2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高三（下）期初数学试卷（含详细解答）

《2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高三（下）期初数学试卷（含详细解答）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高三（下）期初数学试卷（含详细解答）（22页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，则“a10”是“S990”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （4 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x）的图象关于直线 x2 对称若当 0x2 时，f（x）x+1，则 f（2019）+f（2020）（ ） A0 B1 C2 D4 7 （4 分）已知 A，B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个A 盒中 第 2 页（共 22 页） 有 m 个红球与 10m 个白球， B 盒中有 10m 个红球与 m 个白球（0m10） ，若从 A， B 盒中各取一个球， 表示所取的 2

2、个球中红球的个数，则当 D 取到最大值时，m 的值 为（ ） A3 B5 C7 D9 8 （4 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是正方体棱上的一点，若满足 |PB|+|PD1|m 的点 P 的个数大于 6 个，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 9 （4 分）已知函数 f（x）满足：对任意的实数 x，y，都有 f（x+y）f（x）+f（y）+4xy 成立，且 f（2） f（2）64，则（ ） A B C D 10 （4 分）已知数列an满足 a11，则使得最小的 整数 m 是（ ） A65 B64 C63 D62 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共

3、 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. 11 （6 分）设 i 为虚数单位，给定复数，则 z 的虚部为 ；模为 12 （6 分）二项式的展开式中常数项等于 ，有理项共有 项 13 （6 分）已知直线 l：2mx+（1m2）ym10，到当实数 m 变化时，原点 O 到直线 l 距离的最大值为 ； 平面内所有恒不在 l 上的点 （x， y） 所形成的图形面积为 14（6 分） 在ABC 中， AC4， D 为线段 BC 的中点， 则 BC ， SABC 15 （6 分）已知抛物线 E：y24x 和直线 l：xy+40，P 是直线上

4、l 一点，过点 P 做抛物 线的两条切线，切点分别为 A，B，C 是抛物线上异于 A，B 的任一点，抛物线在 C 处的 切线与 PA，PB 分别交于 M，N，则PMN 外接圆面积的最小值为 16 （6 分）已知平面向量 ， 满足，则的取值范围 是 17 （6 分）已知 m，nR，mn，函数 f（x）（x+t）2（xR） （其中表示 第 3 页（共 22 页） 对于 xR，当 tm，n时表达式（x+t）2的最大值） ，则 f（x）的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

5、 18已知，令 （）求 f（x）的最小正周期及的解集； （）锐角ABC 中，边，求ABC 周长最大值 19如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，且 AD2AA12A1D12DD1 2，点 E，F 分别为棱 BC，B1C1的中点，二面角 A1ADB 的平面角大小为 （）证明：ADEF； （）求直线 AA1与平面 BCC1B1所成角的正弦值 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn（n+2） （an1） ，nN* （）证明：为常数列，并求 an； （）令，求数列bn的前 n 项和 Tn 21已知 F1，F2分别为椭圆 E：的左、右焦点，离心率为，P 是 椭圆上异于

6、左右顶点的一动点，已知F1PF2的内切圆半径的最大值为 （）求椭圆 E 的方程； （）设直线 xm（0|m|a）与椭圆 E 交于 A，B 两点（不同于点 P） ，直线 AP，BP 分别与直线相交于点 M，N，证明： 22已知函数 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若 f（x）0 对任意的 x1 恒成立，求 a 的取值范围； 第 4 页（共 22 页） （）证明： 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年浙江省宁波市鄞州中学高三（下）期初数学试卷学年浙江省宁波市鄞州中学高三（下）期初数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择一、选择题：本大题共题：本大题共 10 小

7、题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知全集 U2，1，0，1，2，3，集合 Ax|x2，xN，B1，2， 则U（AB）（ ） A1，2 B0，1，2 C2，1，3 D2，1，0， 3 【分析】求出集合 A，再求出 AB，得出结论 【解答】解：全集 U2，1，0，1，2，3，集合 Ax|x2，xN0，1，2， B1，2， AB0，1，2， 则U（AB）2，1，3， 故选：C 【点评】考查集合的交并补运算，基础题 2 （4 分）已知双曲线1（a0，b0）的一

8、条渐近线方程为 yx，则该双曲 线的离心率为（ ） A B C D2 【分析】利用双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为 yx，可得 a 2b，即可求出双曲线的离心率 【解答】解：双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为 yx， a2b， cb， 双曲线的离心率是 e 故选：A 第 6 页（共 22 页） 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握 双曲线的简单性质 3 （4 分）已知实数 x，y 满足，则 zx2y 的最小值为（ ） A4 B2 C0 D2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【解答】解：由 zx2y

9、 得 yxz； 作出实数 x，y 对应的平面区域如图： （阴影部分 ABO） ： 平移直线 yxz； 由图象可知当直线 yxz，过点 A（0，2）时， 直线 yxz 的截距最大，此时 z 最小， 代入目标函数 zx2y， 得 z0224， 目标函数 zx2y 的最小值是4； 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关 键，利用数形结合是解决问题的基本方法 4 （4 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 第 7 页（共 22 页） A2 B C D3 【分析】该几何体为三棱锥 PABC利用三棱锥体积公式求得几何体的体积 【解答】解

10、：如图，该几何体为三棱锥 PABC 则该几何体的体积是 V， 故选：B 【点评】本题考查了三视图还原几何体，属于基础题 5 （4 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，则“a10”是“S990”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】设等比数列an的公比为 q，分 q1 和 q1 两类分析得答案 【解答】解：设等比数列an的公比为 q， 若 q1，由 a10，得 S990，反之成立； 若 q1， 1q 与 1q99同号0，则 a10S990 第 8 页（共 22 页） “a10”是“S990”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查等比数列

11、的前 n 项和，考查充分必要条件的判定，是中档题 6 （4 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x）的图象关于直线 x2 对称若当 0x2 时，f（x）x+1，则 f（2019）+f（2020）（ ） A0 B1 C2 D4 【分析】根据题意，分析可得 f（x+8）f（x+4）f（x） ，则 f（x）是周期为 8 的周 期函数；结合函数的解析式求出 f（2019）和 f（2020）的值，据此计算可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）是 R 上的奇函数，则有 f（x）f（x） ，且 f（0）0， 又由 f（x）的图象关于直线 x2 对称，则有 f（x）f（4x） ， 则有f（x

12、）f（x4） ，变形可得 f（x+4）f（x） ，则有 f（x+8）f（x+4） f（x） ， 故 f（x）是周期为 8 的周期函数； 又由当 0x2 时，f（x）x+1， 则 f（2019）f（3+2528）f（3）f（1）1+12， f（2020）f（4+2528）f（4）f（0）0， 故有 f（2019）+f（2020）2+02； 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于基础题 7 （4 分）已知 A，B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个A 盒中 有 m 个红球与 10m 个白球， B 盒中有 10m 个红球与 m 个白球（0m

13、10） ，若从 A， B 盒中各取一个球， 表示所取的 2 个球中红球的个数，则当 D 取到最大值时，m 的值 为（ ） A3 B5 C7 D9 【分析】 由题意可得： 0， 1， 2 P （0） ， P （1） +， P（2）可得分布列，可得 E 与 D 【解答】解：由题意可得：0，1，2 P（0），P（1）+， 第 9 页（共 22 页） P（2） 分布列为： 0 1 2 P E0+1+21 D（01） 2 +（11） 2 +（21） 2 当且仅当 m5 时取等号 故选：B 【点评】本题考查了相互独立、互斥事件的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 8 （4 分）

14、在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是正方体棱上的一点，若满足 |PB|+|PD1|m 的点 P 的个数大于 6 个，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】首先说明：满足条件|PB|+|PD1|2的点 P 有 12 个，符合题意再说明： 8 个顶点中，除了 B，D1两个以外的 6 个顶点满足|PB|+|PD1|2+2，且是正方体棱 上的所有点中的最大值，只有这 6 个顶点因此除了以上 6 个顶点以外的点满足： |PB|+|PD1|2+2，不难得出满足条件：2|PB|+|PD1|2+2的点 P 都满足 |PB|+|PD1|m 的点 P 的个数大于 6 个，结

15、合选择支即可得出结论 【解答】解：分类讨论：正方体的棱长为 2， BD12， 点 P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点） ，满足|PB|+|PD1|2， 点 P 是以 2c2为焦距，以 a为长半轴，以为短半轴的椭圆， P 在正方体的棱上，P 应是椭圆与正方体与棱的交点， 结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的 12 条棱上各有一点满足条件 满足|PB|+|PD1|2的点 P 的个数为 12 个满足条件 8 个顶点中，除了 B，D1两个以外的 6 个顶点满足|PB|+|PD1|2+2，且是正方体棱 上的所有点中的最大值，只有这 6 个顶点 第 10 页（共 22 页） 因此除了以上

16、6 个顶点以外的点满足：|PB|+|PD1|2+2， 不难得出满足条件： 2|PB|+|PD1|2+2的点 P 都满足|PB|+|PD1|m 的点 P 的个数 大于 6 个， 由选择支可得只能选择 D 故选：D 【点评】本题考查了正方体的性质、椭圆的意义、数形结合方法、分类讨论方法，考查 了推理能力与计算能力，属于难题 9 （4 分）已知函数 f（x）满足：对任意的实数 x，y，都有 f（x+y）f（x）+f（y）+4xy 成立，且 f（2） f（2）64，则（ ） A B C D 【分析】结合已知可对 x 进行合理的赋值，逐步推出 f（）的值即可求解 【解答】解：因为 f（x+y）f（x）+

17、f（y）+4xy， 令 xy0 可得 f（0）2f（0）即 f（0）0， 令 x2，y2 可得 f（0）f（2）+f（2）160， 所以 f（2）16f（2） 因为 f（2） f（2）64， 联立可得，f（2）f（2）8， 又因为 f（1+1）2f（1）+48， 所以 f（1）2， 因为 f（）2f（）+42f（）+， 所以 f（1）f（）f（）+f（）+3f（）+2， 第 11 页（共 22 页） 所以 f（）， 故 f（） 故选：A 【点评】本题主要考查了利用抽象函数求解函数值，解题的关键是进行合理的赋值 10 （4 分）已知数列an满足 a11，则使得最小的 整数 m 是（ ） A65

18、B64 C63 D62 【分析】推导出 an+1，从而 an+1an+2，进而利用累 加法求出 a20204040，再由 an+1，得到 ， n 2 ， 利 用 累 加 法 求 出 2+64，由此能求出使得 最小的整数 m 【解答】解：数列an满足 a11， an+1， an+1an+2， an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1 2n1+（）2n， （n2） ， a20204040， an+1， ，n2， 第 12 页（共 22 页） 2+64， 最接近的整数是 64， 使得最小的整数 m 是 64 故选：B 【点评】本题考查满足条件的最小正整数的求法，考查累加求和法等基础知

19、识，考查推 理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分分，共，共 36 分分. 11 （6 分）设 i 为虚数单位，给定复数，则 z 的虚部为 ；模为 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义、模的计算公式即可得出 【解答】解：复数+i， 则 z 的虚部为 ；|z|， 故答案为：； 【点评】本题考查复数的运算法则、虚部的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 12 （6 分）二项式的展开式中常数项等于 15 ，有理项共有 4 项 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x

20、 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项再把 r 的所有取值分别代入幂指数即可求出其有理项的个数 【解答】 解： 二项式的展开式的通项公式为 Tr+1 x 令0，求得 r2，可得展开式中常数项为 15， 令 r0，1，2，3，4，5，6；可得3，0，3，6； 所以其有理项有 4 项 故答案为：15，4 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 第 13 页（共 22 页） 13 （6 分）已知直线 l：2mx+（1m2）ym10，到当实数 m 变化时，原点 O 到直线 l 距离的最大值为 22 ；平面内所有恒不在 l 上的点（x，y

21、）所形成的图形面积为 【分析】由点到直线的距离公式求出，再由均值不等式求出最大值，方程转化不在直线 上的点可得关于 m 的二次方程无解，可得曲线方程，进而求出面积 【 解 答 】 解 ： O到 直 线 的 距 离d 22， 2mx+（1m2）ym10 转化为：ym2+（12x）my+10，不在直线上的点可得关 于 m 的方程无解，所以（12x）2+4y（y1）0，即（x）2+（y）2， 即不在直线上的点在以（，）为圆心，以为半径的圆上，所以圆的面积为 （） 2 ， 故答案为：22， 【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题 14 （6 分） 在ABC 中， AC4， D

22、 为线段 BC 的中点， 则 BC 2 ， SABC 【分析】如图所示，设ADB，则ADCADm在ABD，ACD 中， 分别利用余弦定理相加可得：c2+b22m2+代入可得 a由 AB2+BC2AC2，可得 ABC90即可得出 SABC 【解答】解：如图所示，在ABC 中， 设ADB，则ADC，令 ADm， 在ABD，ACD 中，分别利用余弦定理可得：c2m2+2mcos，b2m2+ 2mcos（） ， 相加可得：c2+b22m2+ 第 14 页（共 22 页） 代入可得：+422+，解得 a2 AB2+BC2AC2，ABC90， SABC2， 故答案为：2，2 【点评】本题考查了余弦定理勾股

23、定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 15 （6 分）已知抛物线 E：y24x 和直线 l：xy+40，P 是直线上 l 一点，过点 P 做抛物 线的两条切线，切点分别为 A，B，C 是抛物线上异于 A，B 的任一点，抛物线在 C 处的 切线与 PA，PB 分别交于 M，N，则PMN 外接圆面积的最小值为 【分析】由抛物线的光学性质可知，P，M，F，N 四点共圆，则面积最小值为以|PF|为直 径的圆，而|PF|的最小值即为焦点 F 到直线 l 的距离，由此即可得解 【解答】解：由抛物线的光学性质可知，P，M，F，N 四点共圆， 则当点 P 确定时，选择恰当的 C，面

24、积最小值即为以|PF|为直径的圆， 而|PF|的最小值即为焦点 F 到直线 l 的距离， 即此时外接圆的半径为， 此时的面积为， 即PMN 外接圆面积的最小值为 故答案为： 第 15 页（共 22 页） 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线性质的运用，考查运算求解能 力，属于较难题目 16 （6 分）已知平面向量 ， 满足，则的取值范围是 1，3 【 分 析 】 不 妨 设， 由 题 意 化 简 可 得， 则 表示椭圆上的动点 B（x，y）到定点 F（1，0） （椭 圆的左焦点）的距离，由椭圆性质即可得解 【解答】解：不妨设，则， 又， ，化简整理得， 则表示椭圆上的动点 B（x

25、，y）到定点 F（1，0） （椭圆的左焦点）的距离， 由椭圆性质可知，|BF|的最大值为 2+13，最小值为 211， 故答案为：1，3 【点评】本题考查平面向量模长范围的求解，涉及了平面向量的坐标运算以及椭圆的简 单几何性质，解题的关键是将纯平面向量问题坐标化，进而通过几何意义得解，考查化 归与转化思想，属于中档题 第 16 页（共 22 页） 17 （6 分）已知 m，nR，mn，函数 f（x）（x+t）2（xR） （其中表示 对于 xR，当 tm，n时表达式（x+t）2的最大值） ，则 f（x）的最小值为 【分析】设 h（t）（x+t） 2，tm，n的最大值为 f（x） ，由题意可得 ，

26、 两式相加后利用不等式即可求得，进而得解 【 解 答 】 解 ： 不 妨 令 h （ t） （ x+t） 2 ， tm ， n 的 最 大 值 为 f（ x ） ， 则 ， ， ， 当且仅当时取 等号， ，即 f（x）的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查二次函数的性质以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中 档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18已知，令 （）求 f（x）的最小正周期及的解集； （）锐角ABC 中，边，求ABC 周长最大值 【分析】 （）先

27、根据数量积以及三角函数的有关知识整理解析式，进而求解结论即可 （）先根据条件求出角 A，根据正弦定理表示出周长，结合角的范围即可求解 【解答】 解：（）， T， ， 第 17 页（共 22 页） ，kZ， 的解集是 （）， ， ， 锐角三角形且角， ，当时，a+b+c 最大为， ABC 周长最大值为 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 19如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，且 AD2AA12A1D12DD1 2，点 E，F 分别为棱 BC，B1C1的中点，二面角 A1ADB 的平面角大小为 （）证明：ADEF； （）

28、求直线 AA1与平面 BCC1B1所成角的正弦值 【分析】 （）延长 AA1，BB1，CC1，DD1，EF 交于点 P，取 AD 中点 M，连接 PM，EM， 运用线面垂直的判定和性质，即可得证； （） 连接 AC 交 ME 于 O 点， 连接 C1O， 运用中位线定理和线面角的定义可得直线 C1O 与平面 BCC1B1所成角和直线 AA1与平面 BCC1B1所成角相等， 由面面垂直的性质定理过 O 作 OHPE，连接 C1H，OC1H 是直线 C1O 与平面 BCC1B1所成角由（）得 PME 是二面角 A1ADB 的平面角，由解三角形的知识可得 OH，再由直角三角形的正 弦函数的定义可得所

29、求值 【解答】解： （）证明：如图所示，延长 AA1，BB1，CC1，DD1，EF 交于点 P， 第 18 页（共 22 页） 由题意得 PAPD2，取 AD 中点 M，连接 PM，EM， 则 ADPM，ADME，又 PMMEM， 所以 AD平面 PME，又 EF平面 PME， 所以 ADEF； （）连接 AC 交 ME 于 O 点，连接 C1O， 则 C1OPA 且1， 所以直线 C1O 与平面 BCC1B1所成角和直线 AA1与平面 BCC1B1所成角相等， 由（）得 AD平面 PME，又 BCAD，所以 BC平面 PME， 又 BC平面 BCC1B1，所以平面 BCC1B1平面 PME，

30、 又平面 BCC1B1平面 PMEPE， 过 O 作 OHPE，连接 C1H，则 OH平面 BCC1B1， 则OC1H 是直线 C1O 与平面 BCC1B1所成角 由（）得PME 是二面角 A1ADB 的平面角， 所 以， 在 PME中 ， PE ， SPOESPME，即OH2， 计算得， 在直角OC1H 中， 所以直线 AA1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质， 考查空间的二面角和线面角的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题 第 19 页（共 22 页） 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2

31、Sn（n+2） （an1） ，nN* （）证明：为常数列，并求 an； （）令，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）由 2Sn（n+2） （an1） ，当 n2 时，2Sn1（n+1） （an11）相减化 简可得：，所以为常数列即可得出 （）由（）得22n+12n+1+1，可得 ，bn（1）n（2n+1+1） 通 过分类讨论求和即可得出 【解答】 （）证明：因为 2Sn（n+2） （an1）， 当 n2 时，2Sn1（n+1） （an11）， 得，2an（n+2）an（n+1）an11，即 nan（n+1）an11， 同除 n（n+1）得， 整理得，所以为常数列 因为 2S1（1+2

32、） （a11） ，所以 a13， 则，所以 an2n+1 （）解：由（）得22n+12n+1+1， 所以， 则 bn（1）n（2n+1+1） 当 n2k，kN*时， 22+2324+25+2n+2n+1， 当 n2k1，kN*时， 综上，TnkN* 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 第 20 页（共 22 页） 21已知 F1，F2分别为椭圆 E：的左、右焦点，离心率为，P 是 椭圆上异于左右顶点的一动点，已知F1PF2的内切圆半径的最大值为 （）求椭圆 E 的方程； （）设直线 xm（0|m|a）与椭圆 E 交于 A，B

33、 两点（不同于点 P） ，直线 AP，BP 分别与直线相交于点 M，N，证明： 【分析】 （）先求出 a2c，又当PF1F2面积最大时，r 最大，即 P 点位于 椭圆短轴顶点时，代入计算可得 a，b，c 的值，从而求出椭圆 E 的方程； （）先分别表达出点 M，N 的坐标，代入化简即可得到 【解答】解： （）由题意知：， a2c，b2a2c2， 设PF1F2的内切圆半径为 r，则 ， 故当PF1F2面积最大时，r 最大，即 P 点位于椭圆短轴顶点时， 所以，把 a2c，代入，解得：a2， 所以椭圆方程为； （）设 A（m，y0） ，B（m，y0） ，P（x1，y1） ，则，（*） ， ，令得，

34、 从而，同理， 第 21 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题 22已知函数 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若 f（x）0 对任意的 x1 恒成立，求 a 的取值范围； （）证明： 【分析】 （）函数的定义域为1，+） ，然后分 a0 和 a0 两个类别，讨论 f（x）的符号，从而确定函数 f（x）的单调性； （）先将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题，然后结合（）中函数的单调性， 求出函数的最大值，列出关于 a 的不等式，解之即可得解； （ ） 在 （ ） 的 基 础 上 ， 取， 有 不 等 式成 立 ， 再 取 ，则 ， 然后结

35、合放缩法和等差数列的前 n 项和公式进行证明即可 【解答】解：函数的定义域为1，+） ， （）当 a0 时，f（x）0，所以 f（x）在1，+）上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，则，此时 f（x）单调递增； 令 f（x）0，则，此时 f（x）单调递减； 综上所述， 当 a0 时，f（x）在1，+）上单调递增； 第 22 页（共 22 页） 当 a0 时，f（x）在上单调递增；在上单调递减 （）当 a0 时，故不合题意； 当 a0 时，由（）知，解得， 故 a 的取值范围为 （）证明：由（）知，取，有不等式成立 当时， 得， 所以 【点评】本题考查导数的综合应用，涉及利用导数求含参函数的单调性和最值、函数的 恒成立问题，以及放缩法证明不等式、等差数列的前 n 项和公式等问题，考查学生转化 与回归的能力和运算能力，属于难题