2018-2019学年广西南宁市、玉林市、贵港市高三（上）10月摸底数学试卷（文科）含详细解答

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1、函数 f（x）Acos（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，为了得到 g（x）Asinx 的图象，只需将函数 yf（x）的图象（） A向左平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向右平移个单位长度 8 （5 分）如图，棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 BC 中点，则直线 D1M 与平面 ABCD 所成角的正切值为（） A B C D 9 （5 分）函数 yx2+ln|x|的图象大致为（）第 3 页（共 23 页） A B C D 10 （5 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c，C，sinB 2sin

2、A，则ABC 的周长是（） A3 B2 C3 D4 11 （5 分）已知 F1， F2是双曲线 C：， b0）的左、右焦点，若直线与双曲线 C 交于 P、Q 两点，且四边形 PF1QF2是矩形，则双曲线的离心率为（） A B C D 12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为（）第 4 页（共 23 页） A2 B3 C4 D6 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知平面向量与的夹角为 120，且| |2，| |4，若（m），则 m 14 （5 分）某

3、学校共有教师 300 人，其中中级教师有 120 人，高级教师与初级教师的人数比为 5：4为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师 72 人，则该样本中的高级教师人数为 15 （5 分）抛物线 y22x 的准线方程是 16 （5 分）已知 M（x，y）|x|2，|y|2，点 P 的坐标为（x，y），当 PM 时，则 x， y 满足（x2）2+（y2）24 的概率为三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17设 Sn是公比不为 1 的

4、等比数列an的前项和已知 a3，S3 （1）求数列an的通项公式；（2）设 bnnan若 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn 18某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代码 t 1 2 3 4 5 6 年产量 y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （1）根据表中数据，建立 y 关于 t 的线性回归方 t；第 5 页（共 23 页）（2）根据线性回归方程预测 2019 年该地区该农产品的年产量附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），（tn，yn），其回归直线 t的斜率和截距的最小

5、二乘估计分别为：，（参考数据：（ti）（yi）2.8，计算结果保留小数点后两位） 19如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PBBC，PDCD，且 PA2，E 为 PD 中点（1）求证：PA平面 ABCD；（2）求几何体 PABE 的体积 20设椭圆 C：1（ab0），右顶点是 A（2，0），离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 与椭圆交于两点 M，N（M，N 不同于点 A），若0，求证：直线 l 过定点，并求出定点坐标 21已知函数 f（x）a（x+1）lnxx+1（aR）（1）当图象过点（e，e+3）时，求函数 f（x）在点（

6、1，f（1））处的切线方程；（其中 e 为自然对数的底数，e2.71828）（2）当 a时，求证：对任意 x1，f（x）0 恒成立请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐标：坐标系与参数方程系与参数方程第 6 页（共 23 页） 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin （）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；（）已知曲线 C3的极坐标方程为

7、，0，R，点 A 是曲线 C3与 C1的交点，点 B 是曲线 C3与 C2的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|4，求实数的值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x|+2|x9| （1）解不等式 f（x）15；（2）若关于 x 的不等式 f（x）a 有解，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 23 页） 2018-2019 学年广西南宁市、玉林市、贵港市高三（上）学年广西南宁市、玉林市、贵港市高三（上）10 月摸月摸底数学试卷（文科）底数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题

9、【分析】本题是一个复数的乘除运算，先进行复数乘法运算，在分子和分母上进行，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简后得到结果【解答】解：3i，故选：B 【点评】本题考查复数的乘除混合运算，是一个基础题，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目 3 （5 分）已知角 A 满足 sinA+cosA，则 sin2A 的值为（） A B C D 【分析】由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得 sin2A 的值第 8 页（共 23 页）【解答】解：角 A 满足 sinA+cosA，平方可得 1+sin2A，sin2A，

10、故选：D 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，那么输出 S 的值是（） A B1 C2018 D2 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：第一次 k5 成立，则 S，k2，第二次 k5 成立，则 S2，k3，第三次 k5 成立，则 S1，k4，第四次 k5 成立，则 S，k5，第五次 k5 不成立，输出 S，故选：A 【点评】本题主要考查程序框图的应用，利用模拟运算是解决本题的关键 5 （5 分）若直线 yk（x+3）与圆 x2+y24 相交，则实数 k 的取值范围为（） A （2，2） B （） C （）

11、D （）第 9 页（共 23 页）【分析】根据题意，求出圆心到直线的距离，由直线与圆相交的判定方法可得 d 2，解可得 k 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，直线 yk（x+3），即 kxy+3k0，圆 x2+y24 的圆心为（0，0），半径 r2，则圆心到直线的距离 d，若直线 yk（x+3）与圆 x2+y24 相交，则有 d2，解可得：k，即 k 的取值范围为（，）；故选：D 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质，属于基础题 6 （5 分）已知 x、y 满足，则 3xy 的最小值为（） A4 B6 C12 D16 【分析】作

12、出可行域，变形目标函数并平移直线 y2x 可得【解答】解：作出 x、y 满足所对应的可行域（如图OAB），变形目标函数可得 y3xz，平移直线 y3x 可知，当直线经过点 A（2，2）时，截距z 取最大值，目标函数 z 取最小值 3224，故选：A 第 10 页（共 23 页）【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题 7 （5 分）函数 f（x）Acos（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，为了得到 g（x）Asinx 的图象，只需将函数 yf（x）的图象（） A向左平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向右平移个单位长

13、度【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出，由特殊点求出的值，可得凹函数 f（x）的解析式，再利用 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：由函数 f（x）Acos（x+）（A0，0，0）的部分图象，可得 A2，T，2，f（x）2cos（2x+），将代入得，0，第 11 页（共 23 页）故可将函数 yf（x）的图象向左平移个单位长度得到 l 的图象，即可得到 g（x） Asinx 的图象，故选：B 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求出 A，由周期求出，由特殊点求出的值，yAsin（x+）的图象变换规律，

14、属于基础题 8 （5 分）如图，棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 BC 中点，则直线 D1M 与平面 ABCD 所成角的正切值为（） A B C D 【分析】连接 DM，则DMD1即为所求角，在直角三角形内易求其正切值【解答】解：连接 DM，则 DM 即为 D1M 在底面的射影， DMD1即为 D1M 与平面 ABCD 所成的角， tanDMD1，故选：C 第 12 页（共 23 页）【点评】此题考查了线面所成角，属容易题 9 （5 分）函数 yx2+ln|x|的图象大致为（） A B C D 【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单

15、调性即可判断【解答】解：f（x）x2+ln|x|f（x）， yf（x）为偶函数， yf（x）的图象关于 y 轴对称，故排除 B，C，当 x0 时，y，故排除 D，或者根据，当 x0 时，yx2+lnx 为增函数，故排除 D，故选：A 【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题 10 （5 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c，C，sinB 第 13 页（共 23 页） 2sinA，则ABC 的周长是（） A3 B2 C3 D4 【分析】由已知正弦定理可得，b2a，结合余弦定理可求 a，进而可求

16、【解答】解：sinB2sinA，由正弦定理可得，b2a， c，C，由余弦定理可得，cos，解可得，a1，b2，则ABC 的周长是 3+，故选：C 【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的简单应用，属于基础试题 11 （5 分）已知 F1， F2是双曲线 C：， b0）的左、右焦点，若直线与双曲线 C 交于 P、Q 两点，且四边形 PF1QF2是矩形，则双曲线的离心率为（） A B C D 【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出 a，c 的关系，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等， yx 代入，b0），可得 x，y，第

17、14 页（共 23 页） c2， 4a2b2（b23a2）c2， 4a2（c2a2）（c24a2）c2， e48e2+40， e1，e24+2， e+1 故选：C 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定 a，c 的关系是关键，属于中档题 12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为（） A2 B3 C4 D6 【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥补成一个正方体，则正方体的外接球是该三棱锥的外接球，由此求出外接球的表面积【解答】解：由三视图知该几何体是三棱锥 PABC，如图所示；把三棱锥补成一个正方体，则正方体的外接球是该三棱锥的外接球，

18、设外接球的半径为 R，则 4R212+12+123，所以外接球的表面积为 S4R23 故选：B 第 15 页（共 23 页）【点评】本题考查了利用三视图求几何体外接球的应用问题，是基础题二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知平面向量与的夹角为 120，且| |2，| |4，若（m），则 m 1 【分析】由已知求出的值，再由（m），得（m） 0，展开后得答案【解答】解：向量与的夹角为 120，且| |2，| |4，，又（m），（m），解得 m1 故答案为：1 【点评】本题

19、考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是中档题 14 （5 分）某学校共有教师 300 人，其中中级教师有 120 人，高级教师与初级教师的人数比为 5：4为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师 72 人，则该样本中的高级教师人数为 60 【分析】先求出高级教师与初级教师的人数分别为 100 和 80，再利用分层抽样的性质能求出该样本中的高级教师人数【解答】解：某学校共有教师 300 人，其中中级教师有 120 人，高级教师与初级教师的人数比为 5：4 则 120+5k+4k300，解得 k20，高级教师与初级教师的人数分别

20、为 100 和 80，采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师 72 人第 16 页（共 23 页）设该样本中的高级教师人数为 x，则，解得 x60 该样本中的高级教师人数为 60 故答案为：60 【点评】本题考查该样本中的高级教师人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 15 （5 分）抛物线 y22x 的准线方程是【分析】先根据抛物线方程求得 p，进而根据抛物线的性质，求得答案【解答】解：抛物线 y22x，p1，准线方程是 x 故答案为：x 【点评】本题主要考查了抛物线的性质属基础题 16 （5 分）已知 M（x，

21、y）|x|2，|y|2，点 P 的坐标为（x，y），当 PM 时，则 x， y 满足（x2）2+（y2）24 的概率为【分析】根据题意，满足|x|2 且|y|2 的点 P 在如图的正方形 ABCD 及其内部运动，而满足（x2）2+（y2）24 的点 P 在以 C 为圆心且半径为 2 的圆及其外部运动因此，所求概率等于圆 C 与正方形 ABCD 重叠部分扇形面积与正方形 ABCD 的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率【解答】解：如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 及其内部满足（x2）2+（y2

22、）24 的点位于的区域是以 C（2，2）为圆心，半径等于 2 的圆及其外部 P 满足（x2）2+（y2）24 的概率为 P111 故答案为：第 17 页（共 23 页）【点评】本题给出点 P 满足的条件，求点 P 到点 C（2，2）距离大于或等于 2 的概率着重考查了正方形、扇形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17设 Sn是公比不为 1 的等比数列an的前项和已知 a3，S3 （1）求数列an的通项公式；（2）

23、设 bnnan若 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：设公比为 q 且不为 1 的等比数列已知 a3，S3 则：，整理得：2q2q10，解得：q1 或（1 舍去）故：（2）由（1）得：设 bnnan2n，所以：，所以：，，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和第 18 页（共 23 页）中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份 2012 2013 20

24、14 2015 2016 2017 年份代码 t 1 2 3 4 5 6 年产量 y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （1）根据表中数据，建立 y 关于 t 的线性回归方 t；（2）根据线性回归方程预测 2019 年该地区该农产品的年产量附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），（tn，yn），其回归直线 t的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（参考数据：（ti）（yi）2.8，计算结果保留小数点后两位）【分析】（1）先计算出和，再代入公式可求得和，进而可得线性回归方程；（2）将 2019 年的年份代码 t8 代入线性回归方程可得【

25、解答】解（1）由题意可知： 3.5，， 7 （ti ）22.52+1.52+0.52+0.52+1.52+2.5217.5， 0.16，又 70.163.56.44 所以 y 关于 t 的线性回归方程为 0.16t+6.44 （2）由（1）可得，当年份为 2019 年时，年份代码 t8，此时 0.168+6.447.72，所以可预测 2019 年该地区该农产品的年产量约为 7.72 万吨【点评】本题考查了线性回归方程，属中档题 19如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PBBC，PDCD，且 PA2，E 为 PD 中点第 19 页（共 23 页）（

26、1）求证：PA平面 ABCD；（2）求几何体 PABE 的体积【分析】（1）由底面 ABCD 为正方形，得 BCAB，又 BCPB，利用线面垂直的判定可得 BC平面 PAB，从而得到 BCPA，同理 CDPA，再由线面垂直的判定可得 PA平面 ABCD；（2）由（1）知，PA平面 ABCD，再由底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA2，且 E 为 PD 中点，利用等体积法即可求得几何体 PABE 的体积【解答】（1）证明：底面 ABCD 为正方形， BCAB，又 BCPB，ABPBB， BC平面 PAB， BCPA，同理 CDPA，又 BCCDC， PA平面 ABCD；

27、（2）解：由（1）知，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA2，且 E 为 PD 中点，第 20 页（共 23 页）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 20设椭圆 C：1（ab0），右顶点是 A（2，0），离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 与椭圆交于两点 M，N（M，N 不同于点 A），若0，求证：直线 l 过定点，并求出定点坐标【分析】（1）由右顶点是 A（2，0），离心率为即可求得 a，b 的值，求得椭圆方程；（2）当斜率不存在时，代入求得直线与椭圆

28、的交点坐标，由|MB|AM|即可求得 m 的值；当斜率存在且不为 0，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得 k 与 b 的关系，即可求出定点坐标【解答】解：（1）右顶点是 A（2，0），离心率为所以，c1，则 b，椭圆的标准方程为（2）当直线 MN 斜率不存在时，设设 lMN：xm，与椭圆方程联立得：y，|MN|2，设直线 MN 与 x 轴交于点 B，|MB|AM|，即 2m， m或 m2（舍），直线 m 过定点（，0）；当直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 斜率为 k， M（x1，y1），N（x2，y2），则直线 MN：yk

29、x+b，与椭圆方程联立，得（4k2+3）x2+8kbx+4b2120， x1+x2，x1x2，第 21 页（共 23 页） y1y2（kx1+b）（kx2+b）kx1x2+kb（x1+x2）+b2，（8kb）24（4k2+3）（4b212）0，kR， 0，则（x12，y1）（x22，y2）0，即 x1x22（x1+x2）+4+y1y20， 7b2+4k2+16kb0， bk，或 b2k，直线 lMN：yk（x）或 yk（x2），直线过定点（，0）或（2，0）舍去；综上知直线过定点（，0）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，

30、向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题 21已知函数 f（x）a（x+1）lnxx+1（aR）（1）当图象过点（e，e+3）时，求函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（其中 e 为自然对数的底数，e2.71828）（2）当 a时，求证：对任意 x1，f（x）0 恒成立【分析】（1）根据图象过点（e，e+3）求出 a，然后再对 f（x）求导，得到切线的斜率 k f（1），最后用一般式写出切线方程；（2）先对 f（x）求导，然后由条件知要证当时，f（x）0，即证 f（x）f（1），判断函数 f（x）的单调性，求出最值即可【解答】解：（1）当图象过点（e，

31、e+3）时，可得 a（e+1）e+1e+3，a2，由 f（x）2（x+1）lnxx+1，得，则切点为（1，0），切线的斜率 kf（1）3，切线方程为 y3（x1），即 3xy30；（2）证明：当时，由 f（x）a（x+1）lnxx+1（x1），得，f（1）0，要证 f（x）0，即证 f（x）f（1），第 22 页（共 23 页）令，则， g（x）在1，+）上递增，g（x）g（1）2， f（x）2a10，f（x）在1，+）上递增， f（x）f（1）0，当时，对任意的 x1，f（x）0 恒成立【点评】本题考查了函数切线方程的法和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了转

32、化思想和函数思想，属中档题请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐标：坐标系与参数方程系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin （）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；（）已知曲线 C3的极坐标方程为，0，R，点 A 是曲线 C3与 C1的交点，点 B 是曲线 C3与 C2的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|4，求实数的值

33、【分析】（）由曲线 C1的参数方程消去参数能求出曲线 C1的普通方程；曲线 C2的极坐标方程化为 24sin，由此能求出 C2的直角坐标方程（）曲线 C1化为极坐标方程为 4cos，设 A（1，1），B（2，2），从而得到|AB| |12|4sin4cos|4|sin（）|4，进而 sin（）1，由此能求出结果【解答】解：（）由曲线 C1的参数方程为（为参数），消去参数得曲线 C1的普通方程为（x2）2+y24 曲线 C2的极坐标方程为 4sin， 24sin， C2的直角坐标方程为 x2+y24y，整理，得 x2+（y2）24 （）曲线 C1：（x2）2+y24 化

34、为极坐标方程为 4cos，设 A（1，1），B（2，2），曲线 C3的极坐标方程为，0，R，点 A 是曲线 C3与 C1的交点，点 B 是曲线 C3与 C2的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|4，第 23 页（共 23 页） |AB|12|4sin4cos|4|sin（）|4， sin（）1， 0，，解得【点评】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x|+2|x9| （1）解不等式 f（x）15；（2）若关于 x 的不等式 f（x）a 有解，求实数 a 的取值范围【分析】（1）由零点分段法去掉绝对值，解出 x 的取值范围即可；（2）将不等式有解转化为求函数 f（x）的最小值问题，代入不等式求出 a 的范围【解答】（1）由题意化简 f（x）， f（x）15，所以或或，解得不等式的解集为：x|3x11 （2）依题意，求|x|+2|x9|的最小值，由 f（x）的最小值为 9， a 的取值范围是 a9 【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及图象的应用，属于中档题