2018-2019学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、设（x23x+2）4a0+a1x+a8x8，则 a7（ ） A4 B8 C12 D16 5 （4 分）关于 x，y 的不等式组表示的平面区域内存在点 P（x0，y0） ，满足 x02y03，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，3） B （1，1） C （，1） D （1，+） 6 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A+ B1+ C D1 7 （4 分）数列an满足 a1，an+1，则数列an的前 2018 项和 S2018 第 2 页（共 24 页） （ ） A B C D 8 （4 分）已知 是离散型随机变量，则下列结论错误的是（ ） A B （E（） ）2E

2、（2） CD（）D（1） DD（2）D（ （1）2） 9 （4 分）已知椭圆的离心率 e 的取值范围为，直线 y x+1 交椭圆于点 M， N， O 为坐标原点且 OMON， 则椭圆长轴长的取值范围是 （ ） A B C D 10 （4 分）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点， 满足 a2+b21，c2+d24，则下列结论中不正确的是（ ） A的最小值为6 B的最大值为 10 C|AB|最大值为 D|AB|最小值为 1 二、填空题二、填空题 11 （6 分）设 i 为虚数单位，给定复数，则 z 的虚部为 ；模为 12 （6 分）已知实数 a0 且 a1若 loga2，则 a+ ；若 0loga

3、1，则 实数 a 的取值范围是 13 （6 分）将函数 f（x）2sinx 的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 个单位长度得到 g（x）的图象，则 g（x） ；若函数 g（x）在区间， 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 14 （6 分）在ABC 中，D 为边 BC 中点，经过 AD 中点 E 的直线交线段 AB，AC 于点 M， N，若，则 m+n ；该直线将原三角形分成的两部分，即三 角形 AMN 与四边形 BCNM 面积之比的最小值是 15 （4 分）设等差数列an的前 14 项和 a1+a2+a1477，已知 a1，a11均为正整数，则 公差 d 16 （4 分）农历

4、戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写 了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶现每人随机的选择一个漂流瓶将 第 3 页（共 24 页） 心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为 17 （4 分）已知不等式对任意正整数 k 均成立，则实数 x 的取值范围 为 三、解答题三、解答题 18 （14 分）如图所示，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为的扇形，O 是坐标原点，OP 落在 x 轴非负半轴上，点 Q 在第一象限，C 是扇形弧上的一点，ABCD 是扇形的内接矩 形 （）当 C 是扇形弧上的四等分点（靠近 Q）时，求点 C 的纵坐标； （）

5、当 C 在扇形弧上运动时，求矩形 ABCD 面积的最大值 19 （15 分）如图所示，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，O 是 AC 的中点，且ABDCBD，ABBD （）求证：OD平面 ABC； （）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， 求二面角 DAEC 的余弦值 20 （15 分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称 图 2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数 某同学模仿先贤用石

6、子摆出了如下图 3 的图形，图 3 中的 2，5，7，9，这些数能够 表示成梯形，将其称为梯形数 （）请写出梯形数的通项公式 an（不要求证明） ，并求数列an的前 n 项和 Sn； 第 4 页（共 24 页） （）若，数列bn的前 n 项和记为 Tn，求证：Tn1 21 （15 分）过抛物线 x22y 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，抛物线在 A，B 处的 切线交于 E （）求证：EFAB； （）设，当时，求ABE 的面积 S 的最小值 22 （15 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx，其中 a，b 为实数 （）若函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，求 f（x）的解析

7、式； （）若，且 2a+b+30，t 为函数 f（x）x3+ax2+bx 的极小值点，求 的取值范围 第 5 页（共 24 页） 2018-2019 学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （4 分）已知集合 PxR|0x8，QxR|x|7，则 PQ（ ） A7，8 B （7，8 C （，8 D （7，+） 【分析】利用并集定义直接求解 【解答】解：集合 PxR|0x8， QxR|x|7x|7x7， PQx|7x8（7，8 故选：B 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知

8、识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （4 分）已知平面 ，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：m，n， 当 mn 时，m 成立，即充分性成立， 当 m 时，mn 不一定成立，即必要性不成立， 则“mn”是“m”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决 本题的关键，是基础题 3 （4 分）已知 yf（x） （xR）存在导函数，若 f（x）既是周期函数又

9、是奇函数，则其导 函数（ ） A既是周期函数，又是奇函数 B既是周期函数，又是偶函数 C不是周期函数，但是奇函数 第 6 页（共 24 页） D不是周期函数，但是偶函数 【分析】利用导数的定义及周期函数的定义可以证明周期函数的导数仍是周期函数，利 用奇函数的概念及简单的复合函数求导证明奇函数的导数是偶函数 【解答】解：若 yf（x）是周期函数，设其周期为 T， 则f（x+T） 所以，周期函数的导数仍是周期函数； 若 yf（x）是奇函数，则 f（x）f（x） 所以f（x）f（x） ，即 f（x）f（x） 所以奇函数的导数是偶函数 故选：B 【点评】本题考查了导数的基本概念，考查了函数的周期性与函

10、数的奇偶性，是基础的 概念题 4 （4 分）设（x23x+2）4a0+a1x+a8x8，则 a7（ ） A4 B8 C12 D16 【分析】根据（x23x+2）4（x1）4 （x2）4，a7是展开式中 x7的系数，利用二项 展开式的通项公式，求得结果 【解答】解： （x23x+2）4（x1）4 （x2）4，a7是展开式中 x7的系数， a7 （1） + （2）4+（8）12， 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题 5 （4 分）关于 x，y 的不等式组表示的平面区域内存在点 P（x0，y0） ，满足 x02y03，则实数 m 的取值范围是（ ） A

11、（，3） B （1，1） C （，1） D （1，+） 【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点 P（x0，y0） ，满足 x0 2y03，则只需点 A 在直线 x2y3 的下方即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 若平面区域内存在点 P（x0，y0） ，满足 x02y03， 第 7 页（共 24 页） 则说明直线 x2y3 与区域有交点， 即点 A（m，m）位于直线 x2y3 的下方即可， 则点 A 在区域 x2y30， 即m2m30， 得 m1， 即实数 m 的取值范围是（，1） ， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合判断出点 A 在直

12、线 x2y3 的下 方是解决本题的关键 6 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A+ B1+ C D1 【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它 们的体积，相加可得答案 【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体， 第 8 页（共 24 页） 四分之一圆锥的底面半径为 1，高为 1，故体积为：， 三棱柱的底面是两直角边分别为 1 和 2 的直角三角形，高为 1，故体积为：121 1， 故组合体的体积 V1+， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形 状是解答的

13、关键 7 （4 分）数列an满足 a1，an+1，则数列an的前 2018 项和 S2018 （ ） A B C D 【分析】计算数列an的前几项，结合数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求 和 【解答】解：数列an满足 a11， an+1， 可得 a2， a3， a2018， 可得数列an的前 2018 项和 S20181+ 1 故选：A 【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于基础题 第 9 页（共 24 页） 8 （4 分）已知 是离散型随机变量，则下列结论错误的是（ ） A B （E（） ）2E（2） CD（）D（1） DD（2）D（ （1）2） 【分析】利

14、用概率、数学期望、方差的性质直接求解 【解答】 解： 在 A 中， P （|P （P （2P （， 故 A 正确； 在 B 中，由数学期望的性质得（E（） ）2E（2） ，故 B 正确； 在 C 中，由方差的性质得 D（）D（1） ，故 C 正确； 在 D 中，D（2）D（ （1）2） ，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查概率、数学期望、方差的性质等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题 9 （4 分）已知椭圆的离心率 e 的取值范围为，直线 y x+1 交椭圆于点 M， N， O 为坐标原点且 OMON， 则椭圆长轴长的取值范围是 （ ） A B C D 【分析】根

15、据题意，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和斜率的数量积得 b2 ，再根据离心率公式可得 e21，化简变形即可得答案 【解答】解： （）联立方程，联立得， （a2+b2）x22a2x+a2（1b2）0， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则 x1+x2，x1x2 由 OMON，得 x1x2+y1y20， x1x2+（1x1） （1x2）0， 化简得 x1x2（x1+x2）+10， 第 10 页（共 24 页） +10 化简得 b2， e， e21， e， e2， 1， ， ， a2 a， a 即椭圆的长轴长的取值范围为， 故选：C 【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位

16、置关系，注意充分利用根与系 数的关系进行分析，属于中档题 10 （4 分）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点， 满足 a2+b21，c2+d24，则下列结论中不正确的是（ ） A的最小值为6 B的最大值为 10 C|AB|最大值为 D|AB|最小值为 1 【分析】 设 acos， bsin， c2sin， d2cos， 则2a （c1） +2bd2ac+2bd 第 11 页（共 24 页） 2a4sincos+4cossin2cos4sin（+）2cos，从而的最小值为6， 的最大值为 6；（c2a1，d2b，1）（2sin2cos1，2cos2sin， 1 ） ， 从 而 | ，从而|最大值

17、为，最小值为 1 【解答】解：在空间直角坐标系中， ，O 为坐标原点，满足 a2+b21，c2+d24， 设 acos，bsin，c2sin，d2cos， 在 A 中，2a（c1）+2bd2ac+2bd2a 4sincos+4cossin2cos4sin（+）2cos， 当 0，的最小值为6，故 A 正确； 在 B 中，2a（c1）+2bd2ac+2bd2a 4sincos+4cossin2cos4sin（+）2cos， ，+时，的最大值为 6，故 B 错误； 在 C 中，（c2a1，d2b，1）（2sin2cos1，2cos2sin，1） ， | ， 时，|的最大值为，故 C 正确； 在 C

18、 中，| ， 令t， 则|1， 第 12 页（共 24 页） 当 cos时取等号， 故|取最小值 1故 D 正确 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积、向量的模、三角函数的性质等 基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 二、填空题二、填空题 11 （6 分）设 i 为虚数单位，给定复数，则 z 的虚部为 1 ；模为 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 则 z 的虚部为1，模为 故答案为：1； 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了复数模 的求法，是基础题 12 （6 分）已知实数 a0 且 a

19、1若 loga2，则 a+ ；若 0loga1， 则实数 a 的取值范围是 （0，） 【分析】由实数 a0 且 a1loga2，求出 a，由此能求出 a+的值；由 0 loga1，当 a1 时，0a；当 a1 时，无解由此能求出 a 的取值范围 【解答】解：实数 a0 且 a1loga2， ，a， a+ 0loga1， 当 a1 时，0a；当 a1 时，无解 综上，a 的取值范围是（0，） 故答案为：， （0，） 【点评】本题考查代数式化简求值，考查实数的取值范围的求法，考查对数性质、运算 第 13 页（共 24 页） 法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 13 （6 分）将函数 f（x

20、）2sinx 的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 个单位长度得到 g（x）的图象，则 g（x） 2sin（2x+） ；若函数 g（x）在 区间，上单调递增，则实数 a 的取值范围是 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦 函数的单调性求得实数 a 的取值范围 【解答】解：将函数 f（x）2sinx 的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，可得 y 2sin2x 的图象； 再向左平移个单位长度得到 g（x）2sin（2x+）的图象 若函数 g（x）在区间，上单调递增， 则，求得a， 则实数 a 的取值范围是， 故答案为：2sin（2x

21、+） ； 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属 于中档题 14 （6 分）在ABC 中，D 为边 BC 中点，经过 AD 中点 E 的直线交线段 AB，AC 于点 M， N，若，则 m+n 4 ；该直线将原三角形分成的两部分，即三角 形 AMN 与四边形 BCNM 面积之比的最小值是 【分析】由向量共线定理可知，然后根据，可分 别用，表示，根据与共线，结合向量共线定理可求 m+n； 由，结合 m+n4 及基本不等式可求 mn 的最大 值，进而可求的最小值 第 14 页（共 24 页） 【解答】解：ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AD 的中

22、点， ， ， +， （）， 同理， 与共线， 存在实数 ，使（0） ， 即（）+（）， 解得 m，n m+n+4； m+n4， mn4，当且仅当 mn2 时取等号，此时有最小值， 则有 M，N 分别为 AB，AC 的中点， 取得最小值， 故答案为：4； 第 15 页（共 24 页） 【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理、三角形法则、方程思想，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 15 （4 分）设等差数列an的前 14 项和 a1+a2+a1477，已知 a1，a11均为正整数，则 公差 d 1 【分析】由等差数列an的前 14 项和为 77，求出公差 d，从而 ，由 a1，a

23、11均为正整数，a10，得 1a118， 由此推导出 a112，a112，从而能求出公差 d 【解答】解：等差数列an的前 14 项和 a1+a2+a1477， 77， 2a1+13d11，d， ， a1，a11均为正整数，a10， 1a118， 逐一代入，得 a112，a112， 由 a11a1+10，解得 d1 故答案为：1 【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 16 （4 分）农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写 了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶现每人随机的选择一个漂流瓶将 心愿卡放

24、入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为 【分析】基本事件总数 n120，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含 第 16 页（共 24 页） 的基本事件个数 m31， 由此能求出事件 “至少有两张心愿卡放入对应 的漂流瓶”的概率 【解答】解：为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡， 设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶 现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入， 基本事件总数 n120， 事件 “至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶” 包含的基本事件个数 m 31， 事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，

25、考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 17 （4 分） 已知不等式对任意正整数 k 均成立， 则实数 x 的取值范围为 （ ，2）（ln3，ln4） 【分析】首先利用转换思想把方式不等式转换为整式不等式，进一步利用赋值法和集合 法求出实数 x 的范围 【解答】解：由， 得： （xk2+3k） （xlnk）0， 又设，bklnk， 则当 k1 时，a12，b10 所以：x2 或 x0， 当 k2 时，a22，b2ln2， 所以：x2 或 xln2， 当 k3 时，a30，b2ln3 当 k4 时，a44，b4ln4， 所以：xln4 或 x4， 所以：当 k5 时，xlnk，或

26、xk23k 第 17 页（共 24 页） 则：所求的范围是： （，2）（ln3，ln4） 或者从反面考虑， 满足的解集为 Ak， 其中， 当 n4 时， 所以：， 故答案为： （，2）（ln3，ln4） 【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，数列的关系式的应用，利用 反面观点解决不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 三、解答题三、解答题 18 （14 分）如图所示，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为的扇形，O 是坐标原点，OP 落在 x 轴非负半轴上，点 Q 在第一象限，C 是扇形弧上的一点，ABCD 是扇形的内接矩 形 （）当 C 是扇形弧上的四等分点

27、（靠近 Q）时，求点 C 的纵坐标； （）当 C 在扇形弧上运动时，求矩形 ABCD 面积的最大值 【分析】 （）直接利用四等分点的条件求出，进一步求出结果 （）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解： （）根据题意：当 C 是扇形弧上的四等分点（靠近 Q）时， 所以：， 第 18 页（共 24 页） 点 C 的纵坐标：ysin （）设COP，矩形的面积为 S， 则：SABBC（OBOA） BC， （cos）sin， ， ， 当时， 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型

28、19 （15 分）如图所示，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，O 是 AC 的中点，且ABDCBD，ABBD （）求证：OD平面 ABC； （）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， 求二面角 DAEC 的余弦值 【分析】 （）推导出 BOAC，DOAC，由此能证明 OD平面 ABC （）以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出二面角 DAEC 的余弦值 【解答】证明： （）如图所示，ABC 为等边三角形，BOAC， 第 19 页（共 2

29、4 页） ABBC，BDBD，ABDDBC，ABDCBD， ADCD，ACD 是等腰直角三角形，ADC 是直角， O 为底边 AC 的中点，DOAC， 令 ABa，则 ABACBCBDa，OD，OBa， OD2+OB2BD2，ODOB， DOAC，AC，OB 为平面 ABC 内两相交直线， OD平面 ABC 解： （）由题意知 VDACEVBACE，即 B，D 到平面 ACE 的距离相等， 点 E 为 BD 中点， 以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ACa，则 Q（0，0，0） ，A（，0，0） ，D（0，0，） ，B（0，0）

30、 ，E（0， ） ， （） ，（） ，（） ， 设平面 AED 的法向量 （x，y，z） ，平面 AEC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （） ， 第 20 页（共 24 页） ，取 y1，得 （0，1，） ， 设二面角 DAEC 的平面角为 ， 则 cos 二面角 DAEC 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 20 （15 分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角

31、形，将其称为三角形数；类似地，称 图 2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数 某同学模仿先贤用石子摆出了如下图 3 的图形，图 3 中的 2，5，7，9，这些数能够 表示成梯形，将其称为梯形数 （）请写出梯形数的通项公式 an（不要求证明） ，并求数列an的前 n 项和 Sn； （）若，数列bn的前 n 项和记为 Tn，求证：Tn1 【分析】 （）由观察法可得 an，应用等差数列的求和公式可得所求和； （）求得，由数列的裂项相消求和，结合不 第 21 页（共 24 页） 等式的性质即可得证 【解答】解： （）由观察法可得 an， 可得 Sn2+5+7+（2n+1）（3+2n+1）n1n

32、2+2n1； （）证明：， 则为 Tn1+11， 可得 Tn1 【点评】本题考查数列在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式和求和公式的应 用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题 21 （15 分）过抛物线 x22y 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，抛物线在 A，B 处的 切线交于 E （）求证：EFAB； （）设，当时，求ABE 的面积 S 的最小值 【分析】 （）设直线 AB 的方程为 ykx+，代入抛物线方程 x22y 中，根据韦达定理 和直线的斜率公式，以及导数的几何意义，可求出点 E 的坐标，根据斜率的关系即可证 明， （）根据向量结合韦达定理可得

33、k2， 再根据弦长公式求三角形的面积公式 表示出 S，根据函数的性质即可求出最小值 【解答】证明： （）显然直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykx+， 代入抛物线方程 x22y 中，可得 x22kx10， 设 A（x1，x12） ，B（x2，x22） ， 第 22 页（共 24 页） 由韦达定理可得 x1+x22k，x1x21， yx2， yx， 直线 AE 的斜率为 x1， 切线直线 AE 的方程为 x1xy+x12， 同切线 BE 的方程为 x2xy+x22， 当 k0 时，联立求得 y， xk， 故 E（k，） ， kEFkABk1， EFAB， 当 k0 时，显然 EF

34、AB， 综上所述 EFAB， （）由，得 x1x2，结合韦达定理，x2，（）21， 从而 k2， 又|AB|x1x2|2（1+k2） ，|EF|， ABE 的面积 S|AB|EF|， 由于，则 k2（+2） ，在区间，上为减函数， 因此当 时，ABE 的面积 S 的最小值为 【点评】本题考查切线方程的求法，弦长公式，直线与直线的位置关系，三角形的面积 计算，解题时要认真审题属于难题 22 （15 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx，其中 a，b 为实数 （）若函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，求 f（x）的解析式； （）若，且 2a+b+30，t 为函数 f（x）x3+ax2+b

35、x 的极小值点，求 第 23 页（共 24 页） 的取值范围 【分析】 （）根据函数的对称性得到f（x）f（2x） ，利用待定系数法进行求解即 可 （）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系，求出 f（t）的范围进行求解即 可 【解答】解： （）设 M（x，f（x） ）是函数 f（x）上的任意一点， 则点 M 关于点（1，0）的対称点为（2x，f（x） ） ， 即f（x）f（2x） ，即x3ax2bx（2x） 3+a（2x）2+b（2x）（2x）（2 x）2+a（2x）+b， 即 x3+ax2+bxx3（a+6）x2+（4a+b+12）x（4a+2b+8） ， 対所有实数 x 都成立， 从

36、而 a 求得：a3，b2，从而 f（x）x33x2+2x （）f（x）3x2+2ax+b，由 2a+b+30 则 f（1）2a+b+30， 设 f（x）3（x1） （xm） ， 则1+m，m， 即 a（1+m） ，b3m ，m3， 极小值存在，m1 若m1，则 t1， +11（， 若 1m3，则 tm， ， 令 h（x），则 h（x）， 第 24 页（共 24 页） 则 h（x）在1，上为减函数，在，3上为增函数 又 h（1），h（）32，h（3）0， 故32，0， 综上所述，的取值范围是32， 【点评】本题主要考查函数对称性以及函数的极值的应用，利用函数极值和导数之间的 关系进行转化讨论是解决本题的关键综合性较强，难度较大