2019-2020学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、已知等差数列an的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列，则 a2（ ） A4 B6 C8 D10 4（4 分） 实数 x、 y 满足约束条件， 则目标函数（x0） 的取值范围是 （ ） A （2，2） B （，2）（2，+） C （，22，+） D2，2 5 （4 分）若 xR，则“x31”是“|x|1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （4 分） 已知双曲线的左、 右焦点分别为 F1， F2， 过 F2的直线 l 交双曲线于 P、 Q 两点，若 PQ 长为 5，则PQF1的周长是（ ） A13 B18 C21 D26 7 （4 分）已

2、知离散型随机变量 满足二项分布且 B（3，p） ，则当 p 在（0，1）内增大 时， （ ） AD（）减少 BD（）增大 CD（）先减少后增大 DD（）先增大后减小 8 （4 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）|f（x）|x+m 恰有三个零 点，则实数 m 的取值范围是（ ） A B 第 2 页（共 21 页） C D 9 （4 分）已知实数 a，b，c 满足 a2+b2+2c21，则 2ab+c 的最小值是（ ） A B C1 D 10 （4 分）在三棱锥 SABC 中，ABC 为正三角形，设二面角 SABC，SBCA，S CAB 的平面角的大小分别为 ， ， （， ，） ， 则下面结

3、论正确的是 （ ） A的值可能是负数 B C+ D的值恒为正数 二、填空题：单空题二、填空题：单空题 4 分，多空题分，多空题 6 分，共分，共 34 分分 11 （6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 cm3，表 面积为 cm2 12 （6 分）二项式的展开式中常数项等于 ，有理项共有 项 13 （6 分）已知直线 xmy+2（mR）与椭圆相交于 A，B 两点，则|AB|的最小 值为 ；若，则实数 m 的值是 14（6分） 设ABC的三边a， b， c所对的角分别为A， B， C 若b2+3a2c2， 则 ， tanA 的最大值是 第 3 页（共 21 页）

4、15 （4 分）现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个若将 其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是 16 （4 分）对任意 x1，e，关于 x 的不等式 xlnx+a2ax+alnx（aR）恒成立，则实数 a 的取值范围是 17 （4 分）正方形 ABCD 的边长为 2，E，M 分别为 BC，AB 的中点，点 P 是以 C 为圆心， CE 为半径的圆上的动点，点 N 在正方形 ABCD 的边上运动，则的最小值 是 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）已知函数 （1）求的值和 f（x）的最小正周期； （2）设

5、锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且，a2，求 b+c 的取值范围 19 （15 分）如图，三棱锥 DABC 中，ADCD，ABBC4，ABBC （1）求证：ACBD； （2）若二面角 DACB 的大小为 150且 BD4时，求直线 BM 与面 ABC 所成角 的正弦值 20 （15 分）已知 Sn是数列an的前 n 项和，已知 a11 且 nSn+1（n+2）Sn，nN* （1）求数列an的通项公式； （2）设数列 bn（1） n ，数列bn的前项和为 Pn若|Pn+1|， 求正整数 n 的最小值 第 4 页（共 21 页） 21 （15 分）已知点 F 是抛物线

6、C：y24x 的焦点，直线 l 与抛物线 C 相切于点 P（x0，y0） （y00） ，连接 PF 交抛物线于另一点 A，过点 P 作 l 的垂线交抛物线 C 于另一点 B （1）若 y01，求直线 l 的方程； （2）求三角形 PAB 面积 S 的最小值 22 （15 分）已知函数 f（x）（logax）2+xlnx（a1） （1）求证：f（x）在（1，+）上单调递增； （2）若关于 x 的方程|f（x）t|1 在区间（0，+）上有三个零点，求实数 t 的值； （3）若对任意的 x1，x2a 1，a，|f（x 1）f（x2）|e1 恒成立（e 为自然对数的底 数） ，求实数 a 的取值范围

7、第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）若集合 Ax|1x2，集合 Bx|22x4，则 AB（ ） A （1，2） B1，2） C0，2） D （0，2） 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|1x2， 集合 Bx|22x4x|1x2， ABx|1x21，2） 故选：B 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （4

8、 分）已知复数（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模|z|（ ） A1 B C2 D4 【分析】直接利用商的模等于模的商求解 【解答】解：， |z| 故选：C 【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题 3 （4 分）已知等差数列an的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列，则 a2（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】利用已知条件列出关于 a1，d 的方程，求出 a1，代入通项公式即可求得 a2 【解答】解：a4a1+6，a3a1+4，a1，a3，a4成等比数列， a32a1a4， 即（a1+4）2a1（a1+6） ， 解得 a18， a2a1+26 第 6 页（共

9、 21 页） 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单 4（4 分） 实数 x、 y 满足约束条件， 则目标函数（x0） 的取值范围是 （ ） A （2，2） B （，2）（2，+） C （，22，+） D2，2 【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的动点 与定点 O（0，0）连线的斜率求解 【解答】解：由实数 x、y 满足约束条件，作出可行域如图， 由图形可得 A（1，1） ，B（1，1） ， 目标函数的几何意义为可行域内的动点与定点 D（0，1）连线的斜率， kDA2，kDB2， 函数的取值范围是（，22，+） 故选：C 【点评】

10、本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 5 （4 分）若 xR，则“x31”是“|x|1”的（ ） 第 7 页（共 21 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义判定即可 【解答】解：x31，则 x1，所以|x|1 成立， 反之，|x|1，x1 或者 x1，x3可能大于 1，也可能小于1， 故前者能推出后者，后者推不出前者， x31”是“|x|1”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件的判定，基础题 6 （4 分） 已知双曲线的左、 右焦点分别为 F1， F2， 过 F2的直线 l

11、交双曲线于 P、 Q 两点，若 PQ 长为 5，则PQF1的周长是（ ） A13 B18 C21 D26 【分析】利用双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，进而得到其周长 【解答】解：双曲线，可得 a4， |PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a， PQF1的周长|PF1|+|QF1|+|PQ|4a+2|PQ|44+2526 故选：D 【点评】熟练掌握双曲线的定义是解题的关键，考查转化思想以及计算能力，是基础题 7 （4 分）已知离散型随机变量 满足二项分布且 B（3，p） ，则当 p 在（0，1）内增大 时， （ ） AD（）减少 BD（）增大 CD（）先减少

12、后增大 DD（）先增大后减小 【分析】根据离散型随机变量 满足二项分布且 B（3，p） ，可得 D（）3p（1p） ， 利用二次函数的单调性即可判断出结论 【解答】解：离散型随机变量 满足二项分布且 B（3，p） ， D（）3p（1p）3+ 则当 p 在（0，1）内增大时，D（）在（0，上增大，在，1）上减小 第 8 页（共 21 页） 故选：D 【点评】本题考查了二项分布列的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 8 （4 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）|f（x）|x+m 恰有三个零 点，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】本题等价于函数

13、 y|f（x）|的与 yxm 的图象有 3 个交点，分别利用到时求 出切点时 m 的值即可得到 m 取值范围 【解答】解：作出函数 y|f（x）|的与 yxm 图象如图： 当 yxm 为 y的切线时，即1，解得 x1， 即切点为（1，1） ，代入 yxm 得 m2， 所以 m2； 当 yxm 为 y2xx2（x（0，1） ）的切线时， 即 22x1，解得 x， 即切点为（，） ，代入 yxm 得 m， 所以m0； 故 m 的取值范围是（，2）（，0， 故选：A 【点评】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题 第 9 页（共 21 页） 9 （4 分）已知实数 a，b

14、，c 满足 a2+b2+2c21，则 2ab+c 的最小值是（ ） A B C1 D 【分析】先分离出 a2+b2，应用基本不等式转化为关于 c 的二次函数，进而求出最小值 【解答】解：若 ab+c 取最小值，则 ab 异号，c0， 根据题意得：12c2a2+b2， 又由 a2+b22|ab|2ab，即有 12c22ab， 则 2ab+c2c2+c12（c+）2， 即 2ab+c 的最小值为， 故选：B 【点评】本题考查代数式求和，考查一元二次不等式性质、完全平方和、完全平方差公 式基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 10 （4 分）在三棱锥 SABC 中，ABC 为正三

15、角形，设二面角 SABC，SBCA，S CAB 的平面角的大小分别为 ， ， （， ，） ， 则下面结论正确的是 （ ） A的值可能是负数 B C+ D的值恒为正数 【分析】将问题平面化，画出图形，分类讨论得解事实上，答案必在 AD 中选其一， 作为选择题，可直接选 D 【解答】解：记 O 为点 S 在平面 ABC 的射影点，则如图（4） ，O 可能落在 7 个区域，根 据正三角形对称性，只需分析落在区域 7，4，5 的情况，分别与图（1） ， （2） ， （3）对应， 第 10 页（共 21 页） 图（1） ，若 S 接近 O，则 +0，故 C 错，显然此时； 图（2） ，如图， 可得， 设

16、 AB2，则，则 d1+d2d30， 故； 图（3） ，如图， 可得， 设 AB2，则，则， 故； 故选：D 【点评】本题考查空间角的综合问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查转化思想，数形结合思想以及逻辑推理，运算求解能力，是中档题 二、填空题：单空题二、填空题：单空题 4 分，多空题分，多空题 6 分，共分，共 34 分分 第 11 页（共 21 页） 11 （6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 56 cm3，表 面积为 76 cm2 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积以及表面积即可 【解答】解：由题意可

17、知，几何体是正方体的一部分，正方体的棱长为 4， 几何体的体积为：56（cm3） 几何体的表面积为：76+8（cm2） 故答案为：56；76+8 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积以及体积，判断几何体的形状是解题的关 键，是中档题 12 （6 分）二项式的展开式中常数项等于 15 ，有理项共有 4 项 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项再把 r 的所有取值分别代入幂指数即可求出其有理项的个数 【解答】 解： 二项式的展开式的通项公式为 Tr+1 第 12 页（共 21 页） x 令0，求得 r2，可得展开式中常数项为 15， 令

18、r0，1，2，3，4，5，6；可得3，0，3，6； 所以其有理项有 4 项 故答案为：15，4 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 13 （6 分）已知直线 xmy+2（mR）与椭圆相交于 A，B 两点，则|AB|的最小 值为 ；若，则实数 m 的值是 1 【分析】过焦点的最短弦长即为通径长，由弦长公式建立关于 m 的方程，即可求得 m 的 值 【解答】解：易知直线 xmy+2 恒过点（2，0） ，而点（2，0）恰为椭圆的右 焦点， 则|AB|的最小值即为通径长， 联立，消去 x 得， （5m2+9）y2+20my250， 设 A（x1，

19、y1） ，B（x2，y2） ，则， 则 ， 解得 m1 故答案为： 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查通径及弦长的求法，考查逻辑推理能力 及运算求解能力，属于基础题 第 13 页（共 21 页） 14 （6 分）设ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C若 b2+3a2c2，则 2 ，tanA 的最大值是 【分析】 由已知可得 b2c23a2， 利用同角三角函数基本关系式， 余弦定理可求 的值，利用两角和的正切函数公式，基本不等式即可求解 tanA 的最大值 【解答】解：设ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，Cb2+3a2c2，可得 C 为钝角， b2c2

20、3a2， 则2 tanC2tanB， tanAtan （B+C） tan （B+C） tanB0，可得2，当且仅当 tanB时等号成立， tanA，当且仅当 tanB时等号成立， 可得 tanA 的最大值是， 故答案为：2， 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 15 （4 分）现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个若将 其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是 【分析】将其随机排成一列，基本事件总数 n，相同颜色的球都不相邻包含的 基本事件个数 m48由此能求出相同颜色的球都不

21、相邻的概率 【解答】解：现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个 若将其随机排成一列，基本事件总数 n， 第 14 页（共 21 页） 相同颜色的球都不相邻排列的基本事件个数 m48 则相同颜色的球都不相邻的概率是 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、组合等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 16 （4 分）对任意 x1，e，关于 x 的不等式 xlnx+a2ax+alnx（aR）恒成立，则实数 a 的取值范围是 1 【分析】本题的解题关键是将不等式进行转化为 a2（x+lnx）a+xlnx0，进而有（ax） （alnx）0，解此

22、不等式可得 a 与 x、lnx 的关系式，再根据 x、lnx 的取值范围以及不 等式恒成立可得 a 的取值范围 【解答】解：由题意，将原不等式转化为： a2（x+lnx）a+xlnx0， 即（ax） （alnx）0， 即，或 lnxax，或 xalnx 1xe，0lnx1 解不等式 lnxax，得 a1； 解不等式 xalnx，得 a 的解集为 实数 a 的取值范围是11 故答案为：1 【点评】本题主要考查了转化思想的应用和不等式的解法，考查了逻辑思维能力和数学 运算能力本题属中档题 17 （4 分）正方形 ABCD 的边长为 2，E，M 分别为 BC，AB 的中点，点 P 是以 C 为圆心，

23、 CE 为半径的圆上的动点，点 N 在正方形 ABCD 的边上运动，则的最小值是 【分析】作图，利用数量积的几何意义即可得解 【解答】解：如图，圆 C 的半径为 1， 第 15 页（共 21 页） ， 当且仅当点 N 在点 C 处，点 P 在点 P0处时取到最小值 故答案为： 【点评】本题考查数量积的运算及其几何意义，考查逻辑推理能力及数形结合能力，属 于中档题 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）已知函数 （1）求的值和 f（x）的最小正周期； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且，a2，求 b+c 的取值范围 【分析

24、】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数， 进一步求出函数的最小正周期 （2）利用（1）的结论和函数的关系式的变换及正弦定理的应用求出结果 【解答】解： （1）函数 所以 所以 f（x）， 所以函数 f（x）的最小正周期为 ； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且， 第 16 页（共 21 页） 所以，解得 A 利用正弦定理， 解得， 所以 b+c， 由于，解得，所以， 所以 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力

25、及思 维能力，属于基础题型 19 （15 分）如图，三棱锥 DABC 中，ADCD，ABBC4，ABBC （1）求证：ACBD； （2）若二面角 DACB 的大小为 150且 BD4时，求直线 BM 与面 ABC 所成角 的正弦值 【分析】 （1）取 AC 中点 O，连结 BO，DO，推导出 ACBO，ACDO，从而 AC平 面 BOD，由此能证明 ACBD （2）BOD 是二面角 DACB 的平面角，从而BOD150，推导出平面 BOD 平面 ABC，在平面 BOD 内作 OzOB，则 Oz平面 ABC，以 O 为原点，OB 为 x 轴， OC 为 y 轴，Oz 为 z 轴，建立空间直角坐标

26、系，利用向量法能求出直线 BM 与面 ABC 所 成角的正弦值 第 17 页（共 21 页） 【解答】解： （1）证明：取 AC 中点 O，连结 BO，DO， ADCD，ABBC，ACBO，ACDO， BODOO，AC平面 BOD， 又 BD平面 BOD，ACBD （2）解：由（1）知BOD 是二面角 DACB 的平面角，BOD150， AC平面 BOD，平面 BOD平面 ABC， 在平面 BOD 内作 OzOB，则 Oz平面 ABC， 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得 OB4，在BOD 中由余弦定理得 OD4， A（0，4，

27、0） ，B（4，0，0） ，C（0，4，0） ，D（6，0，2） ，M（3，2，） ， （7，2，） ， 平面 ABC 的法向量 （0，0，1） ， 设直线 BM 与面 ABC 所成角为 ， 则直线 BM 与面 ABC 所成角的正弦值为：sin 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （15 分）已知 Sn是数列an的前 n 项和，已知 a11 且 nSn+1（n+2）Sn，nN* （1）求数列an的通项公式； （2）设数列 bn（1） n ，数列bn的前项和为 Pn若|Pn+1|， 第 1

28、8 页（共 21 页） 求正整数 n 的最小值 【分析】 （1） ，可得有Sn 即可得 ann， （2）可得 bn（1）n（1）n（） ，Pn1+ +（1）n（）1+（1）n，解得 n即可得解 【解答】解： （1） ，由 nSn+1（n+2）Sn，nN*可得 当 n2 时，有 又 a1S11，Sn 当 n2 时，anSnSn1n， 又 a11 满足 ann， ann （2）由（1）可得 bn（1）n（1）n（） ， 数列bn的前项和为 Pn1+（1）n（） 1+（1）n |Pn+1|，解得 n 正整数 n 的最小值为 1010 【点评】本题考查了数列递推式、裂项求和，考查了运算能力，属于中档题

29、 21 （15 分）已知点 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，直线 l 与抛物线 C 相切于点 P（x0，y0） （y00） ，连接 PF 交抛物线于另一点 A，过点 P 作 l 的垂线交抛物线 C 于另一点 B （1）若 y01，求直线 l 的方程； （2）求三角形 PAB 面积 S 的最小值 第 19 页（共 21 页） 【分析】 （1）由 y01 得，设出直线 l 的方程，联立直线及抛物线的方程，由 相切，则0，由此即可求得结论； （2）设出切线方程及 A，B 两点的坐标，表示出点 A 到直线 PB 的距离及弦长 PB，由三 角形面积公式表示出面积，利用基本不等式即可求得最小值 【解答

30、】解： （1）由 y01 得，设直线 l 的方程为， 由，得 y24ty+4t10， 直线 l 与抛物线相切， 16t24（4t1）0，解得， 故所求直线 l 的方程为，即； （2）设切线 l 的方程为， 又 A，F，P 三点共线，故，而， 化简可得 y1y04， 故， 由得，y24ty+4ty04x00， 直线 l 与抛物线相切， 第 20 页（共 21 页） 2y04t，即， 故直线 PB 的方程为，即， 因此点 A 到直线 PB 的距离为， 由得， 即 ， ， 当且仅当“，即 y02”时取等号，此时三角形 PAB 的面积 S 的最小值为 16 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及

31、了相切问题的处理，点到直线的距离， 弦长公式，面积公式，基本不等式等基础知识点，考查逻辑推理能力及运算求解能力， 属于较难题目 22 （15 分）已知函数 f（x）（logax）2+xlnx（a1） （1）求证：f（x）在（1，+）上单调递增； （2）若关于 x 的方程|f（x）t|1 在区间（0，+）上有三个零点，求实数 t 的值； （3）若对任意的 x1，x2a 1，a，|f（x 1）f（x2）|e1 恒成立（e 为自然对数的底 数） ，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求导，判断导函数在（1，+）恒大于零即可得证； （2）可得 f（x）minf（1） ，进而得到 t1f（1）1，由

32、此得解； （3）显然函数 f（x）在 x1 处取得最小值，作差比较 f（a 1）与 f（a）的大小关系， 进而得到最大值，即可把问题转化为 alnae1，由此得解 第 21 页（共 21 页） 【解答】解： （1）证明：， a1，x1， ， f（x）在（1，+）上单调递增； （2）0x1，分别有， f（x）0， 结合（1）知，f（x）minf（1） ， t1f（1）1， t2； （3）由（2）可知，f（x）在a 1，1单调递减，在1，a上单调递增， ，且 f（a）f（a 1）aa12lna， 令 g（x）xx 12lnx，则 ， g（a）g（1）0， g（x）maxf（a） ， 任意的 x1，x2a 1，a，|f（x 1）f（x2）|f（a）f（1）alna， 以下只需 alnae1，由 h（x）xlnx 的单调性解得 1ae 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及零点，考查不等式恒成立求参数 的取值范围，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题