2019-2020学年浙江省十校联盟高三(下)开学数学试卷(含详细解答)
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1、设集合 Ax|x23x40,Bx|2x3,则(RA)B( ) AR B2,1 C1,3 D2,4 2 (4 分)已知双曲线的上、下焦点分别为 F1(0,3) ,F2(0,3) ,P 是双曲线上一点且 |PF1|PF2|4,则双曲线的标准方程为( ) A B C D 3 (4 分)已知两非零复数 z1,z2,若 z1z2R,则一定成立的是( ) Az1+z2R B C D 4 (4 分)已知 a,bR,则“|a|1”是“|ab|+|b|1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 (4 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,其俯视图为等边三
2、角形,则该几何体 的体积(单位:cm3)是( ) 第 2 页(共 27 页) A4 B C2 D 6 (4 分)函数 y的图象大致为( ) A B C D 7 (4 分)设,相互独立的两个随机变量 , 的分布列如表: 1 1 P 1 1 第 3 页(共 27 页) P 1p p 则当 p 在内增大时( ) AE(+)减小,D(+)增大 BE(+)减小,D(+)减小 CE(+)增大,D(+)增大 DE(+)增大,D(+)减小 8 (4 分)如图,矩形 ABCD 中,AB4,AD2,E 为 CD 的中点,ADE 沿着 AE 向上 翻折,使点 D 到 D若 D在平面 ABCD 上的投影 H 落在梯形
3、 ABCE 内部(不含边界) , 设二面角 DBCE 的大小为 , 直线 DC, DB 与平面 ABC 所成角分别为 , , 则 ( ) A B C D 9 (4 分)已知 ab0,给出下列命题: 若,则 ab1; 若 a3b31,则 ab1; 若 eaeb1,则 ab1; 若 lnalnb1,则 ab1 其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 10 (4 分)已知数列an的各项都是正数且满足 2an23anan1(nN*,n2) ,Sn是数 列an的前 n 项和,则下列选项中错误的一项是( ) A若an单调递增,则 0a12 B若 a11,则 C若 a12,则 D若 a13,则 二
4、、填空题(共二、填空题(共 7 小题,每小题小题,每小题 6 分,满分分,满分 36 分)分) 11 (6 分)我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理,成就了我国 第 4 页(共 27 页) 古代数学的骄傲,后人称之为“赵爽弦图” 如图,它是由四个全等的直角三角形和中间 的一个小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角记为 ,大正方形的 面积为 25,小正方形的面积为 1,则 sin , 12(6 分) 已知直线 l: ykx 被圆 C:(x1) 2+ (y+2)24 截得的弦长为 , 则 k , 圆 C 上到直线 l 的的距离为 1 的点有 个 13 (6 分)
5、(1)若二项式的展开式中存在常数项,则 n 的最小值 为 ; (2)从 6 名志愿者中选出 4 人,分别参加两项公益活动,每项活动至少 1 人,则不同安 排方案的种数为 (用数字作答) 14 (6 分)如图,在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若,c5, B2C, 则 cosC , 点 D 为边 BC 上一点, 且 BD6, 则ADC 的面积为 15 (4 分)已知 F 是椭圆 C:的左焦点,A,B 是椭圆 C 上的两个相异动点,若 AB 中点的横坐标为 1,则 F 到直线 AB 距离的最小值为 16 (4 分)已知向量满足,且,则的取值范围 为 17 (4 分)已知函数
6、 f(x)x33x2+ax(a0,aR) ,若函数 f(x)有三个互不相同的 零点 0,t1,t2,其中 t1t2,若对任意的 xt1,t2,都有 f(x)a+14 成立,则实数 a 的最小值为 三、解答题(共三、解答题(共 5 小题,满分小题,满分 74 分)分) 18 (14 分)已知函数的图 第 5 页(共 27 页) 象如图所示; ()求函数 f(x)的解析式; ()求函数的单调递增区间 19 (15 分)如图,四棱锥 PABCD 中,PAB 是等边三角形,底面 ABCD 是直角梯形, ABCD,ABAD,ABBC2,F,G 分别是 PC,AD 的中点 (1)求证:FG平面 PAB;
7、求线段 FG 的长度 (2)若 PC3,求直线 FG 与平面 PBC 所成角的正弦值 20 (15 分)设 Sn是数列an的前 n 项和,且 an是 Sn和 2 的等差中项 (1)求数列an的通项公式; (2)记 bkak (ak+ak+1+an) (1kn) , 求数列bk(1kn)的前 n 项和 Tn; 设(nN*) ,求证: 21 (15 分)如图,已知抛物线 y24x 的焦点为 F,准线为 l,过点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 B 在准线 l 上的投影为 E,若 C 是抛物线上一点,且 ACEF 第 6 页(共 27 页) (1)证明:直线 BE 经过 AC 的中点 M;
8、 (2)求ABC 面积的最小值及此时直线 AC 的方程 22 (15 分)已知函数,f(x)是 f(x)的导函数 (1)证明:当 m2 时,f(x)在(0,+)上有唯一零点; (2)若存在 x1,x2(0,+) ,且 x1x2时,f(x1)f(x2) ,证明: 第 7 页(共 27 页) 2019-2020 学年浙江省十校联盟高三(下)开学数学试卷学年浙江省十校联盟高三(下)开学数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 (4 分)设集合 Ax|x23x40,Bx|2x3,则(RA)B( ) AR B2,1 C1,3 D2,4 【分析】化简集合 Ax|x4 或 x
9、1,从而求RAx|1x4再求(RA)B x|1x3 【解答】解:Ax|x23x40x|x4 或 x1, Bx|2x3, RAx|1x4, 则(RA)Bx|1x3, 故选:C 【点评】本题考查了集合的化简与集合的运算,属于基础题 2 (4 分)已知双曲线的上、下焦点分别为 F1(0,3) ,F2(0,3) ,P 是双曲线上一点且 |PF1|PF2|4,则双曲线的标准方程为( ) A B C D 【分析】由双曲线的定义可得实轴长及半个焦距,再由 a,b,c 之间的关系求出 b,进而 求出双曲线的方程 【解答】解:由双曲线的定义可得 c3,2a4,即 a2,b2c2a2945,且焦 点在 y 轴上,
10、 所以双曲线的方程为:1, 故选:C 【点评】本题考查双曲线的定义式求标准方程,属于基础题 3 (4 分)已知两非零复数 z1,z2,若 z1z2R,则一定成立的是( ) 第 8 页(共 27 页) Az1+z2R B C D 【分析】设 z1a+bi,z2c+di, (a,b,c,dR) ,然后逐个计算判断 A、B、C,结合 z1z2R 判断 D 正确 【解答】解:设 z1a+bi,z2c+di, (a,b,c,dR) , z1+z2a+bi+c+dia+c+(b+d)i, z1+z2R 不一定成立,故 A 不正确; 则(a+bi) (cdi)ac+bd+(bcad)i, R 不一定成立,故
11、 B 不正确; , R 不一定成立,故 C 不正确; ,且 z1z2R, R 正确,故 D 成立 故选:D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题 4 (4 分)已知 a,bR,则“|a|1”是“|ab|+|b|1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据绝对值不等式的性质和特殊值法,判断即可 【解答】解:|ab|+|b|ab+b|a|, 因为|ab|+|b|1, 所以|a|1, 故后者能推出前者, 反之,比如 a1,b3,推不出后者, 故为必要不充分条件, 第 9 页(共 27 页) 故选:B 【点评】考查四个条件的判断,
12、绝对值不等式的性质,属于基础题 5 (4 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,其俯视图为等边三角形,则该几何体 的体积(单位:cm3)是( ) A4 B C2 D 【分析】由三视图还原原几何体,可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥 HEFG, 然后由柱体体积减去三棱锥体积求解 【解答】解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥 HEFG, 第 10 页(共 27 页) 三角形 ABC 的面积 S 几何体的体积 V 故选:B 【点评】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题 6 (4 分)函数 y的图象大致为( ) A B C D 【分析
13、】先判断函数的奇偶性,再根据函数值的变化规律即可得到答案 【解答】解:函数 f(x), f(x)f(x) , f(x)为奇函数,故图象关于原点对称,故排除 A, 当 x 从右趋向于 0 时,f(x)趋向于+,当 x 趋向于+时,f(x)趋向于 0, 故排除 BC, 故选:D 【点评】本题考查了函数图象的识别,常用的方法利用函数的奇偶性,单调性,特殊值, 属于中档题 7 (4 分)设,相互独立的两个随机变量 , 的分布列如表: 1 1 P 第 11 页(共 27 页) 1 1 P 1p p 则当 p 在内增大时( ) AE(+)减小,D(+)增大 BE(+)减小,D(+)减小 CE(+)增大,D
14、(+)增大 DE(+)增大,D(+)减小 【分析】求出 E(),E()2p1,从而 E(+)2p,D(), D()4p4p2,从而 D(+)4p4p2+4(p)2+,由此得到当 p 在 内增大时,E(+)增大,D(+)减小 【解答】解:, E()+,E()p1+p2p1, E(+)2p, D()(1+)2+(1+)2, D()(2p)2(1p)+(22p)2p4p4p2, D(+)4p4p2+4(p)2+, 当 p 在内增大时,E(+)增大,D(+)减小, 故选:D 【点评】本题考查命题真假的判断,考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基 础知识,考查运算求解能力,是中档题 8 (4 分)
15、如图,矩形 ABCD 中,AB4,AD2,E 为 CD 的中点,ADE 沿着 AE 向上 翻折,使点 D 到 D若 D在平面 ABCD 上的投影 H 落在梯形 ABCE 内部(不含边界) , 设二面角 DBCE 的大小为 , 直线 DC, DB 与平面 ABC 所成角分别为 , , 则 ( ) 第 12 页(共 27 页) A B C D 【分析】 作出图象, 根据空间角定义可得, 结合 HMHBHC,即可得出结论 【解答】解:由 AB2AD4 可知,DEDA,作 AB 中点 P,则 DPAE,故 H 在线段 DP 上,作 DMBC 交 BC 于 M,连接 HM,HB,HC,如图, 易知, 又
16、 HMHBHC, 故选:C 【点评】本题考查空间角的综合运用,考查逻辑推理能力以及空间想象能力,属于中档 题 9 (4 分)已知 ab0,给出下列命题: 若,则 ab1; 若 a3b31,则 ab1; 若 eaeb1,则 ab1; 若 lnalnb1,则 ab1 其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【分析】若,则,然后两边平方,再通过作差法即可得解; 若 a3b31,则 a31b3,然后利用立方差公式可知(a1) (a2+a+1)b3,再结 第 13 页(共 27 页) 合 ab0 以及不等式的性质即可判断; 若 eaeb1,则,再利用 b0,得出 eb1,从而求得 ea b 的
17、范围,进而判断; 取特殊值,ae,b1 即可判断 【解答】解:若,则,所以,所以 ab1+2 1,即错误; 若 a3b31,则 a31b3,即(a1) (a2+a+1)b3, 因为 ab0,所以 a2b2,所以 a2+a+1b2,所以 a1b,即 ab1,所以正确; 若 eaeb1,则,因为 b0,所以 1ea b2e,所以 a b1,即正确; 取 ae,b1,满足 lnalnb1,但 ab1,所以错误; 所以真命题有, 故选:B 【点评】本题考查指对运算法则、立方差公式、不等式的性质等,考查学生的分析能力 和运算能力,属于中档题 10 (4 分)已知数列an的各项都是正数且满足 2an23a
18、nan1(nN*,n2) ,Sn是数 列an的前 n 项和,则下列选项中错误的一项是( ) A若an单调递增,则 0a12 B若 a11,则 C若 a12,则 D若 a13,则 【分析】由数列递增可得 anan1,结合数列的递推式,解不等式可判断 A;分别求得 a2,a3,比较可判断 B;由数列的递推式可得 2an+1,由累差法可判断 C;求 得 a2,S2,可判断 D 第 14 页(共 27 页) 【解答】解:数列an的各项都是正数且满足 2an23anan1(nN*,n2) , 若an单调递增,可得 anan1, 即为 anan14an2an20,可得 0an2, (n2 且 nN*) ,
19、 由 a1a2,可得 0a12,故 A 正确; 若 a11,可得 2a223a2a11,解得 a2(负值已舍去) , 由 2a323a3a2, (*) , (1.75,1.8) , 而 2a323a32(a3)2在(2,2)的范围是(432,2) , 而22,则 432(46,) ,故方程(*)的解在(2,2)内, 故 B 正确; 由 2an23anan1,可得 2an23an2an12,即(2an+1) (an2)an12, 即 2an+1,可得(2a2+1) (2a3+1)(2an+1) (a12) ,故 C 正确; 若 a13,可得 2a223a2a13,解得 a2,S23+, 由,3+
20、0,可得 S2,故 D 错误 故选:D 【点评】本题考查命题的真假判断,主要是数列的递推式的运用,考查数列中的项的范 围和单调性,以及数列的求和,考查化简运算能力、推理能力,属于中档题 二、填空题(共二、填空题(共 7 小题,每小题小题,每小题 6 分,满分分,满分 36 分)分) 11 (6 分)我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理,成就了我国 古代数学的骄傲,后人称之为“赵爽弦图” 如图,它是由四个全等的直角三角形和中间 的一个小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角记为 ,大正方形的 面积为 25,小正方形的面积为 1,则 sin , 第 15 页(共 2
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