2019-2020学年广东省深圳市罗湖区高三（上）期末数学试卷（理科）（a卷）含详细解答

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1、为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各 200 名，要 求他们同时完成多个任务，包括解题、读地图、接电话如图表示了志愿者完成任务所 需的时间分布以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是（ ） 总体看女性处理多任务平均用时更短； 所有女性处理多任务的能力都要优于男性； 男性的时间分布更接近正态分布； 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 A B C D 5 （5 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a94，S1530，则 a15（ ） A6 B15 C16 D18 6 （5 分）中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角

2、、徵、羽；如果把这五 第 2 页（共 27 页） 个音阶全用上，排成一个 5 个音阶的音序且要求宫，羽两音阶在角音阶的同侧，可排 成多少种这样的不同音序（ ） A120 B90 C80 D60 7（5 分） 已知函数 f （x） 是定义域为 R 的奇函数， 当 x0 时， 函 数 g（x）f（x）a，若 g（x）存在 3 个零点，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 8 （5 分）已知，（其中 e 是自然对数的底） ，则（ ） Aabc Bbac Cacb Dcab 9 （5 分）执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A90 B384 C474 D488 10 （5 分）设函数

3、f（x）cosx（0） ，已知 f（x）在有且仅有 2 个极小值 点，下述选项错误的是（ ） A 的取值范围是6，10） Bf（x）在单调递增 Cf（x）在单调递减 Df（x）在至多有 2 个极大值点 第 3 页（共 27 页） 11 （5 分）已知双曲线 C：的左，右焦点分别为 F1、F2，以 F1F2为直径的圆与 C 的一条渐近线交于点 P，PF1F22PF2F1，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C D 12 （5 分）已知三棱锥 PABC 的底面是正三角形，点 A 在侧面 PBC 内的射影 H 是PBC 的垂心，当三棱锥 PABC 体积最大值时，三棱锥 PABC 的外接球的体积为

4、 （ ） A B C6 D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 已知 f （x） xln （x1） ， 则曲线 yf （x） 在点 （2， f （2） ） 处的切线方程是 14 （5 分）某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究 所进行独立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为 0.6，乙研究所独立研 究并解决这个问题的概率为 0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为 15 （5 分）已知直线 l：ykx+1（k0）经过抛物线 C：x22py 的焦点 F，且 l 与 C 交于

5、 A、B 两点，l 与 C 的准线交于点 E，若，则 p ，k 16 （5 分）如图，平面四边形 ABCD 中ABD 的面积是CBD 面积的两倍，数列an满足 a11，a25，当 n2 时，恒有（an2an1）+（an+13an），则数列an 的前 6 项和为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分 17 （1

6、2 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，已知 A2B2C，且 a2+c2 b2+2acsinC （1）求 A； 第 4 页（共 27 页） （2）若ABC 的面积为 2，求 a 18 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2AD2，E 为边 CD 的中点，以 EB 为折痕把 CEB 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且使平面 PEB平面 ABED （1）证明：PB平面 PEA； （2）求二面角 DPAE 的余弦值 19 （12 分）已知椭圆 C：，若 ab2，离心率为 （1）求 C 的方程； （2） 斜率为的直线 l 与椭圆交于 A， B 两点， 以线段 AB

7、 为直径的圆过点， 求直线 l 的方程 20 （12 分）已知函数 f（x）x2+1asinx，x0，aR，f（x）是函数 f（x）的导函 数 （1）当 a1 时，证明：函数 f（x）在区间0，没有零点； （2）若 f（x）+asinx+a0 在 x0，上恒成立，求 a 的取值范围 21 （12 分）某房产中介统计了深圳市某高档小区从 2018 年 12 月至 2019 年 11 月当月在售 二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图，如图所示，图中月份代码 1 至 12 分别对 应2018年12月至2019年11月的相应月 份 根据散点图选择 ya+bx 和 yc+dlnx 两个模型进行拟合，

8、 根据数据处理得到两个回归方 第 5 页（共 27 页） 程分别为和， 并得到以下一些统计量的值： 残差平方和 0.0148557 0.0048781 总偏差平方和 0.069193 （1）请利用相关指数 R2判断哪个模型的拟合效果更好； （2）某位购房者拟于 2020 年 5 月份购买深圳市福田区 s（50s160）平方米的二手房 （欲购房为其家庭首套房） 若该小区所有住房的房产证均已满 3 年，请你利用（1）中 拟合效果更好的模型解决以下问题： （i）估算该购房者应支付的购房金额 （购房金额房款+税费；房屋均价精确到 0.01 万 元/平方米） （ii）若该购房者拟用不超过 760 万元的

9、资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的 最大面积（精确到 1 平方米） 附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按照房屋的计税价格进 行征收 （计税价格房款） 征收方式见如表： 购买首套房面积 s（平方 米） s90 90s144 s144 契税（买方缴纳）的税率 1% 2% 4% 参考数据：ln20.69，ln31.10，ln72.83，ln192.94， ， 参考公式：相关指数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 第 6 页（共 27 页） 一题

10、计分一题计分.选选修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为（t 为参数） ，直线 l2的参 数方程为（m 为参数） ，设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C1以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin （1）写出 C1的普通方程； （2）求曲线 C1和曲线 C2交点的极坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 ab0，函数 （1）若 b1，a2，求函数 f（x）的最小值； （2）证明：f（x）4 第 7 页（共 27 页） 2019-

11、2020 学年广东省深圳市罗湖区高三 （上） 期末数学试卷 （理学年广东省深圳市罗湖区高三 （上） 期末数学试卷 （理 科） （科） （A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上. 1 （5 分）设复数，则|z|（ ） A B C D 【分析】根据复数的运算性质化简即可 【解答】解：i+i 则|z| 故选：D 【点评】本题主要考查复数模长的计

12、算，比较基础 2 （5 分）已知集合 Mx|x2+2x80，Nx|2x1，则 MN（ ） Ax|4x2 Bx|4x0 Cx|0x2 Dx|4x8 【分析】可以求出集合 M，N，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Mx|4x2，Nx|x0， MNx|4x0 故选：B 【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，交集 的运算，考查了计算能力，属于基础题 3 （5 分）已知平面向量，则（ ） A B C D 【分析】先求出| |2；再对所求问题平方求解即可 【解答】解：平面向量， | |2； 第 8 页（共 27 页） 2 4+42242+42212； 2； 故选：A 【

13、点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 4 （5 分）为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各 200 名，要 求他们同时完成多个任务，包括解题、读地图、接电话如图表示了志愿者完成任务所 需的时间分布以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是（ ） 总体看女性处理多任务平均用时更短； 所有女性处理多任务的能力都要优于男性； 男性的时间分布更接近正态分布； 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 A B C D 【分析】根据志愿者完成任务所需的时间分布图表逐一判断每个选项的正误即可 【解答】解：女性处理多任务平均用

14、时集中在 23 分钟，男性的集中在 34.5 分钟， 即正确； 从图中可以看到男性与女性处理任务所需的时间有交叉，所以并不是“所有女性都优 于男性” ，即错误； 根据正态分布的性质可知正确； 女性和男性处理多任务的用时均为正数，即错误 故选：C 【点评】本题考查了正态分布的概念与性质，考查了学生对数据的分析能力和处理能力， 属于基础题 第 9 页（共 27 页） 5 （5 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a94，S1530，则 a15（ ） A6 B15 C16 D18 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求 d，a1，然后再结合等差数列的 通项公式即可求解 【解答

15、】解：因为 a94，S1530， ， 解可得，d2，a112， 则 a15a1+14d12+2816 故选：C 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 6 （5 分）中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五 个音阶全用上，排成一个 5 个音阶的音序且要求宫，羽两音阶在角音阶的同侧，可排 成多少种这样的不同音序（ ） A120 B90 C80 D60 【分析】可看作五个位置排列五种事物，分类讨论求解即可 【解答】解：由题意，可看作五个位置排列五种事物； 若角排在第一位，则宫，羽两音阶可以排在 2345 当中的任意位置，共有：24

16、种排 法； 若角排在第二位，则宫，羽两音阶可以排在 345 当中的任意位置，共有：12 种 排法 若角排在第三位，则宫，羽两音阶可以排在 12 也可以是 45 当中的任意位置，共有：2 8 种排法 若角排在第四位，则宫，羽两音阶可以排在 123 当中的任意位置，共有：12 种 排法 若角排在第五位，则宫，羽两音阶可以排在 1234 当中的任意位置，共有：24 种排 法 共有：24+12+8+12+2480 第 10 页（共 27 页） 故选：C 【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，本题较抽象，计数时要考虑周详，本 题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势

17、7（5 分） 已知函数 f （x） 是定义域为 R 的奇函数， 当 x0 时， 函 数 g（x）f（x）a，若 g（x）存在 3 个零点，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】先根据函数为奇函数可先求出函数的解析式，题目等价于函数 f（x）图象与直 线 ya 有 3 个交点，数形结合即可 【解答】解：根据函数 f（x）为奇函数，则可得 f（x）， 作出函数的图象如图： 根据图象可知，要想函数 f（x）图象与直线 ya 有 3 个交点，则 a（，） ， 故选：A 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题 8 （5 分）已知，（其中 e 是自然对数的底）

18、，则（ ） Aabc Bbac Cacb Dcab 【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出 【解答】解：b0a1c， bac， 故选：B 第 11 页（共 27 页） 【点评】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 9 （5 分）执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A90 B384 C474 D488 【分析】根据程序框图的循环结构进行计算 【解答】解：当 i1 时，i7，i 不是偶数，S0+212， 当 i2 时，i7，i 是偶数，S2+22210， 当 i3 时，i7，i 不是偶数，S10+2316， 当 i4 时，i7，i 是偶数，S1

19、6+42480， 当 i5 时，i7，i 不是偶数，S80+2590， 当 i6 时，i7，i 是偶数，S90+626474， 当 i7 时，输出 S474， 故选：C 【点评】考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析，属于中 档题 10 （5 分）设函数 f（x）cosx（0） ，已知 f（x）在有且仅有 2 个极小值 点，下述选项错误的是（ ） A 的取值范围是6，10） Bf（x）在单调递增 第 12 页（共 27 页） Cf（x）在单调递减 Df（x）在至多有 2 个极大值点 【分析】利用已知条件求出 的范围判断 A；利用函数的单调性判断 B；C，函数的极大 值判断

20、 D 即可 【解答】解：函数 f（x）cosx（0） ，已知 f（x）在有且仅有 2 个极小 值点， 可得，可得，即，解得 610，所以 A 正确； 画出利用临界函数 ycos6x，ycos1x 的图象如图： 由函数的图象可知：B 不正确； CD 正确； 故选：B 【点评】本题考查余弦函数的图象的应用，命题的真假的判断，考查数形结合以及计算 能力，是中档题 11 （5 分）已知双曲线 C：的左，右焦点分别为 F1、F2，以 F1F2为直径的圆与 C 的一条渐近线交于点 P，PF1F22PF2F1，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C D 【分析】由 F1F2为直径的圆与 C 的一条渐近线

21、交于点 P 可得 PF1PF2，又PF1F22 PF2F1， 求出 PF1， PF2的长度， 设直线 OP 的方程， 与圆 x2+y2c2联立求出 P 的坐标， 进而求出 PF1，PF2的长度，再由它们的长度关系求出 a，c 的关系，进而求出离心率 【解答】 解： 以 F1F2为直径的圆与 C 的一条渐近线交于点 P， 如图所示： 可得 PF1PF2， 又PF1F22PF2F1，可得PF2F130， 第 13 页（共 27 页） PF1c，PF2c， 由于双曲线的对称性设 P 在 x 轴的上方， 由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为： x2+y2 c2； 由题意可得直线 OP 的方程为：y

22、x 代入圆 x2+y2c2中可得， （1+）x2c2，又 a2+b2c2， 解得 xa，yb，即 P（a，b） ， 属于 PF1，PF2， 所以可得 3（ca）2+b2（c+a）2+b2，又 b2c2a2，整理可得 c2a， 所以离心率 e2， 故选：A 【点评】考查双曲线的性质，属于中档题 12 （5 分）已知三棱锥 PABC 的底面是正三角形，点 A 在侧面 PBC 内的射影 H 是PBC 的垂心，当三棱锥 PABC 体积最大值时，三棱锥 PABC 的外接球的体积为 （ ） A B C6 D 【分析】延长 PH 交 BC 于 D，连接 AD，根据 H 是PBC 的垂心，可得 BCPD，利用

23、 线面垂直的判定与性质定理可得：BCAD连接 BH 并延长交 PC 于 E，连接 AE，可得 PC平面 ABE，ABPC设 P 在平面 ABC 上的射影为 O，延长 CO 交 AB 于 F，连接 PF可得 PFAB，CFAB因此 O 是ABC 的中心，F 是 AB 的中点，于是 PBPA PC，当 PA，PB，PC 两两垂直时，三棱锥 PABC 体积取得最大值时，即可得 出 第 14 页（共 27 页） 【解答】解： ：延长 PH 交 BC 于 D，连接 AD， H 是PBC 的垂心，BCPD， AH平面 PBC，BC平面 PBC， AHBC， 又 AH平面 APD，PD平面 PAD，AHPD

24、H， BC平面 APD，又 AD平面 APD， BCAD， 连接 BH 并延长交 PC 于 E，连接 AE， 由 AH平面 PBC 可得 AHPC， 又 BEPC，AHBEH， PC平面 ABE，ABPC 设 P 在平面 ABC 上的射影为 O，延长 CO 交 AB 于 F，连接 PF POAB，PCPOP， AB平面 PCF PFAB，CFAB O 是ABC 的中心，F 是 AB 的中点， PBPAPC， 当 PA，PB，PC 两两垂直时，三棱锥 PABC 体积取得最大值时， 三棱锥 PABC 的外接球的半径 R 满足： （2R）2，解得 R 体积 故选：D 【点评】本题考查了三棱锥的性质、

25、球的体积计算公式、线面垂直的性质定理及其判定 定理、三垂线定理、勾股定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 15 页（共 27 页） 13 （5 分）已知 f（x）xln（x1） ，则曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程是 y2x4 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方 程 【解答】解：f（x）xln（x1）的导数为 f（x）ln（x1）+， 可得曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线的斜率为 kln1+22，

26、 切点为（2，0） ，则切线的方程为 y02（x2） ， 即为 y2x4 故答案为：y2x4 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线的方程的运用，考查方程思想和 运算能力，属于基础题 14 （5 分）某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究 所进行独立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为 0.6，乙研究所独立研 究并解决这个问题的概率为 0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为 0.88 【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解 【解答】解：工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独立研究， 甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为 0.6

27、， 乙研究所独立研究并解决这个问题的概率为 0.7， 这个技术难题最终能被解决的概率为 p1（10.6） （10.7）0.88 故答案为：0.88 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 15 （5 分）已知直线 l：ykx+1（k0）经过抛物线 C：x22py 的焦点 F，且 l 与 C 交于 A、B 两点，l 与 C 的准线交于点 E，若，则 p 2 ，k 【分析】求得抛物线的焦点 F，代入直线方程可得 p 的值，可得抛物线的准线方程，求 得 E 的坐标，由题意可得 F 为 EB 的中点，运用中点坐标公式可得 B 的坐标，代入抛物 线方

28、程可得 k 的值 【解答】解：抛物线 C：x22py 的焦点 F 为（0，） ， 直线 l：ykx+1（k0）恒过点（0，1） ， 第 16 页（共 27 页） 由题意可得1，即 p2， 抛物线的方程为 x24y，焦点 F（0，1） ，准线方程为 y1， l 与 C 的准线交于点 E，可得 E（，1） ， 若，可得 F 为 EB 的中点，即有 0xB，21+yB， 可得 B（，3） ，代入 x24y，可得12， 解得 k（负值舍去） 故答案为：2， 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查中点坐标 公式的运用，化简运算能力，属于基础题 16 （5 分）如图，平面四边

29、形 ABCD 中ABD 的面积是CBD 面积的两倍，数列an满足 a11，a25，当 n2 时，恒有（an2an1）+（an+13an），则数列an 的前 6 项和为 1818 【分析】 分别过 A、 C 作 AEBD 于 E， CFBD 于 F， 由三角形的面积关系推出， 所以，再设，并结合（an2an1）+（an+13an）， 从而得到，经过变形后可知：数列anan1是等比数列，即可求出数列 an的前 6 项和 【解答】解：如图所示，连接 AC、BD 相交于点 O，分别过 A、C 作 AEBD 于 E，CF BD 于 F，则 AECF， 第 17 页（共 27 页） ABD 的面积是CBD

30、 面积的两倍， ，AE2CF， ，即，整理得， 设，则， （an2an1）+（an+13an）， an2an1，an+13an， ，化简变形得（n2） ， 而 a2a1514， 数列anan1是等比数列，首项为 4，公比为 4， ， 于是， 数 列 an 的 前6项 和 为（ 44+43+42+5 ） + （45+44+43+42+5）1818 故答案为：1818 【点评】本题考查了平面向量与数列的综合运用，解题的关键点是找到平面向量与数列 之间的联系，考查了学生综合运用知识的能力以及运算能力，属于中档题 三、三、解答题：共解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应

31、写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 第 18 页（共 27 页） 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，已知 A2B2C，且 a2+c2 b2+2acsinC （1）求 A； （2）若ABC 的面积为 2，求 a 【分析】 （1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用和三角函数的关系式的变换的应用求 出结果 （2）利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果 【

32、解答】解： （1）a2+c2b2+2acsinC， 所以， 由余弦定理得 cosBsinC， 因为 0B，C，所以或， 当时，则，这与“A2B2C”矛盾，故舍去 当时，由（1）得 A2B，bc， A+B+CA+2B+， 所以 A （2）由 A2B，所以， ABC 的面积 S，A， 所以 bc4， 由正弦定理， 所以 bc4， 解得 a28， 故 a2 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角 形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2AD2，E 为边 CD 的中点，以 EB

33、 为折痕把 第 19 页（共 27 页） CEB 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且使平面 PEB平面 ABED （1）证明：PB平面 PEA； （2）求二面角 DPAE 的余弦值 【分析】 （1）推导出 AEBE，AE平面 PEB，从而 AEPB，再由 PBPE，能证明 PB 平面 PEA （2）以 BE 的中点 O 为坐标原点，以 OP 的方向为 z 轴正方向，过点 O 分别做 AB 和 AD 的平行线，分别为 x 轴和 y 轴的方向，建立空间直角坐标系 Oxyz利用向量法能求出 二面角 DPAE 余弦值 【解答】解： （1）证明：由题意 AEBE，又 AB2，所以 AEBE， 又平面

34、 PEB平面 ABEDEB，且平面 PEB平面 ABED，所以 AE平面 PEB， 故 AEPB，又 PBPE，且 AEPEE，所以 PB平面 PEA （2）解：以 BE 的中点 O 为坐标原点，以 OP 的方向为 z 轴正方向， 过点 O 分别作 AB 和 AD 的平行线， 分别为 x 轴和 y 轴的方向， 建立如图所示空间直角坐 标系 Oxyz 则 A（） ，D（，0） ，E（，0） ，P（0，0，） ， 设 （x，y，z）为平面 ADP 的法向量， 则，取 z1， （，0，1） ， 设 （x，y，z）为平面 AEP 的法向量， 则，取 x1， （1，1，） ， cos 第 20 页（共

35、27 页） 则二面角 DPAE 余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，意在考查学生的直观想象能力、 逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：，若 ab2，离心率为 （1）求 C 的方程； （2） 斜率为的直线 l 与椭圆交于 A， B 两点， 以线段 AB 为直径的圆过点， 求直线 l 的方程 【分析】 （1）联立解方程求出 a，b，代入即可； （2）设直线 l 的方程设为 y，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立解方程组，由以 线段 AB 为直径的圆过点，得，求出 t，再求出直线的方程 【解答】解： （1）由题意，解得 a2，

36、b1， 所以椭圆的方程； （2）设直线 l 的方程设为 y，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立消去 y 得 2x2+4tx+4t240， 则有 x1+x22t，x1x22t22， 且16t28（4t24）0 得， 第 21 页（共 27 页） 又， ， ， 由以线段 AB 为直径的圆过点， 得， 所以0， 得， 化简得， 解得， 所以直线 l 的方程为 y 【点评】本题考查求椭圆的方程，直线和椭圆的综合，还考查了向量的垂直的应用，中 档题 20 （12 分）已知函数 f（x）x2+1asinx，x0，aR，f（x）是函数 f（x）的导函 数 （1）当 a1 时，证明：函数 f（

37、x）在区间0，没有零点； （2）若 f（x）+asinx+a0 在 x0，上恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）把 a1 代入，然后对函数求导，结合导数与单调性的关系及函数零点判定 定理可证； （2）先对函数求导，然后结合导数可讨论单调性，结合函数的性质可求 【解答】 （1）证明：若 a1，则 f（x）x2+1sinx，x0， 又 x2+11，所以 x2+1sinx0， 又 f（0）1，f（），）1+2，当 x时， 1sinx0， 所以 x2+1sinx0，恒成立， 所以当 a时，函数 f（x）在区间间0，上没有零点 （2）解：f（x）2xacosx，x0， 第 22 页（共 27 页

38、） 故 2xacosc+asinx+a0， 设 g（x）2xacosc+asinx+a，x0， 由 g（0）00，g（）2a+20， 则 a， g（x）2+asinx+acosx， 由 a，得 a0， 在区间0，上 g（x）单调减，2+ag（0）g（x）2+， 在区间 x（，） ，上 g（x）单调增，2+g（x）g（） 2a， 又 a，所以 g（0）2+a0，2+0，g（）2a0， 故，g（x）在区间（）上存在唯一零点区间 x0，由 g（x）的单调性可知， 在区间0，x0上，g（x）0，g（x）单调减， 在区间x0，上，g（x）0，g（x）单调增， ，故 a 【点评】本题综合考查了利用导数求解

39、函数的单调性，还考查了利用函数的性质求解函 数的零点，属于综合试题 21 （12 分）某房产中介统计了深圳市某高档小区从 2018 年 12 月至 2019 年 11 月当月在售 二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图，如图所示，图中月份代码 1 至 12 分别对 应2018年12月至2019年11月的相应月 份 根据散点图选择 ya+bx 和 yc+dlnx 两个模型进行拟合， 根据数据处理得到两个回归方 程分别为和， 并得到以下一些统计量的值： 第 23 页（共 27 页） 残差平方和 0.0148557 0.0048781 总偏差平方和 0.069193 （1）请利用相关指数 R2判断

40、哪个模型的拟合效果更好； （2）某位购房者拟于 2020 年 5 月份购买深圳市福田区 s（50s160）平方米的二手房 （欲购房为其家庭首套房） 若该小区所有住房的房产证均已满 3 年，请你利用（1）中 拟合效果更好的模型解决以下问题： （i）估算该购房者应支付的购房金额 （购房金额房款+税费；房屋均价精确到 0.01 万 元/平方米） （ii）若该购房者拟用不超过 760 万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的 最大面积（精确到 1 平方米） 附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按照房屋的计税价格进 行征收 （计税价格房款） 征收方式见如表： 购买首套房面积

41、s（平方 米） s90 90s144 s144 契税（买方缴纳）的税率 1% 2% 4% 参考数据：ln20.69，ln31.10，ln72.83，ln192.94， ， 参考公式：相关指数 【分析】 （1）分别求出模型和的相关指数 和，比较大小即可得到模型的拟合效果更好 第 24 页（共 27 页） （2）2020 年 5 月份的对应月份代码为 18，把 x18 代入模型， 可得这个小区 2020 年 5 月份的在售二手房均价 （i） 设该购房者应支付的购房金额为 h 万元， 然后分类求解该购房者应支付的购房金额 （ii）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 t 平方米，由（i）知，当

42、50s90 时，应支付的购房金额为 7.2316s 万元，结合 7.2316s7.231690760 及房屋均价约为 7.16 万元/平方米求解 t 的范围，可得该购房者可购买该小区二手房的最大面积 【解答】解： （1）设模型和的相关指数分 别是和， 则， 0.01485570.0048781， 模型的拟合效果更好 （2）2020 年 5 月份的对应月份代码为 18， 由（1）知，模型的拟合效果更好， 利用该模型预测可得，这个小区 2020 年 5 月份的在售二手房均价为： 7.16 万元/平方米， （i）设该购房者应支付的购房金额为 h 万元， 税费中买方只需缴纳契税， 当 50s90 时，

43、契税为计税价格的 1%， 故 hs7.16（1%+1）7.2316s； 当 90s144 时，契税为计税价格的 2%， 故 hs7.16（2%+1）7.3032s； 当 144s160 时，契税为计税价格的 4%， 故 hs7.16（4%+1）7.4464s 故 h 当 50s90 时，购房金额为 7.2316s 万元；当 90s144 时，购房金额为 7.3032s 万 第 25 页（共 27 页） 元；当 144s160 时，购房金额为 7.4464s 万元 （ii）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 t 平方米， 由（i）知，当 50s90 时，应支付的购房金额为 7.2316s

44、万元， 又 7.2316s7.231690760， 又房屋均价约为 7.16 万元/平方米，7.16144760， t144，得 90t144 由 7.3032t760，解得 t， 该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 104 平方米 【点评】本题考查独立性检验，考查计算能力，正确理解题意是解答该题的关键，属难 题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为（t 为参数） ，直线 l2的参 数方程为（m 为参数） ，设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C1以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin （1）写出 C1的普通方程； （2）求曲线 C1和曲线 C2交点的极坐标 【分析】 （1）直线 l1的参数方程为（t 为参数） ，消去参数 t 可得普通方程直线 l2的参数方程为（m 为参数） ，消去参数 m 可得普通方程 联立消去参数 k，可得点 P