据 CD20 米，DE10m 得出DCE30，故可得出DCB90，再 由BDF30可知DBE60， 由 DFAE 可得出BGFBCA60， 故GBF 30，所以DBC30，再由锐角三角函数的定义即可得出结论 【解答】解：在 RtCDE 中， CD20m，DE10m， sinDCE， DCE30 ACB60，DFAE， BGF60 ABC30，DCB90 BDF30， DBF60， DBC30， BC20m， ABBCsin602030m 故选：B 方法二：可以证明DGCBGF，所以 BFDC20，所以 AB20+1030， 故选：B 10如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于

19、点 O，AE 平分BAD 交 BC 于点 E， 且ADC60，ABBC，连接 OE下列结论：CAD30；SABCDAB AC；OBAB；OEBC其中成立的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由ABCD 中，ADC60，易得ABE 是等边三角形，又由 ABBC，证 得CAD30；继而证得 ACAB，得SABCDABAC；可得 OE 是三角形的中 位线，证得OEBC 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCADC60，BAD120， AE 平分BAD， BAEEAD60 ABE 是等边三角形， AEABBE， ABBC， AEBC， BAC90， CAD30，

20、故正确； ACAB， SABCDABAC，故正确， ABBC，OBBD， BDBC， ABOB，故错误； 或ACAB， ABOB，故错误； CAD30，AEB60，ADBC， EACACE30， AECE， BECE， OAOC， OEABBC，故正确 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对 称图形又是中心对称图形的概率是 【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再根据概率公式进行计算即 可 【解答】解：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对 称图形又是轴对称图形

21、的有线段、圆、矩形、正六边形，共 4 个， 取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为， 故答案为： 12已知关于 x 的分式0 无解，则 a 1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到 x+10，将 x 的值代 入整式方程即可求出 a 的值 【解答】解：两边都乘以 x+1，得 xa0， 由方程无解，得 x1 当 x1 时，1a0， 解得 a1， 故答案为：1 13如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的一个顶点在原点 O 处，且AOC60，A 点的坐标是（0，4） ，则直线 AC 的表达式是 yx+4 【分析】根据菱形的性质，可得 OC 的长，根据三角函数，可得

22、 OD 与 CD，根据待定系 数法，可得答案 【解答】解：如图， 由菱形 OABC 的一个顶点在原点 O 处，A 点的坐标是（0，4） ，得 OCOA4 又160， 230 sin2， CD2 cos2cos30， OD2， C（2，2） 设 AC 的解析式为 ykx+b， 将 A，C 点坐标代入函数解析式，得 ， 解得， 直线 AC 的表达式是 yx+4， 故答案为：yx+4 14从 3，0，1，2，3 这五个数中抽取一个数，作为函数 y（5m2）x 和关于 x 的一元二次方程 （m+1） x2+mx+10 中 m 的值 若恰好使函数的图象经过第一、 三象限， 且使方程有实数根，则满足条件的

23、 m 的值是 2 【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的 m 的值，然后确定使方程有实数根的 m 值，找到同时满足两个条件的 m 的值即可 【解答】解：函数 y（5m2）x 的图象经过第一、三象限， 5m20， 解得：m， 关于 x 的一元二次方程（m+1）x2+mx+10 有实数根， m24（m+1）0， m2+2或 m22， 使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的 m 的值有为1，2， 是关于 x 的一元二次方程， m+1 不等于 0，即 m 不等于1， m 的值为2， 故答案为：2 15荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽现在塔底低于地面约 7 米，某校

24、学生测得古塔的整体高度约为 40 米其测量塔顶相对地面高度的过程如下： 先在地面 A 处测得塔顶的仰角为 30，再向古塔方向行进 a 米后到达 B 处，在 B 处测得 塔顶的仰角为 45（如图所示） ，那么 a 的值约为 24.1 米（1.73，结果精确到 0.1） 【分析】设 CD 为塔身的高，延长 AB 交 CD 于 E，则 CD40，DE7，进而得出 BE CE33，AEa+33，在 RtACE 中，依据 tanA，即可得到 a 的值 【解答】解：如图，设 CD 为塔身的高，延长 AB 交 CD 于 E，则 CD40，DE7， CE33， CBE45BCE，CAE30， BECE33，

25、AEa+33， tanA， tan30，即 33a+33， 解得 a33（1）24.1， a 的值约为 24.1 米， 故答案为：24.1 16若关于 x 的一元二次方程x22mx4m+10 有两个相等的实数根，则（m2） 22m （m1）的值为 【分析】根据根的判别式即可求出答案 【解答】解：由题意可知：4m22（14m）4m2+8m20， m2+2m （m2）22m（m1） m22m+4 +4 故答案为： 17如图，在平面直角坐标系中，已知 C（3，4） ，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切点 A、B 在x轴上， 且OAOB 点P为C上的动点， APB90， 则AB长度的最大值为 16 【

26、分析】连接 OC 并延长，交C 上一点 P，以 O 为圆心，以 OP 为半径作O，交 x 轴 于 A、B，此时 AB 的长度最大，根据勾股定理和题意求得 OP8，则 AB 的最大长度为 16 【解答】解：连接 OC 并延长，交C 上一点 P，以 O 为圆心，以 OP 为半径作O，交 x 轴于 A、B，此时 AB 的长度最大， C（3，4） ， OC5， 以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切 C 的半径为 3， OPOAOB8， AB 是直径， APB90， AB 长度的最大值为 16， 故答案为 16 18一列数 a1，a2，a3满足条件 a1，an（n2，且 n 为整数） ，则 a2019 1

27、 【分析】依次计算出 a2，a3，a4，a5，a6，观察发现 3 次一个循环，所以 a2019a3 【解答】 解： a1， a22， a31， a4， a52， a61 观察发现，3 次一个循环， 20193673， a2019a31， 故答案为1 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算：6sin45+|27|（）3+（2020）0 【分析】原式利用零指数幂法则，乘方的意义，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角 函数值计算即可求出值 【解答】解：原式6+72+1 32+8 + 20先化简，再求值：1，其中 a、b 满足（a）2+0 【分析】首先化简 1，然后根据 a、b 满足（a）

28、2+ 0，求出 a、b 的值各是多少，再把求出的 a、b 的值代入化简后的算式，求出算式的值是 多少即可 【解答】解： 1 1 a、b 满足， a0，b+10， a，b1， 当 a，b1 时， 原式 21已知关于 x 的一元二次方程 x26x+（4m+1）0 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为 x1、x2，且|x1x2|4，求 m 的值 【分析】（1） 根据方程的系数结合根的判别式0， 即可得出关于 m 的一元一次不等式， 解之即可得出 m 的取值范围； （2）由根与系数的关系可得出 x1+x26，x1x24m+1，结合|x1x2|4 可得出关于 m 的 一元一

29、次方程，解之即可得出 m 的值 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x26x+（4m+1）0 有实数根， （6）241（4m+1）0， 解得：m2 （2）方程 x26x+（4m+1）0 的两个实数根为 x1、x2， x1+x26，x1x24m+1， （x1x2）2（x1+x2）24x1x242，即 3216m16， 解得：m1 22我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动” ，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、 排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了 m 名学生（每名 学生必选且只能选择这五项活动中的一种） 根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）m

30、 100 ，n 5 （2）补全上图中的条形统计图 （3）若全校共有 2000 名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球 （4）在抽查的 m 名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等 10 名学生喜欢羽毛球活动， 学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这 4 名女生中，选取 2 名参加全市中学生女子羽毛 球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率 （解答过程中，可将 小薇、小燕、小红、小梅分别用字母 A、B、C、D 代表） 【分析】 （1）篮球 30 人占 30%，可得总人数，由此可以计算出 n； （2）求出足球人数100302010535 人，即可解决问题； （3）用样本估计总体的思

31、想即可解决问题 （4）画出树状图即可解决问题 【解答】解： （1）由题意 m3030%100，排球占5%， n5， 故答案为 100，5 （2）足球100302010535 人， 条形图如图所示， （3）若全校共有 2000 名学生，该校约有 2000400 名学生喜爱打乒乓球 （4）画树状图得： 一共有 12 种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， P（B、C 两人进行比赛） 23如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOOC，BOOD，且AOB 2OAD （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若AOB：ODC4：3，求ADO 的度数 【分析】

32、 （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形 ABCD 是平行四边形，根据三角形 的外角的性质得到AOBDAO+ADO2OAD，求得DAOADO，推出 AC BD，于是得到四边形 ABCD 是矩形； （2）根据矩形的性质得到 ABCD，根据平行线的性质得到ABOCDO，根据三角 形的内角得到ABO54，于是得到结论 【解答】 （1）证明：AOOC，BOOD， 四边形 ABCD 是平行四边形， AOBDAO+ADO2OAD， DAOADO， AODO， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD， ABOCDO， AOB：ODC4：3， AOB：ABO4

33、：3， BAO：AOB：ABO3：4：3， ABO54， BAD90， ADO905436 24如图，一座山的一段斜坡 BD 的长度为 600 米，且这段斜坡的坡度 i1：3（沿斜坡从 B 到 D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比） 已知在地面 B 处测得山顶 A 的仰角 为 30，在斜坡 D 处测得山顶 A 的仰角为 45求山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是多少 米？ 【分析】作 DHBC 于 H设 AEx在 RtABC 中，根据 tanABC，构建方程 即可解决问题 【解答】解：作 DHBC 于 H设 AEx 米 DH：BH1：3， 在 RtBDH 中，DH2+（3DH）2600

34、2， DH60米，BH180米， 在 RtADE 中，ADE45， DEAEx 米， 又HCED，ECDH， HCx，EC60， 在 RtABC 中，tan30， x60， ACAE+EC（60+60）米 答：山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是（60+60）米 25如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过点 A 作O 的切线交 BC 的 延长线于点 D （1）求证：DACDBA； （2）过点 C 作O 的切线 CE 交 AD 于点 E，求证：CEAD； （3）若点 F 为直径 AB 下方半圆的中点，连接 CF 交 AB 于点 G，且 AD6，AB3，求 CG 的长 【分析

35、】 （1）利用 AB 是O 的直径和 AD 是O 的切线判断出ACDDAB90， 即可得出结论； （2）利用切线长定理判断出 AECE，进而得出DACEAC，再用等角的余角相等 判断出DDCE，得出 DECE，即可得出结论； （3）先求出 tanABD 值，进而得出 GH2CH，进而得出 BC3BH，再求出 BC 建立 方程求出 BH，进而得出 GH，即可得出结论 【解答】解： （1）AB 是O 直径， ACDACB90， AD 是O 的切线， BAD90， ACDDAB90， DD， DACDBA； （2）EA，EC 是O 的切线， AECE（切线长定理） ， DACECA， ACD90，

36、ACE+DCE90，DAC+D90， DDCE， DECE， ADAE+DECE+CE2CE， CEAD； （3）如图，在 RtABD 中，AD6，AB3， tanABD2， 过点 G 作 GHBD 于 H， tanABD2， GH2BH， 点 F 是直径 AB 下方半圆的中点， BCF45， CGHCHGBCF45， CHGH2BH， BCBH+CH3BH， 在 RtABC 中，tanABC2， AC2BC， 根据勾股定理得，AC2+BC2AB2， 4BC2+BC29， BC， 3BH， BH， GH2BH， 在 RtCHG 中，BCF45， CGGH 26如图，二次函数 yax2+bx+c

37、（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） （1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为 2？若存在 求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由 【分析】 （1）可设抛物线解析式为顶点式，由 B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求 得 D 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BD 解析式； （2）设出

38、 P 点坐标，从而可表示出 PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）过 Q 作 QGy 轴，交 BD 于点 G，过 Q 和 QHBD 于 H，可设出 Q 点坐标，表示 出QG的长度， 由条件可证得DHG为等腰直角三角形， 则可得到关于Q点坐标的方程， 可求得 Q 点坐标 【解答】解： （1）抛物线的顶点 C 的坐标为（1，4） ， 可设抛物线解析式为 ya（x1）2+4， 点 B（3，0）在该抛物线的图象上， 0a（31）2+4，解得 a1， 抛物线解析式为 y（x1）2+4，即 yx2+2x+3， 点 D 在 y 轴上，令 x0 可得 y3， D 点坐标为（0，3） ， 可设

39、直线 BD 解析式为 ykx+3， 把 B 点坐标代入可得 3k+30，解得 k1， 直线 BD 解析式为 yx+3； （2）设 P 点横坐标为 m（m0） ，则 P（m，m+3） ，M（m，m2+2m+3） ， PMm2+2m+3（m+3）m2+3m（m）2+， 当 m时，PM 有最大值； （3）如图，过 Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作 QHBD 于 H， 设 Q（x，x2+2x+3） ，则 G（x，x+3） ， QG|x2+2x+3（x+3）|x2+3x|， BOD 是等腰直角三角形， DBO45， HGQBGE45， 当BDQ 中 BD 边上的高为 2时，即 QHHG2， QG24， |x2+3x|4， 当x2+3x4 时，9160，方程无实数根， 当x2+3x4 时，解得 x1 或 x4， Q（1，0）或（4，5） ， 综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（1，0）或（4，5）