北师大版九年级下册数学《3.3 垂径定理1》教案
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1、*3.3 垂径定理垂径定理 1理解垂径定理和推论的内容,并会 证明,利用垂径定理解决与圆有关的问题; (重点) 2利用垂径定理及其推论解决实际问 题(难点) 一、情境导入 如图某公园中央地上有一些大理石 球,小明想测量球的半径,于是找了两块厚 20cm 的砖塞在球的两侧(如图所示), 他量 了下两砖之间的距离刚好是 80cm,聪明的 你能算出大石头的半径吗? 二、合作探究 探究点一:垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求直径或弦 的长度 如图所示, O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P,且 P 是半径 OB 的中点,CD 6cm,则直径 AB 的长是( ) A2 3cm B3 2cm C4
2、2cm D4 3cm 解析:直径 ABDC,CD6,DP 3.连接 OD,P 是 OB 的中点,设 OP 为 x,则 OD 为 2x,在 RtDOP 中,根据勾股 定理列方程32x2(2x)2, 解得x 3.OD 2 3,AB4 3.故选 D. 方法总结:我们常常连接半径,利用半 径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形, 然后应用勾股定理解决问题 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型二】 垂径定理的实际应用 如图,一条公路的转弯处是一段 圆弧(图中的AB ),点 O 是这段弧的圆心,C 是AB 上一点,OCAB,垂足为 D,AB 300m,CD50m,则这段弯路
3、的半径是 _m. 解析:本题考查垂径定理,OCAB, AB300m, AD150m.设半径为 R, 根据 勾股定理可列方程 R2(R50)21502,解 得 R250.故答案为 250. 方法总结:将实际问题转化为数学问 题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理 等知识进行解答 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 垂径定理的综合应用 如图,已知圆 O 的直径 AB 垂直 于弦 CD 于点 E,连接 CO 并延长交 AD 于 点 F,且 CFAD.(1)请证明:点 E 是 OB 的 中点;(2)若 AB8,求 CD 的长 解析:(1)要证明 E 是 OB 的
4、中点,只要 求证 OE1 2OB 1 2OC, 即OCE30; (2) 在直角OCE 中,根据勾股定理可以解得 CE 的长,进而求出 CD 的长 (1)证明:连接 AC,如图,直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E,AC AD ,AC AD.过圆心 O 的直线 CFAD,AF DF,即 CF 是 AD 的垂直平分线,AC CD,ACADCD,即ACD 是等边三 角形,FCD30.在 RtCOE 中,OE 1 2OC, OE 1 2OB, 点 E 为 OB 的中点; (2)解:在 RtOCE 中,AB8,OC OB1 2AB4.又BEOE, OE2, CE OC2OE2 1642 3,CD 2CE
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