北师大版九年级下册数学《2.5 第1课时 二次函数与一元二次方程1》教案
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1、2.5 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 第第 1 课时课时 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 1经历探索二次函数与一元二次方程 的关系的过程,体会方程与函数之间的联 系;(重点) 2理解二次函数与 x 轴交点的个数与 一元二次方程的根的关系, 理解何时方程有 两个不等的实根、 两个相等的实根和没有实 根;(重点) 3通过观察二次函数与 x 轴交点的个 数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步 培养学生的数形结合思想(难点) 一、情境导入 一个涵洞成抛物线形, 它的截面如图所 示现测得,当水面宽 AB1.6m 时,涵洞 顶点与水面的距离 OC2.4m.当水位上升 一定高度
2、到达点 F 时,这时,离水面距离 CF1.5m, 则涵洞宽 ED 是多少?是否会超 过 1m? 根据已知条件,要求 ED 宽,只要求出 FD 的长度在如图所示的直角坐标系中, 只要求出点 D 的横坐标即可 由已知条件可得到点 D 的纵坐标, 又因 为点 D 在涵洞所成的抛物线上, 所以利用抛 物线的函数关系式可以进一步算出点 D 的 横坐标你会求吗? 二、合作探究 探究点一:二次函数与一元二次方程 【类型一】 求抛物线与 x 轴的交点坐 标 已知二次函数 y2x24x6,它 的 图 象 与x轴 交 点 的 坐 标 是 _ 解析:y2x24x62(x22x3) 2(x3)(x1),设 2(x3)
3、(x1)0,解得 x13,x21,它的图象与 x 轴交点的 坐标是(3,0),(1,0)故答案为(3,0), (1,0) 方法总结:抛物线与 x 轴的交点的横坐 标,就是二次函数为 0 时,一元二次方程的 解 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型二】 判断抛物线与 x 轴交点的 个数 已知关于 x 的二次函数 ymx2 (m2)x2(m0) (1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个交 点; (2)若此抛物线与 x 轴总有两个交点, 且 它们的横坐标都是整数,求正整数 m 的值 解析:(1)只需证明(m2)2 4m20 即可;(2)利用因式分解法求得抛 物线与 x
4、 轴交点的横坐标,然后根据 x 的值 来求正整数 m 的值 (1)证明:m0,(m2)2 4m2m24m48m(m2)2.(m 2)20,0,此抛物线与 x 轴总有两 个交点; (2)解:令 y0,则(x1)(mx2)0, 所以 x10 或 mx20,解得 x11, x22 m.当 m 为正整数 1 或 2 时,x2为整数, 即抛物线与 x 轴总有两个交点,且它们的横 坐标都是整数所以正整数 m 的值为 1 或 2. 方法总结: 解答本题的关键是明确当根 的判别式0 抛物线与 x 轴有两个交点 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 已知抛物线与 x 轴的交
5、点 个数,求字母系数的取值范围 已知函数 y(k3)x22x1 的 图象与 x 轴有交点,求 k 的取值范围 解析:应分 k30 和 k30 两种情 况进行讨论,(1)当 k30 即 k3 时,此 函数是一次函数;(2)当 k30,即 k3 时,此函数是二次函数,根据函数图象与 x 轴有交点可知b24ac0,求出 k 的取 值范围即可 解:当 k3 时,函数 y2x1 是一次 函数一次函数 y2x1 与 x 轴有一个 交点,k3; 当 k3 时, y(k3)x22x1 是二次 函数二次函数 y(k3)x22x1 的图 象与 x 轴有交点,b24ac0.b2 4ac224(k3)4k16,4k
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