2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、已知全集 Ux|x1，集合 Ax|x0，Bx|1x1，则（UA）B （ ） Ax|1x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|1x0 2 （4 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最大值是（ ） A1 B0 C2 D3 3 （4 分）双曲线的焦点到其渐近线的距离是（ ） A1 B C2 D 4 （4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ） （单位： cm3） A2 B6 C10 D12 5 （4 分）设 a，b 是实数，则“a2+b21”是“|a|+|b|1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （4

2、分）在同一坐标系中，函数 f（x）xa（x0）与 g（x）ax+1的图象可能是（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 7 （4 分）已知多项式 x6a0+a1（1x）+a2（1x）2+a6（1x）6，则 a4（ ） A15 B20 C15 D20 8 （4 分）斜三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 是正三角形，侧面 ABB1A1是矩形，且 ，M 是 AB 的中点，记直线 A1M 与直线 BC 所成的角为 ，直线 A1M 与平 面 ABC 所成的角为 ，二面角 A1ACB 的平面角为 ，则（ ） A， B， C， D， 9 （4 分）已知函数，则满足“对于任意给定 的不等于

3、1 的实数 x1，都有唯一的实数 x2（x2x1） ，使得 f（x1）f（x2） ”的实数 t 的 值（ ） A不存在 B有且只有一个 C有且只有两个 D无数个 10 （4 分）已知数列an满足 0a11，若对于任意 nN*，都有 0anan+13，则 t 的取值范围是（ ） A （1，3 B0，3 C （3，8） D （8，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）已知复数 z11i，z1z22i，则复数 z2 12 （6 分）设直线 ykx 与圆 C： （x2）2+y

4、21 相交于 A，B 两点，若，则 k 第 3 页（共 23 页） ，当 k 变化时，弦 AB 中点轨迹的长度是 13 （6 分）设随机变量 的分布列是 1 0 1 P a b 若，则 b ，D 14 （6 分）在ABC 中，BC4，B135，点 D 在线段 AC 上，满足 BDBC，且 BD 2，则 cosA ，AD 15 （6 分）已知双曲线 C：的右焦点 F（c，0）关于直线的 对称点在直线上，则该双曲线的离心率为 16 （6 分）已知正三角形 ABC 的边长为 4，P 是平面 ABC 内一点，且满足，则 的最大值是 ，最小值是 17 （6 分）设实数 a，b 满足：1ba，则的取值范围

5、为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明或演算步骤分解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 18已知函数 （）求的值； （）求 f（x）的最小正周期和单调递增区间 19如图，三棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，CBD90，E，F 分别是 BD， CD 的中点，且 ABBEAEBC （）证明：ACAD； （）求 AF 与平面 ACE 所成角的余弦值 第 4 页（共 23 页） 20设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a23，S42（a5+1） ，数列bn的前 n 项和为 Tn， 满足 b11，bn+1TnTn+1（nN*）

6、（）求数列an、bn的通项公式； （）记 cn，nN*，证明：c1+c2+cn 21已知抛物线 C：x22py（p0） ，直线 yx 截抛物线 C 所得弦长为 （）求 p 的值； （）若直角三角形 APB 的三个顶点在抛物线 C 上，且直角顶点 P 的横坐标为 1，过点 A、B 分别作抛物线 C 的切线，两切线相交于点 Q 若直线 AB 经过点（0，3） ，求点 Q 的纵坐标； 求的最大值及此时点 Q 的坐标 22设函数 f（x）e ax+2x（a0） （）当 a2，求函数 f（x）的单调区间； 第 5 页（共 23 页） （）当时，若对任意 x（，0，均有，求 a 的取值范 围 第 6 页（

7、共 23 页） 2019-2020 学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知全集 Ux|x1，集合 Ax|x0，Bx|1x1，则（UA）B （ ） Ax|1x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|1x0 【分析】先求得UA，再求（UA）B 得答案 【解答】解：由UAx|1x0，可知（UA

8、）Bx|1x0 故选：A 【点评】本题考查集合的混合运算，属于基础题 2 （4 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最大值是（ ） A1 B0 C2 D3 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 zx2y 过点（3，0）时，z 最大值即可 【解答】解：先根据实数 x，y 满足约束条件，画出可行域， 由 zx2y 可得 yx z，则直线在 y 轴上的截距越小，z 越大， 然后平移直线 L：0x2y， 当直线 zx2y 过点 B 时 z 最大， 由可得 B（3，0） ，z 最大值为 3 故选：D 第 7 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查了简单的线

9、性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 3 （4 分）双曲线的焦点到其渐近线的距离是（ ） A1 B C2 D 【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出 结果 【解答】解：双曲线1 中， 焦点坐标为（，0） ， 渐近线方程为：yx， 双曲线1 的焦点到渐近线的距离： d2 故选：C 【点评】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握 双曲线的简单性质 4 （4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ） （单位： cm3） 第 8 页（共 23 页） A2 B6 C10 D12 【分析】首先把三视图转

10、换为几何体，进一步求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体的底面为直角梯形，高为 2 四棱锥体 故 V 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用， 属于基础题型 5 （4 分）设 a，b 是实数，则“a2+b21”是“|a|+|b|1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 “a2+b21”推不出“|a|+|b|1” ， “|a|+|b|1”“a2+b21” ，由此能求出结果 【解答】解

11、：设 a，b 是实数，则“a2+b21”推不出“|a|+|b|1” ， 第 9 页（共 23 页） 例如 0.72+0.620.851，但 0.7+0.61.31， “|a|+|b|1”“a2+b21” ， “a2+b21”是“|a|+|b|1”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 6 （4 分）在同一坐标系中，函数 f（x）xa（x0）与 g（x）ax+1的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据 a 的取值范围先判断幂函数的单调性，结合指数函数的单调性以及当 0x 1 时，xa与 x

12、的大小关系进行判断即可， 【解答】解：0a1 或 a1，当 x0 时，幂函数 f（x）xa（x0）为增函数， 排除 B， A 中，g（0）a1，函数 g（x）为增函数，此时当 0x1 时，xax，满足条件 C 中，g（0）a1，函数 g（x）为增函数，此时当 0x1 时，xax，此时不满足条 件 D 中，g（0）a1，函数 g（x）为减函数，此时当 0x1 时，xax，不满足条件 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和幂函数的单调性是解决 本题的关键难度中等 7 （4 分）已知多项式 x6a0+a1（1x）+a2（1x）2+a6（1x）6，则 a4（ ） A15 B

13、20 C15 D20 第 10 页（共 23 页） 【分析】由多项式 x61（1x）6，利用二项式展开式定理，即可求得 a4的值 【解答】解：多项式 x61（1x）6 16（1x）+15（1x）220（1x）3+15（1x）46（1x）5+（1x）6 a0+a1（1x）+a2（1x）2+a6（1x）6， 则 a415 故选：C 【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，是基础题 8 （4 分）斜三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 是正三角形，侧面 ABB1A1是矩形，且 ，M 是 AB 的中点，记直线 A1M 与直线 BC 所成的角为 ，直线 A1M 与平 面 ABC 所成的角为

14、，二面角 A1ACB 的平面角为 ，则（ ） A， B， C， D， 【分析】由最小角定理可得 ，找出 及 ，通过中间量侧棱与底面所成的角 比较 大小即可得出答案 【解答】解：由最小角定理可得 ，设 AB2，则，侧面 ABB1A1是矩形， M 是 AB 的中点， A1M2， 设侧棱与底面所成的角为 ，斜三棱柱的高为， ， 取 A1B1的中点 N，并连接 MN，C1N，可得平面 C1CMN底面 ABC， 过点 C1作 C1OCM 于点 O，OGAG 于点 G，连接 C1G， 则 C1GO，可得， ， ， 又 ， 均为锐角，所以 故选：B 第 11 页（共 23 页） 【点评】本题考查空间角的大小

15、比较，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于中档题 9 （4 分）已知函数，则满足“对于任意给定 的不等于 1 的实数 x1，都有唯一的实数 x2（x2x1） ，使得 f（x1）f（x2） ”的实数 t 的 值（ ） A不存在 B有且只有一个 C有且只有两个 D无数个 【分析】分别分析出 f（x）在 x1 和 x1 时的单调性并计算出相应的 f（1） ，作差 即可判断 【解答】解：f（x）， 当 x1 时，f（x）x22（t2t+2）x+t，对称轴为 xt2t+2（t）2+1， 则 f（x）单调递减，f（1）12（t2t+2）+t， 当 x1 时，f（x）2t2x+t+1 单调递增，f（1）2t

16、2+t+1， 而 2t2+t+112（t2t+2）+t4t22t+44（t）2+0， 所以不能保证“对于任意给定的不等于 1 的实数 x1，都有唯一的实数 x2（x2x1） ，使得 f（x1）f（x2） ” ， 故这样的 t 不存在， 第 12 页（共 23 页） 故选：A 【点评】本题考查了分段函数导数性质、方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 10 （4 分）已知数列an满足 0a11，若对于任意 nN*，都有 0anan+13，则 t 的取值范围是（ ） A （1，3 B0，3 C （3，8） D （8，+） 【分析】由已知条件，建立关于 t 的不等式，分析不等式即可得解 【解答

17、】解：由题意易知，成立，故 t4； 又，故只要在（0，3）上有解，则 t 1； 又恒成立，即 an+t60，即 t6an，则 t3； 综上所述，实数 t 的取值范围为（1，3 故选：A 【点评】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，小题，多空题每题多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）已知复数 z11i，z1z22i，则复数 z2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z11i，z1z22i， 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基

18、础的计算题 12 （6 分）设直线 ykx 与圆 C： （x2）2+y21 相交于 A，B 两点，若，则 k ，当 k 变化时，弦 AB 中点轨迹的长度是 【分析】利用几何法求出|AB|与 k 的关系解出即可，根据题意求出 M 的轨迹方程为圆上 第 13 页（共 23 页） 的一段弧长，求出即可 【解答】解：直线 ykx 与圆 C： （x2）2+y21 相交于 A，B 两点， 2，得 k， 设 AB 的中点为 M（x，y） ， 得（1+k2）x24x+30， AB 的中点 M 坐标为（，） ， 由1612（1+k2）0，即 k2，所以 x， 设 M（x，y） ，由 k，代入 x， 化简得：x2

19、+y22x0，即（x1）2+y21， 弦 AB 的中点为 x，2的一段弧长，长度为， 故答案为：； 【点评】考查动点的轨迹方程，直线和圆的位置关系，弧长公式，中档题 13 （6 分）设随机变量 的分布列是 1 0 1 P a b 若，则 b ，D 【 分 析 】 利 用 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 和 数 学 期 望 ， 列 出 方 程 组 第 14 页（共 23 页） ，由此能求出 a，b；进而求出 D 【解答】解：由题设知：， 解得 a，b， D（1 2 +（0）2+（1）2 故答案为：， 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是基础题解题时要认真审题， 仔细解

20、答 14 （6 分）在ABC 中，BC4，B135，点 D 在线段 AC 上，满足 BDBC，且 BD 2，则 cosA ，AD 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出 sinC 和 cosC 的值，再求 cosA 的值； 利用正弦定理求出 AC 和 AD 的值 【解答】解：如图所示， ABC 中，BC4，B135，BDBC，且 BD2， 则 CD2； 所以 sinC，cosC； cosAcos （135+C） cos135cosC+sin135sinC （） + ； sinA， ， ，AC4， ADACCD422 第 15 页（共 23 页） 故答案为：，2 【点评】本题考查了解三角形的应用

21、问题，也考查了运算求解能力，是中档题 15 （6 分）已知双曲线 C：的右焦点 F（c，0）关于直线的 对称点在直线上，则该双曲线的离心率为 【分析】求出 F 关于渐近线的对称点坐标，代入双曲线方程得出离心率的大小 【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为直线， 设 F（c，0）关于直线 bxay0 的对称点为 A（m，n） ，m0， 双曲线 C：的右焦点 F（c，0）关于直线的对称点在直线 上， 则c，且， 解得： m， n， 右焦点 F （c， 0） 关于直线 的对称点在直线直线， 可得， 化简可得：c23a2，即有 e23， 解得 e 故答案为： 【点评】本题考查了双曲线的选择，直线与双曲线

22、的位置关系，属于中档题 16 （6 分）已知正三角形 ABC 的边长为 4，P 是平面 ABC 内一点，且满足，则 的最大值是 ，最小值是 第 16 页（共 23 页） 【分析】先确定点 P 的轨迹为两段优弧，作出图形，再利用数量积的几何意义得解 【解答】解：如图，作ABC 的外接圆，取优弧，再作此圆弧关于直线 AB 对称的优 弧，即点 P 的轨迹由这两段优弧组成， 过点 B 作直线 AC 的垂线，垂足为 B，过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 P， 设两圆的圆心分别为 O1，O2，过 O1，O2分别作 AC 的平行线，与对应的优弧的交点分 别为 P1，P2， 为使最大，则点 P 应处于

23、P2的位置， 注意到 O2AAC，且由正弦定理可得两圆的半径均为， 所以此时的值为； 同理，为使最小，则点 P 应处于 P1的位置，则此时的值为 ； 故答案为：， 【点评】本题主要考查平面向量数量积的理解及运算，考查数形结合思想，属于中档题 17 （6 分） 设实数 a， b 满足： 1ba， 则的取值范围为 1，） 【分析】由 1b，1a，ba，可得1，1，即有t 第 17 页（共 23 页） 1，由对号函数的单调性和基本不等式，可得取值范围 【解答】解：由 1b，1a， 可得 1ab3， 由 1b，1a，ba， 可得1，1， 即有1， 则+211，当且仅当 ab1 取得最小值 1； 又+t

24、+在，1递减，可得 t+，当且仅当 a，b1 取得等号， ，当 ab时取得等号， 由于的等号不同时成立，可得+， 综上可得，的取值范围是1，） 故答案为：1，） 【点评】本题考查最值的求法，注意运用不等式的性质和函数的单调性、基本不等式， 考查运算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明或演算步骤分解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 18已知函数 （）求的值； （）求 f（x）的最小正周期和单调递增区间 【分析】 （1）由函数解析式计算函数值即可； （）化 f（x）为正弦型函数，再求它的最小正周期和递增区间 【解答】解

25、： （1）由函数， 则； （） 第 18 页（共 23 页） ， 所以 f（x）的最小正周期为 T， 由得， 所以函数 f（x）的递增区间是 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题 19如图，三棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，CBD90，E，F 分别是 BD， CD 的中点，且 ABBEAEBC （）证明：ACAD； （）求 AF 与平面 ACE 所成角的余弦值 【分析】 （1）证明 BCAD，ADBC，推出 AD平面 ABC，即可证明 ADAC （2） 取 BE 中点 G， 连接 GF 与 CE 相交于 H， 说明FAH 即为 AF 与平面 ACE 所成角

26、通 过求解三角形，推出结果即可 【解答】解： （1）因为平面 ABD平面 BCD，且 BCBD，所以 BC平面 ABD， 所以 BCAD， 又由于 EAEBED，所以 ADBC， 所以 AD平面 ABC，所以 ADAC （2）取 BE 中点 G，连接 GF 与 CE 相交于 H， 由于平面 ABD平面 BCD，且 AGBD，所以 AG平面 BCD， 所以 AGCE，又 GFCE，所以 CE平面 AFG， 所以平面 ACE平面 AFG， 所以 AF 在平面 ACE 上的射影在直线 AH 上， 则FAH 即为 AF 与平面 ACE 所成角 第 19 页（共 23 页） 设 BC1，ABBEAEBC

27、AG，DG，DC，GF，AF ， ， 由余弦定理可得： 所以 AF 与平面 ACF 所成角的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查 空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题 20设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a23，S42（a5+1） ，数列bn的前 n 项和为 Tn， 满足 b11，bn+1TnTn+1（nN*） （）求数列an、bn的通项公式； （）记 cn，nN*，证明：c1+c2+cn 【分析】 （）设首项为 a1，公差为 d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公 差，进而得到所求 an；再由数列的递推式，化简可得所求

28、通项公式 bn； （）由（1）知，用数学归纳法证明，注意由 nk 成立，证明 nk+1 也成立，运用不等式的性质 【解答】解： （）设首项为 a1，公差为 d，则， 第 20 页（共 23 页） 解得 a11，d2，故 an2n+1， 由 bn+1TnTn+1，得，T11，所以，即， 所以，故 （ ） 证 明 ： 由 （ 1 ） 知， 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： ， 当 n1 时，左边1，右边，不等式成立， 假设 nk 时成立，即， 即 当n k+1时 ， 即当 nk+1 时，不等式也成立 由，可知，不等式对任意 nN*都成立 【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的递推式，考查数列

29、不等式的证明，注意 运用数学归纳法，考查化简运算能力，属于中档题 21已知抛物线 C：x22py（p0） ，直线 yx 截抛物线 C 所得弦长为 （）求 p 的值； （）若直角三角形 APB 的三个顶点在抛物线 C 上，且直角顶点 P 的横坐标为 1，过点 A、B 分别作抛物线 C 的切线，两切线相交于点 Q 若直线 AB 经过点（0，3） ，求点 Q 的纵坐标； 求的最大值及此时点 Q 的坐标 第 21 页（共 23 页） 【分析】 （），解得两交点为（0，0） ， （2p，2p） 利用距离公式求解即可 （）设点，Q（m，n） 切线 QA：，QB： ， 由题设知，转化求解点 Q 的纵坐标 由

30、题设知，即利用三角形的面积的比值，结合基 本不等式转化求解即可 【解答】解： （），解得两交点为（0，0） ， （2p，2p） 所以， （）设点，Q（m，n） 切线 QA：，QB： ， 由题设知， 即 x1，x2是方程 x22mx+n0 的两根，于是 x1+x22m，x1x2n 故直线 AB：2mxyn0又因为直线 AB 经过点（0，3） ， 所以 n3，即点 Q 的纵坐标为3 由题设知，即 则， 第 22 页（共 23 页） 若 4n+60，令 t2n3（t0） ， 若 4n+60，令 t2n+30， 当且仅当 t5，n1 时，等号成立，此时点 Q 的坐标为 【点评】本题考查直线与抛物线的位

31、置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力， 是难题 22设函数 f（x）e ax+2x（a0） （）当 a2，求函数 f（x）的单调区间； （）当时，若对任意 x（，0，均有，求 a 的取值范 围 【分析】 （1）当 a2 时，求出 f（x）2e 2x+2，利用导函数的符号，推出函数的单 调区间即可 （2），令，则 ，求出函数的最大值，下面证明当时， ，即，通过构造函数，转化求解即可 【解答】解： （1）当 a2 时，函数 f（x）e 2x+2x，f（x）2e2x+2， 由于 f（0）0，且函数 f（x）单调递增， 所以当 x0 时，f（x）0，当 x0 时，f（x）0， 故函数的单调递减区间是（，0） ，递增区间是（0，+） （2）由（1）可知，a2，函数 f（x）在 x0 是减函数， 所以因为， 令，则， 由，解得， 故 g（x）在（，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减， 第 23 页（共 23 页） 所以， 下面证明当时，即， 令，即证， 令，h（t）在区间单 调递减，则 综上所述当时，对任意 x（，0，均有 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化 思想以及分类讨论思想的应用，是难题